專題6-1 數(shù)列遞推與通項公式22種歸類-高考數(shù)學一輪復習熱點題型歸納與變式演練

專題6-1數(shù)列遞推與通項公式22種歸類目錄一、熱點題型歸納TOC\o"1-3"\h\u【題型一】歸納法求通項 2【題型二】等差等比定義型 3【題型三】累加法基礎：等差等比與裂項求和型 4【題型四】累加法拔高：換元累加型 5【題型五】累加法拔高：構造 5【題型六】累積法 6【題型七】前n項和型 6【題型八】二階等比 7【題型九】二階等差數(shù)列 7【題型十】sn與an型：消sn型 8【題型十一】sn與an型：消an型 8【題型十二】分式倒數(shù)遞推 9【題型十三】新數(shù)列前n項和型 9【題型十四】高次冪取對數(shù)型 10【題型十五】二階含n等比數(shù)列型 10【題型十六】二階含n等差數(shù)列型 11【題型十七】因式分解型 11【題型十八】三階遞推 11【題型十九】前n項積求通項 12【題型二十】函數(shù)型遞推 12【題型二十一】周期數(shù)列 12【題型二十二】奇偶討論型 13二、真題再現(xiàn) 14三、模擬檢測 14綜述：數(shù)列求通項以及遞推公式的方法和數(shù)學思想是學生學習數(shù)列思的比較好的切入點。數(shù)列大題第一問往往也考察遞推公式為主的求通項。這也是第一輪復習的重點之一?！绢}型一】歸納法求通項【典例分析】（2021·全國·高三課時練習）根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，寫出點數(shù)構成的數(shù)列的一個通項公式，并在橫線上和括號中分別填上第5項的圖形和點數(shù).（1）

__________

1

6

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()（2）

__________

1

4

7

10

()（3）

__________

3

8

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()2.（2021·江蘇·高三專題練習）數(shù)列的一個通項公式為________.【提分秘籍】基本規(guī)律先通過計算數(shù)列的前幾項，再觀察數(shù)列中的項與系數(shù)，根據(jù)與項數(shù)的關系，猜想數(shù)列的通項公式，最后再證明.一般這類題，選擇題很少，因為可以代特殊值求解?！咀兪窖菥殹?.（2021·全國·高三課時練習）根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，寫出點數(shù)構成的數(shù)列的一個通項公式__________．2.（2018·全國·高三課時練習）若數(shù)列的前4項為1,0,1,0，則這個數(shù)列的通項公式不可能是A．B．C．D．3.（2018·上海市楊浦高級中學高三期末）已知數(shù)列、、、、，可猜想此數(shù)列的通項公式是（

）.A． B．C． D．【題型二】等差等比定義型【典例分析】（2022·全國·高三課時練習）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為________．【提分秘籍】基本規(guī)律等差數(shù)列判定：①定義法：“欲證等差，直接作差”，即證an＋1－an＝定值；②等差中項法：即證2an＋1＝an＋an＋2； ③函數(shù)結論法：即an為一次函數(shù)或Sn為無常數(shù)項的二次函數(shù).等比數(shù)列的判定方法：(1)定義法：“欲證等比，直接作比”，即證eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數(shù))?數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(2)等比中項法：即證aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數(shù)列{an}是等比數(shù)列．【變式演練】1.（2022·河南·模擬預測（文））已知數(shù)列是單調遞增的等差數(shù)列，若它的前5項的和為105，第2項?第4項?第8項成等比數(shù)列，則它的通項公式為（

）A．或 B．C． D．2.（2019北京·臨川學校高三階段練習（理））成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于，并且這三個數(shù)分別加上、、后成為等比數(shù)列中的、、，則數(shù)列的通項公式為A． B． C． D．3.（2021·甘肅·靜寧縣第一中學高三階段練習（文））數(shù)列的各項都是正數(shù)，，，那么此數(shù)列的通項公式為________．【題型三】累加法基礎：等差等比與裂項求和型【典例分析】（2022·全國·高三專題練習）已知是等差數(shù)列的前項和，其中，數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律累加法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項存在：的關系，可用“累加法”求通項.其中f（n）是常見可求和的數(shù)列通項，如等差，等比，和裂項型求和【變式演練】1.（2020·湖南·長郡中學三模（文））已知等比數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列．若數(shù)列滿足（n∈N*），且，則數(shù)列的通項公式A． B． C． D．2.（2020·內蒙古·包頭市第六中學高三期中）在數(shù)列{an}中,a1=3,,則通項公式an=______.【題型四】累加法拔高：換元累加型【典例分析】在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律通過換元，轉化為累加求通項，最后再反解回去?！咀兪窖菥殹?.已知數(shù)列滿足：，，，則下列說法正確的是（）A．B．C．數(shù)列的最小項為和D．數(shù)列的最大項為和2.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求滿足的所有正整數(shù)的取值集合.【題型五】累加法拔高：構造【典例分析】已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式____．人教A版（2019）選擇性必修第二冊過關斬將第四章數(shù)列專題強化練3數(shù)列的遞推公式及通項公式【變式演練】1.已知數(shù)列滿足，則______.浙江省臺州市2021屆高三下學期4月二模數(shù)學試題2.已知數(shù)列滿足，則的最小值是（）A． B． C．1 D．2【題型六】累積法【典例分析】（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足：，，則的通項公式為_____________.【提分秘籍】基本規(guī)律對于遞推公式為，一般利用累乘法求出數(shù)列的通項公式，對于遞推公式為，一般利用累加法求出數(shù)列的通項公式；【變式演練】1.（2020·上海黃浦·高三期末）已知數(shù)列（）滿足，且，則通項公式________.2.（2020·廣東·廣州市天河外國語學校高三期中）若數(shù)列滿足則數(shù)列的通項公式____________.【題型七】前n項和型【典例分析】（2021·全國·高三專題練習（文））數(shù)列的前項和為，若，且，，成等比數(shù)列，則該數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律若在已知數(shù)列中存在：的關系，可以利用項和公式，求數(shù)列的通項.【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，則的通項公式為______2.（2021·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高三期中）已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的通項公式是______.【題型八】二階等比【典例分析】（2019·浙江·余姚中學高三階段練習）已知數(shù)列滿足，，則通項公式_______.【提分秘籍】基本規(guī)律二階等比構造法有兩種方法：1.形如為常數(shù)）,構造等比數(shù)列。特殊情況下，當q為2時，=p，2.形如，變形為，新數(shù)列累加法即可【變式演練】1.（2021·貴州·遵義市第五中學高三階段練習）設數(shù)列滿足，，則的通項公式___________.2.（2021·寧夏六盤山高級中學高三期中（理））已知數(shù)列{an}中，a1=1，an=3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），，則數(shù)列{an}通項公式an為A．3n﹣1 B．3n+1﹣8 C．3n﹣2 D．3n【題型九】二階等差數(shù)列【典例分析】已知數(shù)列an,bn滿足a1=1，(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求出數(shù)列a(2)略．【變式演練】1.已知數(shù)列有，是它的前項和，且．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）略.2.在數(shù)列中，，.（1）求，；（2）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；【題型十】sn與an型：消sn型【典例分析】（2022·云南·二模（文））已知數(shù)列的前n項和為.若，則數(shù)列的通項公式為___________.【提分秘籍】基本規(guī)律與的遞推關系求，常用思路是：利用轉化為的遞推關系，再求其通項公式；時，一定要注意分兩種情況，在求出結果后，看看這兩種情況能否整合在一起.【變式演練】1.（2021·江西贛州·一模（理））記為數(shù)列的前n項和．若，，則數(shù)列的通項公式為______．2.（2022·全國·高三專題練習（文））已知數(shù)列的前項和為，若，且，則數(shù)列的通項公式為___________.【題型十一】sn與an型：消an型【典例分析】（2021·江蘇·高三課時練習）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則的通項公式為_________．【提分秘籍】基本規(guī)律與的遞推關系求，也可以結合式子結構與數(shù)據(jù)，利用轉化為的遞推關系，先求出與之間的關系，再求.應用關系式【變式演練】1.（2020·遼寧·高三階段練習）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，若，且，則數(shù)列的通項公式為______．2.（2021·全國·高三課時練習）已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，，則數(shù)列的通項公式為_________.【題型十二】分式倒數(shù)遞推【典例分析】（2020·山西·懷仁市大地學校高中部高三階段練習（文））在數(shù)列中，，且，則其通項公式為（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律形如，可以取倒數(shù)變形為【變式演練】1.（2021·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．2.（2022·全國·高三專題練習）已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為______.【題型十三】新數(shù)列前n項和型【典例分析】.（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項公式___________.【提分秘籍】基本規(guī)律形如，可以設【變式演練】1.（2020·四川·寧南中學高三開學考試（理））數(shù)列滿足，，寫出數(shù)列的通項公式__________.2.（2019·江蘇·高三專題練習）已知，則數(shù)列的通項公式________．【題型十四】高次冪取對數(shù)型【典例分析】（2021·全國·高三課時練習）已知數(shù)列，，，則數(shù)列的通項公式為______.【提分秘籍】基本規(guī)律形如，可以通過取對數(shù)構造等比數(shù)列求通項公式【變式演練】1.（2021·全國·高三課時練習）設正項數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式是______．2.（2020·上海市進才中學高三期末）數(shù)列中，若，，則的通項公式為________.【題型十五】二階含n等比數(shù)列型【典例分析】（2021·全國·高三課時練習）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式_________.【提分秘籍】基本規(guī)律形如，可以構造等比數(shù)列求通項。通過配湊構造等比，如果配湊不容易觀察，可以待定系數(shù)來構造【變式演練】1.（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，．數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為________．2.（2021·江西·高三階段練習（理））已知首項為的數(shù)列的前項和為，若，則的通項公式為________．【題型十六】二階含n等差數(shù)列型【典例分析】（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.【提分秘籍】基本規(guī)律形如，可以同除來構造等差數(shù)列求通項。，【變式演練】1.（2017·四川瀘州·一模（理））已知數(shù)列的前項和（），則數(shù)列的通項公式__________．2.（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式___________【題型十七】因式分解型【典例分析】（2023·全國·高三專題練習）設是首項為1的正項數(shù)列，且，求通項公式=___________【變式演練】1.（2023·全國·高三專題練習）設是首項為1的正項數(shù)列且，且，求數(shù)列的通項公式_________2..（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，且，則它的通項公式______.【題型十八】三階遞推【典例分析】（2022·全國·高三課時練習）已知數(shù)列滿足，，且（，），則數(shù)列的通項公式為______．【提分秘籍】基本規(guī)律形如，常湊配系數(shù)構等比數(shù)列。【變式演練】1.（2021·江蘇·泰興市第一高級中學高三期中）已知是數(shù)列的前項和，，，，求數(shù)列的通項公式___________.2.（2021·江蘇·高三單元測試）在數(shù)列中，，，且對任意的，都有，則數(shù)列的通項公式為______．【題型十九】前n項積求通項【典例分析】（2022·寧夏石嘴山·一模（理））已知為數(shù)列的前n項積，若，則數(shù)列的通項公式A． B． C． D．【變式演練】1.（2022·全國·高三專題練習）設正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項之積為Tn，且Sn＋Tn＝1，則數(shù)列{an}的通項公式是__________.2.（2021·河南·一模（理））設正數(shù)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項之積為，且，則數(shù)列的通項公式是______．【題型二十】函數(shù)型遞推【典例分析】（2021·全國·高三專題練習（理））已知是上的奇函數(shù)，,,則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.（2023·全國·高三專題練習）已知是上的奇函數(shù)，，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．2.（2022·全國·高三單元測試）若()，則數(shù)列的通項公式是___________.【題型二十一】周期數(shù)列【典例分析】已知數(shù)列滿足，，，則_________．江蘇省漣水中學2019-20120學年高三下學期第一次模擬考試數(shù)學試題【提分秘籍】基本規(guī)律周期數(shù)列1.若數(shù)列{an}滿足2.若數(shù)列{an}滿足3.若數(shù)列{an}滿足4.若數(shù)列{an}滿足5.若數(shù)列{an}滿足6.【變式演練】1.已知數(shù)列中，，則___________.2.數(shù)列中，，()，表示數(shù)列的前項之積，________.【題型二十二】奇偶討論型【典例分析】（2021·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______．【提分秘籍】基本規(guī)律討論型：1.分段數(shù)列2.奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列【變式演練】1.（2021·全國·高三階段練習（理））已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的奇數(shù)項單調遞增，偶數(shù)項單調遞減，若，在數(shù)列的通項公式為______．2.已知數(shù)列滿足，則的前40項和為__________．1.（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．2.（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.3.（2020·全國·高考真題（理））設數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．4.（2017·全國·高考真題（文））設數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．5.（2019·全國·高考真題（理））已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項公式.1.（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學校高三期中）數(shù)列的一個通項公式是（

）A． B． C． D．2.（2022·浙江省杭州學軍中學高三階段練習）在等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則的通項公式為（

）A． B．C．或 D．或3..（2020·云南省楚雄天人中學高三階段練習）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（

）A． B． C． D．4.已知數(shù)列滿足，，則__________．5.已知數(shù)列中，，，，則的取值范圍是_____________．6.（2022·全國·高三課時練習）已知，，則數(shù)列的通項公式是（

）A． B． C． D．n7.（2020·福建·廈門一中高三階段練