2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：二次函數(shù)解答題壓軸題（35題）解析版

專題16二次函數(shù)解答題壓軸題（35題）

一、解答題

1.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目.數(shù)學(xué)興趣小組對該項目中的數(shù)學(xué)

問題進行了深入研究.下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1,人從點/處沿水滑道下滑至點3處騰

空飛出后落入水池.以地面所在的水平線為x軸，過騰空點3與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，

建立平面直角坐標系.他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分.根據(jù)測量

和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計了以下三個問題，請你解決.

7

⑴如圖1,點3與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為（米，點C到點5的水平距離為3

米，則水滑道/CB所在拋物線的解析式為；

（2）如圖1,騰空點3與對面水池邊緣的水平距離=12米，人騰空后的落點。與水池邊緣的安全距離。E

不少于3米.若某人騰空后的路徑形成的拋物線8。恰好與拋物線關(guān)于點3成中心對稱.

①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的解析式；

②此人騰空飛出后的落點。是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；

（3）為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固.如圖2,水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距

地面4米的點M處豎直支撐的鋼架血W,另一條是點M與點2之間連接支撐的鋼架9.現(xiàn)在需要在水

滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與攻平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定

在鋼架上，另一端固定在地面上.請你計算出這條鋼架的長度（結(jié)果保留根號）.

177

【答案】（l）〉=d（x+3）-+d

OO

第1頁共117頁

(2)①此人騰空后的最大高度是當(dāng)米，解析式為＞=-：(》-3)2+;；②此人騰空飛出后的落點。在安全范

OOO

圍內(nèi)，理由見解析

(3)這條鋼架的長度為2屈米

【分析】(1)根據(jù)題意得到水滑道NC8所在拋物線的頂點坐標為且過點8(0,2),設(shè)水滑道/C8

所在拋物線的解析式為＞=a(x+3)2+(,將3(0,2)代入，計算求出。的值即可；

O

1°

(2)①根據(jù)題意可設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為y=-：(x+6)一+c,由拋物線的頂點為

O

175

,即可得出結(jié)果；②由①知人騰空后的路徑形成的拋物線AD的解析式為：y=-^(x-3)92+^,令

OO

y=o,求出尤的值，即點。的坐標，即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)題意可得M點的縱坐標為4,令y=!(x+3『+(中＞=4,求出符合實際的x值，得到點M的

88

坐標，求出9所在直線的解析式為y=-Jx+2,設(shè)這條鋼架為GH,與MN交于■點、G,與地面交于

4

根據(jù)這條鋼架與可平行，設(shè)該鋼架所在直線的解析式為了=-1》+”,由該鋼架與水滑道有唯一公共點，

1

y=——x+n

聯(lián)立/4,，根據(jù)方程組有唯一解，求出〃=0,即該鋼架所在直線的解析式為歹=-1：%,點H

7…+24

與點。重合，根據(jù)GN=-1X(-8)=2,NO=8,ZGNO=90°,利用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得到水滑道/CB所在拋物線的頂點坐標為且過點8(0,2),

設(shè)水滑道NCB所在拋物線的解析式為＞=4》+3)2+(,

O

將8(0,2)代入，得：2=a(O+3y+Z,即9a=2,

88

1

ci——,

8

17

；?水滑道4cB所在拋物線的解析式為y=：(x+3)27+(；

(2)解：①???人騰空后的路徑形成的拋物線5。恰好與拋物線4C3關(guān)于點2成中心對稱，

則設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為y=-：(x+6y+c,

O

，人騰空后的路徑形成的拋物線瓦？的頂點坐標與拋物線"8的頂點坐標C，3,￡|關(guān)于點3(0,2)成中心

對稱，

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人騰空后的路徑形成的拋物線3。的頂點坐標為卜,,即6=3,c=胃，

2

???此人騰空后的最大高度是二米，人騰空后的路徑形成的拋物線8。的解析式為：y=-1(x-3)+^;

o88

175

由①知人騰空后的路徑形成的拋物線2。的解析式為：尸-J(X-3)92+9,

OO

令y=0,貝|-』(X-3)2+笠=0,即卜一3)2=25

88

，%=8或%=-2(舍去，不符合題意),

「?點。(8,0),

OD=8,

???OE=n,

:.DE=OE-OD=4>3,

此人騰空飛出后的落點。在安全范圍內(nèi)；

(3)解：根據(jù)題意可得M點的縱坐標為4,

17

令>=W(x+3)7+可=4,即(x+3)9=25,

:.x=2(舍去，不符合題意)或了=-8,

.??"8,4),

設(shè)倒/所在直線的解析式為>

2=6'

將川(-8,4),5(0,2)代入得:

4=—8左+;/'

br=2

解得：<1，

k=——

L4

3M所在直線的解析式為y=-1x+2,

4

如圖，設(shè)這條鋼架為GH,與交于點G,與地面交于〃,

這條鋼架與畫/平行,

設(shè)該鋼架GH所在直線的解析式為y=-；x+〃,

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1

y=—x+n

聯(lián)立,4,7,即-;x+“=((x+3)-+：,

八

心肅1+/3)2+/彳4oO

整理得：x2+8x+16-8?=01

???該鋼架而與水滑道有唯一公共點，

...A=82-4X1X(16-8?)=0,

?=0即該鋼架所在直線的解析式為y=--x,

4

???點〃與點O重合，

...GN=-：x(-8)=2,NO=8,NGNO=90°,

GH=y/GN2+NO2=2V17，

這條鋼架的長度為2M米.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及點的坐標的求法，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一次函

數(shù)與二次函數(shù)交點問題，勾股定理，借助二次函數(shù)解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想.

2.（2024?廣東深圳?中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數(shù)學(xué)興趣小組將兩把含有刻度的直尺垂直

放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為x,y軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數(shù)學(xué)小組選

擇不同位置測量數(shù)據(jù)如下表所示，設(shè)3。的讀數(shù)為x,CO讀數(shù)為了，拋物線的頂點為C.

(1)(I)列表:

①②③④⑤@

X023456

y012.2546.259

（II）描點：請將表格中的（XJ）描在圖2中；

（III）連線：請用平滑的曲線在圖2將上述點連接，并求出丁與1的關(guān)系式;

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（2）如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x-〃y+左的頂點為C,該數(shù)學(xué)興趣小組用水平和豎直

直尺測量其水平跨度為豎直跨度為C。，且N3=〃?，CD=n,為了求出該拋物線的開口大小，該數(shù)

學(xué)興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：

方案一：將二次函數(shù)>左平移，使得頂點C與原點。重合，此時拋物線解析式為y

①此時點B'的坐標為；

②將點8'坐標代入y中，解得a=；（用含加，〃的式子表示）

方案二：設(shè)C點坐標為（〃,左）

①此時點B的坐標為；

②將點8坐標代入>=+左中解得。=________；（用含加，〃的式子表示）

（3）【應(yīng)用】如圖4,已知平面直角坐標系xQy中有/,B兩點,48=4,且/3〃尤軸，二次函數(shù)

G:必=2（x+〃y+左和C?:%=+6都經(jīng)過4,3兩點，且G和C2的頂點尸，0距線段48的距離

之和為10,求a的值.

【答案】（1）圖見解析，y=*；

（2）方案一：①信在小;②彗;方案二：①，+：九左+"］；②"

Jm\2）m

（3）a的值為;或-g.

【分析】（1）描點，連線，再利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)圖形寫出點Q或點3的坐標，再代入求解即可；

（3）先求得/（-4-2,8+后），3（-/+2,8+左），￡的頂點坐標為尸（-〃，k）,再求得￡頂點距線段N8的距

離為|（8+左）-斤|=8,得到C2的頂點距線段的距離為10-8=2,得到的頂點坐標為。（-〃，10+人）或

Q（-h,6+k）,再分類求解即可.

【詳解】（1）解：描點，連線，函數(shù)圖象如圖所示，

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設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

c=0

由題意得4Q+26+C=1,

16〃+46+。=4

解得6=0,

c=0

??y與x的關(guān)系式為y=^-x2；

4

(2)解：方案一：①?；AB=m,CD=n,

2

此時點B'的坐標為］;機,"］;

故答案為：

②由題意得(＜加)a=n,

解得。=整，

m

4〃

故答案為：一2;

m

方案二：①點坐標為僅肉，AB=m,CD=n,

DB=—m,

2

此時點B的坐標為；見左+j；

故答案為：［h+^m,k+n\；

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②由題意得左+〃=加一%）+k,

解得。=整，

m

4〃

故答案為：一2;

m

（3）解：根據(jù)題意G和G的對稱軸為x=-〃，

貝!j/（—%—2,8+左），3（—%+2,8+左），￡的頂點坐標為尸（一九左）,

...G頂點距線段AB的距離為|（8+左）-川=8,

???C2的頂點距線段的距離為10-8=2,

.-.Q的頂點坐標為。（-九10+左）或。（-瓦6+左），

當(dāng)C2的頂點坐標為0（-%,10+左）時，%=a（x+〃）2+10+無，

將/（—〃一2,8+斤）代入得4a+10+A-=8+左,解得a=——；

當(dāng)C的頂點坐標為。（-九6+無）時,y2=a（x+力丫+6+人,

將/（—“一2,8+斤）代入得4。+6+k=S+k,解得。=；；

綜上，a的值為■或-萬.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)

鍵.

3.（2024?四川廣元?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線Ky=-―+/+c經(jīng)過點-3,-1）,

與了軸交于點8（0,2）.

（2）在直線上方拋物線上有一動點C,連接OC交48于點。，求/的最大值及此時點C的坐標;

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⑶作拋物線F關(guān)于直線y=-l上一點的對稱圖象尸，，拋物線產(chǎn)與F'只有一個公共點￡(點￡在7軸右側(cè))，

G為直線上一點，X為拋物線尸對稱軸上一點，若以2,E,G,〃為頂點的四邊形是平行四邊形，求

G點坐標.

【答案】(l)y=-x2-2x+2；

93H

(2)最大值為三，C的坐標為

O257

(3)點G的坐標為(-2,0),(2,4),(4,6).

【分析】(1)本題考查了待定系數(shù)法解拋物線分析式，根據(jù)題意將點48坐標分別代入拋物線解析式，解

方程即可；

(2)根據(jù)題意證明再設(shè)NB的解析式為＞=/尤+〃，求出48的解析式，再設(shè)

C(t,-t2-2t+2),則M?J+2),再表示出器利用最值即可得到本題答案；

(3)根據(jù)題意求出再分情況討論當(dāng)8E為對角線時，當(dāng)BE為邊時繼而得到本題答案.

【詳解】(1)解:/(T-l),3(0,2)代入『-J+bx+c,

一9-36+c=-1b=-2

得:，解得:

c=2c=2

???拋物線的函數(shù)表達式為歹=-%2—2、+2.

???C"〃y軸，

工ACDMsAODB,

.CDCM_CM

??萬一~51一萬，

設(shè)45的解析式為歹=加1+〃，

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把8(0,2)代入解析式得[力=2，

fm=1

解得：。,

\n=2

y=x+2.

設(shè)—2，+2),則Af?/+2),

/.CM=-t2-3t=-(t+^]+-,

I2；4

-3<f<0,-l<0,

3o

.?.當(dāng)仁一；時，CM最大，最大值為CN=：.

24

、

???笠CD的最大值為三9，此時點C的坐標(3為11-.

OD8V24J

(3)解：由中心對稱可知，拋物線尸與尸，的公共點￡為直線了=-1與拋物線廠的右交點,

??一-2尤+2=-1,

X,=-3(舍)，X2=l,

??.￡(1,-1).

：拋物線F：y=-/一+2的頂點坐標為(-1,3),

???拋物線尸的頂點坐標為(3,-5),

拋物線F'的對稱軸為直線尤=3.

如圖2,當(dāng)BE為對角線時，由題知=%-項；=3,

件

1:1/

/耶

用3

??%G二一2,

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，G(-2,0).

如圖3,當(dāng)BE為邊時，由題知-%=4-%=1,

，G（2,4）.

如圖4,由題知%-=%-4=1,

，G（4,6）,

綜上：點G的坐標為（一2,0）,（2,4）,（4,6）.

4.（2024?天津?中考真題）已知拋物線y="+6x+c（a,b,c為常數(shù)，。＞0）的頂點為P,且2a+6=0,

對稱軸與無軸相交于點。，點加（見1）在拋物線上，相＞1,。為坐標原點.

（1）當(dāng)。=1,。=-1時，求該拋物線頂點P的坐標；

（2）當(dāng)（W=OP=卓時，求。的值；

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(3)若N是拋物線上的點，且點N在第四象限，NMDN=90。,點E在線段九W上，點尸在線

段。N上，NE+NF=0DM，當(dāng)?！?板取得最小值為時，求。的值.

【答案】(1)該拋物線頂點P的坐標為(1,-2)

⑵10

(3)1

【分析】(1)先求得服b的值，再配成頂點式，即可求解；

3

(2)過點M(加,1)作軸，在RMM9〃中，利用勾股定理求得%=,，在RtA(9P。中，勾股定理求

得PD=|,得該拋物線頂點P的坐標為再利用待定系數(shù)法求解即可；

(3)過點M(嘰1)作，龍軸，過點N作，x軸，證明/XNDUADMH,求得點N的坐標為(2,1-加)，

在Rt△。兒W中，利用勾股定理結(jié)合題意求得ME=NF,在人。兒火的外部，作/0雨=45。，且NG=DM,

證明△GNF也得到GF=DE,當(dāng)滿足條件的點尸落在線段GAf上時，OE+M/取得最小值，求

得點M的坐標為(3,1),再利用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】(1)解：,「ZQ+buO,。=1,得b=-2a=-2.又。=—1,

???該拋物線的解析式為y=x2-2x-l.

*.*y--x~-2,x-]=(x-])-2,

該拋物線頂點P的坐標為(1,-2)；

(2)解：過點M(%1)作血以軸，垂足為〃，m>\,

貝!]/WHO=90。，HM=1,OH=m.

在RQM9〃中，由HM?+OH?=0M\0M=、—

2

第11頁共117頁

/.1+m

33

角畢得加i=5，m2=--(舍).

點w的坐標為Imj.

2a+b=0,即一一—=1.

拋物線V="2-2QX+C的對稱軸為x=l.

丁對稱軸與X軸相交于點。，則。。=1,NODP=90。.

於

在RSOPZ)中，由。。2+2。2=。02,4=2(_,

……［句.

3

解得尸負值舍去.

2

由。>0,得該拋物線頂點P的坐標為

3

該拋物線的解析式為y=?(x-l)72-j.

?.?點在該拋物線上，有1=

/.(2=10;

(3)解：過點作軸，垂足為Mm>\,

貝！J/Aff/O=90。，HM=l,OH=m.

:.DH^OH-OD=m-\.

二在RtAOAff/中，DM2=DH2+HM2=(m-l)2+1.

過點N作八軸，垂足為K,則NDKM=90。.

忖方7?1?NMDN=90°,DM=DN,又NDNK=90°-ZNDK=ZMDH,

:.ANDK沿△DMH.

第12頁共117頁

：.DK=MH=1,NK=DH=m-1,

點N的坐標為（2,1-m）.

在中，NDMN=NDNM=450,

MN2=DM2+DN2=2DM2,-

根據(jù)題意，NE+NF=42DM，得ME=NF.

在ADW的外部，作NDNG=NDME=45。,且NG=DM,連接G尸，

得ZMNG=NDNM+NDNG=90°.

:.4GNF絲ADME.

：.GF=DE.

:.DE+MF=GF+MF>GM.

當(dāng)滿足條件的點尸落在線段GW上時，DE+板取得最小值，即GW=JI?.

在RtAGACV中，GM2=NG2+MN2=3DM2,

.?.（V15）2=3DM2.得DM?=5.

.-.（m-l）2+l=5.解得叫=3,嗎=_］（舍）.

.??點M的坐標為（3,1）,點N的坐標為（2,-2）.

?.?點”（3,1）,N（2,-2）都在拋物線>-2ax+c上，

1—9a—6Q+c,-2—4。4Q+c.

a=\.

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的頂點式，勾股定理，垂

線段最短，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-2x2+bx+c與x軸相交于,

3兩點（點A在點B左側(cè)），頂點為M（2,d）,連接

第13頁共117頁

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖1,若C是y軸正半軸上一點，連接NC,C/.當(dāng)點C的坐標為（0,；］時，求證：ZACM=ZBAM；

⑶如圖2,連接將沿x軸折疊，折疊后點M落在第四象限的點AT處，過點8的直線與線段/AT

相交于點。，與了軸負半軸相交于點E.當(dāng)空=?!時，3s與2s△v初是否相等？請說明理由.

DE7

【答案】（1）>=-2x?+8x-6

⑵見解析

（3）相等，理由見解析

,、bt>,

【分析】（1）根據(jù)頂點為M（2,d）,利用一五=一訐?=2求出b=8,再將/（1,0）代入解析式即可求出

。=-6,即可得出函數(shù)表達式；

（2）延長MC交x軸于點。，由（1）知拋物線的解析式表達式為了=-2/+8工-6,求出M（2,2）,再利

用待定系數(shù)法求出直線MC的解析式為y=；x+）,進而求出則=利用兩點間距離公

式求出DM=3,CD=3,易證44cos得到a4co=/MZ。，由

36

ZACD+ZACM=ZMAD+ZBAM=180°,即可證明44cM=ZBAM；

（3）過點。作DGLx軸，交x軸于點G,利用拋物線解析式求出8（3,0）,求出03=3,ZB=2,根據(jù)OE〃DG,

易證ABDGsBEO,得至U==，由=—>即=—，求出8G=—,得至l|OG=。，即點。

OBBEOEDE7BE1555

的橫坐標為（，由折疊的性質(zhì)得到“（2,-2）,求出直線/”的解析式為了=-2苫+2,進而求出。

414146

得到DG=-,利用三角形面積公式求出口皿=a?OG=『則S.MB，D=S^ABM.-S^ABD=-AB-\yM\--=-,

即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）解：?.?該拋物線的頂點為M（2,d）,即該拋物線的對稱軸為x=2,

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bb

?x=----=-----；——-=2.

2a2x(-2)

將/(1,0)代入解析式y(tǒng)=-2x2+8x+c,則0=-2+8+c,

c——6,

■.拋物線的解析式表達式為y=-2/+8x-6；

(2)證明：如圖1,延長MC交x軸于點〃，

由（1）知拋物線的解析式表達式為y=-2尤？+8x-6,則加=-2'2?+8'2-6=2,

???點C的坐標為（0,；1,

設(shè)直線的解析式為了=履+。（左/0）,

-=b

則2,

2=2k+b

b=-

解得：2

k=-

[4

,,3131

「?直線的解析式為y=^%+耳，則0=1%+3，

2

-XD=~~，

???4(1,0),

第15頁共117頁

55

AD_3_1CD_6_1

T3

ADCD

?.?/ADM=ZADM，

/^ACD^AMAD,

ZACD=/MAD,

???ZACD+ZACM=ZMAD+ZBAM=1SO°,

/.ZACM=NBAM；

(3)解：過點。作。G，x軸，交x軸于點G,

解得:七=1戶2=3,

根據(jù)題意得：5(3,0),

/.OB=3,AB=2,

???Z)G_Lx軸，。石_Lx軸,

/.OE//DG,

「?ABDGS@EO,

,_B_G___B__D__D__G

'OB~BEOE'

BD8口AD8

——=一,BPn——=—,

DE7BE15

第16頁共117頁

，0G=-

7

???點。的橫坐標為二，

由折疊的性質(zhì)得到“（2,-2）,

設(shè)直線4AT的解析式為歹=+。0）,

.,?直線AMr的解析式為y=—2x+2,

c7c4

y=_2x—F2=—,

D55

7

5，-5

14

=—AB-DG=—

【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合問題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的解析式，折疊

的性質(zhì)，二次函數(shù)與三角形相似的綜合問題，二次函數(shù)與面積綜合問題，正確作出輔助線構(gòu)造三角形相似

是解題的關(guān)鍵.

6.（2024?吉林?中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設(shè)計了一個計算程序，其程序框圖如圖（1）

所示，輸入x的值為-2時，輸出y的值為1；輸入x的值為2時，輸出了的值為3；輸入x的值為3時，

輸出y的值為6.

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開始

（圖I）（圖2）

（1）直接寫出后,a,6的值.

（2）小明在平面直角坐標系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）.

I.當(dāng)了隨x的增大而增大時，求x的取值范圍.

II.若關(guān)于x的方程ax2+6x+37=0。為實數(shù)），在0<x<4時無解，求/的取值范圍.

III.若在函數(shù)圖像上有點P,。（尸與。不重合）.P的橫坐標為加，。的橫坐標為-加+l.小明對尸，Q

之間（含尸，。兩點）的圖像進行研究，當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨機的變化而變化，直接

寫出小的取值范圍.

【答案】⑴斤=1,。=1,6=-2

⑵I：尤W0或x21；II：/<2或此11；III：-l<m<Q^l<m<2

【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程的解，

正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的額關(guān)鍵.

（1）先確定輸入x值的范圍，確定好之后將x,y的值代入所給的y關(guān)于x的函數(shù)解析式種解方程或方程

組即可；

（2）I：可知一次函數(shù)解析式為：7=x+3,二次函數(shù)解析式為：y一2》+3,當(dāng)x>0時，y=x2-2x+3,

對稱為直線x=l,開口向上，故尤21時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)尤W0時，y=x+3,左=1>0,故尤VO

時，y隨著x的增大而增大；

II：問題轉(zhuǎn)化為拋物線>-2x+3與直線>=?在0<x<4時無交點，考慮兩個臨界狀態(tài)，當(dāng)1=2時，拋

物線>=/一2x+3與直線>=/在0<&<4時正好一個交點，因此當(dāng)，<2時，拋物線一2x+3與直線

夕=/在0<x<4時沒有交點；當(dāng)戈=4,y=ll,故當(dāng)，=11時，拋物線>=/一2x+3與直線N=/在0<xV4

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時正好一個交點，因止匕當(dāng)年11時，拋物線>=，一2x+3與直線>=，在0<x<4時沒有交點，當(dāng)f<2或的11

時，拋物線y一2x+3與直線>=/在0<x<4時沒有交點，即方程ax?+6x+3-f=0無解；

III：可求點尸、。關(guān)于直線X=；對稱，當(dāng)x=l,y最小值=2,當(dāng)x=0時，y最大值=3,當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的

最大值與最小值均不隨機的變化而變化，而當(dāng)x=2時，v=3,x=-l時，V=2,故①當(dāng)加>；,由題意得：

f—1—in+1^011―1W冽W0、

，貝IJ1V加V2；②當(dāng)冽<7，由題思得：1,C，則—IV加K0,綜上：TW加K0或

[1<m<22[l<-m+l<2

1<m<2.

【詳解】(1)解：???x=—2<0,

.??將X=—2,y=1代入y=履+3,

得：—2k+3=1,

解得：k=\,

*.*x=2〉0,x=3〉0,

?,?將x=2,y=3,%=3,歹=6代入y=ax2+fcv+3

f4a+26+3=3

得：]2入々久，

[Q9。+36+3=6

解得,][『a=l2；

(2)解：I,Vk=l,a=l,b=-1,

一次函數(shù)解析式為：y=x+3,二次函數(shù)解析式為：y=--2x+3

當(dāng)x>0時，y=x2-2x+3,對稱為直線x=l,開口向上，

時，y隨著x的增大而增大；

當(dāng)xWO時，y=x+3,/c=l>0,

xVO時，y隨著x的增大而增大，

綜上，x的取值范圍：xWO或xZl；

II，?ctx^+bx+3-1—01

ax2+bx+3-t^在0<x<4時無解，

...問題轉(zhuǎn)化為拋物線y=x2-2x+3與直線>=才在0<x<4時無交點，

,對于y=X?-2x+3,當(dāng)x=1時，y=2

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頂點為(1,2),如圖:

...當(dāng)f=2時，拋物線y=x2-2x+3與直線y在0。<4時正好一個交點，

當(dāng)/<2時，拋物線y=--2x+3與直線>=，在0<x<4時沒有交點；

當(dāng)x=4,y=16—8+3=11,

工當(dāng)，=11時，拋物線歹二%2一2%+3與直線>=，在0<%?4時正好一個交點，

.,.當(dāng)Z211時，拋物線y=f-2x+3與直線>=/在0<x<4時沒有交點，

...當(dāng)f<2或/Nil時，拋物線y=f-2x+3與直線y在0<x<4時沒有交點，

即：當(dāng)/<2或的11時，關(guān)于x的方程ax2+bx+3-/=0G為實數(shù))，在0<x<4時無解；

III：Vxp=m,xQ=-m+l,

.m+(-771+1)1

??—,

22

???點P、。關(guān)于直線X=；對稱，

當(dāng)x=l,y最小值=1-2+3=2,當(dāng)x=0時，V最大值=3，

??,當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨加的變化而變化，而當(dāng)工=2時，y=3,尸―1時，丁=2,

①當(dāng)加>:,如圖:

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-1<—m+1<0

由題意得:

1<m<2

1<m<2；

-1<m<0

由題意得:

1<-m+1<2

-1<m<0,

綜上：-l<m<0^1<m<2.

7.（2024?四川達州?中考真題）如圖1,拋物線y=辰-3與x軸交于點題-3,0）和點3（1,0）,與丁軸交

于點C.點。是拋物線的頂點.

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圖I圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接/C,DC,直線/C交拋物線的對稱軸于點若點尸是直線ZC上方拋物線上一點，

且以PMC=2S3C，求點P的坐標；

(3)若點N是拋物線對稱軸上位于點。上方的一動點，是否存在以點N,A,C為頂點的三角形是等腰三

角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴尸/+2x-3

(2)尸(1,0)或尸(-4,5)；

(3)4一1,足)或卜1,一后)或(-1,-1)或(-1,炳—3)

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式，即可求解；

(2)先求得的坐標，根據(jù)勾股定理的逆定理得出△MCD是等腰三角形，進而根據(jù)4加c=2%3配得

出/詠=2，連接"3，設(shè)交x軸于點E，則旌=匹=2得出是等腰直角三角形，進而得出

屋BMC=2,則點P與點3重合時符合題意，P(l,0),過點3作研〃/C交拋物線于點P,得出直線3P的

解析式為了=-》+1，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；

(3)勾股定理求得/C2,NN2,CN2,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解.

【詳解】(1)解：：拋物線y=#+履-3與無軸交于點/(-3,0)和點8(1,0),

.19。-3左-3=0

??+左-3=0

[a=\

解得：,C

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拋物線的解析式為y=/+2x_3；

(2)由y=X2+2%-3,當(dāng)x=0時，歹=一3,則。(0,—3)

丁y=12+2x—3=(X+1)2一4,則Z)(_l,_4),對稱軸為直線x=—l

設(shè)直線/C的解析式為＞=3+4,代入/(—3,0),C(0,-3)

解得

/.直線NC的解析式為V=-x-3,

當(dāng)尤=-1時，V=-2,則M（-l,-2）

，MC="+（一2+3）2=后,=一2一（一4）=2,CD="+（-3+4/=41

MD~=MC1+CD1

???△”CD是等腰三角形，

1,

,"S4PMe=2sA",?=2x5xC.D~=2

連接MB,設(shè)A/D交x軸于點￡,則凡￡=匹=2

，是等腰直角三角形，

NBME=45°,BM=272,

又NDMC=45°

二BM±AC

：

.S△DIV!L=2-XA/CXW=2-XV2X2A/2=2

???點P與點B重合時符合題意，尸（1,0）

如圖所示，過點B作〃/C交拋物線于點P,

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設(shè)直線8尸的解析式為>=-尤+小，將3(1,0)代入得,

0=-1+m

解得：m-\

：.直線BP的解析式為歹=-x+1

y=-x+l

聯(lián)立

y=/+2x-3

.,.尸(-4,5)

綜上所述，尸(1,0)或尸(-4,5)；

(3)解：???4(-3,0),C(0,-3),

y4C2=32+32=18

???點N是拋物線對稱軸上位于點D上方的一動點，設(shè)N(T,〃)其中?>-4

/.AN2=(-3+1)2+n2=4+n2,C2V2=I2+(H+3)2=?2+6M+10

①當(dāng)/N=/C時，4+/=18,解得：〃=舊或〃=一內(nèi)

②當(dāng)N4=NC時，4+n2=n2+6H+10,解得：n

③當(dāng)G4=C7V時，18=〃2+6〃+10，解得：〃=VT^-3或”=-VF7-3(舍去)

綜上所述，N(T，Z)或(-1,-舊)或或(-1,如-3).

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，特殊三角形問題，熟練掌握二

次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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8.(2024?四川瀘州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線>="2+法+3經(jīng)過點4(3,0),

與y軸交于點3,且關(guān)于直線無=1對稱.

(1)求該拋物線的解析式；

⑵當(dāng)-iVxVf時，y的取值范圍是0Wy42"l,求，的值；

(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點。，在y軸上是否存在

點、E,使得以3,C,D,￡為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由.

【答案】(l)y-2+2x+3

5

⑵吃

⑶存在點以3,C,D,E為頂點的四邊形是菱形，邊長為3近-2或2

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論

的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵.

(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)分和"1,兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進行求解即可.

(3)分AD為菱形的邊和菱形的對角線兩種情況進行討論求解即可.

【詳解】(1)解：：拋物線>=辦2+樂+3經(jīng)過點N(3,0),與y軸交于點瓦且關(guān)于直線x=l對稱，

———=1[a=—1

A2a,解得：J,

9。+36+3=0〔二

??y=—%2+2x+3；

(2),??拋物線的開口向下，對稱軸為直線x=l,

拋物線上點到對稱軸上的距離越遠，函數(shù)值越小，

?.'—14x4/時,OMyd,

①當(dāng)/VI時，貝!]：當(dāng)尤=1時，函數(shù)有最大值，即：2t-l=-t2+2t+3,

解得：1=-2或y2,均不符合題意，舍去；

②當(dāng)，>1時，貝!I：當(dāng)x=l時，函數(shù)有最大值，即：2l-l=-F+2+3=4,

第25頁共117頁

解得：［=5；

故，=：；

2

(3)存在；

當(dāng)y=-x?+2x+3=0時，解得：Xj=3,x2=-l,當(dāng)x=0時，y=3,

4(3,0),5(0,3),

設(shè)直線的解析式為了=履+3,把4(3,0)代入，得：k=-l,

?*.y——x+3,

設(shè)C("一+2加+3)(0<加<3),貝Z)(m,-m+3),

CD=—m2+2m+3+m—3=-nr+3m>BD=個W+(-m+3-3)-=6m，BC2=m2+^-m2+2m^,

當(dāng)B,C,D,￡為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況：

①當(dāng)功□為邊時，貝!1：BD=CD,即一療+3加=正加，

解得：m=0(舍去)或m=3-近,

此時菱形的邊長為血〃2=3后-2;

②當(dāng)BD為對角線時,則;BC=CD,即:機2+(-/+2機)=(-m2+3m),

解得：%=2或m=0(舍去)

此時菱形的邊長為：-2?+3x2=2;

綜上：存在以2,C,D,E為頂點的四邊形是菱形，邊長為3&-2或2.

9.(2024?四川南充?中考真題)已知拋物線y=f2+6x+c與x軸交于點/(TO),3(3,0).

(1)求拋物線的解析式;

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(2)如圖1,拋物線與V軸交于點C,點尸為線段OC上一點(不與端點重合)，直線尸P3分別交拋物線

s

于點E,D,設(shè)面積為W，△尸3E面積為邑，求奇的值；

*

⑶如圖2,點K是拋物線對稱軸與x軸的交點，過點K的直線(不與對稱軸重合)與拋物線交于點M,N,

過拋物線頂點G作直線/〃x軸，點。是直線/上一動點.求。M+