2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之函數(shù)應(yīng)用（2024年7月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之函數(shù)應(yīng)用（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零點，則a＝（）A．-12 B．13 C．122．函數(shù)f（x）＝|x﹣2|﹣lnx在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知函數(shù)f（x）=ex，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）4．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函數(shù)y=x+1x與y＝f（x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則i=1m（A．0 B．m C．2m D．4m5．已知函數(shù)f（x）=2-|x|，x≤2(x-2)2，x＞2，函數(shù)g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈A．（74，+∞） B．（﹣∞，74） C．（0，74） D．（76．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x+1）＝2f（x），且當x∈（0，1]時，f（x）＝x（x﹣1）．若對任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥-89，則A．（﹣∞，94] B．（﹣∞，73] C．（﹣∞，52] D7．已知f（x）=12x+1，x≤0-(A．[﹣4，2） B．[﹣4，2] C．（0，2] D．（﹣4，2]8．設(shè)函數(shù)f（x）=2-x，x≤01，x＞0，則滿足fA．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）9．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x）＝f（2﹣x），若函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|與y＝f（x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則i=1mA．0 B．m C．2m D．4m10．已知函數(shù)f（x）=2-|x|，x≤2(x-2)2，x＞2，函數(shù)g（x）＝3﹣A．2 B．3 C．4 D．5二．填空題（共5小題）11．已知函數(shù)f（x）=|x|，x≤mx2-2mx+4m，x＞m，其中m＞12．已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣2|﹣b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是．13．函數(shù)f（x）＝cos（3x+π6）在[0，π]的零點個數(shù)為14．設(shè)函數(shù)f（x）=2①若a＝1，則f（x）的最小值為；②若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．15．已知函數(shù)f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，則a＝．三．解答題（共5小題）16．某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)．（Ⅰ）若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式；（Ⅱ）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？17．已知函數(shù)f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）當a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）在區(qū)間（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一個零點，求a的取值范圍．18．已知a≥3，函數(shù)F（x）＝min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=p（Ⅰ）求使得等式F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍；（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）．19．已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）＝2ax2+2x﹣3﹣a，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上有零點，求a的取值范圍．20．設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）畫出y＝f（x）的圖象；（2）當x∈[0，+∞）時，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之函數(shù)應(yīng)用（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零點，則a＝（）A．-12 B．13 C．12【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】C【分析】方法一：通過轉(zhuǎn)化可知問題等價于函數(shù)y＝1﹣（x﹣1）2的圖象與y＝a（ex﹣1+1ex-1）的圖象只有一個交點求a的值．分a＝0、a＜0、方法二：由已知令t＝x﹣1，則f（t）＝t2+a（et+e﹣t）﹣1為偶函數(shù)，圖象關(guān)于t＝0對稱，結(jié)合已知函數(shù)有唯一零點及偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱可求．【解答】解：因為f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+1ex所以函數(shù)f（x）有唯一零點等價于方程1﹣（x﹣1）2＝a（ex﹣1+1等價于函數(shù)y＝1﹣（x﹣1）2的圖象與y＝a（ex﹣1+1ex①當a＝0時，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此時有兩個零點，矛盾；②當a＜0時，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，且y＝a（ex﹣1+1ex-1）在（﹣∞，1所以函數(shù)y＝1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y＝a（ex﹣1+1ex-1）的圖象的最高點為B（由于2a＜0＜1，此時函數(shù)y＝1﹣（x﹣1）2的圖象與y＝a（ex﹣1+1ex-1）的圖象有0③當a＞0時，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，且y＝a（ex﹣1+1ex-1）在（﹣∞，1所以函數(shù)y＝1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y＝a（ex﹣1+1ex-1）的圖象的最低點為B（由題可知點A與點B重合時滿足條件，即2a＝1，即a=1綜上所述，a=1方法二：f（x）＝x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）＝（x﹣1）2+a（ex﹣1+e﹣x+1）﹣1，令t＝x﹣1，則y＝t2+a（et+e﹣t）﹣1為偶函數(shù)，圖象關(guān)于t＝0對稱，若y＝0有唯一零點，則根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知當t＝0時，y＝﹣1+2a＝0，所以a=1故選：C．【點評】本題考查函數(shù)零點的判定定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．2．函數(shù)f（x）＝|x﹣2|﹣lnx在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】C【分析】先求出函數(shù)的定義域，再把函數(shù)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的方程，在坐標系中畫出兩個函數(shù)y1＝|x﹣2|，y2＝lnx（x＞0）的圖象求出方程的根的個數(shù)，即為函數(shù)零點的個數(shù)．【解答】解：由題意，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）；由函數(shù)零點的定義，f（x）在（0，+∞）內(nèi)的零點即是方程|x﹣2|﹣lnx＝0的根．令y1＝|x﹣2|，y2＝lnx（x＞0），在一個坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象：由圖得，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，故方程有兩個根，即對應(yīng)函數(shù)有兩個零點．故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)零點、對應(yīng)方程的根和函數(shù)圖象之間的關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化和作圖求出函數(shù)零點的個數(shù)．3．已知函數(shù)f（x）=ex，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】C【分析】由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，分別作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象交點個數(shù)與函數(shù)零點之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函數(shù)f（x）和y＝﹣x﹣a的圖象如圖：當直線y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1時，兩個函數(shù)的圖象都有2個交點，即函數(shù)g（x）存在2個零點，故實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，+∞），故選：C．【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)與零點之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題是解決本題的關(guān)鍵．4．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函數(shù)y=x+1x與y＝f（x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則i=1m（A．0 B．m C．2m D．4m【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】B【分析】由條件可得f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（x）關(guān)于點（0，1）對稱，又函數(shù)y=x+1x，即y＝1+1x的圖象關(guān)于點（0，1）對稱，即有（x1，y1）為交點，即有（﹣x1，【解答】解：函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）＝2﹣f（x），即為f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）關(guān)于點（0，1）對稱，函數(shù)y=x+1x，即y＝1+1x的圖象即有（x1，y1）為交點，即有（﹣x1，2﹣y1）也為交點，（x2，y2）為交點，即有（﹣x2，2﹣y2）也為交點，…則有i=1m（xi+yi）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+=12[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym＝m．故選：B．【點評】本題考查抽象函數(shù)的運用：求和，考查函數(shù)的對稱性的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．5．已知函數(shù)f（x）=2-|x|，x≤2(x-2)2，x＞2，函數(shù)g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈A．（74，+∞） B．（﹣∞，74） C．（0，74） D．（7【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】D【分析】求出函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）的表達式，構(gòu)造函數(shù)h（x）＝f（x）+f（2﹣x），作出函數(shù)h（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【解答】解：∵g（x）＝b﹣f（2﹣x），∴y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）＝0，得f（x）+f（2﹣x）＝b，設(shè)h（x）＝f（x）+f（2﹣x），若x≤0，則﹣x≥0，2﹣x≥2，則h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2+x+x2，若0≤x≤2，則﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，則h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2﹣x+2﹣|2﹣x|＝2﹣x+2﹣2+x＝2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，則h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|＝x2﹣5x+8．即h（x）=x作出函數(shù)h（x）的圖象如圖：當x≤0時，h（x）＝2+x+x2＝（x+12）2當x＞2時，h（x）＝x2﹣5x+8＝（x-52）2故當b=74時，h（x）＝當b＝2時，h（x）＝b，有無數(shù)個交點，由圖象知要使函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）恰有4個零點，即h（x）＝b恰有4個根，則滿足74＜b＜故選：D．【點評】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．6．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x+1）＝2f（x），且當x∈（0，1]時，f（x）＝x（x﹣1）．若對任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥-89，則A．（﹣∞，94] B．（﹣∞，73] C．（﹣∞，52] D【考點】函數(shù)與方程的綜合運用．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】B【分析】因為f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），分段求解析式，結(jié)合圖象可得．【解答】解：因為f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]時，f（x）＝x（x﹣1）∈[-14，∴x∈（1，2]時，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[-12，∴x∈（2，3]時，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，當x∈（2，3]時，由4（x﹣2）（x﹣3）=-89解得x=7若對任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥-89，則m故選：B．【點評】本題考查了函數(shù)與方程的綜合運用，屬中檔題．7．已知f（x）=12x+1，x≤0-(A．[﹣4，2） B．[﹣4，2] C．（0，2] D．（﹣4，2]【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計算題．【答案】B【分析】此是一分段函數(shù)型不等式，解此類不等式應(yīng)在不同的區(qū)間上分類求解，最后再求它們的并集．【解答】解：∵f（x）≥﹣1，∴x≤0∴﹣4≤x≤0或0＜x≤2，即﹣4≤x≤2．應(yīng)選B．【點評】本題考點是分段函數(shù)，是考查解分段函數(shù)型的不等式，此類題的求解應(yīng)根據(jù)函數(shù)的特點分段求解，最后再求各段上符合條件的集合的并集．8．設(shè)函數(shù)f（x）=2-x，x≤01，x＞0，則滿足fA．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0）【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】D【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=2-x滿足f（x+1）＜f（2x），可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，解得x∈（﹣∞，0）．故選：D．【點評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，考查計算能力．9．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x）＝f（2﹣x），若函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|與y＝f（x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則i=1mA．0 B．m C．2m D．4m【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】B【分析】根據(jù)已知中函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x）＝f（2﹣x），分析函數(shù)的對稱性，可得函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|與y＝f（x）圖象的交點關(guān)于直線x＝1對稱，進而得到答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x）＝f（2﹣x），故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象也關(guān)于直線x＝1對稱，故函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|與y＝f（x）圖象的交點也關(guān)于直線x＝1對稱，不妨設(shè)x1＜x2＜…＜xm，則點（x1，y1）與點（xm，ym），點（x2，y2）與點（xm﹣1，ym﹣1），…都關(guān)于直線x＝1對稱，所以x1+xm＝x2+xm﹣1＝…＝xm+x1＝2，由倒序相加法可得i=1mxi=12故選：B．【點評】本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的對稱性質(zhì)，難度中檔．10．已知函數(shù)f（x）=2-|x|，x≤2(x-2)2，x＞2，函數(shù)g（x）＝3﹣A．2 B．3 C．4 D．5【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】A【分析】求出函數(shù)g（x）的表達式，利用y＝f（x）﹣g（x）＝0得到f（x）＝g（x），作出兩個函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【解答】解：∵g（x）＝3﹣f（2﹣x），∴若2﹣x≤2，則x≥0時，g（x）＝3﹣f（2﹣x）＝3﹣（2﹣|2﹣x|）＝1+|x﹣2|，若2﹣x＞2，則x＜0時，g（x）＝3﹣f（2﹣x）＝3﹣（2﹣x﹣2）2＝﹣x2+3，即g（x）=|由y＝f（x）﹣g（x）＝0得到f（x）＝g（x），作出兩個函數(shù)f（x）和g（x）的圖象如圖：由圖象知兩個函數(shù)有兩個不同的交點，故函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）的零點個數(shù)為2個，故選：A．【點評】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．已知函數(shù)f（x）=|x|，x≤mx2-2mx+4m，x＞m，其中m＞0，若存在實數(shù)【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】法1：作出函數(shù)f（x）=|x|，x≤mx2-2mx+4m，法2：函數(shù)y＝x2﹣2mx+4m（x＞m）是在（m，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，依題意，可得（|x|）|x＝m＞（x2﹣2mx+4m）|x＝m，解得m＞3，可得答案．【解答】解法1：當m＞0時，函數(shù)f（x）=|x|∵x＞m時，f（x）＝x2﹣2mx+4m＝（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得關(guān)于x的方程f（x）＝b有三個不同的根，必須4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范圍是（3，+∞），法2：注意到函數(shù)y＝x2﹣2mx+4m（x＞m）是在（m，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，如上圖，因此，若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）＝b有三個不同的根，那么必然有（|x|）|x＝m＞（x2﹣2mx+4m）|x＝m，解得m＞3，因此m的取值范圍是（3，+∞）；實際上，m＞0是多余的條件，因為當m≤0時，組成f（x）的兩段函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，因此關(guān)于關(guān)于x的方程f（x）＝b最多只有2個解，不符合題意．故答案為：（3，+∞）．【點評】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運用是關(guān)鍵，分析得到4m﹣m2＜m是難點，屬于中檔題．12．已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣2|﹣b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是0＜b＜2．【考點】函數(shù)的零點．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由函數(shù)f（x）＝|2x﹣2|﹣b有兩個零點，可得|2x﹣2|＝b有兩個零點，從而可得函數(shù)y＝|2x﹣2|函數(shù)y＝b的圖象有兩個交點，結(jié)合函數(shù)的圖象可求b的范圍【解答】解：由函數(shù)f（x）＝|2x﹣2|﹣b有兩個零點，可得|2x﹣2|＝b有兩個零點，從而可得函數(shù)y＝|2x﹣2|函數(shù)y＝b的圖象有兩個交點，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，0＜b＜2時符合條件，故答案為：0＜b＜2【點評】本題主要考查函數(shù)的零點以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．13．函數(shù)f（x）＝cos（3x+π6）在[0，π]的零點個數(shù)為3【考點】函數(shù)的零點．【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由題意可得f（x）＝cos（3x+π6）＝0，可得3x+π6=π2+kπ，k【解答】解：∵f（x）＝cos（3x+π6）＝∴3x+π6=π2+k∴x=π9+13kπ當k＝0時，x=π當k＝1時，x=49當k＝2時，x=79當k＝3時，x=109∵x∈[0，π]，∴x=π9，或x=49π，或故零點的個數(shù)為3，故答案為：3【點評】本題考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)零點的問題，屬于基礎(chǔ)題．14．設(shè)函數(shù)f（x）=2①若a＝1，則f（x）的最小值為﹣1；②若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是[12，1)∪[2【考點】函數(shù)的零點；分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】①分別求出分段的函數(shù)的最小值，即可得到函數(shù)的最小值；②分別設(shè)h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍．【解答】解：①當a＝1時，f（x）=2當x＜1時，f（x）＝2x﹣1為增函數(shù)，f（x）＞﹣1，當x＞1時，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x-32）2﹣當1＜x＜32時，函數(shù)單調(diào)遞減，當x故當x=32時，f（x）min＝f（32綜上所述函數(shù)f（x）的最小值為﹣1．②設(shè)h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1時，h（x）與x軸有一個交點，所以a＞0，并且當x＝1時，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函數(shù)g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一個交點，所以2a≥1，且a＜1，所以12≤a＜若函數(shù)h（x）＝2x﹣a在x＜1時，與x軸沒有交點，則函數(shù)g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有兩個交點，當a≤0時，h（x）與x軸無交點，g（x）無交點，所以不滿足題意（舍去），當h（1）＝2﹣a≤0時，即a≥2時，g（x）的兩個交點滿足x1＝a，x2＝2a，都是滿足題意的，綜上所述a的取值范圍是[12，1)∪【點評】本題考查了分段函數(shù)的問題，以及函數(shù)的零點問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力以及分類能力，屬于中檔題．15．已知函數(shù)f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，則a＝﹣7．【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；函數(shù)的值．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，可得：log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7．故答案為：﹣7．【點評】本題考查函數(shù)的解析式的應(yīng)用，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，是基本知識的考查．三．解答題（共5小題）16．某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），n表示購機的同時購買的易損零件數(shù)．（Ⅰ）若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式；（Ⅱ）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用；頻率分布直方圖．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；概率與統(tǒng)計．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）若n＝19，結(jié)合題意，可得y與x的分段函數(shù)解析式；（Ⅱ）由柱狀圖分別求出各組的頻率，結(jié)合“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分別求出每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件時的平均費用，比較后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）當n＝19時，y=（Ⅱ）由柱狀圖知，更換的易損零件數(shù)為16個頻率為0.06，更換的易損零件數(shù)為17個頻率為0.16，更換的易損零件數(shù)為18個頻率為0.24，更換的易損零件數(shù)為19個頻率為0.24又∵更換易損零件不大于n的頻率為不小于0.5．則n≥19∴n的最小值為19件；（Ⅲ）假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，所須費用平均數(shù)為：1100（70×19×200+4300×20+4800×10）＝4000假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買20個易損零件，所須費用平均數(shù)為1100（90×4000+10×4500）＝4050∵4000＜4050∴購買1臺機器的同時應(yīng)購買19臺易損零件．【點評】本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，頻率分布條形圖，方案選擇，難度中檔．17．已知函數(shù)f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）當a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）在區(qū)間（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一個零點，求a的取值范圍．【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】分類討論；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）y＝2x；（2）（﹣∞，﹣1）．【分析】（1）將a＝1代入，對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，求出f′（0）及f（0），由點斜式得答案；（2）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，分a≥0及a＜0討論，當a≥0時容易判斷不合題意，當a＜0時，設(shè)g（x）＝ex+a（1﹣x2），利用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）的性質(zhì)，進而判斷得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性并結(jié)合零點存在性定理即可得解．【解答】解：（1）當a＝1時，f（x）＝ln（1+x）+xe﹣x，則f'∴f′（0）＝1+1＝2，又f（0）＝0，∴所求切線方程為y＝2x；（2）f'若a≥0，當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，則f（x）＜f（0）＝0，不合題意；設(shè)g（x）＝ex+a（1﹣x2），g′（x）＝ex﹣2ax，當﹣1≤a＜0時，在（0，+∞）上，g（x）＞e0+a≥0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，無零點，不合題意；當a＜﹣1時，當x＞0時，g′（x）＞0，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（0）＝1+a＜0，g（1）＝e＞0，所以存在唯一的x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，且f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x0）＜f（0）＝0，先證當x＞0時，x2設(shè)h(x)=易知當0＜x＜2時，h′（x）＜0，h（x）單減，當x＞2時，h′（x）＞0，h（x）單增，所以h(x)≥h(2)=22所以x＞再證lnx≥設(shè)m(x)=易知當0＜x＜1時，m′（x）＜0，m（x）單減，當x＞1時，m′（x）＞0，m（x）單增，所以m（x）≥m（1）＝0，即lnx≥則由a＜﹣1，可得axe則當x＞1+a2時，f(x此時f（x）在（0，+∞）上恰有一個零點，當﹣1＜x＜0時，g′（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，g'故存在唯一的x1∈（﹣1，0），使得g′（x1）＝0，且g（x）在（﹣1，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，0）上單調(diào)遞增，g(故存在唯一的x2∈（﹣1，x1），使得g（x2）＝0，所以f（x）在（﹣1，x2）上單調(diào)遞增，在（x2，0）上單調(diào)遞減，x→﹣1時，f（x）→﹣∞，f（0）＝0，此時f（x）在（﹣1，0）上恰有一個零點，綜上，實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點問題，考查分類討論思想及運算求解能力，屬于難題．18．已知a≥3，函數(shù)F（x）＝min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=p（Ⅰ）求使得等式F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍；（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）．【考點】函數(shù)最值的應(yīng)用；函數(shù)的最值．【專題】新定義；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）由a≥3，討論x≤1時，x＞1，去掉絕對值，化簡x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判斷符號，即可得到F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍；（Ⅱ）（i）設(shè)f（x）＝2|x﹣1|，g（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定義，可得F（x）的最小值；（ii）分別對當0≤x≤2時，當2＜x≤6時，討論F（x）的最大值，即可得到F（x）在[0，6]上的最大值M（a）．【解答】解：（Ⅰ）由F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2可知，x2﹣2ax+4a﹣2≤2|x﹣1|，由a≥3，故x≤1時，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|＝x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；當x＞1時，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|＝x2﹣（2+2a）x+4a＝（x﹣2）（x﹣2a），則等式F（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范圍是[2，2a]；（Ⅱ）（i）設(shè)f（x）＝2|x﹣1|，g（x）＝x2﹣2ax+4a﹣2，則f（x）min＝f（1）＝0，g（x）min＝g（a）＝﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2＝0，解得a1＝2+2，a2＝2-2（小于由F（x）的定義可得m（a）＝min{f（1），g（a）}，即m（a）=0（ii）當0≤x≤2時，F(xiàn)（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}＝2＝F（2）；當2＜x≤6時，F(xiàn)（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}＝max{2，34﹣8a}＝max{F（2），F(xiàn)（6）}．則M（a）=34-8【點評】本題考查新定義的理解和運用，考查分類討論的思想方法，以及二次函數(shù)的最值的求法，不等式的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．19．已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）＝2ax2+2x﹣3﹣a，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上有零點，求a的取值范圍．【考點】函數(shù)零點的判定定理．【專題】計算題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】y＝f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上有零點轉(zhuǎn)化為（2x2﹣1）a＝3﹣2x在[﹣1，1]上有解，把a用x表示出來，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=2x2-13-2x在[﹣1，1]上的值域，再用分離常數(shù)法求函數(shù)【解答】解：a＝0時，不符合題意，所以a≠0，又∴f（x）＝2ax2+2x﹣3﹣a＝0在[﹣1，1]上有解，?（2x2﹣1）a＝3﹣2x在[﹣1，1]上有解?在[﹣1，1]上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=2x2-1設(shè)t＝3﹣2x，x∈[﹣1，1]，則2x＝3﹣t，t∈[1，5]，y=設(shè)g(t)=t+7t．g'(t)=t2t∈(7，5]時，g'（t）＞0∴y的取值范圍是[7∴f（x）＝2ax2+2x﹣3﹣a＝0在[﹣1，1]上有解?1a∈[7-3，1]?故a≥1或a≤-3+【點評】本題是一道中檔題，主要考查函數(shù)的零點及函數(shù)的零點存在性定理，函數(shù)的零點的研究就可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的問題，函數(shù)與方程的思想得到了很好的體現(xiàn)．20．設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）畫出y＝f（x）的圖象；（2）當x∈[0，+∞）時，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用分段函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式進行作圖即可．（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為圖象關(guān)系進行求解即可．【解答】解：（1）當x≤-12時，f（x）＝﹣（2x+1）﹣（x﹣1）＝﹣3當-12＜x＜1，f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝當x≥1時，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，則f（x）=-3x畫出y＝f（x）的圖象；（2）當x∈[0，+∞）時，f（x）≤ax+b，當x＝0時，f（0）＝2≤0?a+b，∴b≥2，當x＞0時，要使f（x）≤ax+b恒成立，則函數(shù)f（x）的圖象都在直線y＝ax+b的下方或在直線上，∵f（x）的圖象與y軸的交點的縱坐標為2，且各部分直線的斜率的最大值為3，故當且僅當a≥3且b≥2時，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值為5．【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用不等式和函數(shù)之間的關(guān)系利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．

考點卡片1．分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法【知識點的認識】分段函數(shù)是定義在不同區(qū)間上解析式也不相同的函數(shù)．若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應(yīng)法則不同，可用幾個式子來表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù)．已知一個分段函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求此函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式，這是分段函數(shù)中最常見的問題．【解題方法點撥】求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有1、待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，用待定系數(shù)法；2、換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的表達式可用換元法，當表達式較簡單時也可用配湊法；3、消參法，若已知抽象的函數(shù)表達式，則用解方程組消參的方法求解f（x）；另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問題．【命題方向】分段函數(shù)是今后高考的熱點題型．?？碱}型為函數(shù)值的求解，不等式有關(guān)問題，函數(shù)的圖形相聯(lián)系的簡單問題．2．函數(shù)的最值【知識點的認識】函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點或最低點的縱坐標，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進行比較可得．【解題方法點撥】①基本不等式法：如當x＞0時，求2x+8x的最小值，有2x+8x②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出極值，再結(jié)合端點的值最后進行比較．【命題方向】本知識點是常考點，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．本知識點未來將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導(dǎo)法等．3．函數(shù)的值函數(shù)的值4．函數(shù)的零點【知識點的認識】一般地，對于函數(shù)y＝f（x）（x∈R），我們把方程f（x）＝0的實數(shù)根x叫作函數(shù)y＝f（x）（x∈D）的零點．即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為0的自變量的值．函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)．【解題方法點撥】解法﹣﹣二分法①確定區(qū)間[a，b]，驗證f（a）*f（b）＜0，給定精確度；②求區(qū)間（a，b）的中點x1；③計算f（x1）；④若f（x1）＝0，則x1就是函數(shù)的零點；⑤若f（a）f（x1）＜0，則令b＝x1（此時零點x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，則令a＝x1．（此時零點x0∈（x1，b）⑦判斷是否滿足條件，否則重復(fù)（2）～（4）【命題方向】零點其實并沒有多高深，簡單的說，就是某個函數(shù)的零點其實就是這個函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，另外如果在（a，b）連續(xù)的函數(shù)滿足f（a）?f（b）＜0，則（a，b）至少有一個零點．這個考點屬于了解性的，知道它的概念就行了．5．函數(shù)零點的判定定理【知識點的認識】1、函數(shù)零點存在性定理：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點，但零點不一定唯一．（2）并不是所有的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個零點．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點．【解題方法點撥】函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：（1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．特別提醒：①“方程的根”與“函數(shù)的零點”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個零點；②函數(shù)的零點是實數(shù)而不是數(shù)軸上的點．（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實數(shù)根．6．函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系【知識點的認識】函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的．【解題方法點撥】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法（配方法）．例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可．【命題方向】直接考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．7．函數(shù)與方程的綜合運用函數(shù)與方程的綜合運用8．函數(shù)最值的應(yīng)用【知識點的認識】函數(shù)的最值顧名思義就是指函數(shù)在某段區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值．在日常生活中我們常常會遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的問題，這里面就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．另外，最值可分為最大值和最小值．【解題方法點撥】這種題的關(guān)鍵是把現(xiàn)實的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的問題，具體的說是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，這里面需要同學(xué)們要具有轉(zhuǎn)化思維，具有一定的建模能力，在很多高考題中也常常以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．這里我們以具體的例題來講解．例：城關(guān)中學(xué)要建造一個長方形游泳池，其容積為4800立方米，深為3米，如果建造池底的單價是建造池壁單價的1.5倍，怎樣設(shè)計水池才能使總造價最低？設(shè)池壁造價為每平方米m元，則最低造價為多少？解：設(shè)水池底面的長為x米，寬為4800÷3x米，總造價為y，則=2400m+6（x+1600x）m求導(dǎo)可得y令y'=6m(1-1600x