上海市寶山區(qū)淞浦中學2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

上海市寶山區(qū)淞浦中學2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將圖象向右平移個單位，那么所得圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．2．為得到y(tǒng)=sin(2x-πA．向左平移π3個單位B．向左平移πC．向右平移π3個單位D．向右平移π3．若函數(shù)的圖象過點，則它的一條對稱軸方程可能是（）A． B． C． D．4．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．25．若是定義域為的奇函數(shù)，且，則A．的值域為 B．為周期函數(shù)，且6為其一個周期C．的圖像關于對稱 D．函數(shù)的零點有無窮多個6．設全集，集合，則＝()A． B． C． D．7．空氣質量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù)，指數(shù)值趨小，表明空氣質量越好，下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢，下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上（指數(shù)）的天數(shù)占C．該市10月的前半個月的空氣質量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好8．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當時，，函數(shù)（），則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點的橫坐標之和為（）A．2 B．4 C．5 D．69．羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從名男生，，和名女生，，中各隨機選出兩名，把選出的人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊參加比賽的概率為（）A． B． C． D．10．給出下列三個命題：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要條件；③將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．其中假命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．311．設為非零實數(shù)，且，則（）A． B． C． D．12．已知點P在橢圓τ：=1(a>b>0)上，點P在第一象限，點P關于原點O的對稱點為A，點P關于x軸的對稱點為Q，設，直線AD與橢圓τ的另一個交點為B，若PA⊥PB，則橢圓τ的離心率e=（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則的值為______.14．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是__15．已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的最小值為__________．16．已知函數(shù)，若函數(shù)有個不同的零點，則的取值范圍是___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷，定價為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應，每天的銷售數(shù)據按照，，，分組，得到如下頻率分布直方圖，以不同銷量的頻率估計概率.從試銷售期間任選三天，求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率；試銷結束后，這款酸奶正式上市，廠家只提供整箱批發(fā)：大箱每箱瓶，批發(fā)成本元；小箱每箱瓶，批發(fā)成本元.由于酸奶保質期短，當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考，決定每天僅批發(fā)一箱（計算時每個分組取中間值作為代表，比如銷量為時看作銷量為瓶）.①設早餐店批發(fā)一大箱時，當天這款酸奶的利潤為隨機變量，批發(fā)一小箱時，當天這款酸奶的利潤為隨機變量，求和的分布列和數(shù)學期望；②以利潤作為決策依據，該早餐店應每天批發(fā)一大箱還是一小箱？注：銷售額=銷量×定價；利潤=銷售額－批發(fā)成本.18．（12分）的內角，，的對邊分別為，,已知，.（1）求；（2）若的面積，求.19．（12分）a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面積；（2）若D，E是BC邊上的三等分點，求.20．（12分）某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區(qū)，如圖，已知兩個購物廣場的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.（1）設，用關于的函數(shù)表示，并求在區(qū)間上的最大值的近似值（精確到0.001公頃）；（2）如果，并且，試分別求出、、、的值.21．（12分）已知橢圓：（）的左、右頂點分別為、，焦距為2，點為橢圓上異于、的點，且直線和的斜率之積為.（1）求的方程；（2）設直線與軸的交點為，過坐標原點作交橢圓于點，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.22．（10分）某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客，均可獲得一次摸獎機會.摸獎規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球（紅、黃、黑、白）.顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則摸獎停止，否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵.（1）求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率；（2）記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

試題分析：把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），可得的圖象；再將圖象向右平移個單位，可得的圖象，那么所得圖象的一個對稱中心為，故選D.考點：三角函數(shù)的圖象與性質.2、D【解析】試題分析：因為，所以為得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象，只需要將考點：三角函數(shù)的圖像變換．3、B【解析】

把已知點坐標代入求出，然后驗證各選項．【詳解】由題意，，或，，不妨取或，若，則函數(shù)為，四個選項都不合題意，若，則函數(shù)為，只有時，，即是對稱軸．故選：B．【點睛】本題考查正弦型復合函數(shù)的對稱軸，掌握正弦函數(shù)的性質是解題關鍵．4、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據雙曲線的性質求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程；當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.5、D【解析】

運用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點有無窮多個；因為，，令，則，即，所以的圖象關于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質，主要是抽象函數(shù)的性質，運用數(shù)學式子判斷得出結論是關鍵.6、A【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的補集.【詳解】由解得，故，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題.7、C【解析】

結合題意，根據題目中的天的指數(shù)值，判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于，由圖可知天的指數(shù)值中有個低于，個高于，其中第個接近，第個高于，所以中位數(shù)略高于，故正確.對于，由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為，即占總天數(shù)的，故正確.對于，由圖可知該市月的前天的空氣質量越來越好，從第天到第天空氣質量越來越差，故錯誤.對于，由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下，中旬大部分指數(shù)在以上，所以該市月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好，故正確.故選：【點睛】本題考查了對折線圖數(shù)據的分析，讀懂題意是解題關鍵，并能運用所學知識對命題進行判斷，本題較為基礎.8、B【解析】

由函數(shù)的性質可得：的圖像關于直線對稱且關于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關于對稱，由函數(shù)圖像的作法可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足，可得的圖像關于直線對稱且關于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關于對稱，函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像的位置關系如圖所示，可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關于直線對稱，則與的圖像所有交點的橫坐標之和為4.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質，考查了數(shù)形結合的思想，掌握函數(shù)的性質是解題的關鍵，屬于中檔題.9、B【解析】

根據組合知識，計算出選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為，然后計算和分在一組的數(shù)目為，最后簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B【點睛】本題考查排列組合的綜合應用，對平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細心計算，考驗分析能力，屬中檔題.10、C【解析】

結合不等式、三角函數(shù)的性質,對三個命題逐個分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對于命題①,因為,所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結合余弦函數(shù)的單調性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對于命題③,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得到的圖象,即命題③是假命題．故假命題有①③.故選:C【點睛】本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數(shù)單調性的應用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎題.11、C【解析】

取，計算知錯誤，根據不等式性質知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：.【點睛】本題考查了不等式性質，意在考查學生對于不等式性質的靈活運用.12、C【解析】

設，則，，，設，根據化簡得到，得到答案.【詳解】設，則，，，則，設，則，兩式相減得到：，，，即，，，故，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求，再根據的范圍求出即可.【詳解】由題可知，故.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，涉及對數(shù)的運算，屬基礎題.14、【解析】

根據分段函數(shù)的性質，即可求出的取值范圍.【詳解】當時，，，當時，，所以，故的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質，已知分段函數(shù)解析式求參數(shù)范圍，還涉及對數(shù)和指數(shù)的運算，屬于基礎題.15、16.【解析】由題意可知拋物線的焦點，準線為設直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立，消去得設點由跟與系數(shù)的關系得，同理∵根據拋物線的性質，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離∴，同理∴，當且僅當時取等號.故答案為16點睛：（1）與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關．利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，可以使運算化繁為簡．“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑；（2）圓錐曲線中的最值問題，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的條件．16、【解析】

作出函數(shù)的圖象及直線，如下圖所示，因為函數(shù)有個不同的零點，所以由圖象可知，，，所以．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；①詳見解析；②應該批發(fā)一大箱.【解析】

酸奶每天銷量大于瓶的概率為，不大于瓶的概率為，設“試銷售期間任選三天，其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件，則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發(fā)一大箱，批發(fā)成本為元，依題意，銷量有，，，四種情況，分別求出相應概率，列出分布列，求出的數(shù)學期望，若早餐店批發(fā)一小箱，批發(fā)成本為元，依題意，銷量有，兩種情況，分別求出相應概率，由此求出的分布列和數(shù)學期望；②根據①中的計算結果，，從而早餐應該批發(fā)一大箱.【詳解】解：根據圖中數(shù)據，酸奶每天銷量大于瓶的概率為，不大于瓶的概率為.設“試銷售期間任選三天，其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件，則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批發(fā)一大箱，批發(fā)成本為元，依題意，銷量有，，，四種情況.當銷量為瓶時，利潤為元；當銷量為瓶時，利潤為元；當銷量為瓶時，利潤為元；當銷量為瓶時，利潤為元.隨機變量的分布列為所以（元）若早餐店批發(fā)一小箱，批發(fā)成本為元，依題意，銷量有，兩種情況.當銷量為瓶時，利潤為元；當銷量為瓶時，利潤為元.隨機變量的分布列為所以（元）.②根據①中的計算結果，，所以早餐店應該批發(fā)一大箱.【點睛】本題考查概率，離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查古典概型、對立事件概率計算公式等基礎知識，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

試題分析：（1）根據余弦定理求出B,帶入條件求出，利用同角三角函數(shù)關系求其余弦，再利用兩角差的余弦定理即可求出；（2）根據（1）及面積公式可得，利用正弦定理即可求出.試題解析：（1）由，得，∴.∵，∴.由，得，∴.∴.（2）由（1），得.由及題設條件，得，∴.由，得，∴，∴.點睛：解決三角形中的角邊問題時，要根據條件選擇正余弦定理，將問題轉化統(tǒng)一為邊的問題或角的問題，利用三角中兩角和差等公式處理，特別注意內角和定理的運用，涉及三角形面積最值問題時，注意均值不等式的利用，特別求角的時候，要注意分析角的范圍，才能寫出角的大小.19、（1）；（2）【解析】

（1）根據正弦定理，可得△ABC為直角三角形，然后可計算b，可得結果.（2）計算，然后根據余弦定理，可得，利用平方關系，可得結果.【詳解】（1）△ABC中，由csinC＝asinA+bsinB，利用正弦定理得c2＝a2+b2，所以△ABC是直角三角形.又a＝3，B＝60°,所以；所以△ABC的面積為.（2）設D靠近點B，則BD＝DE＝EC＝1.，所以所以.【點睛】本題考查正弦定理的應用，屬基礎題.20、（1），最大值公頃；（2）17、25、5、5.【解析】

（1）由余弦定理求出三角形ABC的邊長BC，進而可以求出，，由面積公式求出，，即可求出，并求出最值；（2）由（1）知，，，即可求出、，再算出，代入（1）中表達式求出，?！驹斀狻浚?）由余弦定理得，，所以，，同理可得又，所以，故在區(qū)間上的最大值為，近似值為。（2）由