2025屆天津四中高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆天津四中高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－133．過雙曲線左焦點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）交的右支于點(diǎn)，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．4．已知集合的所有三個(gè)元素的子集記為．記為集合中的最大元素，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，關(guān)于x的方程f（x）＝a存在四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）6．復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，則為A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是()A． B． C． D．9．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，平面與此正方體相交.對(duì)于實(shí)數(shù)，如果正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中恰好有個(gè)點(diǎn)到平面的距離等于，那么下列結(jié)論中，一定正確的是A． B．C． D．10．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．11．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．12．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，直線是曲線在處的切線，則________.14．在面積為的中，，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的最大值是______.15．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，則的取值范圍為__________.16．命題“對(duì)任意，”的否定是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且，求的最小值.18．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：f（x）．19．（12分）如圖，三棱臺(tái)中，側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，證明：∥平面；（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．求C；若，求，的面積21．（12分）如圖，正方形是某城市的一個(gè)區(qū)域的示意圖，陰影部分為街道，各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等，處為紅綠燈路口，紅綠燈統(tǒng)一設(shè)置如下：先直行綠燈30秒，再左轉(zhuǎn)綠燈30秒，然后是紅燈1分鐘，右轉(zhuǎn)不受紅綠燈影響，這樣獨(dú)立的循環(huán)運(yùn)行.小明上學(xué)需沿街道從處騎行到處（不考慮處的紅綠燈），出發(fā)時(shí)的兩條路線（）等可能選擇，且總是走最近路線.（1）請(qǐng)問小明上學(xué)的路線有多少種不同可能？（2）在保證通過紅綠燈路口用時(shí)最短的前提下，小明優(yōu)先直行，求小明騎行途中恰好經(jīng)過處，且全程不等紅綠燈的概率；（3）請(qǐng)你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值，為小明設(shè)計(jì)一條最佳的上學(xué)路線，且應(yīng)盡量避開哪條路線？22．（10分）某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場(chǎng)燈光展中亮燈的時(shí)長(zhǎng)（單位：），得到下面的頻數(shù)表：亮燈時(shí)長(zhǎng)/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時(shí)長(zhǎng)作為一盞燈的亮燈時(shí)長(zhǎng).（1）試估計(jì)的值；（2）設(shè)表示這10000盞燈在某一時(shí)刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差；②若隨機(jī)變量滿足，則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時(shí)，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計(jì)，在一場(chǎng)燈光展中，處于最佳燈光亮度的時(shí)長(zhǎng)（結(jié)果保留為整數(shù)）.附：①某盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率等于亮燈時(shí)長(zhǎng)與燈光展總時(shí)長(zhǎng)的商；②若，則，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)，，去絕對(duì)值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，設(shè)，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．2、B【解析】

由題得，，解得，，計(jì)算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.3、D【解析】

如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交右支于，連接，設(shè)，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到，，結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，連接并延長(zhǎng)交右支于.因?yàn)?，故四邊形為平行四邊形，?又雙曲線為中心對(duì)稱圖形，故.設(shè)，則，故，故.因?yàn)闉橹苯侨切?，故，解?在中，有，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對(duì)稱性（中心對(duì)稱、軸對(duì)稱）以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于的方程，本題屬于難題.4、B【解析】

分類討論，分別求出最大元素為3,4,5,6的三個(gè)元素子集的個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】集合含有個(gè)元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素為的集合有個(gè)；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；所以．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題，其本質(zhì)在于弄清計(jì)數(shù)原理，分類討論，分別求解.5、D【解析】

原問題轉(zhuǎn)化為有四個(gè)不同的實(shí)根，換元處理令t，對(duì)g（t）進(jìn)行零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當(dāng)t＜2時(shí)，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調(diào)遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個(gè)不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減．由，可得，即a＜2．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.6、C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．7、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出．【詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．【點(diǎn)睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，復(fù)數(shù)問題高考必考，常見考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.8、D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐，由此計(jì)算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為，所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖，考查錐體表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖（1）恰好有3個(gè)點(diǎn)到平面的距離為；如圖（2）恰好有4個(gè)點(diǎn)到平面的距離為；如圖（3）恰好有6個(gè)點(diǎn)到平面的距離為.所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題以空間幾何體為載體考查點(diǎn)，面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和知識(shí)方法的遷移能力，屬于難題.10、A【解析】

若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．11、C【解析】

利用的前項(xiàng)和求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可計(jì)算出，然后利用裂項(xiàng)法可求出的值.【詳解】.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，故，因?yàn)橐策m合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用求，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、A【解析】

根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，答案選A【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

求出切線的斜率，即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知直線過點(diǎn)，可求出直線的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|，再由已知與平面向量的線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化，最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=，所以|AB||AC|sin∠BAC=，①又,即|AB||AC|cos∠BAC=，②由①與②的平方和得:|AB||AC|=，又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最大值是為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中由線性運(yùn)算表示未知向量，進(jìn)而由重要不等式求最值，屬于中檔題.15、【解析】

真數(shù)有最小值，根據(jù)已知可得的范圍，求出函數(shù)的最小值，建立關(guān)于的不等量關(guān)系，求解即可.【詳解】，且（且）有最小值，，的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16、存在，使得【解析】試題分析：根據(jù)命題否定的概念，可知命題“對(duì)任意，”的否定是“存在，使得”．考點(diǎn)：命題的否定．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）化簡(jiǎn)得到，分類解不等式得到答案.（2）的最大值，，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）因?yàn)椋驶蚧蚪獾没?，故不等式的解集?（2）畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知的最大值.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是3.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.18、（1）a＝1；（2）見解析【解析】

（1）由題意可得|x﹣a|≥4x，分類討論去掉絕對(duì)值，分別求得x的范圍即可求出a的值．（2）由條件利用絕對(duì)值三角不等式，基本不等式證得f（x）≥2．．【詳解】（1）由f（x）﹣|x|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），當(dāng)x≥a時(shí)，x﹣a≥4x，解得x，這與x≥a＞0矛盾，故不成立，當(dāng)x＜a時(shí)，a﹣x≥4x，解得x，又不等式的解集是{x|x≤1}，故1，解得a＝1．（2）證明：f（x）＝|x﹣a|+|x||x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，∴|a|＝a22，當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號(hào)，故f（x）．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，基本不等式，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．19、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)連接，由比例可得∥，進(jìn)而得線面平行；（Ⅱ）過點(diǎn)作的垂線，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則求得平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，由求二面角余弦即可.試題解析：（Ⅰ）證明：連接，梯形，,易知：；又，則∥；平面，平面，可得：∥平面；（Ⅱ）側(cè)面是梯形，，,,則為二面角的平面角，；均為正三角形，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則,故點(diǎn)，；設(shè)平面的法向量為，則有：；設(shè)平面的法向量為，則有：；，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.20、(1)．(2)．【解析】

由已知利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，結(jié)合范圍，可求，由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得，結(jié)合范圍，可求A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C的值．由及正弦定理可得b的值，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】由已知可得，又由正弦定理，可得，即，，，，即，又，，或舍去，可得，．，，，由正弦定理，可得，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦函數(shù)公式，三角形的內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式等知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21、（1）6種；（2）；（3）.【解析】

（1）從4條街中選擇2條橫街即可；（2）小明途中恰好經(jīng)過處，共有4條路線，即，，，，分別對(duì)4條路線進(jìn)行分析計(jì)算概率；（3）分別對(duì)小明上