2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市高一上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷一、單選題1.若集合，則集合的子集的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.8【正確答案】C【分析】先將集合A化簡，再判斷得解.【詳解】，所以集合A的子集的個(gè)數(shù)為4．故選：C.2.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則＝（）A. B.9 C. D.【正確答案】D【分析】求出冪函數(shù)的解析式，再代入求值.【詳解】設(shè)，由的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，解得，即，所以.故選：D3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)定義域，以及指定范圍內(nèi)函數(shù)值正負(fù)排除部分選項(xiàng)后，即可選出正確選項(xiàng).【詳解】由函數(shù)定義域相關(guān)知識(shí)可知分母不為零，則，即，即fx的定義域?yàn)?，可排除A；當(dāng)時(shí)，，可排除CD．故選.4.無字證明即無需語言的證明（proofwithoutwords），本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)語言，形式上是隱含數(shù)學(xué)命題或定理的證明的圖象或圖形，可能包含數(shù)學(xué)符號(hào)、記號(hào)、方程，但不附帶文字．如圖，C為線段AB上的點(diǎn)，且，，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑做半圓．過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D．連結(jié)OD，AD，BD．過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E．則下面可由進(jìn)行無字證明的不等式為（）A. B.C. D.【正確答案】A分析】利用射影定理求得，結(jié)合整理得出正確答案.【詳解】由于是圓的直徑，所以，圓的半徑為，而，由射影定理得.在直角三角形中，，由射影定理得，由，所以.故選：A這道題的設(shè)計(jì)較為經(jīng)典，結(jié)合了幾何和代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)考生的基礎(chǔ)知識(shí)要求較高,有助于考查學(xué)生的綜合能力.題目的解題過程按照邏輯順序展開，先利用射影定理，再結(jié)合圓和直角三角形的性質(zhì)，這樣的分析過程符合數(shù)學(xué)解題的思路.5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上有單調(diào)性，且，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義和性質(zhì)可得且在上有單調(diào)性，所以在上單調(diào)遞增，再逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，由可得，因?yàn)樵谏嫌袉握{(diào)性，所以在上有單調(diào)性，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，對(duì)于A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：，，，所以，故選項(xiàng)D不正確；故選：B.6.使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先求出不等式的等價(jià)條件，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義，由集合法求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得若使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件，則x的范圍是的一個(gè)真子集，故選：A7.若二次函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D8.已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對(duì)任意，，都有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱且在2,+∞上為減函數(shù)，則不等式等價(jià)于，解得的取值范圍，即可得答案.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)閷?duì)任意，，都有，所以函數(shù)在2,+∞上為減函數(shù)，則，解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.本題考查函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.二、多選題9.下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若，則【正確答案】BC【分析】根據(jù)時(shí)不成立說明選項(xiàng)A錯(cuò)誤，利用不等式的性質(zhì)判斷選項(xiàng)B，結(jié)合題目條件和作差法判斷選項(xiàng)C和D.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.∵，，∴，∵，，∴，∴.故選項(xiàng)B正確.C.∵，∴，∵，∴，∴.故選項(xiàng)C正確.D.∵，∴,∴.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知不等式的解集是，則（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)題意，得到和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，結(jié)合韋達(dá)定理，可得判定A正確，C正確，D正確，再令，可得判定B正確.【詳解】由不等式的解集是，可得和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則，可得，所以A錯(cuò)誤，C正確；由，可得，所以D正確；又由，令，可得，所以B正確.故選：BCD.11.定義，設(shè)，則（）A.有最大值，無最小值B.當(dāng)?shù)淖畲笾禐镃.不等式的解集為D.的單調(diào)遞增區(qū)間為【正確答案】BC【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖實(shí)線部分，對(duì)于A，根據(jù)圖象，可得無最大值，無最小值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)圖象得，當(dāng)時(shí)，的最大值為，故B正確；對(duì)于C，由，解得，結(jié)合圖象，得不等式的解集為，故C正確；對(duì)于D，由圖象得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題12.若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值是__________.【正確答案】【分析】分離參數(shù)得，再設(shè)新函數(shù)，求出其最小值即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于不等式在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，令，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上也單調(diào)遞減，所以，所以，則實(shí)數(shù)m的最小值是.故答案為.13.已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式____【正確答案】或【分析】根據(jù)題意設(shè)設(shè)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求解即可.【詳解】解：設(shè)，由題意可知，所以，解得或，所以或.故或14.已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域都是，且它們?cè)谏系膱D象如圖所示，則不等式的解集是_______．【正確答案】【分析】不等式轉(zhuǎn)化為或，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和圖象，即可求解.【詳解】或，得或，解得：或，或，所以不等式的解集為.故四、解答題15.已知全集，已知函數(shù)的定義域?yàn)榧希?（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）已知：①“”是“”的充分條件；②“”是“”的必要不充分條件；從這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到橫線處，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）或x>5（2）條件選擇見解析，【分析】（1）求函數(shù)定義域得集合，解分式不等式得集合，然后由集合的運(yùn)算法則計(jì)算；（2）解含有參數(shù)的不等式得集合，選①得集合是集合的子集，根據(jù)包含關(guān)系得不等式組求解；選項(xiàng)②得集合是集合的真子集，根據(jù)包含關(guān)系得不等式組求解．小問1詳解】由題意，由得，，-當(dāng)時(shí)，，-∵全集，∴或，或，∴或.【小問2詳解】由題意，，∵對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，∴集合.-選①：因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件，則集合是集合的子集，所以，解得：，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；選②：因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以集合是集合的真子集，所以且等號(hào)不同時(shí)取得，解得：，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）寫出函數(shù)的增區(qū)間（不需要證明）；（3）若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.【正確答案】（1）（2）和（3）【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的解析式；（2）由（1）直接可寫出函數(shù)的增區(qū)間；（3）求出函數(shù)函數(shù)的對(duì)稱軸，在分別根據(jù)，，三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最小值.【小問1詳解】解：設(shè)，則，所以又，所以又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，函數(shù)的增區(qū)間和【小問3詳解】解：因?yàn)樗运院瘮?shù)的對(duì)稱軸為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；綜上，17.通過前面一個(gè)月的學(xué)習(xí)，大家認(rèn)識(shí)了一個(gè)朋友：基本不等式.即當(dāng)時(shí)有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)不等式取“＝”）.我們稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，為它們的幾何平均數(shù)，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù).這只是均值不等式的一個(gè)簡化版本.均值不等式的歷史可以追溯到19世紀(jì)，由Chebycheff在1882年發(fā)表的論文中首次提出.均值不等式，也稱為平均值不等式或平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式.它的基本形式包括調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關(guān)系.它表明：個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，且當(dāng)這些數(shù)全部相等時(shí)，算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)相等.（1）寫出時(shí)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間關(guān)系，并寫出取等號(hào)的條件（無需證明）；（2）利用你寫出的式子，求的最小值；（3）如圖，把一塊長為6的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再將它的邊沿虛線折轉(zhuǎn)做成一個(gè)無蓋的方底盒子.問切去的正方形邊長是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？【正確答案】（1）答案見解析（2）（3）切去的正方形邊長為時(shí)，才能使盒子的容積最大，【分析】（1）由題意得，當(dāng)，，即可求解；（2）由（1），當(dāng)時(shí)，，即可求解；（3）設(shè)小正方形的邊長為，得到盒子的容積為則，利用不等式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，當(dāng)時(shí)，若，可得，即算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【小問2詳解】解：由（1）中，當(dāng)，可得，可得時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.【小問3詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為，則盒子高為，底邊邊長為，可得盒子的容積為，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以切去的正方形邊長為時(shí)，才能使盒子的容積最大，最大容積為.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求，的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1），；（2）單調(diào)遞增，證明見解析（3）【分析】（1）由題可得圖象過點(diǎn)結(jié)合可得，的值；（2）由單調(diào)性證明步驟可證得結(jié)論；（3）由題可得，后討論k結(jié)合單調(diào)性可得，即可得范圍.【小問1詳解】)因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則，解得，.所以函數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，；【小問2詳解】在上單調(diào)遞增.證明如下：設(shè)則，其中，，所以，即，故函數(shù)上單調(diào)遞增；【小問3詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，總存在，使得，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，；所以恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，所以，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，解得.，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.2023年10月20日，國務(wù)院新聞辦舉辦了2023年三季度工業(yè)和信息化發(fā)展情況新聞發(fā)布會(huì)工業(yè)和信息化部表示，2023年前三季度，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展保持強(qiáng)勁的發(fā)展勢(shì)頭．在這個(gè)重要的乘用車型升級(jí)時(shí)期，某公司科研人員努力攻克了動(dòng)力電池單體能量密度達(dá)到300Wh/kg的關(guān)鍵技術(shù)，在技術(shù)水平上使得純電動(dòng)乘用車平均續(xù)駛里程超過460公里．該公司通過市場(chǎng)分析得出，每生產(chǎn)1千塊動(dòng)力電池，將收入萬元，且該公司每年最多生產(chǎn)1萬塊此種動(dòng)力電池，預(yù)計(jì)2024年全年成本總投入2.5x萬元，全年利潤為Fx萬元．由市場(chǎng)調(diào)研知，該種動(dòng)力電池供不應(yīng)求．（利潤＝收入－成本總投入）（1）求函數(shù)Fx（2）當(dāng)2024年動(dòng)力電池的產(chǎn)量為多少塊時(shí)，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？【正確答案】（1）（2）當(dāng)2024年