2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破題型10 閱讀理解及定義型問題（復(fù)習(xí)講義）（教師版）

題型十閱讀理解及定義型問題（復(fù)習(xí)講義）【考點(diǎn)總結(jié)|典例分析】考點(diǎn)01新定義型閱讀理解題常見的兩種類型1.新定義概念型閱讀題:解新定義概念型閱讀題,要把握新概念的現(xiàn)實(shí)模型,理解新概念的形成過程,以便于正確應(yīng)用新概念進(jìn)行分析、解決問題.2.新定義運(yùn)算型閱讀題:把新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一般的實(shí)數(shù)運(yùn)算是解這類閱讀理解題的關(guān)鍵.【特別提醒】(1)正確理解新定義運(yùn)算的含義,認(rèn)真分析題目中的定義,嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算求解,切記不可脫離題目要求.(2)在新定義的算式中,若遇有括號(hào)的也要先算括號(hào)里面的.(3)材料中的新概念、新運(yùn)算與我們已學(xué)過的概念、運(yùn)算有著密切的聯(lián)系,注意“新”“舊”知識(shí)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.考點(diǎn)02新公式應(yīng)用型閱讀題新公式應(yīng)用型閱讀題常見的三種類型1.新數(shù)學(xué)公式型:通過閱讀材料,給出新的數(shù)學(xué)公式,根據(jù)新的數(shù)學(xué)公式解決所給問題.2.新變換法則型:通過閱讀材料,給出新的數(shù)學(xué)變換法則,根據(jù)新的變換法則解決所給問題.3.新規(guī)定型:通過閱讀材料,給出新的規(guī)定,根據(jù)新規(guī)定解決所給問題.【知識(shí)歸納】新公式應(yīng)用型閱讀題的解題策略1.通過對(duì)所給材料的閱讀，從中獲得新的數(shù)學(xué)公式或某種新的變換法則.2.分析新公式的結(jié)構(gòu)特征及適用范圍.3.將新公式轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識(shí)，尋找解決問題的突破口，進(jìn)而利用新公式解決問題.解一元一次不等式的注意事項(xiàng)解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程的步驟基本類似，只是注意在不等式的兩邊同乘或同除一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要發(fā)生改變．在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，要注意“分界點(diǎn)”和“方向”，大于向右畫，小于向左畫，含等于號(hào)的畫成實(shí)心點(diǎn)，不含等于號(hào)的要畫成空心圓圈．考點(diǎn)03新解題方法型閱讀題新解題方法型閱讀題常見的兩種類型1.以例題的形式給出新方法:材料中首先給出一道例題及其解題方法,然后仿照新的解題方法解決與例題類似的問題.這類新方法型閱讀題在中考中最為常見,值得關(guān)注.2.以新知識(shí)的形式給出新方法:先給出體現(xiàn)一個(gè)新解題方法的閱讀材料,通過閱讀體會(huì)新方法的實(shí)質(zhì),然后用新方法解決相關(guān)的問題.【特別提醒】(1)認(rèn)真閱讀題目,理解掌握新的解題方法是解決新問題的關(guān)鍵.(2)體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在解新方法型閱讀題中的作用,理解新方法并進(jìn)行轉(zhuǎn)化,用我們熟悉的知識(shí)來解決新問題.【知識(shí)歸納】解答數(shù)字規(guī)律題的步驟(1)計(jì)算前幾項(xiàng)，一般算出四五項(xiàng).(2)找出幾項(xiàng)的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律或是循環(huán)，或是成一定的數(shù)列規(guī)律如等差，等比等.(3)用代數(shù)式表示出規(guī)律或是得出循環(huán)節(jié)(即幾個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)).(4)驗(yàn)證你得出的結(jié)論.考點(diǎn)04歸納概括型閱讀題歸納概括型閱讀題常見的三種類型1.等式型:通過對(duì)給出的幾個(gè)等式中數(shù)的變化,分析、類比、推斷、猜測(cè),歸納出等式存在的一般性規(guī)律,再用含字母的等式表示一般規(guī)律.2.代數(shù)式型:通過對(duì)給出的幾個(gè)代數(shù)式中數(shù)和字母的變化,分析、類比、猜測(cè),歸納出代數(shù)式存在的一般性規(guī)律,再用含字母的代數(shù)式表示一般規(guī)律.3.三角函數(shù)式型:通過對(duì)給出的幾個(gè)三角函數(shù)式中數(shù)或字母的變化,分析、類比、猜測(cè),歸納出三角函數(shù)式存在的一般性規(guī)律,再用數(shù)或含字母的式子表示一般規(guī)律.1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）皮克定理是格點(diǎn)幾何學(xué)中的一個(gè)重要定理，它揭示了以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的面積，其中N,L分別表示這個(gè)多邊形內(nèi)部與邊界上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)．在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)為格點(diǎn)．已知A0,30，，則△ABO內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．266 B．270 C．271 D．285【答案】C【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出△ABO【詳解】如圖所示，

∵A0,30，，∴S△∵OA上有31個(gè)格點(diǎn)，OB上的格點(diǎn)有2,1，4,2，6,3，8,4，10,5，12,6，14,7，16,8，18,9，20,10，共10個(gè)格點(diǎn)，AB上的格點(diǎn)有1,29，2,28，3,27，4,26，5,25，6,24，7,23，8,22，9,21，10,20，11,19，12,18，13,17，16,14，15,15，16,14，17,13，18,12，19,11，共19個(gè)格點(diǎn)，∴邊界上的格點(diǎn)個(gè)數(shù)L=31+10+19=60，∵，∴300=N+1∴解得N=271．∴△ABO故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在多項(xiàng)式x?y?z?m?n（其中x>y>z>m>n)中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間任意添加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱此為“絕對(duì)操作”．例如：x?y?|z?m|?n=x?y?z+m?n，x?y?z?m?n=x?y?z?m+n①存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；②不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說法①和②．說法③需要對(duì)絕對(duì)操作分析添加一個(gè)和兩個(gè)絕對(duì)值的情況，并將結(jié)果進(jìn)行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出答案．【詳解】解：x?y?z?m?n=x?y?z?m?n，故說法①若使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0，必須出現(xiàn)?x，顯然無論怎么添加絕對(duì)值，都無法使x的符號(hào)為負(fù)，故說法②正確．當(dāng)添加一個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有4種情況，分別是x?y?z?m?n=x?y?z?m?n；x?y?z?m?n=x?y+z?m?n；x?y?|z?m|?n=x?y?z+m?n；x?y?z?m?n=x?y?z?m+n．當(dāng)添加兩個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有3種情況，分別是x?y?z?m有兩對(duì)運(yùn)算結(jié)果相同，故共有5種不同運(yùn)算結(jié)果，故說法③不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查新定義題型，根據(jù)多給的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進(jìn)行情況討論；需要注意去絕對(duì)值時(shí)的符號(hào)，和所有結(jié)果可能的比較．主要考查絕對(duì)值計(jì)算和分類討論思想的應(yīng)用．3．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：等都是三倍點(diǎn)”，在?3<x<1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y=?x2?x+c的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，則c的取值范圍是（A．?14≤c<1 B．?4≤c<?3 C． 【答案】D【分析】由題意可得：三倍點(diǎn)所在的直線為y=3x，根據(jù)二次函數(shù)y=?x2?x+c的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為y=?x2?x+c和y=3x至少有一個(gè)交點(diǎn)，求【詳解】解：由題意可得：三倍點(diǎn)所在的直線為y=3x，在?3<x<1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y=?x即在?3<x<1的范圍內(nèi)，y=?x2?x+c令3x=?x2?x+c則Δ=b2?4ac=x=?∴x1=?2+∴?3<?2+4+c<1當(dāng)?3<?2+4+c<1時(shí)，?1<4+c<3，即當(dāng)?3<?2?4+c<1時(shí)，?3<4+c<1，即綜上，c的取值范圍是?4≤c<5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是關(guān)鍵．4.（2022·重慶）對(duì)多項(xiàng)式x?y?z?m?n任意加括號(hào)后仍然只含減法運(yùn)算并將所得式子化簡，稱之為“加算操作”，例如：(x?y)?(z?m?n)=x?y?z+m+n，x?①至少存在一種“加算操作”，使其結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；②不存在任何“加算操作”，使其結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；③所有的“加算操作”共有8種不同的結(jié)果．以上說法中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】給x?y添加括號(hào)，即可判斷①說法是否正確；根據(jù)無論如何添加括號(hào)，無法使得x的符號(hào)為負(fù)號(hào)，即可判斷②說法是否正確；列舉出所有情況即可判斷③說法是否正確．【詳解】解：∵x?∵x又∵無論如何添加括號(hào)，無法使得x的符號(hào)為負(fù)號(hào)∴②說法正確∵當(dāng)括號(hào)中有兩個(gè)字母，共有4種情況，分別是x?y?z?m?n、x?y?z?m?n、x?y?當(dāng)括號(hào)中有三個(gè)字母，共有3種情況，分別是x?y?z?m?n、x?y?z?m?n當(dāng)括號(hào)中有四個(gè)字母，共有1種情況，x∴共有8種情況∴③說法正確∴正確的個(gè)數(shù)為3故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，認(rèn)真閱讀，理解題意是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022·湖南常德）我們發(fā)現(xiàn)：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+?+6+6+3=3n個(gè)根號(hào)，一般地，對(duì)于正整數(shù)a，b，如果滿足b+b+b+?+b+b+a=an個(gè)根號(hào)時(shí)，稱A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)定義逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：∵12+4=4，4,1291+9=10≠99,91不是完美方根數(shù)對(duì)；故②不正確；若a,380是完美方根數(shù)對(duì)，則380+a=a即a2=380+a解得∵a是正整數(shù)則a=20故③正確；若x,y是完美方根數(shù)對(duì)，則y+x=x∴y+x=x2【點(diǎn)睛】本題考查了求算術(shù)平方根，解一元二次方程，二次函數(shù)的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．7．對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“?”為：，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：．則方程x??2A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7【答案】B【解析】根據(jù)新定義運(yùn)算，把方程轉(zhuǎn)化為分式方程．因?yàn)閤?(?2)=1x?(?2)8.將關(guān)于x的一元二次方程x2-px+q=0變形為x2=px-q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如A.1?5B.3?5C.1+【答案】C【解析】本題考查了降次法、整體代入法、整式的化簡求值，一元二次方程的解法.解答過程如下：∵x2-x-1=0，∴∴x4-2x3+3x=(x+1)=1-x-1+3x=2x，∵x2-x-1=0，且x＞0，∴x=∴原式=2×1+52=9．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖．AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是弦AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥AB．“會(huì)圓術(shù)”給出AB長l的近似值s計(jì)算公式：s=AB+CD2OA，當(dāng)OA=2，【答案】0.1【分析】由已知求得AB與CD的值，代入s=AB+C【詳解】∵OA=OB=2，∠∴AB=22∵C是弦AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥∴延長DC可得O在DC上，OC=∴CD=OD?OC=2?2∴s=AB+Cl=90×2×2π∴l(xiāng)?s=故答案為：0.1．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長，掌握垂徑定理?；￠L公式是關(guān)鍵．10．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵，3?1=2，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為________；一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記，，若PMQM能被10整除，則滿足條件的M的最大值為________．【答案】6200；9313【分析】根據(jù)題中“天真數(shù)”可求得最小的“天真數(shù)”；先根據(jù)題中新定義得到c+d=a+b?8，進(jìn)而PMQM=4a+b?8a?5，若【詳解】解：根據(jù)題意，只需千位數(shù)字和百位數(shù)字盡可能的小，所以最小的“天真數(shù)”為6200；根據(jù)題意，a?d=6，b?c=2，6≤a≤9，2≤b≤9，則c+d=a+b∴PM∴PM若M最大，只需千位數(shù)字a取最大，即a=9，∴PM∵PM∴b=3，∴滿足條件的M的最大值為9313，故答案為：6200，9313．【點(diǎn)睛】本題是一道新定義題，涉及有理數(shù)的運(yùn)算、整式的加減、數(shù)的整除等知識(shí)，理解新定義是解答的關(guān)鍵．11．（2022·四川眉山）將一組數(shù)2，2，6，22，…，，按下列方式進(jìn)行排列：2，2，6，2210，23，14…若2的位置記為(1,2)，14的位置記為(2,3)，則27【答案】(4,2)【分析】先找出被開方數(shù)的規(guī)律，然后再求得27【詳解】數(shù)字可以化成：2，4，6，8；10，，14，16；∴規(guī)律為：被開數(shù)為從2開始的偶數(shù)，每一行4個(gè)數(shù)，∵27=∴27的位置記為(4,2)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了類比點(diǎn)的坐標(biāo)解決實(shí)際問題的能力和閱讀理解能力．被開方數(shù)全部統(tǒng)一是關(guān)鍵．12．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b=________．

【答案】712或【分析】根據(jù)題意求得點(diǎn)A3,0，B3,4，【詳解】由，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，∴C0,4∵A3,0，四邊形ABCO∴B3,4①當(dāng)拋物線經(jīng)過O，B時(shí)，將點(diǎn)0,0，B3,4代入，∴c=0解得：b=②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A,C時(shí)，將點(diǎn)A3,0,C0,4代入∴c=4解得：b=?綜上所述，b=712或故答案為：712或?【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．13.對(duì)于任意兩個(gè)不相等的數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“”如下：ab＝，如：32＝＝，那么124＝______．【答案】【解析】依題意可知124＝＝＝．14.定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，a?b=1a+【答案】?【分析】根據(jù)新定義可得(x+1)?x=2x+1x2【詳解】解：∵a?b=1a+又∵(x+1)?x=2x+1x，∴∴x2+x2x+1?x2x+1∵(x+1)?x=2x+1x即x≠0，∴2x+1=0，解得經(jīng)檢驗(yàn)x=?12是方程2x+1x【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．15.定義[a，b，c]為函數(shù)y＝ax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m＝﹣3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（13,②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于32QUOTE；③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在x＞14QUOTE時(shí)，y隨x的增大而減??；④當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)．其中正確的結(jié)論有___________【解析】解：根據(jù)定義可得函數(shù)y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①當(dāng)m＝﹣3時(shí)，函數(shù)解析式為y＝﹣6x2+4x+2，∴?b∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（13②函數(shù)y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（﹣m+12mQUOTE，0），當(dāng)m＞0時(shí)，1﹣（﹣m+12mQUOTE）＝32+12m③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）開口向下，對(duì)稱軸x=1④當(dāng)m≠0時(shí)，x＝1代入解析式y(tǒng)＝0，則函數(shù)一定經(jīng)過點(diǎn)（1，0），正確．故選：①②④16.若記y=f（x）=x21+x2，其中f（1）表示當(dāng)x=1時(shí)y的值，即f（1）=121+12=12；f（12）表示當(dāng)x=12時(shí)y的值，即f（12）=f（12【解析】解：∵y=f（x）=x2∴f（1x）=（1x∴f（x）+f（1x∴f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（12）+…+f（2011）+f（=f（1）+[f（2）+f（12）]+[f（3）+f（13）]+…+[f（2011）+f（=12=12=201012故答案為：20101217．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求解：∵m，n是一元二次方程x2∴m+n=1,mn=?1．則m2根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：(1)應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，(2)類比：已知一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n(3)提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s?1=0，2t2【答案】(1)?32(2)13(3)的值為或?17【分析】（1）直接利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出m+n=?32，mn=?1（3）由題意可將s、t可以看作方程2x2+3x?1=0的兩個(gè)根，即得出s+t=?32，st=?12【詳解】（1）解：∵一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個(gè)根為x∴x1+x故答案為：?32，（2）解：∵一元二次方程2x2+3x?1=0的兩根分別為m∴m+n=?ba=?∴m===13（3）解：∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s∴s、t可以看作方程2x∴s+t=?ba=?∵t?s==17∴t?s=172或當(dāng)t?s=171s當(dāng)t?s=?171s綜上分析可知，的值為或?17．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計(jì)算，分式的混合運(yùn)算．理解題意，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根與系數(shù)的關(guān)系：x18．（2022·重慶）若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是M去掉個(gè)位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)M為“勾股和數(shù)”．例如：M=2543，∵32又如：M=4325，∵52+2(1)判斷2022，5055是否是“勾股和數(shù)”，并說明理由；(2)一個(gè)“勾股和數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記GM=c+d9，PM=10【答案】(1)2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；理由見解析(2)8109或8190或4536或4563．【分析】（1）根據(jù)“勾股和數(shù)”的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）由“勾股和數(shù)”的定義可得10a+b=c2+d2，根據(jù)GM，(1)解：2022不是“勾股和數(shù)”，5055是“勾股和數(shù)”；理由：∵，8≠20，∴1022不是“勾股和數(shù)”；∵52(2)∵M(jìn)為“勾股和數(shù)”，∴10a+b=c2+∵GM=c+d∵PM∴c2∴①c=0，d=9或c=9，d=0，此時(shí)M=8109或8190；②c=3，d=6或c=6，d=3，此時(shí)M=4536或4563，綜上，M的值為8109或8190或4536或4563．【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用以及學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，解題關(guān)鍵是要理解新定義，能根據(jù)條件找出合適的“勾股和數(shù)”．19．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，對(duì)角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請(qǐng)畫出所有符合條件的格點(diǎn)D．(3)如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過B作BE∥AC交DA的延長線于點(diǎn)E．若AC=8,DE=10，求四邊形EBCD的周長．【答案】(1)證明見解析(2)畫圖見解析(3)38?6【分析】（1）先證明∠ABC=180°?∠A=90°，∠ADB=∠CBD，再證明CD=CB，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)新定義分兩種情況進(jìn)行討論即可；①∠B=∠C=90，結(jié)合圖形再確定滿足CB=CD或AD=CD的格點(diǎn)D；②∠B=∠A=90，結(jié)合圖形再確定滿足AB=AD的格點(diǎn)D；（3）如圖，過C作CQ⊥AD于Q，可得四邊形ABCQ是矩形，AQ=BC，AD∥BC，證明四邊形ACBE為平行四邊形，可得BE=AC=8，AE=BC，設(shè)BC=AE=x，而DE=10，，DQ=x?10?x=2x?10，由新定義可得CD=CB=x，由勾股定理可得：x【詳解】（1）解：∵AD∥∴∠ABC=180°?∠A=90°，∠ADB=∵對(duì)角線BD平分∠ADC∴∠ADB=∴∠CBD=∴CD=CB，∴四邊形ABCD為鄰等四邊形．（2）解：D1，D2，（3）如圖，過C作CQ⊥AD于Q，

∵∠DAB=∴四邊形ABCQ是矩形，∴AQ=BC,AB=CQ，AD∥∵BE∥∴四邊形ACBE為平行四邊形，∴BE=AC=8，AE=BC，設(shè)BC=AE=x，而DE=10，∴，DQ=x?10?x=2x?10由新定義可得CD=CB=x，由勾股定理可得：x2整理得：x2解得：x1=10?32∴CB=CD=10?32∴四邊形EBCD的周長為10+8+210?3【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義的含義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．20.請(qǐng)你閱讀引例及其分析解答，希望能給你以啟示，然后完成對(duì)探究一和探究二的解答．引例：設(shè)a，b，c為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)，分析：考慮不等式中各式的幾何意義，我們可以試構(gòu)造一個(gè)邊長為a＋b＋c的正方形來研究．解：如圖①，設(shè)正方形的邊長為a＋b＋c，則AB＝eq\r(a2＋b2)，BC＝eq\r(b2＋c2)，CD＝eq\r(a2＋c2)，顯然AB＋BC＋CD≥AD，∴eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．探究一：已知兩個(gè)正數(shù)x，y，滿足x＋y＝12，求eq\r(x2＋4)＋eq\r(y2＋9)的最小值(圖②僅供參考)；探究二：若a，b為正數(shù)，求以eq\r(a2＋b2)，eq\r(4a2＋b2)，eq\r(a2＋4b2)為邊的三角形的面積．【解答】解：探究一：如解圖①，構(gòu)造矩形AECF，并設(shè)矩形的兩邊長分別為12，5，①則x＋y＝12，AB＝eq\r(x2＋4)，BC＝eq\r(y2＋9)，顯然AB＋BC≥AC，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，AB＋BC最小，即eq\r(x2＋4)＋eq\r(y2＋9)的最小值為AC，∵AC＝eq\r(122＋52)＝13，∴eq\r(x2＋4)＋eq\r(y2＋9)的最小值為13；②探究二：如解圖②，設(shè)矩形ABCD的兩邊長分別為2a，2b，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，則CF＝eq\r(4a2＋b2)，CE＝eq\r(a2＋4b2)，EF＝eq\r(a2＋b2)，設(shè)以eq\r(a2＋b2)，eq\r(4a2＋b2)，eq\r(a2＋4b2)為邊的三角形的面積為S△CEF，∴S△CEF＝S矩形ABCD－S△CDF－S△AEF－S△BCE＝4ab－eq\f(1,2)×2a×b－eq\f(1,2)ab－eq\f(1,2)a×2b＝eq\f(3,2)ab，∴以eq\r(a2＋b2)，eq\r(4a2＋b2)，eq\r(a2＋4b2)為邊的三角形的面積為eq\f(3,2)ab.21．（2022·重慶）對(duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N，若N能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和m整除，則稱N是m的“和倍數(shù)”．例如：∵247÷(2+4+7)=247÷13=19，∴247是13的“和倍數(shù)”．又如：∵214÷(2+1+4)=214÷7=30??(1)判斷357，441是否是“和倍數(shù)”？說明理由；(2)三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，a，b，c分別是數(shù)A其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，且a>b>c．在a，b，c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為F(A)，最小的兩位數(shù)記為G(A)，若F(A)+G(A)16【答案】(1)357不是15“和倍數(shù)”，441是9的“和倍數(shù)”；理由見解析(2)數(shù)A可能為732或372或516或156【分析】（1）根據(jù)題目中給出的“和倍數(shù)”定義進(jìn)行判斷即可；（2）先根據(jù)三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”得出a+b+c=12，根據(jù)a>b>c，F(xiàn)A是最大的兩位數(shù)，GA是最小的兩位數(shù)，得出FA+GA=10a+2b+10c，F(xiàn)(A)+G(A)16=k（k為整數(shù)），結(jié)合a+b+c=12得出(1)解：∵357÷3+5+7∵441÷4+4+1(2)∵三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，∴a+b+c=12，∵a>b>c，∴在a，b，c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)FA=10a+b，最小的兩位數(shù)GA∵F(A)+G(A)16為整數(shù)，設(shè)F(A)+G(A)16=k整理得：5a+5c+b=8k，根據(jù)a+b+c=12得：a+c=12?∵a>b>c，∴12?b＞b，解得b＜6，∵“和倍數(shù)”是各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)，∴a>b>c＞0，∴b＞1，∴1＜b＜6，把a(bǔ)+c=12?b代入5a+5c+b=8k得：512?b+b=8k，整理得：b=15?2k，∵1＜b＜6，k為整數(shù)，∴b=3或當(dāng)b=3時(shí)，a+c=12?3=9，∵a>b>c＞0，∴a＞3，0＜c＜3，∴a=7，b=3，c=2，或a=8，b=3，c=1，要使三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，數(shù)A必須是一個(gè)偶數(shù)，當(dāng)a=7，b=3，c=2時(shí)，組成的三位數(shù)為732或372，∵732÷12=61，∴732是12的“和倍數(shù)”，∵372÷12=31，∴372是12的“和倍數(shù)”；當(dāng)a=8，b=3，c=1時(shí)，組成的三位數(shù)為318或138，∵318÷12=26??????6，∴318不是12的“和倍數(shù)”，∵138÷12=11??????6，∴138不是12的“和倍數(shù)”；當(dāng)b=5時(shí)，a+c=12?5=7，∵a>b>c＞0，∴5＜a＜7，∴a=6，b=5，c=1，組成的三位數(shù)為516或156，∵516÷12=43，∴516是12的“和倍數(shù)”，∵156÷12=13，∴156是12的“和倍數(shù)”；綜上分析可知，數(shù)A可能為732或372或516或156．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義類問題，數(shù)的整除性，列代數(shù)式，利用數(shù)位上的數(shù)字特征和數(shù)據(jù)的整除性，是解題的關(guān)鍵，分類討論是解答本題的重要方法，本題有一定的難度．22．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)計(jì)了點(diǎn)的兩種移動(dòng)方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)(x+2,y+1)稱為一次甲方式：從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)(x+1,y+2)稱為一次乙方式．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)2次；若都按甲方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)；若都按乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．

(1)設(shè)直線l1經(jīng)過上例中的點(diǎn)M,N，求l1的解析式；并直接寫出將l1(2)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次，每次移動(dòng)按甲方式或乙方式，最終移動(dòng)到點(diǎn)．其中，按甲方式移動(dòng)了m次．①用含m的式子分別表示x,y；②請(qǐng)說明：無論m怎樣變化，點(diǎn)Q都在一條確定的直線上．設(shè)這條直線為l3，在圖中直接畫出l(3)在（1）和（2）中的直線上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)依次為a,b,c，若A，B，C三點(diǎn)始終在一條直線上，直接寫出此時(shí)a，b，c之間的關(guān)系式．【答案】(1)l1的解析式為y=?x+6；l2的解析式為(2)①x=m+10,y=20?m；②l3的解析式為y=?x+30(3)5a+3c=8b【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出l1的解析式，然后根據(jù)直線平移的規(guī)律：上加下減即可求出直線l（2）①根據(jù)題意可得：點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)m次后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為2m,m，再得出點(diǎn)2m,m按照乙方式移動(dòng)10?m次后得到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，即得結(jié)果；②由①的結(jié)果可得直線l3（3）先根據(jù)題意得出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入整理即可得出結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)l1的解析式為，把、N(2,4)代入，得4k+b=22k+b=4，解得：k=?1∴l(xiāng)1的解析式為y=?x+6將l1向上平移9個(gè)單位長度得到的直線l2的解析式為（2）①∵點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)了m次，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)連續(xù)移動(dòng)10次，∴點(diǎn)P按照乙方式移動(dòng)了10?m次，∴點(diǎn)P按照甲方式移動(dòng)m次后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為2m,m；∴點(diǎn)2m,m按照乙方式移動(dòng)10?m次后得到的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2m+10?m=m+10，縱坐標(biāo)為m+210?m∴x=m+10,y=20?m；②由于x+y=m+10+20?m=30，∴直線l3的解析式為y=?x+30函數(shù)圖象如圖所示：

（3）∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為a,b,c，且分別在直線上，∴Aa,?a+6設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得ma+n=?a+6mb+n=?b+15，解得：m=?1+∴直線AB的解析式為y=?1+∵A，B，C三點(diǎn)始終在一條直線上，∴c?1+整理得：5a+3c=8b；即a，b，c之間的關(guān)系式為：5a+3c=8b．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)和平移綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)和一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，正確理解題意、熟練掌握平移的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．23.閱讀材料:各類方程的解法求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式，求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解;類似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元次方程組．求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想一轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們]還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2－2x=0可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x(x2+x－2)=0，解方程x=0和x2+x－2=0，可得方程x3+x2－2x=0的解(1)問題:方程x3+x2－2x=0的解是x1=0，x2=______．x3=______．(2)拓展:用“轉(zhuǎn)化”思想求方程2x+3=x(3)應(yīng)用:如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=8m，寬AB=3m，小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點(diǎn)B，沿草坪邊沿BA、AD走到點(diǎn)P處，把長繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點(diǎn)C處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點(diǎn)C．求AP的長．【解析】（1）x2=1,x3=－2（2）2x+3兩邊平方，得2x+3=解此方程，得x檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，滿足題意；當(dāng)x=－1時(shí)，不滿足題意，舍去原方程的根為x=3。設(shè)AP=xm，因AD=8m，則PD=(8－x)m在RtΔABP中，PB=AP在RtΔPCD中，PC=PD∵PB=10－PC∴x兩邊平方，化簡得：5再次兩邊平方，整理得到x2?8x+16=0解得x=4經(jīng)檢驗(yàn)，x=4滿足題意。答：該段運(yùn)河的河寬為4m。24．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A，點(diǎn)B不重合的任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以A，P，B為頂點(diǎn)作∠1=∠2=∠3，其中∠1與∠3的一邊分別是射線AB和射線BA，∠2的兩邊不在直線AB上，我們規(guī)定這三個(gè)角互為等聯(lián)角，點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)，線段AB為等聯(lián)線．(1)如圖2，在5×3個(gè)方格的紙上，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、邊長均為1，AB為端點(diǎn)在格點(diǎn)的已知線段．請(qǐng)用三種不同連接格點(diǎn)的方法，作出以線段AB為等聯(lián)線、某格點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在Rt△APC中，∠A=90°，AC>AP，延長AP至點(diǎn)B，使AB=AC，作∠A的等聯(lián)角∠CPD和∠PBD．將沿PC折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，得到△MPC，再延長PM交BD的延長線于E，連接CE并延長交PD的延長線于F①確定△PCF②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等聯(lián)線AB和線段PE的長（用含【答案】(1)見解析(2)①等腰直角三角形，見解析；②；PE=5【分析】（1）根據(jù)新定義，畫出等聯(lián)角；（2）①△PCF是等腰直角三角形，過點(diǎn)C作CN⊥BE交的延長線于N．由折疊得AC=CM，∠CMP=∠CME=∠A=90°，∠1=∠2，證明四邊形ABNC為正方形，進(jìn)而證明Rt△CME≌Rt②過點(diǎn)F作FQ⊥BE于Q，F(xiàn)R⊥PB交PB的延長線于，則∠R=∠A=90°．證明△APC≌△RFP，得出AP=BR=FR，在Rt△BRF中，BR2+FR2=BF2，BF=2k，進(jìn)而證明四邊形BRFQ【詳解】（1）解：如圖所示（方法不唯一）（2）①△PCF如圖，過點(diǎn)C作CN⊥BE交的延長線于N．由折疊得AC=CM，∠CMP=∠CME=∠A=90°，∠∵AC=AB，∠A=∴四邊形ABNC為正方形∴又∵CE=CE∴Rt∴∠3=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∠∴∴△②過點(diǎn)F作FQ⊥BE于Q，F(xiàn)R⊥PB交PB的延長線于，則∠R=∠∵∠1+∴∠由△PCF是等腰直角三角形知：PC=PF，∴△∴AP=FR，AC=PR，而AC=AB，∴AP=BR=FR在Rt△BRF中，BR∴AP=BR=FR=k∴PB=2AP=2k∴AB=AP+PB=BN=3k由BR=FR，∠QBR=∴四邊形BRFQ為正方形，BQ=QF=k，由FQ⊥BN，CN⊥BN得：FQ∥∴△QEF∴QENE=即2k?NENE=k由①知：PM=AP=k，ME=NE=3∴PE=PM+ME=k+【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，正方形的性質(zhì)與判定，折疊問題，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，理解新定義，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25.閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心．（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊△ABC的重心為點(diǎn)O，求△OBC與△ABC的面積．（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知△ABC的重心為點(diǎn)O，請(qǐng)判斷、S△OBCS（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接交對(duì)角線AC于點(diǎn)M．①若正方形ABCD的邊長為4，求EM的長度；②若S△CME=1，求正方形【解析】（1）連接DE，利用相似三角形證明ODAO（2）根據(jù)（1）的證明可求解；（3）①證明△CME∽△ABM得EMBM②分別求出S△BMC和S△ABM即可.【答案】（1）連接DE，如圖，∵點(diǎn)O是△ABC的重心，∴AD，是BC，AC邊上的中線，∴D，E為BC，AC邊上的中點(diǎn)，為△ABC的中位線，∴DE//AB，DE=1∴△ODE~△OAB，，∴AB=2，BD=1∴AD=3，，∴S△ABC（2）由（1）可知，ODOAS△OBC（3）①∵四邊形ABCD是正方形，∴?CD//AB，，∴△∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=∴EMBE=②∴S△CME=1∴S△∵M(jìn)EBM∴S△CME∴S△AMB∴S又S∴S△∴正方形A