2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練3

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練3一．選擇題（共10小題）1．（2024?白山一模）設(shè)集合，，則A． B．， C．， D．2．（2024?張家口三模）已知正數(shù)，滿足，則的最大值為A．5 B．6 C．7 D．83．（2024?遼寧二模）已知，，，則的最小值為A．4 B．6 C． D．4．（2024?海淀區(qū)二模）設(shè)，，，且，則A． B． C． D．5．（2024?昌樂縣校級模擬）若正數(shù)，滿足，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．6．（2024?白山一模）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)，，，，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．則函數(shù)的最小值為A．16 B．25 C．36 D．497．（2024?張家口模擬）設(shè)全集，集合，集合，則A．， B． C．， D．8．（2024?延慶區(qū)一模）已知函數(shù)，則不等式的解集是A． B． C． D．，，9．（2024?延邊州一模）若，則成立的一個必要不充分條件是A． B． C． D．10．（2024?孝南區(qū)校級模擬）已知，則的最小值是A．3 B．4 C．6 D．7二．多選題（共5小題）11．（2024?岳麓區(qū)校級一模）設(shè)，為兩個正數(shù)，定義，的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，，，這是我們熟知的基本不等式．上個世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家．．提出了“均值”，即，其中為有理數(shù)．下列關(guān)系正確的是A．，， B．，， C．， D．，12．（2024?廣東模擬）若，，，則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．13．（2024?甘肅模擬）已知，，若，則A．的最大值為 B．的最小值為1 C．的最小值為8 D．的最小值為14．（2024?江蘇模擬）若正實(shí)數(shù)，滿足，則A． B．有序數(shù)對，，有6個 C．的最小值是 D．15．（2024?蜀山區(qū)校級模擬）已知，為不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．三．填空題（共5小題）16．（2024?源匯區(qū)校級模擬）若，則的最大值為．17．（2024?長寧區(qū)校級三模）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是．18．（2024?浙江模擬）設(shè)，，，，則的最大值為．19．（2024?樊城區(qū)校級模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．20．（2024?棗莊模擬）以表示數(shù)集中最大（小的數(shù)．設(shè)，，，已知，則．四．解答題（共5小題）21．（2024?雅安模擬）已知．（1）若，求的取值范圍；（2）求的最大值．22．（2023?綿陽模擬）已知函數(shù)，，且的解集為，．（1）求的值；（2）若，，，且，證明：．23．（2023?瀘縣校級模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?）求實(shí)數(shù)的范圍；（2）若的最大值為，當(dāng)正數(shù)，滿足時，求的最小值．24．（2023?陜西模擬）已知，，為正實(shí)數(shù)且．（1）求的最小值；（2）當(dāng)時，求的值．25．（2022?上海模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?，則稱為“型函數(shù)”；若，則稱為“型函數(shù)”．（1）設(shè)，，，試判斷是“型函數(shù)”還是“型函數(shù)”；（2）設(shè)，，若既是“型函數(shù)”又是“型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，的值；（3）設(shè)，，，若為“型函數(shù)”，求（2）的取值范圍．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練3參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?白山一模）設(shè)集合，，則A． B．， C．， D．【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法；交集及其運(yùn)算；其他不等式的解法【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；整體思想；集合；數(shù)學(xué)抽象【分析】根據(jù)函數(shù)式有意義列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定義即得．【解答】解：在中，由得，即，，又由可得：，解得，即，，故，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?張家口三模）已知正數(shù)，滿足，則的最大值為A．5 B．6 C．7 D．8【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解【分析】在等式兩邊同時乘以，利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可解得的最大值．【解答】解：因?yàn)?，為正?shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因?yàn)?，所以，在等式兩邊同時乘以，可得：，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，取得最大值8．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，是中檔題．3．（2024?遼寧二模）已知，，，則的最小值為A．4 B．6 C． D．【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；消元法；不等式；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由已知可得且、，再由，應(yīng)用基本不等式求其最小值，注意取值條件．【解答】解：由，，，，即，易知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，所以的最小值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查利用利用基本不等式求最值，屬中檔題．4．（2024?海淀區(qū)二模）設(shè)，，，且，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式；等式與不等式的性質(zhì)【專題】整體思想；數(shù)學(xué)抽象；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】結(jié)合不等式性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)，結(jié)合基本不等式檢驗(yàn)選項(xiàng)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性檢驗(yàn)選項(xiàng)；舉出反例檢驗(yàn)選項(xiàng)．【解答】解：因?yàn)?，，?dāng)，時，顯然錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，錯誤；令，，則，即在上單調(diào)遞增，所以，故，所以，正確；當(dāng)，時，顯然錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式及不等式性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于中檔題．5．（2024?昌樂縣校級模擬）若正數(shù)，滿足，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】邏輯推理；不等式的解法及應(yīng)用；整體思想；定義法【分析】利用基本不等式即可求解．【解答】解：由題意知，為正數(shù)，且，所以，化簡得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題．6．（2024?白山一模）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)，，，，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．則函數(shù)的最小值為A．16 B．25 C．36 D．49【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式，直接計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)檎龜?shù)，，，滿足，又，即，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，所以函數(shù)的最小值為49．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2024?張家口模擬）設(shè)全集，集合，集合，則A．， B． C．， D．【答案】【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用；指、對數(shù)不等式的解法；并集及其運(yùn)算【專題】綜合法；集合；整體思想；數(shù)學(xué)抽象【分析】先求出集合，，然后結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可求解．【解答】解：因?yàn)榧希?，則．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?延慶區(qū)一模）已知函數(shù)，則不等式的解集是A． B． C． D．，，【答案】【考點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)抽象【分析】由已知結(jié)合指數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的圖象及函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由可得，令，，由可得，，因?yàn)?，?）（1），結(jié)合一次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的增長速度可知，與只有兩個交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，即．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)在不等式求解中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．9．（2024?延邊州一模）若，則成立的一個必要不充分條件是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】其他不等式的解法；充分條件與必要條件【專題】綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；簡易邏輯；數(shù)學(xué)抽象【分析】解不等式得或，選出其必要不充分條件即可．【解答】解：，即且，解得或，所以或，對于，是的既不充分也不必要條件；對于，即或，是的必要不充分條件；對于，即或，是的充分不必要條件；對于，是的充分不必要條件；故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了分式不等式的求解，還考查了充分必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?孝南區(qū)校級模擬）已知，則的最小值是A．3 B．4 C．6 D．7【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】不等式的解法及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；轉(zhuǎn)化法【分析】直接利用基本不等式求出最小值即可．【解答】解：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值是6．故選：．【點(diǎn)評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?岳麓區(qū)校級一模）設(shè)，為兩個正數(shù)，定義，的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，，，這是我們熟知的基本不等式．上個世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家．．提出了“均值”，即，其中為有理數(shù)．下列關(guān)系正確的是A．，， B．，， C．， D．，【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式；轉(zhuǎn)化法；新定義；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)基本不等式比較大小可判斷四個選項(xiàng)．【解答】解：對于，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以選項(xiàng)正確；對于，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以選項(xiàng)錯誤；對于，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以選項(xiàng)正確；對于，當(dāng)時，由可知，，所以選項(xiàng)錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了利用基本不等式比較大小的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．12．（2024?廣東模擬）若，，，則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，依次求解．【解答】解：，對于，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故正確；對于，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，故錯誤；對于，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故正確；對于，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．13．（2024?甘肅模擬）已知，，若，則A．的最大值為 B．的最小值為1 C．的最小值為8 D．的最小值為【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法；邏輯推理【分析】對于，選項(xiàng)，直接由基本不等式即可求出最值；對于選項(xiàng)，化為，即可求出最小值；對于選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可．【解答】解：對于選項(xiàng)，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，取等號，所以正確；對于選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值，所以錯誤；對于選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，取等號，所以正確；對于選項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，取等號，所以正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．14．（2024?江蘇模擬）若正實(shí)數(shù)，滿足，則A． B．有序數(shù)對，，有6個 C．的最小值是 D．【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；不等式【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合等式關(guān)系及，的范圍檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合基本不等式檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性與單調(diào)性關(guān)系檢驗(yàn)選項(xiàng)．【解答】解：根據(jù)題意，，，，對于，由題意得，，所以，正確；由題意得，，，由知，，故滿足題意的，有：；，；，；，；，；，共6個，正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，錯誤；，因?yàn)?，所以，，令，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，即，錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．15．（2024?蜀山區(qū)校級模擬）已知，為不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】整體思想；不等式的解法及應(yīng)用；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】選項(xiàng)，方程變形得到，利用基本不等式求出答案；選項(xiàng)，由變形后，利用基本不等式求出最值；選項(xiàng)，由由變形得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，進(jìn)而求出最值情況；選項(xiàng)，由證明出，進(jìn)而證明出．【解答】解：由可知，即，故，因?yàn)?，所以，所以，故，選項(xiàng)正確；由選項(xiàng)可知，，又，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時或，時取“”，選項(xiàng)正確；由選項(xiàng)可知，，又，，故，令，有，令，解得，令，解得，可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故（2），故，選項(xiàng)錯誤；等價(jià)于，即，因?yàn)?，又，，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論，函數(shù)的單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?源匯區(qū)校級模擬）若，則的最大值為．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】不等式；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】借助基本不等式有消去、，對求最大值即可，再應(yīng)用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得解．【解答】解：由題意得：，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，即，則有，則，，又在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，即、時，有最大值，即的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵在于如何將多變量求最值問題中的多變量消去，結(jié)合基本不等式與題目條件可將、消去，再結(jié)合三角函數(shù)的值域與單調(diào)性即可求解，屬中檔題．17．（2024?長寧區(qū)校級三模）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是8．【答案】8．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；不等式【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性可得，的關(guān)系，然后利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以，即為奇函?shù)，因?yàn)榕c都為上遞增的函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，若，，且，則，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的應(yīng)用，還考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2024?浙江模擬）設(shè)，，，，則的最大值為1．【答案】1．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；不等式【分析】由已知設(shè)，，，，，然后結(jié)合不等式性質(zhì)及基本不等式即可求解．【解答】解：設(shè)，，，，，則，所以，則，所以，因?yàn)?，，所以，因此．故答案為?．【點(diǎn)評】本題主要考查了不等式性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（2024?樊城區(qū)校級模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．【考點(diǎn)】運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造基本不等式【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用；整體思想【分析】由，結(jié)合基本不等式求解即可．【解答】解：因?yàn)椋裕?，因?yàn)?，為正?shí)數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．20．（2024?棗莊模擬）以表示數(shù)集中最大（小的數(shù)．設(shè)，，，已知，則．【答案】．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；不等式；整體思想【分析】由，得，設(shè)，則，再結(jié)合基本不等式求解即可．【解答】解：由，得，設(shè)，則，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?雅安模擬）已知．（1）若，求的取值范圍；（2）求的最大值．【答案】（1）．（2）8．【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值【專題】綜合法；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用；整體思想【分析】（1）由得，則，可得結(jié)果．（2）利用基本不等式先求出的最值，再求出的最值，可得結(jié)果．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以且，所以，則，解得，又，所以的取值范圍為．（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，所以的最大值為．【點(diǎn)評】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．22．（2023?綿陽模擬）已知函數(shù)，，且的解集為，．（1）求的值；（2）若，，，且，證明：．【考點(diǎn)】：基本不等式及其應(yīng)用【專題】34：方程思想；49：綜合法；59：不等式的解法及應(yīng)用【分析】（1）運(yùn)用絕對值的解法，即可得到所求值；（2）運(yùn)用乘1法和基本不等式，即可得到證明．【解答】解：（1）函數(shù)，，且的解集為，，可得的解集為，，即有，，，可得；（2）證明：，，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號．【點(diǎn)評】本題考查絕對值不等式的解法，注意運(yùn)用絕對值的含義，考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．23．（2023?瀘縣校級模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?）求實(shí)數(shù)的范圍；（2）若的最大值為，當(dāng)正數(shù)，滿足時，求的最小值．【考點(diǎn)】33：函數(shù)的定義域及其求法【專題】33：函數(shù)思想；：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】（1）利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得出；（2）利用柯西不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，在上恒成立，即，，；?）由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查了絕對值不等式的性質(zhì)、函數(shù)的定義域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．24．（2023?陜西模擬）已知，，為正實(shí)數(shù)且．（1）求的最小值；（2）當(dāng)時，求的值．【答案】（1）的最小值為；（2）．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用【專題】計(jì)算題；整體思想；對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由已知條件，應(yīng)用三元柯西不等式求目標(biāo)式的最小值，注意等號成立條件；（2）由基本不等式可得，結(jié)合條件得，從而求、、的值，即可得的值．【解答】解：（1）由柯西不等式得，，故；當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時，等號成立；故的最小值為；（2）由基本不等式可得，，，，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，，時，等號成立，又，，即，，，．【點(diǎn)評】本題考查了三元柯西不等式及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2022?上海模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?，則稱為“型函數(shù)”；若，則稱為“型函數(shù)”．（1）設(shè)，，，試判斷是“型函數(shù)”還是“型函數(shù)”；（2）設(shè)，，若既是“型函數(shù)”又是“型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，的值；（3）設(shè)，，，若為“型函數(shù)”，求（2）的取值范圍．【答案】（1）是“型函數(shù)”；（2），；（3），．【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域；基本不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】（1）利用基本不等式以及雙勾函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域可求解；（2）分，和，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解；（3）分不同的取值結(jié)合“型函數(shù)”的定義即可求范圍．【解答】解：（1）當(dāng)，時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由于（1），（4），所以函數(shù)的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以是“型函?shù)”；（2），定義域?yàn)椋?，由題意得函數(shù)的值域也為，，顯然，否則值域不可能由負(fù)到正，當(dāng)，時，在，上單調(diào)遞增，則，得，；當(dāng)，時，在，上單調(diào)遞減，則得，；（3），，，由題意得函數(shù)的值域，，當(dāng)時，的最小值（1），當(dāng)時，的最小值（a），當(dāng)時，的最小值（3），當(dāng)時，的最大值（3），當(dāng)時，的最大值（1），因?yàn)椋?），由點(diǎn)所在的可行域，當(dāng)，時，（2）取最大值，最大值為2，當(dāng)（2）與相切，即，時，（2）取最小值，最小值為1，因此（2）的取值范圍是，．【點(diǎn)評】本題以新定義為載體，主要考查了基本不等式及函數(shù)單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．并集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．圖形語言：．A∪B實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運(yùn)算性質(zhì)：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復(fù)．【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題．2．交集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．3．充分條件與必要條件【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．4．等式與不等式的性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．不等式的基本性質(zhì)（1）對于任意兩個實(shí)數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質(zhì)①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?（n∈N，且n＞1）．5．不等關(guān)系與不等式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對于相等關(guān)系來說的，比如與就是相等關(guān)系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞0就是不等式．不等式定理①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥．解：∵sinx≥，∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），∴不等式sinx≥的解集為{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．這個題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點(diǎn)，這個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當(dāng)ab＞0時，a＞b?．證明：由ab＞0，知＞0．又∵a＞b，∴a＞b，即；若，則∴a＞b．這個例題就是上面定理的一個簡單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．6．基本不等式及其應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項(xiàng)中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時，如何求的最大值．解：當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x≠0時，＝，用基本不等式若x＞0時，0＜y≤，若x＜0時，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項(xiàng)點(diǎn)評：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當(dāng)x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”號）技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點(diǎn)評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點(diǎn)評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．7．運(yùn)用基本不等式求最值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．【解題方法點(diǎn)撥】在運(yùn)用均值不等式求最值時，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式x+的最小值，可以利用均值不等式從而得出最小值為2，并且在x＝1時取到最小值．需要注意的是，運(yùn)用不等式時要確保代入的數(shù)值符合不等式的適用范圍，并進(jìn)行必要的等號條件驗(yàn)證．【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計(jì)等．例如，求解一個代數(shù)式的最小值，或設(shè)計(jì)一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計(jì)算．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則的最大值是_____．解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號．故答案為：．8．運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造基本不等式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．【解題方法點(diǎn)撥】在一些復(fù)雜的代數(shù)式問題中，結(jié)合已知條件中的和或積為常熟，可以通過將“1”表示為兩個數(shù)的和或積，從而構(gòu)造均值不等式，簡化問題．【命題方向】運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造均值不等式時，可以通過將“1”表示為兩個數(shù)的和或積，從而應(yīng)用均值不等式．已知實(shí)數(shù)x，y∈R+，且x+y＝4，求的最小值．解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，∴的最小值為：．故答案為：．9．指、對數(shù)不等式的解法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）．步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的討論．（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則．（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解．（4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（6）含絕對值不等式①應(yīng)用分類討論思想去絕對值；②應(yīng)用數(shù)形思想；③應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化．注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：10．其他不等式的解法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】指、對數(shù)不等式的解法其實(shí)最主要的就是兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是判斷指、對數(shù)的單調(diào)性，第二點(diǎn)就是學(xué)會指數(shù)和指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運(yùn)算，下面以例題為講解．【解題方法點(diǎn)撥】例1：已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．證明：對任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）設(shè)h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，當(dāng)x＞1時，h'（x）＞0，h（x）為增，當(dāng)x＜1時，h'（x）＜0，h（x）為減，當(dāng)x＝1時，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．這里面是一個綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點(diǎn)其實(shí)是大家的計(jì)算能力．例2：已知函數(shù)f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴當(dāng)a＞1時，有，解得2＜x＜3．當(dāng)1＞a＞0時，有，解得1＜x＜2．綜上可得，當(dāng)a＞1時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；當(dāng)1＞a＞0時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．這個題考查的就是對數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當(dāng)然也可以右邊移到左邊，然后變成一個對數(shù)函數(shù)來求解也可以．【命題方向】本考點(diǎn)其實(shí)主要是學(xué)會判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點(diǎn)考察學(xué)生的運(yùn)算能力，也是一個比較重要的考點(diǎn)，希望大家好好學(xué)習(xí)．11．一元二次不等式及其應(yīng)用【知