2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練1

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練1一．選擇題（共10小題）1．（2024?湖北模擬）已知集合，，，則下列表述正確的是A． B． C． D．2．（2024?湖北模擬）已知集合，，，，若定義集合運(yùn)算：，，，則集合的所有元素之和為A．6 B．3 C．2 D．03．（2024?寧波二模）已知點(diǎn)集，，，．設(shè)非空點(diǎn)集，若對中任意一點(diǎn)，在中存在一點(diǎn)與不重合），使得線段上除了點(diǎn)，外沒有中的點(diǎn)，則中的元素個數(shù)最小值是A．1 B．2 C．3 D．44．（2024?山東一模）用（A）表示非空集合中的元素個數(shù)，定義，若，，，且，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值組成的集合是，則等于A．1 B．3 C．5 D．75．（2024?河南模擬）已知集合，若集合有15個真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B． C． D．，，6．（2024?重慶模擬）已知集合，則如圖中陰影部分表示的集合為A． B．，1， C．，1， D．，0，1，7．（2024?葫蘆島二模）已知集合，，則A．， B．， C． D．，8．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知集合，，，若，則的最大值是A．4 B．3 C．2 D．19．（2024?大理州二模）已知，其中，，則A．0 B．或 C． D．10．（2023?福建二模）是正整數(shù)集的子集，滿足：，，，并有如下性質(zhì)：若，，則，則的非空子集數(shù)為A．2022 B．2023 C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?宜春模擬）已知，如果實(shí)數(shù)滿足對任意的，都存在，使得，則稱為集合的“開點(diǎn)”，則下列集合中以0為“開點(diǎn)”的集合有A．， B．， C． D．12．（2024?河南模擬）對于的兩個非空子集，，定義運(yùn)算，，則A． B． C．若，則 D．表示一個正方形區(qū)域13．（2024?重慶模擬）指示函數(shù)是一個重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，通常用來表示某個條件的成立情況．已知為全集且元素個數(shù)有限，對于的任意一個子集，定義集合的指示函數(shù)，．若，，，則注：表示中所有元素所對應(yīng)的函數(shù)值之和（其中是定義域的子集）．A． B． C． D．14．（2024?新鄉(xiāng)二模）已知，集合，，，，則下列結(jié)論一定成立的是A． B． C． D．15．（2024?北京模擬）對于數(shù)集，，它們的積，，則A． B．若，則 C． D．集合表示軸所在直線 E．集合表示正方形區(qū)域（含邊界）三．填空題（共5小題）16．（2024?三明模擬）記表示個元素的有限集，（E）表示非空數(shù)集中所有元素的和，若集合，則，若，則的最小值為．17．（2024?浙江模擬）設(shè)集合，2，3，4，5，6，7，8，9，，滿足下列性質(zhì)的集合稱為“翔集合”：集合至少含有兩個元素，且集合內(nèi)任意兩個元素之差的絕對值大于2．則的子集中有個“翔集合”．18．（2024?朝陽區(qū)一模）設(shè)，為兩個非空有限集合，定義其中表示集合的元素個數(shù)．某學(xué)校甲、乙、丙、丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為，，，．已知物理，化學(xué)，生物，地理，物理，化學(xué)，思想政治，歷史，地理，給出下列四個結(jié)論：①若，，則思想政治，歷史，生物；②若，，，則地理，物理，化學(xué)；③若思想政治，物理，生物，則，，，；④若，，，，則思想政治，地理，化學(xué)．其中所有正確結(jié)論的序號是．19．（2024?如皋市模擬）設(shè)集合，，，0，，，2，，則集合滿足條件：“”的元素個數(shù)為．20．（2023?徐匯區(qū)三模）對任意數(shù)集，，，滿足表達(dá)式為且值域為的函數(shù)個數(shù)為．記所有可能的的值組成集合，則集合中元素之和為．四．解答題（共5小題）21．（2024?順義區(qū)一模）給定正整數(shù)，設(shè)集合，，，．若對任意，，2，，，，兩數(shù)中至少有一個屬于，則稱集合具有性質(zhì)．（Ⅰ）分別判斷集合，2，與，0，1，是否具有性質(zhì)；（Ⅱ）若集合，，具有性質(zhì)，求的值；（Ⅲ）若具有性質(zhì)的集合中包含6個元素，且，求集合．22．（2024?新縣校級模擬）給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，，，如果，則稱集合為一個元規(guī)范數(shù)集，并定義的范數(shù)為其中所有元素絕對值之和．（1）判斷，，2，、，，0.5，，哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；（2）任取一個元規(guī)范數(shù)集，求證：；（3）當(dāng)，，，遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù)的最小值．注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù)．23．（2024?凌河區(qū)校級模擬）設(shè)，是兩個非空集合，如果對于集合中的任意一個元素，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的元素和它對應(yīng)，并且不同的對應(yīng)不同的；同時中的每一個元素，都有一個中的元素與它對應(yīng)，則稱為從集合到集合的一一對應(yīng)，并稱集合與等勢，記作．若集合與之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱與不等勢，記作．例如：對于集合，，存在一一對應(yīng)關(guān)系，因此．（1）已知集合，，試判斷是否成立？請說明理由；（2）證明：①；②．24．（2024?景德鎮(zhèn)模擬）設(shè)，是非空集合，定義二元有序?qū)?，為和的笛卡爾積．若，則稱是到的一個關(guān)系．當(dāng)時，則稱與是相關(guān)的，記作．已知非空集合上的關(guān)系是的一個子集，若滿足，有，則稱是自反的：若，，有，則，則稱是對稱的；若，，，有，，則，則稱是傳遞的．且同時滿足以上三種關(guān)系時，則稱是集合中的一個等價關(guān)系，記作．（1）設(shè)，2，3，4，5，，，，，，，，，，，，，2，，，5，，求集合，與，；（2）設(shè)是非空有限集合中的一個等價關(guān)系，記中的子集，為的等價類，求證：存在有限個元素，使得，且對任意，，，2，，；（3）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，其中，，數(shù)列滿足，其中，前項和為．若給出上的兩個關(guān)系和，請求出關(guān)系，判斷是否為上的等價關(guān)系．如果不是，請說明你的理由；如果是，請證明你的結(jié)論并請寫出中所有等價類作為元素構(gòu)成的商集合．25．（2024?馬鞍山模擬）已知是全體復(fù)數(shù)集的一個非空子集，如果，，總有，，，則稱是數(shù)環(huán)．設(shè)是數(shù)環(huán)，如果①內(nèi)含有一個非零復(fù)數(shù)；②，且，有，則稱是數(shù)域．由定義知有理數(shù)集是數(shù)域．（1）求元素個數(shù)最小的數(shù)環(huán)；（2）證明：記，證明：是數(shù)域；（3）若，是數(shù)域，判斷是否是數(shù)域，請說明理由．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練1參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?湖北模擬）已知集合，，，則下列表述正確的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】判斷兩個集合的包含關(guān)系【專題】集合思想；邏輯推理；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】由集合間的關(guān)系判斷即可得解．【解答】解：，，、，，、為奇數(shù)、為任意整數(shù)、．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合的關(guān)系的判斷，集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．2．（2024?湖北模擬）已知集合，，，，若定義集合運(yùn)算：，，，則集合的所有元素之和為A．6 B．3 C．2 D．0【答案】【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)的定義即可求出的元素，從而得解．【解答】解：因為，2，，所以集合的所有元素之和為6．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了元素與集合的關(guān)系，的定義，是基礎(chǔ)題．3．（2024?寧波二模）已知點(diǎn)集，，，．設(shè)非空點(diǎn)集，若對中任意一點(diǎn)，在中存在一點(diǎn)與不重合），使得線段上除了點(diǎn)，外沒有中的點(diǎn)，則中的元素個數(shù)最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】定義法；集合思想；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)整點(diǎn)，的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)與互為素數(shù)，討論只有一個點(diǎn)得到矛盾，進(jìn)而有中元素不止一個，取，分析是否滿足要求即可．【解答】解：對于整點(diǎn)，的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)與互為素數(shù)，若只有一個點(diǎn)，取的點(diǎn)使，和，分別同奇偶，，有公因子2（或重合），不合題意，故中元素不止一個，令，，對于的點(diǎn)，當(dāng)或3時，??；當(dāng)或4時，??；由于、橫坐標(biāo)之差為，故內(nèi)部無整點(diǎn)；當(dāng)，，3，時，取，此時橫坐標(biāo)之差為2，縱坐標(biāo)之差為奇數(shù)，二者互素；當(dāng)，，時，取，此時橫坐標(biāo)之差為3，縱坐標(biāo)之差為，，二者互素；綜上，中的元素個數(shù)最小值是2．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合新定義，考查集合的表示方法，屬于中檔題．4．（2024?山東一模）用（A）表示非空集合中的元素個數(shù)，定義，若，，，且，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值組成的集合是，則等于A．1 B．3 C．5 D．7【答案】【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】集合；計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】結(jié)合題意知（A），從而可得（B）或（B），即方程有1個根或3個根，而由得或，分類討論；當(dāng)時，求解集合，判斷；當(dāng)時，對應(yīng)的根為0和，則（B），再按方程的解的情況分兩類討論，進(jìn)一步檢驗即可．【解答】解：由題意知，（A），，，（B）或（B），即方程有1個根或3個根，若，則或，若，則或，當(dāng)時，，（B），符合題意；當(dāng)時，對應(yīng)的根為0和，若（B），則有以下兩種情況，①當(dāng)有兩個相等的實(shí)數(shù)根時，△，解得，當(dāng)時，，，，（B），符合題意；當(dāng)時，，，，（B），符合題意；②當(dāng)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時，則是的一個根，即，無解；綜上所述，，，；故，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了新定義的應(yīng)用及分類討論的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔題．5．（2024?河南模擬）已知集合，若集合有15個真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B． C． D．，，【答案】【考點(diǎn)】子集與真子集【專題】轉(zhuǎn)化思想；計算題；綜合法【分析】根據(jù)真子集的定義，推斷出集合含有4個元素，即不等式的解集中有且僅有4個整數(shù)解，由此進(jìn)行分類討論，列式算出實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：若集合有15個真子集，則中含有4個元素，結(jié)合，可知，即，且區(qū)間，中含有4個整數(shù)，①當(dāng)時，，的區(qū)間長度，此時，中不可能含有4個整數(shù)；②當(dāng)時，，，，其中含有4、5、6、7共4個整數(shù)，符合題意；③當(dāng)時，，的區(qū)間長度大于3，若，的區(qū)間長度，即．若是整數(shù)，則區(qū)間，中含有4個整數(shù)，根據(jù)，可知，，此時，，，其中含有5、6、7、8共4個整數(shù)，符合題意．若不是整數(shù)，則區(qū)間，中含有5、6、7、8這4個整數(shù)，則必須且，解得；若時，，，，其中含有5、6、7、8、9共5個整數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，，的區(qū)間長度，此時，中只能含有6、7、8、9這4個整數(shù)，故，即，結(jié)合可得．綜上所述，或或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查真子集的定義與性質(zhì)、不等式的整數(shù)解的個數(shù)問題等知識，考查了計算能力、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．6．（2024?重慶模擬）已知集合，則如圖中陰影部分表示的集合為A． B．，1， C．，1， D．，0，1，【答案】【考點(diǎn)】圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算【專題】轉(zhuǎn)化思想；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】圖中陰影部分表示集合，由此即可得．【解答】解：，圖中陰影部分表示的集合為，1，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?葫蘆島二模）已知集合，，則A．， B．， C． D．，【答案】【考點(diǎn)】求集合的交集【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合【分析】結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合，，則，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知集合，，，若，則的最大值是A．4 B．3 C．2 D．1【答案】【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【專題】綜合法；集合思想；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計算題【分析】解出集合，由集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可得出實(shí)數(shù)的最大值．【解答】解：因為，由可得，解得，即，，又因為，，則，解得，故的最大值為2．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的包含關(guān)系，屬于中檔題．9．（2024?大理州二模）已知，其中，，則A．0 B．或 C． D．【答案】【考點(diǎn)】兩個集合相等的應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；轉(zhuǎn)化法；集合【分析】根據(jù)集合相等及一元二次方程的解法可得出所求的參數(shù)的值．【解答】解：由題意知：為方程的根，當(dāng)時，方程轉(zhuǎn)化為，解得，所以；當(dāng)時，有，此時．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合相等的概念及一元二次方程的解法，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．10．（2023?福建二模）是正整數(shù)集的子集，滿足：，，，并有如下性質(zhì)：若，，則，則的非空子集數(shù)為A．2022 B．2023 C． D．【答案】【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；直觀想象；集合；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)題意，求出，再根據(jù)子集的個數(shù)與集合元素個數(shù)之間的關(guān)系即可得答案．【解答】解：由題意可知：若，，則，，，均屬于，而事實(shí)上，若，中，所以，故，中有正整數(shù)，從而中相鄰兩數(shù)不可能大于等于2，故2，3，，，若，，則有，與矛盾，當(dāng)時，，當(dāng)時，則，所以，，所以，2，，，所以非空子集有個．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了求非空子集的個數(shù)，難點(diǎn)在于求出，也考查了邏輯推理能力，屬于難題．二．多選題（共5小題）11．（2024?宜春模擬）已知，如果實(shí)數(shù)滿足對任意的，都存在，使得，則稱為集合的“開點(diǎn)”，則下列集合中以0為“開點(diǎn)”的集合有A．， B．， C． D．【答案】【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】綜合法；綜合題；集合；集合思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由開點(diǎn)的定義和元素和集合的關(guān)系可求得結(jié)果．【解答】解：對于，對任意的，存在，使得，故正確；對于，假設(shè)集合，以0為“開點(diǎn)“，則對任意的，存在，，使得，當(dāng)時，該式不成立，故錯誤；對于，假設(shè)集合以0為“開點(diǎn)“，則對任意的，存在，使得，故正確；對于，集合，，，當(dāng)時，，時，使得不成立，故錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于中檔題．12．（2024?河南模擬）對于的兩個非空子集，，定義運(yùn)算，，則A． B． C．若，則 D．表示一個正方形區(qū)域【答案】【考點(diǎn)】子集與真子集；交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計算題；轉(zhuǎn)化思想；集合【分析】根據(jù)新定義逐個選項判斷即可．【解答】解：對于選項，由題意知，，表示以數(shù)集中的數(shù)為橫坐標(biāo)，數(shù)集中的數(shù)為縱坐標(biāo)的點(diǎn)的集合，故，故選項錯誤；對于選項，因為，，，又，，，，所以，則選項正確；對于選項，若，則，故選項正確；對于選項，若，集合只包含一個點(diǎn)，故選項錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合新定義，屬于中檔題．13．（2024?重慶模擬）指示函數(shù)是一個重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，通常用來表示某個條件的成立情況．已知為全集且元素個數(shù)有限，對于的任意一個子集，定義集合的指示函數(shù)，．若，，，則注：表示中所有元素所對應(yīng)的函數(shù)值之和（其中是定義域的子集）．A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合【分析】充分利用，以及的定義，推導(dǎo)出當(dāng)時，，，均為0，當(dāng)時，，，中至少一個為1，結(jié)合的定義化簡求解．【解答】解：對于，，，，故錯誤；對于，若，則，，，此時滿足，若且時，，，，若且時，，，，若且時，，，，綜上可得，故正確；對于，，，，，，故正確；對于，，當(dāng)時，，，中至少一個為1，，當(dāng)時，，，均為0，，，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合中元素與集合的關(guān)系、新定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是難題．14．（2024?新鄉(xiāng)二模）已知，集合，，，，則下列結(jié)論一定成立的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【專題】綜合題；集合；集合思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)集合代表的含義，結(jié)合直線過定點(diǎn)以及直線與圓的關(guān)系，圓與圓的關(guān)系，即可結(jié)合選項逐一求解．【解答】解：表示過定點(diǎn)，且斜率為的直線的點(diǎn)構(gòu)成的集合，表示過定點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)構(gòu)成的集合，；表示圓心為，半徑為的圓上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，表示圓心為，半徑為的圓上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，對于，集合，中的直線平行，故，故正確；對于，由于，故在圓內(nèi)，故經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相交，，故正確，對于，由于，故在圓外，此時不一定成立，故錯誤；對于，由于，故兩圓相交，，錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的交集，屬于中檔題．15．（2024?北京模擬）對于數(shù)集，，它們的積，，則A． B．若，則 C． D．集合表示軸所在直線 E．集合表示正方形區(qū)域（含邊界）【答案】【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；集合；集合思想；定義法【分析】根據(jù)新定義逐個選項判斷即可．【解答】解：由題知，，表示數(shù)集中的數(shù)表示橫坐標(biāo)，數(shù)集中的數(shù)表示縱坐標(biāo)，組成的點(diǎn)的全體，故，錯；若，則，正確；，，，，，，，則，正確；集合表示軸所在直線，正確；集合表示正方形區(qū)域（含邊界），正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查集合新定義，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?三明模擬）記表示個元素的有限集，（E）表示非空數(shù)集中所有元素的和，若集合，則，7，8，，若，則的最小值為．【答案】，7，8，；21．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；定義法；集合；集合思想【分析】第一空，根據(jù)集合新定義可寫出的所有可能情況，即可求得答案；第二空，由題意求出，4，5，，，利用等差數(shù)列的求和公式列不等式，結(jié)合解一元二次不等式求出的范圍，即可求得答案．【解答】解：當(dāng)，時，表示3個元素的有限集，由可知，2，或，2，或，3，或，3，，故，7，8，；由題意知，4，5，，，故由可得，即，解得或（舍去），結(jié)合，故的最小值為21，故答案為：，7，8，；21．【點(diǎn)評】本題考查了集合新定義，屬于中檔題．17．（2024?浙江模擬）設(shè)集合，2，3，4，5，6，7，8，9，，滿足下列性質(zhì)的集合稱為“翔集合”：集合至少含有兩個元素，且集合內(nèi)任意兩個元素之差的絕對值大于2．則的子集中有49個“翔集合”．【答案】49．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】集合；對應(yīng)思想；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；直觀想象；綜合法【分析】設(shè)滿足題意性質(zhì)的子集個數(shù)為，則有，，當(dāng)時，分為有的子集和不含有的子集，分別求解，即可得答案．【解答】解：設(shè)集合，2，3，，中滿足題設(shè)性質(zhì)的子集個數(shù)為，則，，當(dāng)時，可將滿足題設(shè)性質(zhì)的子集分為如下兩類：一類是含有的子集，去掉后剩下小于單元子集或者是，2，3，，滿足題設(shè)性質(zhì)的子集，前者有個，后者有個；另一類是不含有的子集，此時恰好是，2，3，，滿足題設(shè)性質(zhì)的子集，有個，于是，又，，所以，，，，，．故答案為：49．【點(diǎn)評】本題屬于新概念題，考查了求子集的個數(shù)，關(guān)鍵點(diǎn)在于理解“翔集合”的概念，屬于中檔題．18．（2024?朝陽區(qū)一模）設(shè)，為兩個非空有限集合，定義其中表示集合的元素個數(shù)．某學(xué)校甲、乙、丙、丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為，，，．已知物理，化學(xué)，生物，地理，物理，化學(xué)，思想政治，歷史，地理，給出下列四個結(jié)論：①若，，則思想政治，歷史，生物；②若，，，則地理，物理，化學(xué)；③若思想政治，物理，生物，則，，，；④若，，，，則思想政治，地理，化學(xué)．其中所有正確結(jié)論的序號是①③．【答案】①③．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】邏輯推理；推理和證明；整體思想；定義法【分析】對于①③：直接根據(jù)定義計算即可；對于②：通過定義計算得到必為偶數(shù)，討論和兩種情況下的求解即可；對于④：通過舉例物理，地理，歷史來說明．【解答】解：對于①：，所以，所以，又地理，物理，化學(xué)，所以思想政治，歷史，生物，①正確；對于②：，，，即，所以，所以必為偶數(shù)，又，當(dāng)時，，不符合，所以且，此時情況較多，比如物理，地理，生物，②錯誤；對于③：若思想政治，物理，生物，則，，，所以，，，，③正確；對于④：當(dāng)物理，地理，歷史時，，，，滿足，，，，但不是思想政治，地理，化學(xué)，④錯誤．故答案為：①③．【點(diǎn)評】本題屬于新定義試題，考查對于新定義的理解以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（2024?如皋市模擬）設(shè)集合，，，0，，，2，，則集合滿足條件：“”的元素個數(shù)為18．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】計算題；分類討論；分類法；集合；排列組合【分析】由題意可知分與討論，從而解得．【解答】解：，且，0，，當(dāng)時，，，中兩個0，一個2或；故共有種；當(dāng)時，，，中一個0，另兩個是2或；故共有種；故共有18個元素，故答案為：18．【點(diǎn)評】本題考查了排列組合的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．20．（2023?徐匯區(qū)三模）對任意數(shù)集，，，滿足表達(dá)式為且值域為的函數(shù)個數(shù)為．記所有可能的的值組成集合，則集合中元素之和為643．【答案】643．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；邏輯推理；集合；集合思想【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)并作出圖象，求出集合，進(jìn)而求得答案作答．【解答】解：，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值0，當(dāng)時，該函數(shù)取得極小值，圖象如圖，觀察圖象知，當(dāng)，2，與圖象有一個公共點(diǎn)時，相應(yīng)的有1種取法，當(dāng)，2，與圖象有兩個公共點(diǎn)時，相應(yīng)的有種取法，當(dāng)，2，與圖象有三個公共點(diǎn)時，相應(yīng)的有種取法，直線，，與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)可能的取值為：，1，，，1，，，1，，，2，，，2，，，3，，，2，，，3，，，3，，對應(yīng)的函數(shù)個數(shù)為1，3，7，，，，，，，集合中元素之和為：．故答案為：643．【點(diǎn)評】本題考查元素與集合的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是難題．四．解答題（共5小題）21．（2024?順義區(qū)一模）給定正整數(shù)，設(shè)集合，，，．若對任意，，2，，，，兩數(shù)中至少有一個屬于，則稱集合具有性質(zhì)．（Ⅰ）分別判斷集合，2，與，0，1，是否具有性質(zhì)；（Ⅱ）若集合，，具有性質(zhì)，求的值；（Ⅲ）若具有性質(zhì)的集合中包含6個元素，且，求集合．【答案】（Ⅰ）集合，2，不具有性質(zhì)，集合，0，1，具有性質(zhì)．（Ⅱ）．（Ⅲ）或．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷；數(shù)列的應(yīng)用【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（Ⅰ）根據(jù)性質(zhì)的定義，即可判斷兩個集合是否滿足．（Ⅱ）根據(jù)性質(zhì)的定義，首先確定，，，再討論是否屬于集合，0，，即可確定的取值，即可求解．（Ⅲ）首先確定集合中有0，并且有正數(shù)和負(fù)數(shù)，然后根據(jù)性質(zhì)討論集合中元素的關(guān)系，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）集合，2，中的，2，，，2，，所以集合，2，不具有性質(zhì)，集合，0，1，中的任何兩個相同或不同的元素，相加或相減，兩數(shù)中至少有一個屬于集合，0，1，，所以集合，0，1，具有性質(zhì)；（Ⅱ）若集合，，具有性質(zhì)，記，，，則，令，則，，，從而必有，，，不妨設(shè)，則，0，，且，令，，則，，0，，且，，0，，且，以下分類討論：①當(dāng)，0，時，若，此時，，0，滿足性質(zhì)；若，舍；若，無解；②當(dāng)，0，時，則，，0，，注意且，可知無解；經(jīng)檢驗，0，符合題意，綜上；（Ⅲ）首先容易知道集合中有0，有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，，，，0，，，，，其中，，，根據(jù)題意，，，，，，且，，，，，，從而，，或，①當(dāng)，，時，，，，并且，，，，，由上可得，，，，，并且，綜上可知，，，0，，；②當(dāng)，，時，同理可得，，0，，，，據(jù)此，當(dāng)中有包含6個元素，且時，符合條件的集合有5個，分別是，，0，1，2，，，，0，，1，，，，0，，，，，，，0，1，，，，，0，，．【點(diǎn)評】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于中檔題．22．（2024?新縣校級模擬）給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，，，如果，則稱集合為一個元規(guī)范數(shù)集，并定義的范數(shù)為其中所有元素絕對值之和．（1）判斷，，2，、，，0.5，，哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；（2）任取一個元規(guī)范數(shù)集，求證：；（3）當(dāng)，，，遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù)的最小值．注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù)．【答案】（1）集合不是規(guī)范數(shù)集；集合是規(guī)范數(shù)集；（2）答案見解析；（3）．【考點(diǎn)】集合交并補(bǔ)混合關(guān)系的應(yīng)用【專題】綜合法；集合；新定義；分類討論；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理【分析】（1）根據(jù)元規(guī)范數(shù)集的定義，只需判斷集合，中的元素兩兩相減的差的絕對值，是否都大于等于1即可；（2）利用元規(guī)范數(shù)集的定義，得到，從而分類討論，和，三種情況，結(jié)合取絕對值的方法即可證明；（3）利用規(guī)范數(shù)集的定義和（2）的結(jié)論即可得解．【解答】（1）解：對于集合，，2，，因為，所以集合不是規(guī)范數(shù)集；對于集合，，0.5，，，，，，，所以集合相伴數(shù)集，2，，即，故集合是規(guī)范數(shù)集．（2）證明：不妨設(shè)集合中的元素為，即，，因為為規(guī)范數(shù)集，則，，則，且，，使得，當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時，等號成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)且時，等號成立；當(dāng)，時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；綜上所述，．（3）解：不妨設(shè)，因為為規(guī)范數(shù)集，則，，則，且，，使得，所以對于，，，同樣有，，則，由（2）的證明過程與結(jié)論，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，，，，所以范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以范數(shù)的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查新定義的理解與運(yùn)用，分類討論的熟悉思想方法，屬難題．23．（2024?凌河區(qū)校級模擬）設(shè)，是兩個非空集合，如果對于集合中的任意一個元素，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的元素和它對應(yīng)，并且不同的對應(yīng)不同的；同時中的每一個元素，都有一個中的元素與它對應(yīng)，則稱為從集合到集合的一一對應(yīng)，并稱集合與等勢，記作．若集合與之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱與不等勢，記作．例如：對于集合，，存在一一對應(yīng)關(guān)系，因此．（1）已知集合，，試判斷是否成立？請說明理由；（2）證明：①；②．【答案】（1）成立，理由見解析；（2）證明見解析．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】分析法；數(shù)據(jù)分析；集合思想；新定義；集合【分析】（1）根據(jù)新定義判斷即可；（2）①取特殊函數(shù)滿足定義域為，值域為即可利用其證明；②設(shè)，，假設(shè)，利用反證法得證．【解答】解：（1）設(shè)，，，令則與存在一一對應(yīng)，所以集合．（2）①取函數(shù)，其中，，兩個集合之間存在一一對應(yīng)，故．備注：函數(shù)舉例不唯一，只要保證定義域為，值域為即可，如：或等均可，②設(shè)，，假設(shè)，即存在對應(yīng)關(guān)系為一一對應(yīng)，對于集合中的元素，，，，至少存在一個與這三個集合中的某一個對應(yīng)，所以集合中必存在．記，則，故，從而存在，使得（a）；若，則（a），矛盾；若，則（a），矛盾．因此，不存在到的一一對應(yīng)，所以．【點(diǎn)評】本題考查集合的應(yīng)用，考查理解能力和分析能力，屬于難題．24．（2024?景德鎮(zhèn)模擬）設(shè)，是非空集合，定義二元有序?qū)?，為和的笛卡爾積．若，則稱是到的一個關(guān)系．當(dāng)時，則稱與是相關(guān)的，記作．已知非空集合上的關(guān)系是的一個子集，若滿足，有，則稱是自反的：若，，有，則，則稱是對稱的；若，，，有，，則，則稱是傳遞的．且同時滿足以上三種關(guān)系時，則稱是集合中的一個等價關(guān)系，記作．（1）設(shè)，2，3，4，5，，，，，，，，，，，，，2，，，5，，求集合，與，；（2）設(shè)是非空有限集合中的一個等價關(guān)系，記中的子集，為的等價類，求證：存在有限個元素，使得，且對任意，，，2，，；（3）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，其中，，數(shù)列滿足，其中，前項和為．若給出上的兩個關(guān)系和，請求出關(guān)系，判斷是否為上的等價關(guān)系．如果不是，請說明你的理由；如果是，請證明你的結(jié)論并請寫出中所有等價類作為元素構(gòu)成的商集合．【答案】（1），3，4，5，，，2，4，；（2）證明見解答；（3）為奇數(shù)，是上的等價關(guān)系，證明見解答．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；集合；整體思想；綜合題【分析】（1）結(jié)合所給定義，分別求出，2，3時對應(yīng)的的值，，5，6時對應(yīng)的的值；（2）結(jié)合所給定義中的自反性、對稱性與傳遞性，借助反證法可得：，，總有或，即可得證；（3）借助等差數(shù)列的性質(zhì)計算可得數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合題目所給條件借助反證法可得，結(jié)合所給定義及奇偶性的討論即可得解．【解答】解：（1）由，，，2，，，，，，，，，，，，當(dāng)時，有，3，4，6，當(dāng)時，有，5，當(dāng)時，有，有，3，4，5，，又，5，，，，當(dāng)時，有，4，當(dāng)時，有，5，當(dāng)時，有，則，2，4，；（2）證明：因為是中的一個等價關(guān)系，由自反性可知，故不為空集．若，不妨假設(shè)，所以必有與，由自反性可知即，再由傳遞性可知．，則，而，即，于是由傳遞性有，故，所以．同理可證明，所以．綜上所述，，，總有或．任取構(gòu)成，又任取構(gòu)成，再任取構(gòu)成，，以此類推，因為是有限集合，結(jié)合上述結(jié)論可知必存在有限個元素，2，，，使得，其中；（3）證明：因為，，所以，故，，所以必存在．由題意可知當(dāng)時，有，整理即：，將代入得：，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，當(dāng)時，有，顯然成立．當(dāng)時，因為，，即數(shù)列不為常數(shù)列，則，所以，所以，即，由．而，因為，所以，而，顯然此方程無解，所以，與題意矛盾，綜上所述只有．所以．因為，由于數(shù)列不為常數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，故為奇數(shù)．所以，，而為奇數(shù)，所以與一奇一偶，所以，，，三奇一偶或兩奇兩偶，又，所以，，，不可能三奇一偶，故，均為奇數(shù)，，均為偶數(shù)或，均為偶數(shù)，，均為奇數(shù)．所以或，當(dāng)時，，，所以是自反的；當(dāng)，，將，與，取值對調(diào)，則，，所以是對稱的；當(dāng)，與，，即，其中，，為奇數(shù)，，，為偶數(shù)或，，為偶數(shù)，，，為奇數(shù)，所以，，所以是傳遞的．綜上所述，是上的等價關(guān)系，其中．【點(diǎn)評】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于難題．25．（2024?馬鞍山模擬）已知是全體復(fù)數(shù)集的一個非空子集，如果，，總有，，，則稱是數(shù)環(huán)．設(shè)是數(shù)環(huán)，如果①內(nèi)含有一個非零復(fù)數(shù)；②，且，有，則稱是數(shù)域．由定義知有理數(shù)集是數(shù)域．（1）求元素個數(shù)最小的數(shù)環(huán)；（2）證明：記，證明：是數(shù)域；（3）若，是數(shù)域，判斷是否是數(shù)域，請說明理由．【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（3）不一定是數(shù)域，理由見解析．【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)數(shù)環(huán)的概念求解；（2）根據(jù)數(shù)域的概念證明；（3）不一定是數(shù)域，舉反例說明即可．【解答】解：（1）是數(shù)環(huán)，所以集合非空，即至少含有一個復(fù)數(shù)，取，則，而顯然是一個數(shù)環(huán)，故；（2）證明：顯然，對任意，，，，，，所以，，所以是數(shù)環(huán)，又因為，故是一個數(shù)域；（3）不一定是數(shù)域，理由如下：取，，，則，但，故不是數(shù)域，而若，是數(shù)域，且，則是數(shù)域．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合中的新定義問題，考查了元素與集合的關(guān)系，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）點(diǎn)評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．2．兩個集合相等的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】對于兩個有限數(shù)集A＝B，則這兩個有限數(shù)集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質(zhì)：①兩個集合的元素個數(shù)相等；②兩個集合的元素之和相等；③兩個集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實(shí)質(zhì)是一致的，只是表達(dá)方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個集合相等的依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個元素都在B中，而且B中的每一個元素都在A中．解題時往往只解答一個問題，忽視另一個問題；解題后注意集合滿足元素的互異性．【命題方向】已知集合A＝{0，2，4}，．若A＝B，則實(shí)數(shù)n的值為（）解：由題意，得m+n＝0或，當(dāng)m+n＝0時，，即m＝2n+4，故2n+4+n＝0，解得，故，所以B＝{4，0，2}，滿足題意；當(dāng)時，m+n＝2，解得n＝2，所以n＝2或．3．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】概念：1．如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題．4．判斷兩個集合的包含關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，則（）A．A＞BB．B∈AC．A?BD．B?A解：由題意可得，B?A．故選：D．5．集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】設(shè)m為實(shí)數(shù)，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，滿足B?A，則m的取值范圍是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B?A，∴當(dāng)m＞2m﹣1時，即m＜1時，B＝?，符合題意；當(dāng)m≥1時，可得，解得．綜上所述，，即m的取值范圍是．故答案為：．6．子集與真子集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、子集定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對于子集來說的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}3、真子集和子集的區(qū)別子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且B?A時，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時成立的；子集個數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．【命題方向】本考點(diǎn)要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個數(shù)問題，常常與集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．7．交集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)