2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之圓錐曲線綜合

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之圓錐曲線綜合一．選擇題（共10小題）1．（2024?遼陽二模）由動點向圓引兩條切線，，切點分別為，，若四邊形為正方形，則動點的軌跡方程為A． B． C． D．2．（2024?安徽模擬）已知，為圓上的動點，且動點滿足：，記點的軌跡為，則A．為一條直線 B．為橢圓 C．為與圓相交的圓 D．為與圓相切的圓3．（2024?皇姑區(qū)四模）如圖，在棱長為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點，為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則點的軌跡長度為A． B． C． D．4．（2024?重慶模擬）長為2的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則點關(guān)于點的對稱點的軌跡方程為A． B． C． D．5．（2024?河北模擬）已知是圓上的動點，點滿足，記點的軌跡為，若圓與軌跡的公共弦方程為，則A．， B．， C． D．6．（2024?閔行區(qū)三模）設(shè)為曲線上的任意一點，記到的準線的距離為．若關(guān)于點集和，，給出如下結(jié)論：①任意，中總有2個元素；②存在，使得．其中正確的是A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立7．（2024?回憶版）已知曲線，從上任意一點向軸作垂線，為垂足，則線段的中點的軌跡方程為A． B． C． D．8．（2024?淄博模擬）在平面直角坐標系中，已知，，動點滿足，且，則下列說法正確的是A．點的軌跡為圓 B．點到原點最短距離為2 C．點的軌跡是一個正方形 D．點的軌跡所圍成的圖形面積為249．（2024?德州模擬）已知點為圓上一動點，點滿足，記點的軌跡為．直線上有一動點，直線與相切于點，則的最小值為A．2 B． C． D．10．（2024?石景山區(qū)一模）對于曲線，給出下列三個命題：①關(guān)于坐標原點對稱；②曲線上任意一點到坐標原點的距離不小于2；③曲線與曲線有四個交點．其中正確的命題個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3二．多選題（共5小題）11．（2024?遵義二模）已知平面內(nèi)曲線，下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點對稱 B．曲線所圍成圖形的面積為 C．曲線上任意兩點同距離的最大值為 D．若直線與曲線交于不同的四點，則12．（2024?蘇州模擬）從地球觀察，太陽在公轉(zhuǎn)時會圍繞著北極星旋轉(zhuǎn)．某蘇州地區(qū)（經(jīng)緯度約，的地理興趣小組探究此現(xiàn)象時，在平坦的地面上垂直豎起一根標桿，光在宇宙中的彎曲效應(yīng)可忽略不計，則桿影可能的軌跡是A．半圓形 B．雙曲線 C．直線 D．橢圓13．（2024?太原模擬）已知兩定點，，動點滿足條件，其軌跡是曲線，過作直線交曲線于，兩點，則下列結(jié)論正確的是A．取值范圍是 B．當點，，，不共線時，面積的最大值為6 C．當直線斜率時，平分 D．最大值為14．（2024?河南模擬）在平面直角坐標系中，，為曲線上任意一點，則A．與曲線有4個公共點 B．點不可能在圓外 C．滿足且的點有5個 D．到軸的最大距離為15．（2024?錦州模擬）已知曲線，則A．過原點 B．關(guān)于原點對稱 C．只有兩條對稱軸 D．，，，三．填空題（共5小題）16．（2024?長春模擬）已知菱形的各邊長為2，．如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時．若是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持則點的軌跡的面積為．17．（2024?南昌二模）如圖，有一張較大的矩形紙片，，分別為，的中點，點在上，．將矩形按圖示方式折疊，使直線（被折起的部分）經(jīng)過點，記上與點重合的點為，折痕為．過點再折一條與平行的折痕，并與折痕交于點，按上述方法多次折疊，點的軌跡形成曲線．曲線在點處的切線與交于點，則的面積的最小值為．18．（2024?陽江模擬）已知曲線是平面內(nèi)到定點與到定直線的距離之和等于6的點的軌跡，若點在上，對給定的點，用表示的最小值，則的最小值為．19．（2024?梅州模擬）在平面直角坐標系中，為坐標原點，定義，、，兩點之間的“直角距離”為．已知兩定點，，則滿足，，的點的軌跡所圍成的圖形面積為．20．（2024?昌平區(qū)模擬）已知曲線，為坐標原點．給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形；②經(jīng)過坐標原點的直線與曲線有且僅有一個公共點；③直線與曲線所圍成的圖形的面積為；④設(shè)直線，當時，直線與曲線恰有三個公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是．四．解答題（共5小題）21．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點，分別為橢圓的左、右頂點．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點的動直線交雙曲線右支于，兩點，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；求的取值范圍．22．（2024?赤峰模擬）已知點為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點，設(shè)點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點，且為線段的中點．證明：直線與曲線有且僅有一個交點；求的取值范圍．23．（2024?廣東模擬）已知動圓過點，且被軸截得的線段長為4，記動圓圓心的軌跡為曲線．過點的直線交于，兩點，過與垂直的直線交于，兩點，其中，在軸上方，，分別為，的中點．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）證明：直線過定點；24．（2024?天津）已知橢圓的離心率，左頂點為，下頂點為，是線段的中點，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點的動直線與橢圓有兩個交點，，在軸上是否存在點使得恒成立．若存在，求出這個點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．25．（2024?吉林三模）已知點，直線，動圓與直線相切，交線段于點，且．（Ⅰ）求圓心的軌跡方程，并說明是什么曲線；（Ⅱ）過點且傾斜角大于的直線與軸交于點，與的軌跡相交于兩點，，且，求的值及的取值范圍．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之圓錐曲線綜合參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?遼陽二模）由動點向圓引兩條切線，，切點分別為，，若四邊形為正方形，則動點的軌跡方程為A． B． C． D．【答案】【考點】軌跡方程【專題】整體思想；直線與圓；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】由題意可得，再結(jié)合圓的定義求解即可．【解答】解：圓，圓心，半徑，因為四邊形為正方形，所以，所以動點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，即動點的軌跡方程為．故選：．【點評】本題主要考查了求動點的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?安徽模擬）已知，為圓上的動點，且動點滿足：，記點的軌跡為，則A．為一條直線 B．為橢圓 C．為與圓相交的圓 D．為與圓相切的圓【答案】【考點】軌跡方程【專題】定義法；直線與圓；函數(shù)思想；邏輯推理【分析】設(shè)，，由，得到點坐標，設(shè)點坐標為，用點坐標表示點坐標，并代入圓，得到點的軌跡方程，再利用圓心距與半徑的關(guān)系判點的軌跡與圓的位置關(guān)系．【解答】解：設(shè)，，由，可得，所以點坐標為，，設(shè)點坐標為，則，即，把代入圓，則點的軌跡的方程為：，即是圓心為，半徑為1的圓，由于兩圓的圓心距和兩圓的半徑和相等，因此兩圓外切，即為與圓相切的圓．故選：．【點評】本題考查圓的軌跡方程，屬于中檔題．3．（2024?皇姑區(qū)四模）如圖，在棱長為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點，為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則點的軌跡長度為A． B． C． D．【答案】【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；異面直線及其所成的角；軌跡方程【專題】空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】可得平面，可得點的軌跡為圓，由此即可得．【解答】解：以為坐標原點，，，所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，，2，，，1，，，0，，，0，，，2，，故，，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，，故，因為，故平面，為平面上的動點，直線與直線的夾角為，平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，即為點的軌跡，其中，由對稱性可知，，故半徑，故點的軌跡長度為．故選：．【點評】本題考查立體中的軌跡問題，屬于中檔題．4．（2024?重慶模擬）長為2的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則點關(guān)于點的對稱點的軌跡方程為A． B． C． D．【答案】【考點】軌跡方程【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；方程思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】設(shè)點、，、，由已知條件可得出，分析可知，為的中點，可得出，代入等式化簡可得出點的軌跡方程．【解答】解：設(shè)點、，、，則，可得，因為點關(guān)于點的對稱點為，則為的中點，所以，可得，將代入，可得，即，因此，點的軌跡方程為．故選：．【點評】本題考查了求點的軌跡方程，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?河北模擬）已知是圓上的動點，點滿足，記點的軌跡為，若圓與軌跡的公共弦方程為，則A．， B．， C． D．【答案】【考點】軌跡方程【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；計算題；整體思想；直線與圓【分析】利用相關(guān)點法求得圓的軌跡方程，進而得到兩圓的公共弦的方程，利用待定系數(shù)法得到關(guān)于，的方程組，解之即可得解．【解答】解：因為點是圓上的動點，點滿足，設(shè)，，，則，所以，即，代入圓的方程，可得，即，可得兩圓的公共弦的方程為，即，又因為兩圓的公共弦的方程為，可得，解得．故選：．【點評】本題考查了圓的軌跡方程，屬于中檔題．6．（2024?閔行區(qū)三模）設(shè)為曲線上的任意一點，記到的準線的距離為．若關(guān)于點集和，，給出如下結(jié)論：①任意，中總有2個元素；②存在，使得．其中正確的是A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立【答案】【考點】曲線與方程；命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】根據(jù)題意可得點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當點在原點時，點在點的軌跡圓外，即可得出結(jié)論．【解答】解：曲線的焦點，則，由得，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的圓心，當點在原點處時，，此時，此時點的軌跡方程為，因為，所以點在圓外，則存在，使得兩圓相離，即，故①錯誤，②正確，故選：．【點評】本題考查拋物線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．7．（2024?回憶版）已知曲線，從上任意一點向軸作垂線，為垂足，則線段的中點的軌跡方程為A． B． C． D．【答案】【考點】軌跡方程；圓錐曲線的軌跡問題【專題】邏輯推理；數(shù)學(xué)運算；方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】設(shè)，，由題意及中點坐標公式可得點的坐標，利用代入法，即可求得線段的中點的軌跡方程．【解答】解：設(shè)，，則，由中點坐標公式得，因為點在曲線上，所以，故線段的中點的軌跡方程為．故選：．【點評】本題考查代入法求軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?淄博模擬）在平面直角坐標系中，已知，，動點滿足，且，則下列說法正確的是A．點的軌跡為圓 B．點到原點最短距離為2 C．點的軌跡是一個正方形 D．點的軌跡所圍成的圖形面積為24【答案】【考點】軌跡方程【專題】數(shù)形結(jié)合；直線與圓；平面向量及應(yīng)用；計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運算【分析】設(shè)點坐標為，由已知條件，結(jié)合向量的坐標表示可用，表示，，結(jié)合可得，的關(guān)系，進而可求點的軌跡方程，再由平行四邊形面積公式檢驗選項．【解答】解：設(shè)點坐標為，由已知條件，可得，又因為，所以點坐標對應(yīng)軌跡方程為，，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為；，且時，方程為．點對應(yīng)的軌跡如圖所示：，所以點的軌跡為菱形，，錯誤；原點到直線的距離為：，所以不正確．軌跡圖形是平行四邊形，面積為；正確．故選：．【點評】本題主要考查了點的軌跡的求解，考查了綜合解決問題的能力，屬于難題9．（2024?德州模擬）已知點為圓上一動點，點滿足，記點的軌跡為．直線上有一動點，直線與相切于點，則的最小值為A．2 B． C． D．【答案】【考點】軌跡方程【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；直線與圓；方程思想【分析】設(shè)，，由在圓上，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標表示，可得的軌跡方程，再由圓的切線的性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合點到直線的距離公式，可得所求值．【解答】解：設(shè)，，由點滿足，可得，，即有，，由在圓上，可得，即，圓心，半徑，由直角三角形的勾股定理，可得，即，要求的最小值，只需求的最小值．由點到直線的距離公式，可得，則的最小值為．故選：．【點評】本題考查圓的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．10．（2024?石景山區(qū)一模）對于曲線，給出下列三個命題：①關(guān)于坐標原點對稱；②曲線上任意一點到坐標原點的距離不小于2；③曲線與曲線有四個交點．其中正確的命題個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【考點】曲線與方程【專題】數(shù)學(xué)運算；方程思想；綜合法；直線與圓【分析】將換為，換為，方程不變，可判斷①；方程變?yōu)?，由基本不等式可判斷②；由對稱性可考慮第一象限的交點個數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點存在定理和函數(shù)的單調(diào)性，可判斷③．【解答】解：將換為，換為，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱，故①正確；由，可得，解得即有，故②正確；由曲線和曲線都關(guān)于原點對稱，都關(guān)于，軸對稱，可考慮第一象限的交點個數(shù)．由和，可得，設(shè)，由（1），，（2），可得在和各有一個零點，又和在遞減，則第一象限的交點個數(shù)為2，可得曲線與曲線有8個交點，故③錯誤．故選：．【點評】本題考查曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和曲線的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?遵義二模）已知平面內(nèi)曲線，下列結(jié)論正確的是A．曲線關(guān)于原點對稱 B．曲線所圍成圖形的面積為 C．曲線上任意兩點同距離的最大值為 D．若直線與曲線交于不同的四點，則【答案】【考點】曲線與方程【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓；邏輯推理【分析】選項中，將換成，換成，即可判斷曲線是否關(guān)于原點對稱；選項中，討論，時，方程表示的曲線是圓在第一象限的部分，由對稱性可得曲線所圍成圖形的面積；選項中，根據(jù)圓的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法求出曲線上任意兩點間距離的最大值；選項中，利用數(shù)形結(jié)合法可判斷直線與曲線交于不同的四點時的取值范圍．【解答】解：對于，將換成，換成，方程不變，所以曲線關(guān)于原點對稱，選項正確；對于，當，時，方程可化為，即，此時曲線所圍成的圖形是圓在第一象限的部分，面積不是，由對稱性可得曲線所圍成圖形的面積不是，選項錯誤；對于，由知曲線在第一象限的圖形是圓的一部分，圓上的點到原點的最大距離為，所以曲線上任意兩點間距離的最大值為，選項正確；對于，直線是過定點的直線，由圖形知：時，直線不過點，時，直線也不過點，由此判斷直線與曲線交于不同的四點時的取值范圍不是，選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了曲線與方程的應(yīng)用問題，也考查了推理與運算能力，是中檔題．12．（2024?蘇州模擬）從地球觀察，太陽在公轉(zhuǎn)時會圍繞著北極星旋轉(zhuǎn)．某蘇州地區(qū)（經(jīng)緯度約，的地理興趣小組探究此現(xiàn)象時，在平坦的地面上垂直豎起一根標桿，光在宇宙中的彎曲效應(yīng)可忽略不計，則桿影可能的軌跡是A．半圓形 B．雙曲線 C．直線 D．橢圓【答案】【考點】軌跡方程；雙曲線的幾何特征【專題】邏輯推理；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運動思想【分析】根據(jù)太陽視運動軌跡判斷．【解答】解：根據(jù)題意可知，桿影的軌跡是太陽的視運動軌跡，即太陽視運動軌跡．根據(jù)題意可知，該地位于北半球，且緯度為，太陽直射點在南北回歸線之間來回移動，因此該地正午太陽高度角在之間，因此桿影的軌跡為橢圓，故正確；那除了橢圓軌跡，可能的軌跡還有半圓形．在較短的時間段內(nèi)，比如一天中的某些時刻，桿影可能會呈現(xiàn)出近似半圓形的軌跡．但從長時間的觀測和綜合考慮地球公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)以及太陽直射點的移動等因素，橢圓軌跡更為準確和常見．所以這道題選擇和選項．故選：．【點評】本題考查太陽軌跡方程以及橢圓的幾何特征．13．（2024?太原模擬）已知兩定點，，動點滿足條件，其軌跡是曲線，過作直線交曲線于，兩點，則下列結(jié)論正確的是A．取值范圍是 B．當點，，，不共線時，面積的最大值為6 C．當直線斜率時，平分 D．最大值為【答案】【考點】軌跡方程【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；邏輯推理；定義法；函數(shù)思想【分析】對于，先設(shè)出點，根據(jù)已知求解圓的方程，再求出的最大值和最小值；對于，先設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和圓方程，根據(jù)韋達定理和三角形面積公式求解；對于，根據(jù)正弦定理推導(dǎo)角之間的關(guān)系；對于，先根據(jù)余弦定理求出的值，再求出的取值范圍，再根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間求解即可．【解答】解：設(shè)，由得：，化簡整理得，所以曲線，如圖：易知點在圓內(nèi)，則過點作直線，直線截圓所得最長弦為直徑，所以，直線截圓所得最短弦為過點且垂直于過點的直徑的弦，因為，，所以，則，所以的取值范圍是，故正確．當點，，，不共線時，直線的斜率不為0，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立得，消去得：，△，所以，，又，所以，（提示，故，故錯誤．由題意知，，又因為當直線的斜率時，，，所以，，又因為，所以，所以當直線的斜率時，平分，故正確．由余弦定理得：，當且僅當時等號成立，顯然，又因為在，上單調(diào)遞增，所以，故正確．故選：．【點評】本題考查軌跡方程，屬于難題．14．（2024?河南模擬）在平面直角坐標系中，，為曲線上任意一點，則A．與曲線有4個公共點 B．點不可能在圓外 C．滿足且的點有5個 D．到軸的最大距離為【答案】【考點】曲線與方程【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算【分析】聯(lián)立和曲線的方程，解方程可判斷；由基本不等式可判斷；由，且，，，求得的坐標，可判斷；由換元法和三元均值不等式，計算可判斷．【解答】解：由，即，與聯(lián)立，或，共有兩個公共點，故錯誤；由，化為，當且僅當時，取得等號，故正確；由于，且，，，可得滿足條件的點有，，共3個點，故錯誤；設(shè)，，可得曲線的方程為，即有，由，可得，當且僅當時，取得等號，可得，故正確．故選：．【點評】本題考查曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運算能力和推理能力，屬于中檔題．15．（2024?錦州模擬）已知曲線，則A．過原點 B．關(guān)于原點對稱 C．只有兩條對稱軸 D．，，，【答案】【考點】曲線與方程【專題】直線與圓；數(shù)學(xué)運算；方程思想；綜合法【分析】將原點代入曲線的方程，可判斷；將換為，換為，方程不變，可判斷；推得曲線關(guān)于，軸和直線對稱，可判斷；由基本不等式推得，可判斷．【解答】解：曲線，可得原點代入，方程成立，故正確；將換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于原點對稱，故正確；將換為，不變，方程不變，可得曲線關(guān)于軸對稱；將換為，不變，方程不變，可得曲線關(guān)于軸對稱；將換為，換為，方程不變，可得曲線關(guān)于直線對稱；故錯誤；由，可得，當且僅當時，取得等號，故正確．故選：．【點評】本題考查曲線與方程的關(guān)系，以及曲線的性質(zhì)，考查方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?長春模擬）已知菱形的各邊長為2，．如圖所示，將沿折起，使得點到達點的位置，連接，得到三棱錐，此時．若是線段的中點，點在三棱錐的外接球上運動，且始終保持則點的軌跡的面積為．【答案】．【考點】軌跡方程【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；立體幾何；綜合法【分析】取中點，由題可得平面，設(shè)點軌跡所在平面為，則軌跡為平面截三棱錐的外接球的截面圓，利用球的截面性質(zhì)求截面圓半徑即得．【解答】解：取中點，連接，，則，，，，，平面，所以平面，又因為，則，，作于，設(shè)點軌跡所在平面為，則平面經(jīng)過點，且，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，，的中心分別為，，可知平面，平面，且，，，四點共面，由題可得，在△中，可得，又因為，則，易知到平面的距離，故平面截外接球所得截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為．故答案為：．【點評】本題考查多面體與外接球的綜合運用，考查點的軌跡的面積的求法，屬中檔題．17．（2024?南昌二模）如圖，有一張較大的矩形紙片，，分別為，的中點，點在上，．將矩形按圖示方式折疊，使直線（被折起的部分）經(jīng)過點，記上與點重合的點為，折痕為．過點再折一條與平行的折痕，并與折痕交于點，按上述方法多次折疊，點的軌跡形成曲線．曲線在點處的切線與交于點，則的面積的最小值為．【答案】．【考點】軌跡方程；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】計算題；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】連接，可得，可知點在以為焦點，直線為準線的拋物線上，求出拋物線方程，然后利用導(dǎo)數(shù)求出點處的切線，將的面積表示為關(guān)于點的橫坐標的式子，進而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出面積的最小值．【解答】解：連接，由與關(guān)于對稱，可得，所以點在以為焦點、直線為準線的拋物線上，以中點為原點，過與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，則，直線，可得拋物線的方程為，即，求導(dǎo)數(shù)得，設(shè)，則拋物線在點處的切線斜率，切線方程為，與直線交于點，，所以，可得，設(shè)（a），其中，可得（a），當時，（a），因為時（a），，（a），所以（a）在上單調(diào)減，在，上單調(diào)增．因此，當時，（a）有最小值，即的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查拋物線的定義與標準方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的切線、函數(shù)的單調(diào)性與最值求法等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．18．（2024?陽江模擬）已知曲線是平面內(nèi)到定點與到定直線的距離之和等于6的點的軌跡，若點在上，對給定的點，用表示的最小值，則的最小值為2．【答案】2．【考點】軌跡方程【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；定義法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算【分析】設(shè)，討論時和時，分別求出點的軌跡方程，設(shè)點到直線的距離為，由此計算的最小值即可．【解答】解：設(shè)，當時，，所以，化簡得：，，，即；當時，，所以，整理得：，，，即；對于曲線上任意一點，則，當且僅當是線段與曲線的交點時取“”，因為，所以，當且僅當，即點的坐標為時，取得最小值為2．故答案為：2．【點評】本題考查了點的軌跡應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．19．（2024?梅州模擬）在平面直角坐標系中，為坐標原點，定義，、，兩點之間的“直角距離”為．已知兩定點，，則滿足，，的點的軌跡所圍成的圖形面積為6．【答案】6．【考點】軌跡方程【專題】綜合法；計算題；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；直線與圓；數(shù)形結(jié)合【分析】利用已知條件，求解軌跡方程，然后畫出圖形即可求解面積．【解答】解：設(shè)，由題意，，，可知，軌跡方程的圖形如圖，圖形的面積為：．故答案為：6．【點評】本題考查軌跡方程的求法，圖形的畫法，面積的求法，是中檔題．20．（2024?昌平區(qū)模擬）已知曲線，為坐標原點．給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形；②經(jīng)過坐標原點的直線與曲線有且僅有一個公共點；③直線與曲線所圍成的圖形的面積為；④設(shè)直線，當時，直線與曲線恰有三個公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是①③④．【答案】①③④．【考點】曲線與方程【專題】直線與圓；整體思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】分，的正負四種情況去掉絕對值符號得到曲線方程后，由圖可得①正確；當斜率為時結(jié)合漸近線可得②錯誤；由四分之一圓面積減去三角形面積可得③正確；由圖形可得④正確．【解答】解：：可化為，因為當，時，無意義，無此曲線，故舍去，所以曲線表示為，對于①，由圖象可得曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形，故①正確；對于②，由于左上和右下部分雙曲線的，所以漸近線方程為，所以當直線的斜率為時，過原點的直線與曲線無交點，故②錯誤；對于③，設(shè)直線與，交點分別為，，因為圓方程中半徑為2，且點，，所以直線與曲線圍成的圖形的面積為，故③正確；對于④，由于直線恒過，當時，直線與平行，有一個交點；當時，與漸近線平行，此時有兩個交點，當，結(jié)合斜率的范圍可得有三個交點，如圖，④正確．故答案為：①③④．【點評】本題主要考查了曲線方程的應(yīng)用，還考查了直線與曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點，分別為橢圓的左、右頂點．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點的動直線交雙曲線右支于，兩點，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；，，．【考點】直線與圓錐曲線的綜合【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】（1）由題意可設(shè)雙曲線，利用，可求；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立方程組可得，，進而計算可得為定值．設(shè)直線，代入雙曲線方程可得，進而可得，，，，，進而由可得，，，進而求得的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，雙曲線的方程為；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，由，消去得，則，△，且，，；設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點為雙曲線的左頂點，此方程有一根為，，解得，點在雙曲線的右支上，，解得，，即，，同理可得，，，由，，，，，，，，．【點評】本題考查橢圓和雙曲線的標準方程與離心率，雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，漸近線與雙曲線的位置關(guān)系，屬中檔題．22．（2024?赤峰模擬）已知點為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點，設(shè)點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若過點的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點，且為線段的中點．證明：直線與曲線有且僅有一個交點；求的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（ⅱ），．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解【分析】（1）由題意，得到，結(jié)合雙曲線的定義以及，，的關(guān)系列出等式求出和的值，進而可得曲線的方程；（2）設(shè)，，，，，，結(jié)合（1）中信息得到雙曲線的漸近線方程，整理得，結(jié)合以及點在曲線上，求出直線的方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)△即可得證；（ⅱ）結(jié)合中信息，將雙曲線的漸近線方程與直線的方程聯(lián)立，求出的表達式，同理得的表達式，推出，將轉(zhuǎn)化成有關(guān)的不等式，再進行求解即可．【解答】解：（1）因為點為的垂直平分線上一點，所以，此時，則點的軌跡為以，為焦點的雙曲線，且，，所以，則，則曲線的方程為；（2）證明：不妨設(shè)，，，，，，易知曲線的漸近線方程為，，兩式相加得，兩式相減得，所以，即，易知，所以，，則，即，所以直線的方程為，即，因為點在曲線上，所以，此時，聯(lián)立，消去并整理得，此時△，故與有且僅有一個交點；（ⅱ）聯(lián)立，解得，同理得，此時，所以，當且僅當，即時，等號成立，因為，所以的取值范圍為，．【點評】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．23．（2024?廣東模擬）已知動圓過點，且被軸截得的線段長為4，記動圓圓心的軌跡為曲線．過點的直線交于，兩點，過與垂直的直線交于，兩點，其中，在軸上方，，分別為，的中點．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）證明：直線過定點；【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明過程見解答．【考點】軌跡方程【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；方程思想；邏輯推理；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)形結(jié)合【分析】（Ⅰ）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)進行求解即可；（Ⅱ）方法一：設(shè)出相應(yīng)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系、中點坐標公式、直線點斜式方程，結(jié)合互相垂直直線斜率的關(guān)系進行運算求解即可；方法二：設(shè)出一條直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系、中點坐標公式、互相垂直直線斜率關(guān)系求出相應(yīng)點的坐標，最后利用直線點斜式方程進行判斷即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)，因為動圓過點，且被軸截得的線段長為4，所以有，所以曲線的方程為：；（Ⅱ）證明：方法一：由，故，由直線與直線垂直，故兩直線斜率都存在且不為0，設(shè)直線、分別為，，且，，，，，，聯(lián)立與直線，即有，消去可得：，，故，，則，故，即，同理可得，當時，則，即，由，即，故時，有，此時過定點，且該定點為；當時，即時，由，得，所以當時，直線過定點，且該定點為，綜上，直線過定點，且該定點為．方法二：設(shè)，，，，不妨設(shè)，設(shè)，則．由，得，故，，所以，，所以，，同理可得，若，則直線，所以過點；若，則直線，過點．綜上，直線過定點．【點評】本題考查動點的軌跡方程，直線過定點問題，直線與拋物線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是利用直線互相垂直的關(guān)系求出相應(yīng)點的坐標，從而利用直線點斜式方程進行判斷，屬于中檔題．24．（2024?天津）已知橢圓的離心率，左頂點為，下頂點為，是線段的中點，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點的動直線與橢圓有兩個交點，，在軸上是否存在點使得恒成立．若存在，求出這個點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2），．【考點】橢圓的標準方程；橢圓的幾何特征；直線與圓錐曲線的綜合【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算【分析】（1）結(jié)合橢圓的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，分動直線的斜率存在、不存在討論，當動直線的斜率不存在，直接結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算，即可求解；動直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算，即可求解．【解答】解：（1）因為橢圓的離心率為，所以，即，其中為半焦距，，則，所以，，，，解得，故，，故橢圓方程為；（2）①若過點的動直線的斜率不存在，則，或，，此時，②若過點的動直線的所率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，，，，，化簡整理可得，，故△，；，，故，恒成立，故，解得，若恒成立．結(jié)合①②可知，．故這個點縱坐標的取值范圍為，．【點評】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．25．（2024?吉林三模）已知點，直線，動圓與直線相切，交線段于點，且．（Ⅰ）求圓心的軌跡方程，并說明是什么曲線；（Ⅱ）過點且傾斜角大于的直線與軸交于點，與的軌跡相交于兩點，，且，求的值及的取值范圍．【答案】（Ⅰ），所以，點的軌跡是焦點在軸上，實軸長、虛軸長均為的等軸雙曲線．（Ⅱ）；的取值范圍是．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程【專題】數(shù)學(xué)運算；應(yīng)用題；圓錐曲線中的最值與范圍問題；待定系數(shù)法；方程思想【分析】（Ⅰ）設(shè)圓心為，根據(jù)，列出軌跡方程即可求解．（Ⅱ）設(shè)直線，聯(lián)立直線與雙曲線，表示出，進而求出的值及的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點，圓的半徑為，為到直線的距離，則，根據(jù)題意，動點的軌跡就是點的集合，，，整理得，即，所以，點的軌跡是焦點在軸上，實軸長、虛軸長均為的等軸雙曲線．（Ⅱ）設(shè)直線，傾斜角大于，，設(shè)，，，，，聯(lián)立得，△，，，，，，，，，，由，得，的取值范圍是．【點評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題．

考點卡片1．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標準》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【知識點的認識】利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點的切線方程是高考中的一個常考點，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因為包含了幾個比較重要的基本點，所以在高考出題時備受青睞．我們在解答這類題的時候關(guān)鍵找好兩點，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的情況下可以用點斜式把直線方程求出來．【解題方法點撥】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個函數(shù)的圖象在點x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當x＝1時，y＝0，所以切點為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認真總結(jié)．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．4．異面直線及其所成的角【知識點的認識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：5．橢圓的標準方程【知識點的認識】橢圓標準方程的兩種形式：（1）（a＞b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標不同．標準方程（a＞b＞0）中心在原點，焦點在x軸上（a＞b＞0）中心在原點，焦點在y軸上圖形頂點A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）準線x＝±y＝±6．橢圓的幾何特征【知識點的認識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當且僅當a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．7．雙曲線的幾何特征【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝（e＞1）準線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝08．曲線與方程【知識點的認識】在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點撥】例：：定義點M到曲線C上每一點的距離的最小值稱為點M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點B的距離相等的點的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對定點B分類討論：①若點B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓．②若點B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的雙曲線的一支．③若定點B與圓心A重合，如圖3所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，取線段AP的中點M，則點M滿足條件，因此點M的軌跡是以點A為圓心，以為半徑的圓．④若點B在圓A上，則滿足條件的點是一個點B．綜上可知：可以看到滿足條件的點M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個點，而不可能是一條直線．故選A．這是一個非常好的題，一個題把幾個很重要的曲線都包含了，我認為這個題值得每一個學(xué)生去好好研究一下．這個題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，而這個等量關(guān)系是靠自己去建立的，其中還要注意到圓半徑是相等的和中垂線到兩端點的距離相等這個特點，最后還需結(jié)合曲線的第二定義等來判斷，是個非常有價值的題．【命題方向】這個考點非常重要，但也比較難，我們在學(xué)習(xí)這個考點的時候，先要認真掌握各曲線的定義，特別是橢圓、拋物線、雙曲線的第二定義，然后學(xué)會去找等量關(guān)系，最后建系求解即可．9．直線與圓錐曲線的綜合【知識點的認識】直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點，比方說求封閉面積，求距離，求他們的關(guān)系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點的橫