2024-2025學(xué)年上海市華東師大松江實驗高級中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市華東師大松江實驗高級中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.(a+b)2n的二項展開式中系數(shù)最大的項是(

)A.第n項 B.第n+1項

C.第n+1項和第n?1項 D.無法確定2.4本不同的書分給3人，每人至少1本，共有(????)種不同的分法．A.36 B.24 C.18 D.723.某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的情況出現(xiàn)了8次，若用A表示“正面朝上”這一事件，則A的(

)A.概率為45 B.頻率為45 C.頻率為8 D.4.如果A、B是獨立事件，A?、B?分別是A、B的對立事件，那么以下等式不一定成立的是(

)A.P(A∩B)=P(A)P(B) B.P(A?∩B)=P(A?)P(B)二、填空題：本題共12小題，共54分。5.“直線l垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線”是“l(fā)⊥α”的______條件．6.已知圓柱的軸截面是一個邊長為4cm的正方形，則此圓柱的側(cè)面積為______cm2．7.已知a=(3,?1,2)，a的起點坐標(biāo)是(2,0,?5)，則a的終點坐標(biāo)為______．8.由1、2、3、4可以組成______個2在百位的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．9.二項式(1?2x)11的展開式中所有項的系數(shù)之和為______．10.在某道路A，B兩處設(shè)有紅燈綠、燈交通信號，汽車在A，B兩處通過(即通過綠燈)的概率分別是13和12，某輛汽車在這條道路上勻速行駛，則兩處都不停車的概率為______．11.已知長為3的線段AB的兩個端點到平面α的距離分別為1和2，則直線AB與平面α的所成角大小為_____．12.已知向量a=(0,1,?1)，b=(1,1,0)，若(a+λb13.一個袋子中有2個白球，3個黑球，采用不放回方式從中依次隨機地取出2個球，則兩次都取到白球的概率為______．14.設(shè)集合A中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的二位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值______．15.甲、乙、丙、丁4個人進行乒乓球比賽，首先甲、乙一組，丙、丁一組進行比賽，兩組的勝者進入決賽，決賽的勝者為冠軍、敗者為亞軍.4個人相互比賽的勝率如表所示，表中的數(shù)字表示所在行選手擊敗其所在列選手的概率．甲乙丙丁甲—0.30.30.8乙0.7—0.60.4丙0.70.4—0.5丁0.20.60.5—那么甲得冠軍且丙得亞軍的概率是______．16.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1且滿足D1P?CP三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5，若該長方體的各頂點都在球O的表面上.求：

(1)18.(本小題14分)

7名身高互不相等的學(xué)生，分別按下列要求排列，各有多少種不同的排法？

(1)7人站成一排，要求較高的3個學(xué)生站在一起；

(2)7人站成一排，要求最高的站在中間，并向左、右兩邊看，身高逐個遞減．19.(本小題14分)

小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒．包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長為8(單位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直．

(1)證明：EF//平面ABCD；

(2)求該包裝盒的容積(不計包裝盒材料的厚度)．20.(本小題18分)

如圖，圓錐的底面直徑與母線長均為4，PO是圓錐的高，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PA的中點.求：

(1)該圓錐的體積和表面積；

(2)二面角C?PA?B的大小；

(3)點M在PB上，滿足異面直線OM與CP所成角的余弦值為34，試確定點M的位置．21.(本小題18分)

在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．

(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，求所有X的可能值及其發(fā)生的概率．

(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？(結(jié)論不要求證明)

參考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.必要不充分

6.16π

7.(5,?1,?3)

8.6

9.?1

10.1611.π2或arcsin12.?113.11014.42

15.0.045

16.3217.解：(1)根據(jù)題意易知CD/?/AB，AB⊥AD1，AB=3，AD1=42+52=41，

∴異面直線CD與BD1所成角∠D1BA，

又tan∠D1BA=AD1AB=18.解：(1)將較高的3個學(xué)生捆成一個元素，與另4個學(xué)生構(gòu)成5個學(xué)生自由排列有A55種方法，捆成一個元素的三學(xué)生內(nèi)部可自由排列，有A33種方法，

所以共有A55?A33=720種；

(2)因為最高的站在中間，

所以從剩余的19.(1)證明：如圖所示，將幾何體補形為長方體，

做EE′⊥AB于點E′，做FF′⊥BC于點F′，

由于底面為正方形，△ABE，△BCF均為等邊三角形，

故等邊三角形的高相等，即EE′=FF′，

由面面垂直的性質(zhì)可知EE′，F(xiàn)F′均與底面垂直，

則EE′//FF′，四邊形EE′F′F為平行四邊形，則EF//E′F′，

由于EF不在平面ABCD內(nèi)，E′F′在平面ABCD內(nèi)，

由線面平行的判斷定理可得EF/?/平面ABCD．

(2)解：易知包裝盒的容積為長方體的體積減去四個三棱錐的體積，

其中長方體的高AA1=EE′=43，

長方體的體積V1=8×8×43=25620.解：(1)因為圓錐的底面直徑與母線長均為4，PO是圓錐的高，

所以PO=42?22=23，

所以圓錐的體積V=13×π×22×23=833π，

表面積S=22π+12×2π×2×4=12π；

(2)因為PO是圓錐的高，所以PO⊥平面BOC，

因為OB，OC?平面BOC，所以PO⊥OB，PO⊥OC，

因為點C是底面直徑AB所對弧的中點，所以O(shè)C⊥AB，

則OB，OC，OP兩兩互相垂直，

則以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,?2,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，P(0,0,23)，

所以AP=(0,2,23)，AC=(2,2,0)，

設(shè)平面PAC的法向量為m=(x,y,z)，

則m?AP=2y+23z=0m?AC=2x+2y=0，令y=3，得x=?3，z=?1，所以m=(?3,3,?1)，

由題知，平面PAB的一個法向量為21.解：(1)已知甲以往