2024-2025學(xué)年湖北省荊門(mén)市德藝高級(jí)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖北省荊門(mén)市德藝高級(jí)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.從1，2，3，4，5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù)，則下列各對(duì)事件是互斥而不對(duì)立事件的是(

)A.恰有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù) B.恰有1個(gè)是偶數(shù)和至少有1個(gè)是偶數(shù)

C.至少有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù) D.至少有1個(gè)是偶數(shù)和全是偶數(shù)2.兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是(

)A.16 B.14 C.13 3.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱A.22

B.10

C.24.A={1,2,3}，B={x∈R|x2?ax+b=0,a∈A,b∈A}，則A∩B=B的概率是A.29 B.13 C.895.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，若點(diǎn)P滿(mǎn)足APA.25144 B.512 C.13206.已知直線l1：ax+2y+6=0和直線l2：x+(a?1)y+a2?1=0，以下論述中：

(1)當(dāng)a≠?1或a≠2時(shí)，l1與l2相交；

(2)當(dāng)l1//l2時(shí)，a=?1或a=2；

(3)當(dāng)且僅當(dāng)a=?1時(shí)，l1//A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)7.曲線y=1+4?x2與直線y=k(x?2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)kA.(512,+∞) B.(13,8.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D，中，E，F(xiàn)分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，M為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A.3λ

B.22

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在兩坐標(biāo)軸上截距相等，且到點(diǎn)A(3,1)的距離為2的直線方程可以是(

)A.x+y?6=0 B.x+y?2=0 C.x+7y=0 D.x?y=010.已知圓C：(x?1)2+(y?2)2=25，直線lA.直線l恒過(guò)定點(diǎn)(3,1)

B.圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為2+26

C.直線l與圓C恒相交

D.直線l被圓C截得最短弦長(zhǎng)時(shí)，直線l11.在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=1，點(diǎn)P滿(mǎn)足A.當(dāng)λ=1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P?A1BC的體積為定值

C.當(dāng)λ=12時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1P⊥BP三、填空題：本題共3小題，共20分。12.如圖所示，在一次游戲中，小明需要在9個(gè)小格子中填上1至9中不重復(fù)的整數(shù)，小明通過(guò)推理已經(jīng)得到了4個(gè)小格子中的準(zhǔn)確數(shù)字，a，b，c，d，e這5個(gè)數(shù)字未知，且b，d為奇數(shù)，則a+b>5的概率為_(kāi)_____．13.已知直線l：3x?y?1=0及點(diǎn)A(4,1)，B(0,4)，點(diǎn)Q在l上，當(dāng)|AQ|?|BQ|的值最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____，|AQ|?|BQ|的最大值為_(kāi)_____．14.已知空間四邊形OABC各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，向量OE與BF夾角的余弦值______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

隨著小汽車(chē)的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一，若某人報(bào)名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過(guò)四個(gè)科目的考試，其中科目二為場(chǎng)地考試．在每一次報(bào)名中，每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過(guò)考試，就算順利通過(guò)，即進(jìn)入下一科目考試，若5次都沒(méi)有通過(guò)，則需要重新報(bào)名)，其中前2次參加科目二考試免費(fèi)，若前2次都沒(méi)有通過(guò)，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi)，某駕校通過(guò)幾年的資料統(tǒng)計(jì)，得到如下結(jié)論：男性學(xué)員參加科目二考試，每次通過(guò)的概率均為34，女性學(xué)員參加科目二考試，每次通過(guò)的概率均為23，現(xiàn)有這個(gè)駕校的一對(duì)夫妻學(xué)員同時(shí)報(bào)名參加駕駛證科目二考試，若這對(duì)夫妻每人每次是否通過(guò)科目二考試相互獨(dú)立，他們參加科目二考試的原則為：通過(guò)科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止．

(Ⅰ)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率；

(Ⅱ)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率．16.(本小題12分)

已知△ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x?y?5=0，AC的邊上的高BH所在直線方程為x?2y?5=0．

(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求直線BC的方程．17.(本小題12分)

已知圓C：(x?1)2+(y+1)2=4．

(1)過(guò)點(diǎn)P(3,2)向圓C作切線l，求切線l的方程；

(2)若Q為直線m：3x?4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q向圓C18.(本小題12分)

如圖，三棱錐A?BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC中點(diǎn)．

(1)證明BC⊥DA；

(2)點(diǎn)F滿(mǎn)足EF=DA，求二面角D?AB?F的正弦值．19.(本小題12分)

如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．

(1)證明：平面BED⊥平面ACD；

(2)設(shè)AB=BD=2，∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．

參考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.B

7.D

8.D

9.ABCD

10.ACD

11.BD

12.2313.(2,5)

514.?215.解：(1)設(shè)ξ表示“這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的事件”，Ai表示“丈夫在第i次參加科目二考試中通過(guò)”，

Bi表示“妻子在第i次參加科目二考試中通過(guò)”，則P(Ai)=34,P(Bi)=23，

則P(ξ)=P(A1B1)+P(A1?B1A216.解：(1)設(shè)C(m,n)，

∵AB邊上的中線CM所在直線方程為2x?y?5=0，AC邊上的高BH所在直線方程為x?2y?5=0．

∴2m?n?5=0n?1m?5×12=?1，解得m=4，n=3，

∴C(4,3)．

(2)設(shè)B(a,b)，則a?2b?5=0①，邊AB的中點(diǎn)M(a+52,b+12)，

所以2×a+52?b+12?1=0，②

①②聯(lián)立解得b=?317.解：(1)切線l的斜率不存在時(shí)，x=2滿(mǎn)足條件．

切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y?2=k(x?3)，即kx?y+2?3k=0，

圓心C(1,?1)到切線l的距離=|k+1+2?3k|k2+1=2，解得k=512，可得切線方程為：5x?12y+9=0，

綜上可得切線l的方程為：x=2，或5x?12y+9=0．

(2)當(dāng)CQ⊥m時(shí)，18.證明：(1)連接AE，DE，

∵DB=DC，E為BC中點(diǎn)．

∴DE⊥BC，

又∵DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，

∴△ACD與△ABD均為等邊三角形，

∴AC=AB，

∴AE⊥BC，AE∩DE=E，

∴BC⊥平面ADE，

∵AD?平面ADE，

∴BC⊥DA．

(2)解：設(shè)DA=DB=DC=2，

∴BC=22，

∵DE=AE=2，AD=2，

∴AE2+DE2=4=AD2，

∴AE⊥DE，

又∵AE⊥BC，DE∩BC=E，

∴AE⊥平面BCD，

以E為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

D(2,0,0)，A(0,0,2)，B(0,2,0)，E(0,0,0)，

∵EF=DA，

∴F(?2,0,2)，

∴DA=(?2,0,2)，AB=(0,2,?2)，AF=(?2,0,0)，

設(shè)平面DAB與平面ABF的一個(gè)法向量分別為19.(1)證明：∵AD=CD，E為AC的中點(diǎn)．∴DE⊥AC，

又∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，

∴AB=BC，又∵E為AC的中點(diǎn)．∴EB⊥AC，

又BE∩DE=E，BE，DE?平面BED，

∴AC⊥平面BED，又AC?平面ACD，

∴平面BED⊥平面ACD；

(2)解：連接EF，由(1)知AC⊥EF，∴S△AFC=12AC×EF，

故EF最小時(shí)，△AFC的面積最小，∴EF⊥BD時(shí)，△AFC的面積最小，

又AC⊥平面BED，BD?平面BED，∴AC⊥BD，

又AC∩EF=E，AC，EF?平面AFC，

∴BD⊥平面AFC