《電磁場與電磁波》課件108

第八章導行電磁波8.1沿均勻導波裝置傳輸電磁波的一般分析8.2矩形波導

8.3圓柱形波導8.4波導中的能量傳輸與損耗8.5同軸線8.6諧振腔小結

8.1沿均勻導波裝置傳輸電磁波的一般分析

8.1.1在導波裝置中電磁場縱向場分量與橫向場分量間的關系

在無耗的媒質中電磁波沿+z方向傳輸，則對于角頻率ω的正弦電磁波，它滿足無源區(qū)域的麥克斯韋方程：(8-1a)(8-1b)(8-1c)(8-1d)

采用廣義坐標系(u1，u2，z)，其中u1和u2為導波裝置橫截面上的坐標，z為縱向坐標。場強的縱向分量用Ez(u1，u2，z)和Hz(u1，u2，z)來表示，場強的橫向分量用Et(u1，u2，z)和Ht(u1，u2，z)表示，則場強矢量可表示為

E(u1，u2，z)=Et(u1，u2，z)+Ez(u1，u2，z)=Et+Ez

H(u1，u2，z)=Ht(u1，u2，z)+Hz(u1，u2，z)=Ht+Hz

將上式代入式(8-1a)和式(8-1b)可得(8-2a)(8-2b)(8-2c)(8-2d)式中ez是坐標z方向的單位矢量，t是橫向微分算子。對式(8-2)進行變換整理，可得(8-3a)(8-3b)對式(8-1a)和(8-1b)兩邊取旋度并進行變換整理，可得各場量所滿足的矢量及標量亥姆霍茲方程為(8-4a)(8-4b)式中

為電磁波在無限媒質中的波數(shù)。由分離變量法可知，式(8-4b)中的Ez和Hz的解，可表示為f(u1，u2)e－γz的形式，其中稱為導行電磁波的傳輸常數(shù)。這樣橫向場分量與縱向場分量間的關系可表示成(8-5a)(8-5b)及(8-5c)(8-5d)將廣義柱坐標系中的算子代入，可得橫向場分量的表達式為(8-5a)(8-5b)(8-5c)(8-5d)8.1.2導行波波型的分類

導行波的波型是指能夠單獨在導波系統(tǒng)中存在的電磁場結構的形式，也稱傳輸模式。從上面的分析可知，導行波橫向場分量只與縱向場分量有關，因此可根據導行波中是否存在縱向場分量，對導行波進行分類。

1.橫電磁波(TEM波)

此傳輸模式沒有電磁場的縱向場量，即Ez=Hz=0，由式(8-6)可知，要使Et和Ht不為零，必須有kc=0，即(8-7)此時導波場的求解不能用上述縱向場法。將kc=0、Ez=0、Hz=0代入式(8-2)和式(8-5)，可得(8-8a)(8-8b)(8-8c)這就是TEM波的存在條件。它表明：橫電磁波在導波系統(tǒng)橫截面上的場分布與相同條件下靜止場的分布形式一樣。這說明只有能夠建立靜止場的導波系統(tǒng)，才能傳輸TEM波。

2.橫電波(TE波)或磁波(H波)

橫電波的特征是Ez=0，Hz≠0，所有的場分量可由縱向磁場分量Hz求出。

3.橫磁波(TM波)或電波(E波)

橫磁波的特征是Hz=0，Ez≠0，所有的場分量可由縱向電場分量Ez求出。

在某些特殊場合，單獨用TE波或TM波不能滿足所有的邊界條件，但它們的線性組合總能滿足這些特殊要求，并且提供一個完整而普遍的解，這時的波稱為混合波。當然還有別的分類方法，但按上述方法分類的三種波型是最實用的。8.1.3導行波的傳輸特性

1.截止波長與傳輸條件

導行波的場量都有因子e－γz(沿+z軸方向傳輸)，γ=α+jβ，為傳播常數(shù)。由前面的推導可知

γ2=k2c－k2

(8-9a)

對于理想導波系統(tǒng)，為實數(shù)，而kc是由導波系統(tǒng)橫截面的邊界條件決定的，也是實數(shù)。這樣隨著工作頻率的不同，γ2可能有下述三種情況：

(1)γ2<0，即γ=jβ。此時導行波的場為

E=E(u1，u2)ej(ωt－βz)

這是沿+z軸方向無衰減傳輸?shù)男胁?，故稱其為傳輸狀態(tài)。

(2)γ2>0，即γ=α。此時導行波的場為

E=E(u1，u2)e－αxejωt

顯然這不是傳輸波，而是沿z軸以指數(shù)規(guī)律衰減的，稱其為截止狀態(tài)。

(3)γ=0。這是介于傳輸與截止之間的一種狀態(tài)，稱其為臨界狀態(tài)，它是決定電磁波能否在導波系統(tǒng)中傳輸?shù)姆炙畮X。這時由k2c=k2所決定的頻率(fc)和波長(λc)分別稱為截止頻率和截止波長，并且有(8-9b)其中為無限介質中電磁波的相速度，而kc稱為截止波數(shù)，并有(8-9c)這樣導波系統(tǒng)傳輸TE波和TM波的條件為

f>fc

或λ<λc

(8-9d)截止條件為

f<fc

或λ>λc

(8-9e)對于TEM波，由于kc=0，即fc=0，λc=∞，因此在任何頻率下，TEM波都能滿足f>fc=0的傳輸條件，均是傳輸狀態(tài)。也就是說TEM波不存在截止頻率。

2.波導波長

理想導波裝置中的相波長稱為波導波長，并記為λg。這樣，根據相波長的定義可知，(8-10a)

在傳輸狀態(tài)下，γ=jβ=jkz，代入式(8-9a)得(8-10b)將代入上式得(8-10c)所以可得(8-10d)式中λ0為自由空間的工作波長。對于TEM波，λc=∞，由式(8-10d)可得(8-10e)式(8-10d)給出了λg、λ和λc三者之間的關系。λc與導波系統(tǒng)的截面形狀尺寸有關，可以由邊界條件求出。

3.相速、群速和色散

(1)相速。根據相速的定義及其一般公式，將式(8-10c)代入可得TE波和TM波相速的公式：(8-11a)式中：

對于TEM波(λc→∞)，有(8-11b)顯然TE波和TM波的相速是大于光速(或介質中的光速)的。根據相對論，任何物質的運動速度都不能超過光速，但相速所描述的是波的等相位面移動的速度，不是能量傳播的速度。因而TE波和TM波相速不是物質真實運動的速度，所以和相對論并不矛盾。

(2)群速。群速是指一群具有相近的ω和kz的波群在傳輸過程中的“共同”速度，或者說是已調波包絡的速度。從物理概念上來看，這種速度就是能量的傳播速度，其一般公式為(8-11c)由式(8-10b)可知，，代入上式可得群速vg為(8-11d)

可見，群速vg<v，并且

vg·vp=v2

(8-11e)對于TEM波(λc→∞)，有

vg=vp=v

(8-11f)

(3)色散。由式(8-11a)和(8-11d)可知，TE波和TM波的相速和群速都隨波長(即頻率)而變化，稱此現(xiàn)象為“色散”。因此TE波和TM波(即非TEM波)稱為“色散”波，而TEM波的相速和群速相等，且與頻率無關，稱為“非色散”波。

4.波阻抗

導波系統(tǒng)中，傳輸模式沿傳輸方向成右手螺旋關系的橫向電場與橫向磁場之比稱為導行波的波阻抗。由式(8-6)可得TE波和TM波的波阻抗為(8-12a)(8-12b)

對于TEM波，有(8-12c)

5.傳輸功率

導波沿無耗規(guī)則導行系統(tǒng)+z方向傳輸?shù)钠骄β蕿?8-13)式中Z=ZTE(或ZTM或ZTEM)。若考慮低耗情況下導行裝置的損耗，上述功率公式僅需乘以exp(－2αz)。8.1.4模式電壓與模式電流

1.TM波

TM波型磁場的縱向分量Hz=0,代入式(8-2c)得t×Et=0。因為任何標量函數(shù)梯度的旋度恒等于零，所以可令橫向電場Et為

Et=－tj(u1，u2，z)

(8-14a)j稱為導波中的電位函數(shù)，可寫成下述形式：(8-14b)將上式代入式(8-2a)、(8-2b)，便可得到TM波各場分量的基本關系式為(8-15a)(8-15b)式中：(8-15c)將式(8-15a)代入式(8-2d)，整理后可得上式左邊僅是橫向坐標(u1，u2)的函數(shù)，右邊僅是縱向坐標z的函數(shù)，要使等式成立，兩邊必須等于同一常數(shù)－k2c，即(8-16)(8-17a)式中

。式(8-15c)兩邊對z求導得(8-17b)式(8-17)就是模式電壓和模式電流(即縱向函數(shù))所滿足的方程，與長線理論中由分布參數(shù)等效電路導出的傳輸線方程具有相同的形式，故稱其為TM波的廣義傳輸線方程。從式(8-17)可得模式電壓與模式電流所滿足的波動方程為(8-17c)式(8-16)是求解橫向函數(shù)的標量亥姆霍茲方程。由此式及j的邊界條件，就可以確定橫向分布函數(shù)。式(8-17)是求解縱向函數(shù)的基本公式，對于理想的無窮長導波系統(tǒng)，其解為(8-17d)將式(8-17d)及由式(8-16)求得的j代入式(8-15)，就可求得TM波的全部場分量表達式。

2.TE波

TE波型電場的縱向分量Ez=0，代入式(8-2a)得t×Ht=0。令(8-18a)式中Ψ為標量磁位函數(shù)，Ψ可寫成(8-18b)將上式代入式(8-18a)及式(8-2c)、式(8-2d)，便可得到TE波各場分量的基本關系式：(8-19a)(8-19b)式中：(8-19c)

式(8-19)表明，求解TE波全部場分量可歸結為求解縱向分布函數(shù)U(z)、I(z)和橫向分布函數(shù)ψ(u1，u2)。U(z)和I(z)分別稱為TE波的模式電壓和模式電流，它們表示TE波橫向電場與橫向磁場沿z軸的變化規(guī)律。無論TE波還是TM波，U(z)和I(z)都分別稱為模式電壓和模式電流，但U(z)與I(z)之間的關系是不同的。至于j與ψ的區(qū)別就更明顯了，j代表電位函數(shù)的橫向分布，ψ代表磁位函數(shù)的橫向分布。與分析TM波過程完全相同，由式(8-19a)、(8-2b)及式(8-19c)可得

(8-20)(8-21a)(8-21b)式中γ2=k2c－k2=(jβ)2，ZTE=ωμ/β。式(8-21)就是TE波的廣義傳輸線方程，其所滿足的波動方程與式(8-17c)完全一樣，即(8-21c)式(8-21c)的解為(8-21d)將由式(8-20)求得的ψ及式(8-21d)的U(z)、I(z)代入式(8-19a)、(8-19b)，便可得到TE波的全部場量表達式。

3.TEM波

橫電磁波的縱向電磁場分量都為零，即Ez=0，Hz=0，故E=Et，H=Ht。顯然，如果TM波的Ez(或TM波的Hz)等于零，它就變成了TEM波，但由式(8-6)可知，此時必有kc=0，γ=jβ=jkz。這樣Et和Ht仍可由式(8-15a)計算，即(8-22a)

由式(8-16)、(8-17)可得(8-22b)(8-22c)式(8-22b)是TEM波橫向分布函數(shù)j所滿足的二維拉普拉斯方程。式(8-22c)就是TEM波的模式電壓、模式電流所滿足的廣義傳輸線方程，對于理想無窮長的TEM波導行系統(tǒng)，其解為(8-22d)式中：8.1.5邊界條件

無論是用縱向分量法求解導行波，還是用位函數(shù)法求解導行波，最終是根據導行系統(tǒng)的邊界條件確定kc和積分常數(shù)的。對于由理想導體構成的導行系統(tǒng)，其橫截面如圖8-1所示，邊界條件為(8-23)對于TEM波，其邊界條件為

Ez|c=0

(8-24a)由式(8-15b)及式(8-16)可知圖8-1導波系統(tǒng)橫截面

由于kc≠0，所以有(8-24b)對于TE波，其邊界條件為(8-25a)用橫向分布函數(shù)表示時有(8-25b)對于TEM波，其邊界條件為(8-26a)或者是用橫向分布函數(shù)表示為(8-26b)

8.2矩形波導

8.2.1矩形波導中的TM波

圖8-2表示矩形波導的橫截面，寬邊尺寸為a，窄邊尺寸為b。波導內傳輸TM波時，Hz=0。

按照上節(jié)的分析，先由方程式(8-5d)解出Ez，再利用式

(8-6)確定Ex、Ey、Hz、Hy。如圖8-2所示的矩形波導，我們采用直角坐標系來分析，其坐標u1對應x軸，坐標u2對應y軸，而拉梅系數(shù)h1=h2=1，則Ez滿足如下方程：(8-27)圖8-2矩形波導式中k2c=γ2+k2。用分離變量法求解式(8-27)，設其解為

Ez(x，y)=X(x)Y(y)

(8-28)

式中X表示只含變量x的函數(shù)，Y表示只含變量y的函數(shù)。

值得注意的是，在運算中場量隨時間和沿z方向變化的因子ejωt－γz均被省略。將式(8-28)代入式(8-27)，可得(8-29)上式兩邊除以XY，得(8-30)這里的x和y是互不相關的獨立變量。欲使上式對任意x和y值都成立，只有等式左邊的兩項分別等于常數(shù)。因此，可令(8-31)(8-32)且

k2x+k2y=k2c

(8-33)則式(8-31)和式(8-32)的通解為(8-34)(8-35)于是Ez的通解是

Ez=(C1coskxx+C2sinkxx)(C3coskyy+C4sinkyy)

(8-36)

式中C1、C2、C3、C4以及kx、ky均為待定常數(shù)。

現(xiàn)在利用邊界條件來確定待定常數(shù)。

(1)當x=0時，Ez=0(理想導體表面切向場為零)：

Ez=C1(C3coskyy+C4sinkyy)=0

欲使上式對所有y值都成立，則C１應等于零。于是式(8-36)變?yōu)?/p>

Ez=C2sinkxx(C3coskyy+C4sinkyy)

(8-37)

(2)當y=0時，Ez=0，則式(8-37)變?yōu)?/p>

Ez=C2C3sinkxx=0欲使上式對所有x值都成立，則C3應等于零。此時C2不能為零，因為若C2等于零，則Ez在非邊界處也恒為零，這與TM波的情況不符，因此只能取C3等于零。這樣式(8-37)變?yōu)?/p>

Ez=C2C4sinkxxsinkyy=E0sinkxxsinkyy

(8-38)

(3)當x=a時，Ez=0，式(8-38)變?yōu)?/p>

Ez=E0sinkxasinkyy=0

欲使上式對所有y值都成立，kx必須滿足下面關系：這里m不能等于零，否則kx=0，則Ez恒等于零，這不符合TM波的定義。于是式(8-38)就變?yōu)?8-39)

(4)當y=b時，Ez=0，于是式(8-39)變?yōu)橛股鲜綄λ衳值都成立，ky必須滿足下面關系：這樣Ez的表示式為(8-40)將式(8-40)代入式(8-6)，并考慮到h1=h2=1，u1對應x坐標，u2對應y坐標，而γ=jβ=jkz，即可得到矩形波導中TM波的場分量為(8-41a)

(8-41b)(8-41c)(8-41d)(8-41e)式中：(8-42)在矩形波導中TM波的傳輸常數(shù)為(8-43)當傳輸常數(shù)γ=0所對應的頻率為載止頻率fc，且截止頻率為(8-44)時，從式(8-43)可以看出，當工作頻率高于截止頻率時，即f>fc，γ為純虛數(shù)，γ=jβ=jkz，電磁波才可能在波導中沿+z方向傳輸。這種z方向傳輸常數(shù)為(8-45)或寫成(8-46)當工作頻率低于截止頻率時，即f<fc，γ為實數(shù)，γ=α。此時e－αz表示衰減，電磁波衰減很快，不可能在波導中傳輸。因此矩形波導呈現(xiàn)出高通濾波器的特性，只有工作頻率高于載止頻率時，電磁波才能在波導中傳輸。這一點與TEM波不一樣，TEM波沒有截止頻率。由式(8-44)可以求得相應的截止波長λc：式中無限介質中的電磁波的速度。電磁波在矩形波導中的速度vp為(8-47)在矩形波導中的波導波長λg為(8-48)式中的λ是在無限介質中電磁波的波長。從式(8-47)和式(8-48)可以看出：f=fc時，vp趨于無限大，波導波長λg趨于無限大；當f>fc時，vp大于v，λg>λ，即電磁波在波導中傳輸?shù)南嗨俅笥谠跓o限介質中電磁波傳播的相速，波導波長大于在無限介質中電磁波的波長；當頻率非常高時，即f>>fc，在波導中電磁波的相速趨近于無限介質中電磁波的相速，波導波長趨于無限介質中電磁波的波長。

圖8-3中給出了TM11和TM21波的場分量分布圖。8.2.2矩形波導中的TE波

仿照求解TM波的方法，我們可以求得在矩形波導中TE波的場分量表示式為(8-49a)(8-49b)(8-49c)(8-49d)(8-49e)其中：截止波數(shù)kc為

截止頻率為

截止波長為

TE波在波導中的相速vp為TE波在波導中的波導波長λg為圖8-3還給出了矩形波導中TE10波、TE11波和TE21波的場量分布圖。

圖8-4給出了在矩形波導中各種模式的截止波長分布圖，在這里假設矩形波導橫截面尺寸a>2b。圖中劃分了三個區(qū)域：Ⅰ區(qū)域為截止區(qū)；Ⅱ區(qū)域為單模工作區(qū)；Ⅲ區(qū)域為多模工作區(qū)。大多數(shù)情況下波導是工作在單模工作區(qū)。圖8-4矩形波導中截止波長分布圖(以BJ—100為例)在矩形波導中模序數(shù)(m和n)相同的TEmn模和TMmn模具有相同的截止波長。由于具有相同截止波長的模稱為簡并模，因此TEmn模與TMmn模是一對簡并模。由于在矩形波導中TMm0模和TM0n模不存在，所以在矩形波導中TEm0模和TE0n模是非簡并模。

在8.1節(jié)中，我們把相對于電磁波傳輸方向成右手螺旋關系的橫向電場分量與橫向磁場分量的比值定義為波阻抗。對于矩形波導中的TM波和TE波，其波阻抗為(8-50a)

(8-50b)式中，為無限介質中的波阻抗。8.2.3矩形波導中的TE10波

在矩形波導中TE10模是主模。用它作為矩形波導中的工作模式有以下突出的優(yōu)點：可以實現(xiàn)單模傳輸電磁波；具有最寬的工作頻帶；在給定頻率下有最小的衰減；場結構簡單，電場只有Ey分量，在波導中可以獲得單方向極化；在截止波長相同的條件下，波導尺寸最小。所以，TE10模是矩形波導中最常用的工作模式，有必要著重討論它的特性。

將m=1、n=0、kx=kc=π/a代入式(8-49)，便可得到TE10模的場分量表示式為(8-51a)(8-51b)

(8-51c)(8-51d)式中傳輸常數(shù)。TE10模電磁場各分量的瞬時表示式為(8-52a)(8-52b)(8-52c)由此可見，TE10模只有Ey、Hx、Hz三個場分量。由于這三個場分量均與坐標y無關，因此電磁場沿y方向無變化，呈現(xiàn)均勻分布。其電場只有Ey分量，沿x方向呈正弦分布，在波導寬邊有半個駐波分布，且在x=a/2處電場最強，在x=0和x=a處電場為零；Ez沿z方向呈正弦分布。TE10模電場分布如圖8-5(a)所示。圖8-5TE10模的電場、磁場結構

TE10模的磁場有Hx、Hz兩個分量。Hz在z方向和x方向都呈正弦分布，并且在波導寬邊有半個駐波分布，而且在x=a/2處有最大值，在x=0和x=a處為零；Hz在x方向和z方向都呈余弦分布，在波導寬邊有半個駐波分布，且在x=0和x=a處有最大值，在x=a/2處為零。Hx和Hz這兩個分量形成與波導寬邊平行的閉合磁力線。TE10模的磁場結構如圖8-5(b)所示。

TE10模電磁場完整的結構如圖8-6所示。隨時間t的增加，TE10模場結構以相速vp向+z方向運動。圖8-6TE10模電磁場結構立體圖當波導中有電磁能量傳輸時，波導內壁處有感應的高頻傳導電流。由于波導內壁是導電率極高的良導體，在微波波段，其集膚深度在微米數(shù)量級，因此波導內壁上的電流可看成表面電流，其面電流密度由下式確定：

JS=n×Ht

(8-53)

式中n為波導內壁上的單位法向矢量，它由波導管壁指向波導管內；Ht是波導管內壁處的切向磁場。

對于TE10模，將式(8-52)代入式(8-53)，則TE10模在波導管內壁上的感應面電流密度為(8-54a)(8-54b)

(8-54c)(8-54d)由式(8-54)可以繪出如圖8-7所示的波導壁電流分布圖。由圖8-7可知，矩形波導傳輸TE10模時，波導寬邊正中央的面電流只有z方向分量。如果在矩形波導寬邊正中央沿z方向開一很窄的縱槽，它不會切斷電流通路，因此TE10波的電磁能量不會從該縱槽輻射出來，波導內場分布也不會改變。這一點是很重要的，利用這個原理可以構成許多器件。在矩形波導中傳輸TE10模時，其截止波長為

λc=2a波導波長為

圖8-7TE10模的壁電流分布波阻抗為

8.3圓柱形波導

8.3.1圓波導中的模式

對于圖8-8所示的圓柱坐標系(r，φ，z)，電場強度和磁場強度的縱向分量滿足式(8-5d)(即滿足亥姆霍茲方程)?？紤]到拉梅系數(shù)h1=1，h2=r，h3=1，在圓柱坐標系下亥姆霍茲方程可表示為(8-55a)(8-55b)下面先解方程式(8-55a)。令(8-56)將方程式(8-55a)分離變量，得(8-57a)(8-57b)式中m為分離常數(shù)。式(8-57a)是簡諧振動方程，其解為(8-58a)方程式(8-57b)是m階貝塞爾方程，其解為(8-58b)圖8-8圓柱形波導式中Jm(kcr)為m階第一類貝塞爾函數(shù)，Nm(kcr)為m階第二類貝塞爾函數(shù)。習慣上，人們常稱Jm(kcr)為m階貝塞爾函數(shù)，而稱Nm(kcr)為紐曼函數(shù)。在圖8-9中給出了幾條低階貝塞爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)的導數(shù)和紐曼函數(shù)的曲線。其它各階貝塞爾函數(shù)、它們的導數(shù)和紐曼函數(shù)也有類似于該圖的振蕩衰減特性。由圖可知，這三種函數(shù)各自都有無窮多個根。這里用xmn表示m階貝塞爾函數(shù)Jm(x)的第n個根，用xmn′表示m階貝塞爾函數(shù)的導數(shù)Jm′

(x)的第n個根。表8-1和表8-2分別列出了幾個低階貝塞爾函數(shù)和它們的導函數(shù)的前幾個根。另外再列出Jm(x)和Nm(x)的幾條重要性質，這就是：(8-59)圖8-9貝塞爾函數(shù)及其導數(shù)的變化曲線(a)第一類貝塞爾函數(shù)Jm(x)；(b)第一類貝塞爾函數(shù)的導數(shù)Jm′

(x);(c)第二類貝塞爾函數(shù)Nm(x)

1.圓波導中的TE模

對于TE模，Ez=0而Hz≠0。由邊界條件可知，圓波導中TE模應滿足的邊界條件為將式(8-61)代入該式，得Jm′

(kca)=0，kca=xmn′。于是(8-62)(8-63)表8-3列出了空氣填充時圓波導中幾個TE模的截止波長值。將式(8-62)代入式(8-61b)，再把所得結果和Ez=0代入式(8-6)，則圓波導中TE模的各分量分別為(8-64)

2.圓波導中的TM模

對于TM模，Ez≠0而Hz=0。在波導壁處，電場切向分量應為零，所以必有

Ez|r=a=0

將式(8-61a)代入該式，得Jm(kca)=0，kca=xmn。于是(8-65)(8-66)表8-4列出了空氣填充時圓波導幾個TM模的截止波長值。將式(8-65)代入式(8-61a)，再把所得結果和Hz=0代入式(8-6)，則圓波導中TM模的各分量分別為(8-67)8.3.2圓波導中的三個常用模式

1.圓波導中的TE11模

在圓波導中，TE11模的λc=3.413a，截止波長最長，所以它是圓波導中的主模。將m=n=1、x11′=1.841代入式(8-64)，則傳輸型TE11模的電磁場為(8-68)式中β是TE11模的相移常數(shù)，圖8-10是其場結構圖。圖8-10圓波導中TE11模的電磁場分布由于TE11模存在極化簡并，因此其極化面是不穩(wěn)定的，當圓波導由于機械加工而出現(xiàn)不圓度時，TE11模的極化面將發(fā)生旋轉而分裂成一對極化簡并模，故除了用它傳輸圓極化波以外，一般不用它“長距離”傳輸電磁能量。但我們可以利用它具有極化簡并的特點，制造出如極化衰減器、極化變換器和微波鐵氧體環(huán)行器等有特殊用處的微波元件。

由于圓波導中的TE11模與矩形波導中的TE10模場分布相似，因此很容易從矩形波導的TE10模過渡到圓波導的TE11模，其過渡段的結構如圖8-11所示。其中圖(a)是從矩形過渡到圓形的均勻過渡段，圖(b)是在矩形波導與圓波導之間加了若干節(jié)部分填平圓波導而構成的λ/4階梯阻抗、波型變換器。兩者相比，后者易加工，不會產生極化面旋轉，特別適宜于極化隔離度要求高的天饋系統(tǒng)。圖8-11矩形波導至圓波導過渡段(a)矩—圓內過渡段；(b)多級λ/4部分填充過渡段

2.圓波導中的TE01模

在圓波導中,TE01模是高次模,其截止波長λc=1.64a。將m=0、n=1、x01′=3.832代入式(8-64)，則圓波導中傳輸型TE01模的各場分量分別為

(8-69)

TE01模的電磁場分布如圖8-12所示。其場分布具有以下特點：電場沿φ方向都沒有變化，電磁場具有軸對稱性；電力線是分布在橫截面上的同心圓；在r=a處，Hr=0，只有Hz≠0，故在波導壁上只有沿方向流動的感應電流(見圖

8-13)。

TE01模的一個突出優(yōu)點是波導管壁導體損耗引起的衰減常數(shù)αc隨頻率的升高而單調下降，這一特點使得它特別適合于遠距離傳輸毫米波能量。另外，由于圓波導中TE01模的管壁電流只有φ方向的分量而無軸向分量，應用這一特點，又可以制成高Q值的諧振腔。圖8-12圓波導中TE10模的電磁場分布圖8-13圓波導中TE10模的壁電流

3.圓波導中的TM01模

TM01模是圓波導中的次低次模，其截止波長λc=2.613a。將m=0、n=1和xmn=1.405代入式(8-67)，則TM01模的電磁場為(8-70)其電磁場分布如圖8-14所示。圖8-14圓波導中TM01模的電磁場分布由圖8-14可知，TM01模的場也具有軸對稱性，而且在軸線附近，電場軸向分量最強。由于TM01模的場具有軸對稱性，并且又是次低次模，故它特別適宜于作微波天線系統(tǒng)旋轉關節(jié)的工作模式。由于在波導軸線附近TM01模的電場軸向分量最強，可以有效地和沿波導軸向運動的電子交換能量，所以它又適于作微波電子管中的諧振腔以及慢波系統(tǒng)中的工作模。

8.4波導中的能量傳輸與損耗

電磁波在波導中傳輸時必將有電磁能量的傳輸。當波導的終端接匹配負載或波導為無限長時，也就是波導工作在行波狀態(tài)時(即無反射波存在)，波導中傳輸?shù)墓β士捎刹▽M截面上坡印廷矢量的積分來求得：(8-71)式中Et和Ht分別為波導橫截面上的電場強度和磁場強度，Z為波阻抗。在矩形波導中傳輸功率為(8-72)在圓柱形波導中其傳輸功率為(8-73)8.4.1波導的擊穿功率與功率容量

對于矩形波導中的TE10模，其橫向電場只有Ey分量，其表示式為(8-74)式中E0=ωμaH0/π。將式(8-74)代入式(8-72)，則在行波狀態(tài)下TE10模的傳輸功率為(8-75)式中η=為無限介質中的波阻抗。設Ebr為波導中填充介質的擊穿電場強度，即介質所能承受的最大電場強度，將式(8-75)中的E0用Ebr代替，則在行波狀態(tài)下TE10模傳輸?shù)臉O限功率Pbr為(8-76)這也就是在行波狀態(tài)下，TE10模的擊穿功率。由此可以看出，在矩形波導中TE10模的擊穿功率與波導尺寸、波導中填充介質的擊穿場強以及工作頻率有關。顯然，波導尺寸越大，填充介質的擊穿場強越高，則擊穿功率也就越大。圖

8-15給出了在矩形波導中擊穿功率Pbr與工作波長和TE10模截止波長之比的關系曲線。由圖可知，頻率越高，

值越小，擊穿功率越大；當頻率接近TE10模的截止頻率時，擊穿功率急劇下降，并趨于零；當

<0.5時，又會出現(xiàn)高次模。因此，當用TE10模傳輸功率時，應使工作波長在0.5λc<λ<0.9λc

范圍內。圖8-15矩形波導功率容量與波長的關系對于矩形波導中的其它模式，以及圓柱波導中的傳輸功率和擊穿功率，可以仿照上述方法求出。

通過上面的分析，我們得到了在行波工作狀態(tài)下TE10模的擊穿功率。在實際應用中，由于傳輸線終端難以完全匹配，傳輸線處于行駐波工作狀態(tài)(而有部分反射波存在)，此時駐波系數(shù)ρ>1，這時擊穿功率可減小到(8-77)事實上，波導的擊穿功率還與其它因素有關。如波導內表面不干凈，有毛刺或出現(xiàn)不均勻性等等，都會使波導的擊穿功率進一步降低。為使波導能安全地工作，通常把傳輸線允許通過的功率Pt規(guī)定為(8-78)Pt即是波導的功率容量。8.4.2波導的損耗和衰減

在以上各節(jié)的分析中，都是假設波導壁是完全理想的導電面，波導中填充的介質是完全理想的無損耗介質，因此電磁波在波導中傳輸時，沒有電磁能量的損失。電磁波在傳輸過程中，其振幅不變。實際上，電磁波在波導中傳輸時，是有功率損耗的，這種功率損耗包括波導管壁有限電導率引起的損耗和填充介質的損耗。由于電磁波在波導中傳輸時有功率損耗，電磁波的振幅隨著傳輸距離的增加而逐漸衰減。

在考慮損耗的波導中，電磁波的傳輸常數(shù)是復數(shù)，即γ=α+jβ=α+jkz，此時電磁波的場矢量為(8-79a)(8-79b)式中E′(u1，u2)e－αz和H′(u1，u2)e－αz是場矢量的振幅。顯然電磁波每傳輸一個單位距離，場矢量的振幅是原來值的

e－αz倍，而電磁波所攜帶的功率則是原來值的e－2α倍。設在z處通過波導橫截面的功率為P，則傳輸一個單位距離所損耗的功率PL為

PL=P(1－e－2α)

(8-80)

在一般情況下，波導中任意橫截面處的傳輸功率P總是遠大于該處單位長度波導中損耗的功率PL，即P>>PL，這說明衰減常數(shù)α<<1。在此種情況下，將e－2α展成冪級數(shù)，并取前兩項作近似，則式(8-80)可簡化為PL≈2αP由此可得衰減常數(shù)的近似表示式為(8-81)

1.波導內壁導體損耗引起的衰減常數(shù)αc

若要計算αc，必須先計算傳輸功率P和損耗功率PL。由電磁場理論可知，這兩部分功率分別為(8-82)(8-83)在式(8-82)中，S是z處波導的橫截面，微分面元矢量dS的方向為+z方向。在式(8-83)中，S0是z處單位長波導的側面積，微分面元矢量dS的方向是波導側面內法線方向，Et和Ht是波導側面上的電場強度和磁場強度的切向分量。由于波導壁電導率為有限值，因此上面兩式中的場量均是有限導電率邊界條件的亥姆霍茲方程的解。由于在有限電導率邊界條件下求解亥姆霍茲方程很困難，一般按以下方法作近似的計算。假定波導壁的非理想導電特性不改變波導中電磁場的分布，也不改變波導內壁上的磁場，僅使波導內壁處的電場產生了切向分量。此時可以用具有理想導體內壁的波導中的場來代替式(8-82)和式(8-83)中的場。用這種近似的方法所得到的結果與實驗結果十分接近。

按上述方程計算，則(8-84)(8-85)式中，Z為傳輸模的波阻抗，RS為金屬材料的表面電阻。將式(8-84)和式(8-85)代入式(8-81)，可得(8-86)對于矩形波導中的TE10模，其衰減常數(shù)αc的計算，可將TE10模的磁場分量代入式(8-84)和式(8-85)中，作積分可得因此矩形波導傳輸TE10模時的衰減常數(shù)為

(8-87)

圖8-16給出矩形波導傳輸TE10模時衰減常數(shù)αc的特性曲線。由圖可知，波導寬邊尺寸a確定后，窄邊尺寸b越大，其αc越??；在截止頻率附近αc急劇增加。因此在使用矩形波導傳輸電磁波時，不能把工作頻率選在截止頻率附近。仿照計算的辦法，可以求出矩形波導傳輸其它模式以及圓柱波導各傳輸模的衰減常數(shù)。圖8-16矩形波導中TE10模的αc特性曲線

2.波導中填充介質的損耗引起的衰減常數(shù)αd

當波導中填充非理想介質時，介質中將損耗部分功率，使得電磁波在傳輸過程中衰減。波導中非理想介質引起的損耗包括兩部分：一部分是由介質電導率不等于零，即σ≠0而

引起的；另一部分是由介質極化阻尼而引起的。

介質電導率不為零引起的衰減常數(shù)αdc由傳輸常數(shù)γ的表示式可以導出，其αdc為(8-88)式中tanδc=σ/ωε稱為導電介質損耗角正切。介質極化阻尼損耗引起的衰減常數(shù)αde為(8-89)式中tanδe=ε″/ε′稱為介質損耗角正切。以上的分析表明，對于空氣填充的波導，其損耗是由波導壁有限電導率引起的，衰減系數(shù)α=αc；對于非理想介質填充的波導，不僅有波導壁引起的損耗，而且還有介質引起的損耗，其衰減常數(shù)α=αc+αdc+αde。

8.5同軸線

同軸線的結構如圖8-17所示，其導波裝置是雙導體結構，傳輸電磁波的主模式是TEM波。從場的觀點看，同軸線的邊界條件既能支持TEM波傳輸，也能支持TE波或TM波傳輸，究竟哪些波能在同軸線中傳輸，則取決于同軸線的尺寸和電磁波的頻率。

同軸線是一種寬頻帶的導波裝置。當工作波長大于10cm時，矩形波導和圓柱形波導就顯得尺寸過大而笨重，而相應的同軸線卻不大。同軸線的特點之一是可以從直流一直工作到毫米波波段，因此無論在微波整機系統(tǒng)、微波測量系統(tǒng)或微波元件中，同軸線都得到廣泛的應用。圖8-17同軸線的結構與坐標8.5.1同軸線主模TEM波的性質

1.同軸線中的場方程

求解同軸線中TEM波的場分量，就是在圓柱坐標系下求解橫向分布函數(shù)(電位函數(shù))j(r，φ)所滿足的拉普拉斯方程式(8-22)，即(8-90)由于對稱性，可認為j沿坐標φ均勻分布，j僅是坐標r的函數(shù)，因此上式中對φ的偏導數(shù)應為零，式(8-90)可簡化為常微分方程式：(8-91)該方程的一般解為

j=B0－B1lnr

(8-92)

將j以及式(8-22d)代入式(8-22a)，可得到同軸線中TEM波的橫向場分量為(8-93)式中E0是電場的振幅，η是TEM波的波阻抗。

2.傳輸參數(shù)

設同軸線內、外導體之間的電壓為U(z)，內導體上的軸向電流為I(z)，則由式(8-93)可求得(8-94)(8-95)由特性阻抗的定義可知其特性阻抗Z0為(8-96a)其相移常數(shù)β和相速vp分別為(8-96b)

(8-96c)(v0=光速)其波導波長(相波長)為(8-96d)式中εr為同軸線中填充介質的相對介電常數(shù)。

3.傳輸功率與衰減

設z=0時，內、外導體之間的電壓為U0，則從式(8-94)可得將上式代入式(8-93)可得(8-97b)(8-97a)將上式代入式(8-13)可得同軸線傳輸TEM波的平均功率：(8-98)同軸線的功率容量Pbr可按下式計算：式中Ubr為擊穿電壓，由擊穿電場強度Ebr決定。由于同軸線內電場強度在r=a處最強，因此由式(8-97)可得Ubr與Ebr的關系：故功率容量的計算公式可寫成(8-99)同軸線的衰減由兩部分構成：一部分是由導體損耗引起的衰減，用αc表示；另一部分是由介質損耗引起的衰減，用αd表示。其計算公式為(8-100a)式中RS=是導體的表面電阻，tanδ是同軸線中填充介質的損耗角正切。8.5.2同軸線中的高次模

若同軸線的尺寸與波長相比足夠大時，同軸線上有可能傳輸TE波或TM波。因此有必要研究高階模的場結構特點，以便在給定頻率下選擇合適的尺寸，保證在同軸線內可以抑制高階模的產生，保證單模(TEM)傳輸。

對于同軸線內的TE或TM高階模來說，其截止波數(shù)kc所滿足的方程都是超越方程，嚴格求解是很困難的，一般采用近似的方法得到其截止波長的近似表達式。對于TM波，最低波型為TM01，其截止波長λc(E01)=2(b－a)。當m≠0、n=1時，對于TE波，其截止波長為最低波型為H11，其截止波長為在m=0時，TE01模的截止波長為8.5.3同軸線尺寸的選擇

確定同軸線尺寸時，主要考慮以下幾方面的因素。

1.保證同軸線中單模(TEM)傳輸

為了保證在同軸線中只傳輸TEM波，其工作波長與同軸線尺寸的關系應滿足

λ>λc(H11)≈π(a+b)

2.保證傳輸電磁波能量時導體損耗最小

為了保證獲得最小的導體損耗，將αc表達式(8-100a)中的b保持不變，對a求導并令，可求得αc取最小值時b/a的比值為此尺寸相應空氣同軸線的特性阻抗約為77Ω。

3.保證同軸線具有最大的功率容量

為了保證獲得最大的功率容量，可將Pbr的表達式(8-99)中b保持不變，對a求導并令，可求得Pbr取最大值時b/a的比值為此尺寸相應空氣同軸線的特性阻抗約為33Ω。顯然，上述兩種要求所對應的同軸線的特性阻抗值并不相同，因此有必要兼顧考慮。一般情況下同軸線的特性阻抗取50Ω和75Ω兩個標準值，后者考慮的損耗小，前者兼顧了損耗與功率容量的要求。

8.6諧振腔

8.6.1空腔諧振器的一般概念

在低頻電路中，諧振電路是由集總元件電感L和電容C構成的。當工作頻率逐漸升高時，電感L和電容C值逐漸減小，同時各種損耗如導體損耗、介質損耗和輻射損耗則不斷增加，以至在微波波段，這種普通的LC電路就不能正常工作。這時由金屬封閉的空腔諧振器和其它結構形式構成的諧振器成為微波諧振電路的主要形式。由集總參數(shù)LC電路向金屬空腔諧振器過渡的形象化解釋如圖8-18所示。值得注意的是，一旦形成封閉腔體之后，就不能簡單地認為上下底壁構成電容，側壁構成電感。圖8-18集總參數(shù)LC電路向空腔諧振器過渡在金屬空腔諧振器中電磁能量被封閉在金屬腔體之中，電能與磁能在封閉的空間中不斷相互轉換構成了諧振過程。振蕩中導體壁的損耗和介質的損耗等效于一個歐姆電阻，它決定了無載空腔諧振器的品質因數(shù)。空腔諧振器中電、磁能量的激勵和耦合，可以采用各種不同的結構形式，這通常取決于諧振器中工作的模式。模式不同，諧振器的激勵與耦合結構也不同。

空腔諧振器的主要特性參數(shù)有：諧振波長λ0(或諧振頻率f0)；固有的品質因數(shù)Q0；等效電導G0。當考慮到與外電路耦合時，還有有載品質因數(shù)QL、耦合系數(shù)β等。在這里我們僅對諧振腔的諧振波長和固有的品質因數(shù)Q0給予定義。

1.諧振波長λ0

空腔諧振器的諧振波長λ0是指在空腔諧振器中工作模式的電磁場發(fā)生諧振時的波長。這時諧振器內的電場能量的時間平均值與磁場能量的時間平均值相等。諧振波長λ0取決于諧振器的結構形式、尺寸大小和工作模式。f0=v/λ0(空氣填充時，v為自由空間的光速)稱為諧振頻率。

2.固有品質因數(shù)Q0

品質因數(shù)Q是空腔諧振器的另一個重要參數(shù)。它表征了空腔諧振器的頻率選擇性和諧振器能量損耗，其定義為(8-101)一個與外界沒有耦合的孤立空腔諧振器的品質因數(shù)稱為固有品質因數(shù)，以Q0表示。對孤立的空腔諧振器，式(8-101)中系統(tǒng)中每秒的能量損耗僅包括空腔諧振器本身的損耗，如導體損耗和介質損耗等。諧振器中儲存能量的時間平均值，在計算時可以用磁場能量，也可以用電場能量表示。對于金屬空腔諧振器，為了與計算功率損耗PL統(tǒng)一起來，可采用磁場表示。當場量用瞬時值定義時，總儲能的時間平均值為(8-102)式中ε1為諧振器內部介質的介電常數(shù)，μ1為介質的磁導率，V為諧振器的體積。對于孤立的金屬空腔諧振器，其損耗主要來自導體壁的損耗，所以PL為(8-103)式中JS為腔體壁的面電流密度矢量，RS為表面電阻率，Ht為腔壁表面切向磁場。將式(8-102)和式(8-103)代入式(8-101)，得(8-104)由于所以式(8-104)也可以寫成(8-105)8.6.2矩形空腔諧振器

一個橫截面尺寸為a×b的矩形金屬波導，當在長度為l的兩端用金屬導體封閉時，就可構成一個矩形空腔諧振器。電場和磁場能量被儲存在腔體內，功率損耗由腔體的金屬壁與腔體內填充介質引起。諧振腔與外界的孔耦合可由腔體壁上的小孔或腔內的探針(或耦合環(huán))來完成。其結構如圖8-19所示。我們首先求解諧振腔在無耗情況下的諧振頻率，然后用微擾法求其固有品質因數(shù)Q0。圖8-19矩形波導諧振腔

1.諧振頻率

矩形波導諧振腔內的場分量可由入射波和反射波疊加來求得。由8.2節(jié)得知，在矩形波導中TEmn?；騎Mmn模的橫向電場(Ex，Ey)可以寫成(8-106)式中，E0(x，y)為該模式橫向電場的橫向坐標函數(shù)，A+、A－分別為正向和反向行波的任意振幅系數(shù)。TEmn和TMmn的傳輸系數(shù)為(8-107)式中，k0=ω

,μ和ε是腔體內填充介質的磁導率和介電常數(shù)。將z=0處的邊界條件Et=0代入式(8-106)，得到A+=A－，再將z=l處的邊界條件Et=0代入式(8-106)，可得E(x，y，l)=

－E0(x，y)2jA+sinkzl=0，由此可得

kz=pπ/l(p=1，2，3，…)

這表明，諧振腔的長度必須為半波導波長的整數(shù)倍。由此得矩形波導諧振腔的諧振波數(shù)為(8-108)這樣與矩形波導的模式相對應，矩形諧振腔可以存在無限多個TEmnp模和TMmnp模，下標m、n、p分別表示沿a、b、l分布的半駐波數(shù)。TEmnp模和TMmnp模的諧振頻率為(8-109)式中c為真空中的光速。最低的諧振頻率或最長的諧振波長為諧振腔的主模。矩形波導諧振腔的主模是TE10p模，其諧振頻率為(8-110)

2.TE10p模的固有品質因數(shù)Q0

實用的矩形波導諧振腔幾乎都是以TE10p模工作，其固有品質因數(shù)Q0可按式(8-105)計算。

由8.2節(jié)的結果和式(8-107)以及A+=A－，可求得矩形波導腔TE10p模的電磁場分量為(8-111a)(8-111b)(8-111c)據此可畫出TE101模的場結構如圖8-20所示。圖8-20TE101模的場結構

TE10p模的電場儲能為磁場的儲能為對小損耗情況，我們可以采用微擾法來求腔體內壁的功率損耗。由式(8-103)知，

將和PL代入式(8-101)或式(8-104)，可得矩形諧振腔TE10p模的固有品質因數(shù)Q0為(8-112)

例8-1

用BJ—48銅波導做成矩形波導諧振腔,a=4.775cm,b=2.215cm，腔內填充聚乙烯介質(εr=2.25,tanδ=4×10－4)，其諧振頻率f0=5GHz。若諧振模式分別為TE101或TE102，其要求腔長應為多少，并求出它們的無載Q值。

解：當用BJ—48波導傳輸f0=5GHz的電磁波時，其波數(shù)k應為由式(8-