專題05 解直角三角形的應(yīng)用九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末解答題必刷專題訓(xùn)練（華師大版） 帶解析

解直角三角形的應(yīng)用題量充足，以便于大家根據(jù)自己的喜好取舍。1．某校為了更好的記錄學(xué)生們?cè)谇锛具\(yùn)動(dòng)會(huì)中精彩的瞬間，學(xué)校特意邀請(qǐng)了一名攝影師攜帶無(wú)人機(jī)來(lái)進(jìn)行航拍．如圖，攝影師在水平地面上點(diǎn)A測(cè)得無(wú)人機(jī)位置點(diǎn)C的仰角為53°；當(dāng)攝影師迎著坡度為1：2.4的斜坡從點(diǎn)A走到點(diǎn)B時(shí)，無(wú)人機(jī)的位置恰好從點(diǎn)C水平飛到點(diǎn)D，此時(shí)，攝影師在點(diǎn)B測(cè)得點(diǎn)D的仰角為45°，其中AB＝2.6米，CD＝3米，無(wú)人機(jī)與水平地面之間的距離始終保持不變，且A、B、C、D四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，求無(wú)人機(jī)距水平地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】6.4米【分析】過(guò)B作BE⊥地面，求出BE=1，AE=2.4，過(guò)B作水平線，過(guò)D作DF⊥BF，過(guò)C作CG⊥地面，交BF于M，交DB于N，設(shè)GE=x，證明四邊形DCMF為矩形，得到CM=DF，MN=BM=x，F(xiàn)M=DC=3，BF=3+x=DF，AG=AE+GE=2.4+x，根據(jù)tan53°=，求出x，即可得到答案．【詳解】解：過(guò)B作BE⊥地面，∵AB坡度為1：2.4，設(shè)BE=h，即AE=2.4h，∵AB=2.6，∴BE2+AE2=AB2即h2+5.76h2=6.76，∴h=1，BE=1，AE=2.4，過(guò)B作水平線，過(guò)D作DF⊥BF，過(guò)C作CG⊥地面，交BF于M，交DB于N，∵∠DBF=45°，∴DF=BF，設(shè)GE=x，則BM=x，∵DC∥BF，且∠DFB=∠CMF=90°，∴四邊形DCMF為矩形，∴CM=DF，MN=BM=x，F(xiàn)M=DC=3，BF=3+x=DF，又∵BE=MG=1，∴CG=MC+MG=3+x+1=4+x，AG=AE+GE=2.4+x，∵∠CAG=53°，tan53°=，∴，即，解得：x=2.4，∴BM=2.4，BF=5.4，CM=DF=BF=5.4，CG=GM+CM=5.4+1=6.4，答：無(wú)人機(jī)距水平地面的高度約為6.4米．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)引出輔助線構(gòu)造直角三角形，以及熟記各三角函數(shù)的計(jì)算公式．2．某過(guò)街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面CD的坡度為（i＝1：是指鉛直高度DE與水平寬度CE的比），CD的長(zhǎng)為10m，天橋另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．（1）寫(xiě)出過(guò)街天橋斜面AB的坡度；（2）求DE的長(zhǎng)；（3）若決定對(duì)該過(guò)街天橋進(jìn)行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45°坡角改為30°，方便過(guò)路群眾，改建后斜面為AF，試計(jì)算此改建需占路面的寬度FB的長(zhǎng)（結(jié)果精確到．0.01m）．【答案】（1）AB的坡度；（2）；（3）【分析】（1）作AG⊥BC于G，在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，則可以得到AG＝BG，再由AB的坡度即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，根據(jù)求出∠C＝30°，從而可以得到；（3）由（1）（2）知AG＝BG=DE＝5m，，則由，得到，由此求解即可．【詳解】（1）作AG⊥BC于G，在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，AG＝BG．∴AB的坡度．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，在Rt△DEC中，∵，∴∠C＝30°．又∵CD＝10m．∴．（3）由（1）（2）知AG＝BG=DE＝5m，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，，即，解得．答：改建后需占路面的寬度FB的長(zhǎng)約為3.66m．【總結(jié)】本題主要考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握（1）解梯形問(wèn)題常作出它的兩條高，構(gòu)造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的比，它等于坡角的正切值．3．如圖，坡面CD的坡比為，坡頂?shù)钠降谺C上有一棵小樹(shù)AB，當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線夾角成60°時(shí)，測(cè)得小樹(shù)的在坡頂平地上的樹(shù)影BC=3米，斜坡上的樹(shù)影CD=米，則小樹(shù)AB的高是多少米？【答案】小樹(shù)AB的高是米．【分析】過(guò)點(diǎn)D作FD⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF，交DF于點(diǎn)E，由坡比為1：，求出CE和ED，再由Rt△AFD和三角函數(shù)求出AF．進(jìn)而求出AB．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作FD⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF，得Rt△AFD，Rt△CED，F(xiàn)E=BC，BF=CE，∵∠ADF=60°，在Rt△CED中，設(shè)CE=x，由坡面CD的坡比為，得：，則根據(jù)勾股定理得：，得，（不合題意舍去），所以，米，則米，那么，米，在Rt△AFD中，由三角函數(shù)得：，∴米，∴米，答：小樹(shù)AB的高是米．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題，恰當(dāng)作輔助線構(gòu)建直角三角形．4．某體育看臺(tái)側(cè)面的示意圖如圖所示，觀眾區(qū)AC的坡度i為1：2，頂端C離水平地面AB的高度為10m，從頂棚的D處看E處的仰角α＝18°30′，豎直的立桿上C、D兩點(diǎn)間的距離為4m，E處到觀眾區(qū)底端A處的水平距離AF為3m．求：（1）觀眾區(qū)的水平寬度AB；（2）頂棚的E處離地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，結(jié)果精確到0.1m）【答案】（1）20m；（2）21.6m【分析】（1）由AB⊥BC，AC的坡度i，由BC長(zhǎng)度求AB長(zhǎng)度即可；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，則EF＝EN+MN+MF=EN+CD+BC，【詳解】（1）∵觀眾區(qū)AC的坡度i為1：2，CB=10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：觀眾區(qū)的水平寬度AB為20m；（2）如圖，作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，則四邊形MFBC、MCDN為矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，在Rt△END中，tan∠EDN＝，則EN＝DN?tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：頂棚的E處離地面的高度EF約為21.6m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，弄清坡度的概念，將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為解直角三角形的問(wèn)題，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，可適當(dāng)添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖，從熱氣球上測(cè)得兩建筑物、底部的俯角分別為和如果這時(shí)氣球的高度為米，且點(diǎn)、、在同一直線上，求建筑物、之間的距離（結(jié)果精確到米）．[參考數(shù)據(jù)：，，]【答案】220米【分析】根據(jù)題意可得，，，，分別在和，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義求得，的長(zhǎng)度即可求解．【詳解】解：由己知，得，，，，于點(diǎn)

，在中，，，在中，，，．（米）．答：建筑物、間的距離約為米．【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，涉及了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并利用三角函數(shù)的定義求解．6．如圖，小瑩在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)某小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測(cè)量，先測(cè)得居民樓AB與CD之間的距離AC為35m，后站在M點(diǎn)處測(cè)得居民樓CD的頂端D的仰角為45°，居民樓AB的頂端B的仰角為55°，已知居民樓CD的高度為16.6m，小瑩的觀測(cè)點(diǎn)N距地面1.6m．求居民樓AB的高度（精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）．【答案】30米【分析】過(guò)點(diǎn)N作EF∥AC交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可得BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AB的高度．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)N作EF∥AC交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，則AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，則DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN?tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．答：居民樓AB的高度約為30米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．7．鄭州二七罷工紀(jì)念塔，簡(jiǎn)稱“二七紀(jì)念塔”，是全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，明確提出將二七廣場(chǎng)片區(qū)列為2020年鄭州市建設(shè)發(fā)展重點(diǎn)任務(wù)之一，將其打造成為“鄭州人精神家園、河南省消費(fèi)中心．全國(guó)城市復(fù)興典范”．某中學(xué)數(shù)學(xué)研究小組在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，下列示意圖中B、C、D在同一條直線上，四邊形BCEF為矩形（1）哪些小組的測(cè)量方案可以測(cè)量塔高？（2）請(qǐng)選擇其中一個(gè)方案及其數(shù)據(jù)計(jì)算塔高．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）【答案】（1）第一小組和第三小組的測(cè)量方案可以測(cè)量塔高；（2）選第一組，塔高約為63米．【分析】（1）第一組根據(jù)角的關(guān)系得到AC=CD，三角形ABC可解；無(wú)法計(jì)算EF的長(zhǎng)度，三角形AEF不可解，故第二組不符合題意；可用AB的高度分別表示DB，BC，利用DB+CB=CD建立方程計(jì)算即可，故第三組符合題意；（2）答案不唯一，選擇方案1，運(yùn)用70°角的正弦計(jì)算即可．【詳解】（1）第一小組和第三小組的測(cè)量方案可以測(cè)量塔高．理由如下：∵∠ACB=70°，∠D=35°，∴∠CAD=∠ACB-∠D=70°-35°=∠D=35°，∴AC=CD=67.1，在Rt△ABC中，=sin70°，∴AB=ACsin70°，∴第一組符合題意；∵無(wú)法計(jì)算EF的長(zhǎng)度，∴三角形AEF不可解∴第二組方案不可行；設(shè)AB=x，則DB=x÷tan35°，BC=x÷tan70°，∵DB+CB=CD建立方程計(jì)算即可，∴第三組符合題意；（2）∵∠ACB=70°，∠D=35°，∴∠CAD=∠ACB-∠D=70°-35°=∠D=35°，∴AC=CD=67.1，在Rt△ABC中，=sin70°，∴AB=ACsin70°=67.1×0.94≈63（米）．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的基本條件并靈活選擇三角函數(shù)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．一條自西向東的觀光大道ｌ上有A、B兩個(gè)景點(diǎn)，A、B相距2km，在A處測(cè)得另一景點(diǎn)C位于點(diǎn)A的北偏東60°方向，在B處測(cè)得景點(diǎn)C位于景點(diǎn)B的北偏東45°方向，求景點(diǎn)C到觀光大道l的距離．（答案可保留根號(hào)）【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D，設(shè)CD=xkm．先解直角△ACD，得出AD=CD=km，再解直角△BCD，得出BD=CD=xkm，然后根據(jù)ADBD=AB，列出關(guān)于x的方程，解方程即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D，設(shè)CD=xkm．在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，∴AD=CD=xkm．在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，∴BD=CD=xkm．∵ADBD=AB，∴xx=2，∴x=+1．故景點(diǎn)C到觀光大道l的距離約為km．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用，難度適中，通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．某船以每小時(shí)36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)A測(cè)得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得該島在北偏東30°方向上，已知該島周?chē)?6海里內(nèi)有暗礁．（1）試說(shuō)明點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域外？（2）若繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）BC=18>16，在暗礁區(qū)域外；（2）C到AB的距離為，小于16，繼續(xù)向東有危險(xiǎn)【分析】（1）作CD⊥AB于D點(diǎn)，可先求出CD的長(zhǎng)，再求出CB的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)（1）中求出的CD值，進(jìn)行比較即可．【詳解】解：（1）作CD⊥AB于D點(diǎn)，設(shè)BC為x海里，在Rt△BCD中∠CBD＝60°，∴BD＝x海里．CD＝x海里．在Rt△ACD中∠CAD＝30°tan∠CAD＝＝，∴＝．解得x＝18．∵18>16，∴點(diǎn)B是在暗礁區(qū)域外；（2）∵CD＝x＝9海里，∵9＜16，∴若繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，本題是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問(wèn)題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中，使問(wèn)題解決．10．圖①是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，托板長(zhǎng)AB＝115mm，支撐板長(zhǎng)CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)（1）當(dāng)∠CDE＝60°時(shí)，①求點(diǎn)C到直線DE的距離（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）；②若∠DCB＝70°時(shí)，求點(diǎn)A到直線DE的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）為了觀看舒適，把（1）中∠DCB＝70°調(diào)整為90°，再將CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在DE上，則CD旋轉(zhuǎn)的角度為．（直接寫(xiě)出結(jié)果）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）【答案】（1）①；②124mm；（2）33.4°【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)C作CG∥DE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CG于H，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，根據(jù)60°角的正弦可得點(diǎn)C到直線DE的距離CF的長(zhǎng)；②在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)A到直線DE的距離為AH+CF可得答案．（2）畫(huà)出符合題意的圖形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度數(shù)，則CD旋轉(zhuǎn)的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．【詳解】解：（1）①過(guò)點(diǎn)C作CG∥DE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CG于H，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE，則點(diǎn)C到直線DE的距離為CF，在Rt△CDF中，∵sin∠CDE＝，∴CF＝CD?sin60°＝70×＝35．②由圖可知，點(diǎn)A到直線DE的距離=AH+CF．∵∠DCB＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDE＝60°．∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．在Rt△ACH中，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC?sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64mm，∴點(diǎn)A到直線DE的距離為AH+CF＝35+64≈124mm．（2）如下圖所示，虛線部分為旋轉(zhuǎn)后的位置，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，則B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．在Rt△B′C′D中，∵tan∠B′DC′＝，∴∠B′DC′＝26.6°．∴CD旋轉(zhuǎn)的角度為∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．故答案為：33.4°．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．某學(xué)校A位于工地O的正西方向，且，一輛貨車(chē)從O處出發(fā)，以的速度沿北偏西方向行駛．已知貨車(chē)的噪聲污染半徑為，那么學(xué)校是否在該貨車(chē)噪聲污染范圍內(nèi)？若在，則學(xué)校受該貨車(chē)噪聲污染的時(shí)間有幾秒？（結(jié)果精確到）【答案】在噪聲污染范圍內(nèi)，約．【分析】問(wèn)教室A是否在拖拉機(jī)的噪聲污染范圍內(nèi)，其實(shí)就是問(wèn)A到OM的距離是否大于污染半徑130m，如果大于則不受影響，反正則受影響．如果過(guò)A作AB⊥OM于B，那么AB就是所求的線段．直角三角形AOB中，∠AOB的度數(shù)容易求得，又已知了OA的值，那么AB便可求出了．然后進(jìn)行判斷即可，算出學(xué)校從剛開(kāi)始受到噪聲污染到污染剛好消失這段時(shí)間內(nèi)貨車(chē)行駛的路程，再除以貨車(chē)的速度就是學(xué)校受污染的時(shí)間．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM于點(diǎn)B，∵∠MON＝53°，∴∠AOM＝90°?53°＝37°．在Rt△ABO中，∵sin∠AOB＝，∴AB＝AO?sin∠AOB＝200×sin37°≈120（m）．∵120m＜130m．∴教室A在拖拉機(jī)的噪聲污染范圍內(nèi)．設(shè)貨車(chē)在C點(diǎn)時(shí)剛好對(duì)學(xué)校產(chǎn)生污染，在D點(diǎn)時(shí)污染剛好消失，如圖所示，如圖，假設(shè)AD＝AC＝130m，∵，∴B為CD的中點(diǎn)，即BC=DB，∴BC＝=50m，∴BD＝2BC=100m，∴t＝＝＝20s．即：學(xué)校受噪聲污染的時(shí)間為20秒.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可把條件和問(wèn)題放到直角三角形中，進(jìn)行解決．12．如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？【答案】當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向時(shí)，它距離燈塔P大約【分析】在中，根據(jù)求得，在中，根據(jù)即可求得．【詳解】解：如圖，在中，．在中，，∵，∴．因此，當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向時(shí)，它距離燈塔P大約．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握方位角的表示方法，解直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射．當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，從位于地面R處的雷達(dá)站測(cè)得AR的距離是，仰角為；后火箭到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得仰角為．這枚火箭從A到B的平均速度是多少（結(jié)果取小數(shù)點(diǎn)后兩位）？

【答案】【分析】首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形兩個(gè)直角三角形、,應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，借助構(gòu)造方程關(guān)系式，進(jìn)而可求出答案．【詳解】解：在中，,,,在中，,,,答：火箭從點(diǎn)到點(diǎn)的平均速度約為km/s．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)，此題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角形函數(shù)解直角三角形．14．如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比，斜面坡度是指DE與CE的比．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)．

求：（1）坡角和的度數(shù)；（2）斜坡AB的長(zhǎng)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)坡度的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AB即可得解；【詳解】（1）∵斜面AB坡度，斜面CD坡度，∴，，∴，；（2）∵，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了坡度的知識(shí)點(diǎn)求解和勾股定理計(jì)算，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．15．某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算AC，BD和AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．【答案】，，．【分析】過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，根據(jù)求得，在中，根據(jù)求得，進(jìn)而求得，根據(jù)即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形是矩形，，在中，，m，在中，，m，，m，，m，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．如圖，兩座建筑物的水平距離BC為，從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角為，測(cè)得C點(diǎn)的俯角為．求這兩座建筑物的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．【答案】AB為，CD為．【分析】首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角的正切函數(shù)，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，則四邊形BCDE為矩形，在Rt△ADE中，∠ADE＝=，DE＝BC=，∴AE＝DEtan∠ADE＝32.6×tan≈23.0m；在Rt△ABC中，∠ACB＝=，BC=，∴AB＝BCtan＝32.6×tan≈30.8m；則DC＝AB?AE＝30.83?23.00＝7.8∴AB為，CD為．即兩座建筑物的高度分別為，．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題，難度一般．17．如圖，自卸車(chē)車(chē)廂的一個(gè)側(cè)面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，且CE平行于地面，車(chē)廂底部距離地面1.2米，卸貨時(shí)，車(chē)廂傾斜的角度θ＝60°，此時(shí)車(chē)廂的最高點(diǎn)A距離地面約為多少米？（四舍五入精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【答案】4m【分析】要算出點(diǎn)A距離地面的距離，只需算出點(diǎn)A距離車(chē)廂的距離加上1.2米即可．如下圖，過(guò)A作AF⊥CE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AB交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，在△BGC中，根據(jù)已知條件可以求出∠BGC=60°，然后可以求出GB，也就求出了AG，最后可以求出AF，加上1.2就是點(diǎn)A距離地面的高度．【詳解】如圖，過(guò)A作AF⊥CE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AB交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵+∠BCG=90°，∠BGC+∠BCG=90°，

∴∠BGC=60°，

∵BC=0.5米，

∴在Rt△BCG中，BG=0.5÷tan60°=，

那么AG=AB+BG=3+，

∴在Rt△AGF中，AF=AG×sin60°=，

∴點(diǎn)A距離地面為+1.2≈4m．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是是構(gòu)造所求線段所在的直角三角形．18．一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港．（1）求A，C兩港之間的距離（結(jié)果精確到）；（2）確定C港在A港的什么方向．【答案】（1）約；（2）C港在A港北偏東方向．【分析】（1）根據(jù)題意求出∠ABC=90°，然后根據(jù)勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)（1）可得∠BAC=45°，結(jié)合∠BAM=60°即可求解．【詳解】如圖所示，（1）由題意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴AC=．答：A、C兩地之間的距離為14.1km．（2）由（1）知，△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=∠BAM-∠BAC=15°，∴C港在A港北偏東15°的方向上．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，勾股定理和方位角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根據(jù)題意求出∠ABC=90°．19．如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖，為了提高傳送過(guò)程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由改為．已知原傳送帶長(zhǎng)為．（1）求新傳送帶的長(zhǎng)度；（2）如果需要在貨物著地點(diǎn)的左側(cè)留出的通道，試判斷距離點(diǎn)的貨物是否需要挪走，并說(shuō)明理由．（結(jié)果精確到，已知，，）【答案】（1）；（2）需要挪走，理由見(jiàn)解析【分析】（1）在中，由算出，在中，由30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可算出；（2）在中，由算出，在中，由算出，然后算出，，用與2作比較即可．【詳解】解：（1）在中，，在中，，∴，答：新傳送帶的長(zhǎng)度約為；（2）在中，，在中，，∴，∵，∴貨物需要挪走．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形問(wèn)題，在兩個(gè)直角三角形有公共直角邊時(shí)，先求出公共邊的長(zhǎng)是解答此類問(wèn)題的基本思路．20．小致為了測(cè)量樓房的高度，他從樓底的處沿著斜坡行走，達(dá)到坡頂處．已知斜坡的坡角為，小致的身高是，他站在坡頂看樓頂處的仰角為，則樓房的高度為多少．【答案】樓房的高度約為．【分析】作DH⊥AB于H，根據(jù)余弦的定義求出BC，根據(jù)正弦的定義求出CD，結(jié)合題意計(jì)算即可．【詳解】解：作于，如圖：∵＝，＝，又∵，，∴＝＝，＝＝，由題意得，四邊形和四邊形是矩形，∴＝＝，＝＝，∵＝，∴＝＝，∴＝＝＝25.8，答：樓房的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題和坡度坡角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．如圖，山區(qū)某教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比為，且AB=26米．為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造，經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)時(shí)，可確保山體不滑坡，為了消除安全隱患，學(xué)校計(jì)劃將斜坡AB改造成AF（如圖所示），那么BF至少是多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】8米【分析】過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于H，根據(jù)坡度的概念分別求出AE、BE，根據(jù)正切的定義求出AH，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于H，

則四邊形FHEB為矩形，

∴FH＝BE，BF＝HE，

∵斜坡AB的坡比為，

∴BE：AE＝12：5，

設(shè)BE＝12x米，則AE＝5x米，

在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，即262＝（12x）2＋（5x）2，

解得：x1＝2，x2＝?2（舍去），

則AE＝10米，BE＝FH＝24米，

在Rt△FAH中，tan∠FAH＝，

∴AH＝≈（米），

∴BF＝HE＝AH?AE＝18?10＝8（米），

答：BF至少是8米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．22．2021年4月29日11時(shí)23分，中國(guó)空間站天和核心艙在海南文昌航天發(fā)射場(chǎng)發(fā)射升空，準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道，任務(wù)取得成功．建造空間站，建成國(guó)家太空實(shí)驗(yàn)室，是實(shí)現(xiàn)我國(guó)載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略的重要目標(biāo)，是建設(shè)科技強(qiáng)國(guó)、航天強(qiáng)國(guó)的重要引領(lǐng)性工程．天和核心艙發(fā)射成功，標(biāo)志著我國(guó)空間站建造進(jìn)入全面實(shí)施階段，為后續(xù)任務(wù)展開(kāi)奠定了基礎(chǔ)．某校航天愛(ài)好者的同學(xué)們構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，使用卷尺和測(cè)角儀測(cè)量天和核心艙的高度．如圖所示，核心艙架設(shè)在1米的穩(wěn)固支架上，他們先在水平地面點(diǎn)B處測(cè)得天和核心艙最高點(diǎn)A的仰角為，然后沿水平MN方向前進(jìn)24米，到達(dá)點(diǎn)C處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為，測(cè)角儀MB的高度為1.6米，求天和核心艙的高度（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】16.6米【分析】過(guò)點(diǎn)作⊥交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，則四邊形，是矩形，分別求得，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，設(shè)，根據(jù)，解直角三角形即可，進(jìn)而求得．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作⊥交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，則四邊形，是矩形，，，是等腰直角三角形，設(shè)解得核心艙架設(shè)在1米的穩(wěn)固支架上，17.6-1=16.6答：天和核心艙的高度16.6米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，仰角問(wèn)題，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．23．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動(dòng)，準(zhǔn)備測(cè)量一棟大樓的高度．如圖所示，其中觀景平臺(tái)斜坡的長(zhǎng)是20米，坡角為，斜坡底部與大樓底端的距離為74米，與地面垂直的路燈的高度是3米，從樓頂測(cè)得路燈項(xiàng)端處的俯角是．試求大樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】96米【分析】延長(zhǎng)AE交CD延長(zhǎng)線于M，過(guò)A作AN⊥BC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長(zhǎng)，得出AN的長(zhǎng)，然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，由題意得，，∴四邊形為矩形，∴，.在中，，∴，，∴，，∴，∴.在中，，∴，∴，∴，∴.答：大樓的高度約為96米.【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．24．如圖，某中學(xué)計(jì)劃在主樓的頂部D和大門(mén)的上方A之間掛一些彩旗．經(jīng)測(cè)量，得到大門(mén)的高度是，大門(mén)距主樓的距離是．在大門(mén)處測(cè)得主樓頂部的仰角是，而當(dāng)時(shí)測(cè)傾器離地面．求（1）學(xué)校主樓的高度（結(jié)果精確到）；（2）大門(mén)頂部與主樓頂部的距離（結(jié)果精確到）．【答案】（1）約；（2）約【分析】（1）過(guò)E做EN平行于BC交DC于N，利用三角函數(shù)求出DN的長(zhǎng)，再加上CN的長(zhǎng)度即可求解；

（2）過(guò)A做AM平行于BC交DC于M，求出DM=DC-AB=13.72m，利用勾股定理即可求出AD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）過(guò)E做EN平行于BC交DC于N，

由題意可得，∠DEN=30°且BC=EN，

∴DN=EN·tan∠DEN=30·tan30°=10m，

DC=DN+NC=DN+EB=10+1.4≈18.72m；

（2）過(guò)A做AM平行于BC交DC于M，

∵DM=DC-MC且AB=MC，

∴DM=DC-AB=13.72m，

在Rt△AMD中∠AMD=90°，

∵AM=BC=30m，DM=13.72m，

由勾股定理得：

，代入得：，解得：AD≈32.99m．

答：學(xué)校主樓的高度為18.72米，大門(mén)頂部與主樓頂部的距離為32.99米．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，根據(jù)仰角的三角函數(shù)值求解．25．如圖，為了測(cè)量山坡的護(hù)坡石壩與地面的傾斜角，把一根長(zhǎng)為的竹竿斜靠在石壩旁，量出竿長(zhǎng)處離地面的高度為，又量得竿頂與壩腳的距離，這樣就可以計(jì)算出來(lái)了．請(qǐng)你算一算．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)題意可得：，從而解得，再由銳角三角函數(shù)，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)題意得：DE⊥AB，∴DE∥CF，，∴，∵AD=1米，AC=4.5米，DE=0.6米，∴，解得：，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．26．如圖，大樓高，遠(yuǎn)處有一塔，某人在樓底A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，爬到樓頂D測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋笏呒按髽桥c塔之間的距離（結(jié)果精確到）．【答案】；【分析】設(shè)塔高BC為xm，由在Rt△ABC中，tan∠BAC=與在Rt△BDE中，tan∠BDE=，AC=DE，列方程即可求得x的值，繼而求得塔高BC及大樓與塔之間的距離AC．【詳解】解：設(shè)塔高BC為xm．

在Rt△ABC中，tan∠BAC=，

∴AC=，在Rt△BDE中，tan∠BDE=，

∴DE=，∵AC=DE，

∴，解，得x=45（m），這時(shí)AC=（m），答：塔高BC為45米，大樓與塔之間的距離AC約是25.98米．【點(diǎn)睛】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．解此題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．27．如圖，甲?乙兩樓相距，甲樓高，自甲樓樓頂看乙樓樓頂，仰角為，乙樓有多高？（結(jié)果精確到）【答案】【分析】先根據(jù)題意作出示意圖，然后在RT△ACE中，可得出CE的長(zhǎng)度，繼而可得出乙樓的高度．【詳解】解：由題意得：∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m，在Rt△ACE中，CE＝AE?tan∠CAE＝10m，故可得乙樓的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，求出CE的長(zhǎng)度，難度一般．28．求圖中避雷針的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到）．【答案】【分析】分別在和中，用表示出，從而求出．【詳解】解：在中，∴同理可得：答：避雷針的長(zhǎng)度約為【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，結(jié)合圖形，搞清楚直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．29．如圖1是某工廠生產(chǎn)的某種多功能兒童車(chē)，根據(jù)需要可變形為滑板車(chē)或三輪車(chē)，圖2，圖3是其示意圖，已知前后車(chē)輪半徑相同，車(chē)桿AB的長(zhǎng)為60cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，前支撐板DE=30cm，后支撐板EC=40cm，車(chē)桿AB與BC所成的∠ABC=53°．（參考數(shù)據(jù)：）（1）如圖2，當(dāng)支撐點(diǎn)E在水平線BC上時(shí)，求支撐點(diǎn)E與前輪軸心B之間的距離BE的長(zhǎng)；（2）如圖3，當(dāng)座板DE與地平面保持平行時(shí)，問(wèn)變形前后兩軸心BC的長(zhǎng)度有沒(méi)有發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；若變化，請(qǐng)求出變化量.【答案】（1）BE的長(zhǎng)為36cm；（2）變形前后兩軸心BC的長(zhǎng)度增加了4cm．【分析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE于點(diǎn)F，由題意知BD=DE=30cm，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N，由題意知四邊形DENM是矩形，求得MN=DE=30cm，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE于點(diǎn)F，由題意知BD=DE=30cm，∴BF=BDcos∠ABC=30×=18（cm），∴BE=2BF=36（cm）；答：BE的長(zhǎng)為36cm；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N，由題意知四邊形DENM是矩形，∴MN=DE=30cm，在Rt△DBM中，BM=BDcos∠ABC=30×=18（cm），EN=DM=BDsin∠ABC=30×=24（cm），在Rt△CEN中，CE=40cm，∴由勾股定理可得CN==32（cm），則BC=18+30+32=80（cm），原來(lái)BC=36+40=76（cm），80-76=4（cm），∴變形前后兩軸心BC的長(zhǎng)度增加了4cm．．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意構(gòu)建出合適的直角三角形，并熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用．30．某校數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)完“三角函數(shù)的應(yīng)用”后，在校園內(nèi)利用三角尺測(cè)量教學(xué)樓AB的高度，如圖，小明同學(xué)站在點(diǎn)D處，將含45°角三角尺的一條直角邊水平放置，此時(shí)三角尺的傾斜邊剛好落在視線CA上，沿教學(xué)樓向前走8米到達(dá)點(diǎn)F處，將含30°角三角尺的短直角邊水平放置，此時(shí)三角尺的斜邊也剛好落在視線EA上，已知小明眼睛到地面的距離為1.6米，求教學(xué)樓AB的高度．（點(diǎn)D，F(xiàn)，B在同一水平線上，結(jié)果保留根號(hào)）【答案】教學(xué)樓AB的高度為（13.6+4）米．【分析】連接CE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)G，得到矩形CDBG，求出EG即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連接CE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)G，設(shè)AG=x米，由題意可知，四邊形CDFE，四邊形CDBG是矩形，∴BG=CD=1.6米，DF=CE=8米，∠CGB=90°，∴∠AGE=90°，在Rt△ACG中，∠ACG=45°，∴∠CAG=∠ACG=45°，∴CG=AG=x（米），∴EG=CG-CE=x-8（米），在Rt△AEG中，∠AEG=60°，tan∠AEG=，即EG=，∴x-8=，解得：x=12+4，∴AB=AG+BG=12+4+1.6=13.6+4（米）．答：教學(xué)樓AB的高度為（13.6+4）米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．31．如圖，一艘貨輪以的速度在海面上航行，當(dāng)它行駛到A處時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的東北方向有一燈塔B．貨輪繼續(xù)向北航行后到達(dá)C處，發(fā)現(xiàn)燈塔B在它北偏東方向，求此時(shí)貨輪與燈塔B的距離（結(jié)果精確到）．【答案】【分析】根據(jù)題意求出AC的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DC的長(zhǎng)，即可得出BC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵一艘貨輪以36km/h的速度在海面上航行，向北航行40min后到達(dá)C點(diǎn)，∴AC＝36×40÷60＝24（km），∵∠A＝45°，∠BCN＝75°，∴∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，∠B＝30°，則DC＝ACsin45°＝12（km），故BC＝2CD＝24≈33.94（km）．答：此時(shí)貨輪與燈塔B的距離約為33.94km．【點(diǎn)睛】此題主要考查了方向角問(wèn)題，根據(jù)題意作出正確輔助線是解題關(guān)鍵．32．如圖，燕尾槽的橫截面是梯形，其中，燕尾角，外口寬，燕尾槽深度是，求它的里口寬（結(jié)果精確到;sin55°=0.82,cos55°=0.57,tan55°=1.43）．【答案】【分析】過(guò)A作AE⊥BC與點(diǎn)E，則BC=AD+2BE，在直角△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得BE的長(zhǎng)，從而求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，在直角△ABE中，tan∠ABE=，∴BE==≈49.0mm，∴BC=AD+2BE=180+2×49.0=278mm．答：里口寬BC是278mm．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、等腰梯形的性質(zhì)以及等腰梯形的計(jì)算，可以通過(guò)作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算．33．如圖，一燈柱被一鋼纜固定，與地面成夾角，且．在C點(diǎn)上方處加固另一條鋼纜，那么鋼纜的長(zhǎng)度為多少？（結(jié)果精確到）【答案】【分析】要先求BE的長(zhǎng)，就要求BC的長(zhǎng)，而在Rt△CDB的中，已知一邊和一個(gè)銳角，滿足解直角三角形的條件，可求出BC的長(zhǎng)，再由勾股定理求得ED的長(zhǎng)．【詳解】解：在Rt△BCD中，∵BD＝5，∵tan40°＝，∴BC＝5tan40°＝4.1955≈4.20．在Rt△BED中，BE＝BC＋CE＝6.20，∴DE＝＝≈7.96答：鋼纜ED的長(zhǎng)度約7.96m．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形和勾股定理，熟練掌握正切三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．34．在一次課外活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)的高度．如圖所示，測(cè)得斜坡的坡度，坡底的長(zhǎng)為8米，在處測(cè)得樹(shù)頂部的仰角為，在處測(cè)得樹(shù)頂部的仰角為，求樹(shù)高．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】米．【分析】作BF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)DF=x米，在直角△DBF中利用三角函數(shù)用x表示出BF的長(zhǎng)，在直角△DCE中表示出CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)BF-CE=AE即可列方程求得x的值，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：作于點(diǎn)，設(shè)米，在中，，則（米，∵，且AE=8∴∴在直角中，米，在直角中，，米．，即．解得：，則米．答：的高度是米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．35．如圖，一扇窗戶垂直打開(kāi)，即，是長(zhǎng)度不變的滑動(dòng)支架，其中一端固定在窗戶的點(diǎn)A處，另一端在上滑動(dòng)，將窗戶按圖示方向向內(nèi)旋轉(zhuǎn)到達(dá)位置，此時(shí)，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)位置分別是點(diǎn)B、D．測(cè)出此時(shí)為，的長(zhǎng)為．求滑動(dòng)支架的長(zhǎng)．

【答案】【分析】題目中出現(xiàn)了特殊角度和，因此可以構(gòu)造直角三角形，再利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求解出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，

由題意可知：∵∴在中，∴∴∵∴答：滑動(dòng)支架的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角度的三角函數(shù)值，在遇到特殊角度時(shí)，適當(dāng)添加垂線，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．36．如圖，在建筑物的左邊有一個(gè)小山坡，坡底、同建筑底端在同一水平線上，斜坡的坡比為，小李從斜坡底端沿斜坡走了26米到達(dá)坡頂處，在坡頂處看建筑物的頂端D的仰角為35°，然后小李沿斜坡走了米到達(dá)底部點(diǎn)，已知建筑物上有一點(diǎn)，在處看建筑物點(diǎn)的仰角為18°，（點(diǎn)、、、、、在同一平面內(nèi)）建筑物頂端到的距離長(zhǎng)度為28.8米，（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求小李從斜坡走到處高度上升了多少米．（2）求建筑物的高度．【答案】（1）10米；（2）40.8米【分析】（1）過(guò)作，根據(jù)比例設(shè)，，結(jié)合勾股定理求出，即可得到答案；（2）延長(zhǎng)角的水平邊交于則，由勾股定理求出，設(shè)，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案．【詳解】解：（1）過(guò)作，∵的坡比，設(shè)，∴在中，∴，∴；答：小李從斜坡走到處高度上升了10米．（2）延長(zhǎng)角的水平邊交于則，在中，設(shè)，在中，，∴∵四邊形是矩形，∴又∵，在中，，，；∴；答：建筑物的高度為40.8米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，也考查了勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．37．避雷針是用來(lái)保護(hù)建筑物、高大樹(shù)木等避免雷擊的裝置．如圖，小陶同學(xué)要測(cè)量垂直于地面的大樓頂部避雷針的長(zhǎng)度（，，三點(diǎn)共線），在水平地面點(diǎn)測(cè)得，，點(diǎn)與大樓底部點(diǎn)的距離，求避雷針的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】【分析】根據(jù)，然后根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，即，解得：m，∵，∴，即，解得：m，∴m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換為解直角三角形的問(wèn)題是解答此題的關(guān)鍵．38．如圖，蘭蘭站在河岸上的點(diǎn)，看見(jiàn)河里有一只小船沿垂直于岸邊的方向劃過(guò)來(lái)，此時(shí)，測(cè)得小船C的俯角是，若蘭蘭的眼睛與地面的距離是1.6米，米，平行于所在的直線，迎水坡的坡度，坡長(zhǎng)米，求小船到岸邊的距離的長(zhǎng)?（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留1位小數(shù)）【答案】9.4米【分析】構(gòu)造直角三角形，則AB和CD都為直角三角形的斜邊，利用坡度和勾股定理易得點(diǎn)B和點(diǎn)D到水面的距離，進(jìn)而利用俯角的正切值可求得CH長(zhǎng)度．CH-AE-EH即為AC長(zhǎng)度．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DG交CA于點(diǎn)H，得和矩形BEHG．∵∴∴∵AB=10米∴米，米．∴米∵DG=1.6米，BG=EH=1米，∴DH=DG+GH=1.6+8=9.6米，米．在中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.6米，，∴米．又∵，即，∴（米）．∴答：的長(zhǎng)約是米．【點(diǎn)睛】此題考查了俯角與坡度的知識(shí)．注意構(gòu)造所給坡度和所給銳角所在的直角三角形是解決問(wèn)題的難點(diǎn)，利用坡度和三角函數(shù)求值得到相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．39．如圖1是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放置在托板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．托板AB＝120mm，支撐板CD＝80mm，底座DE＝90mm．托板AB與支撐板頂端C連接，CB＝40mm，AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求點(diǎn)A到直線DE的距離；（2）為了觀看舒適，在（1）的情況下，把AB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°后，再將CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839；sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，）【答案】（1）；（2）33.4°【分析】（1）作AM⊥DE，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作CF⊥AM于F，作CN⊥DE于N，利用三角函數(shù)的比值關(guān)系分別求出和的長(zhǎng)即可；（2）作出旋轉(zhuǎn)后圖形，利用利用三角函數(shù)的比值關(guān)系列式運(yùn)算即可．【詳解】解：（1）如圖2，作AM⊥DE，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作CF⊥AM于F，作CN⊥DE于N得矩形CFMN，Rt△ACF，Rt△CDN，∠AFC＝∠CNM＝∠FCN＝90°由題意，可知AB＝120，CB＝40，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，∴AC＝80，在Rt△CDN中，CN＝CD?sin∠CDE＝＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝50°，∴∠ACF＝180°﹣90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC?sin40°≈80×0.643≈51.44，∴AM＝AF＋FM≈51.44＋≈120.7，答：點(diǎn)A到直線DE的距離約為120.7mm（2）旋轉(zhuǎn)后，如圖3所示，根據(jù)題意可知∠DCB＝80°＋10°＝90°在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，∴tan∠D，∴∠D≈26.6°，因此旋轉(zhuǎn)的角度為：60°－26.6°≈33.4°，答：CD旋轉(zhuǎn)的角度約為33.4°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意作出圖形，掌握三角函數(shù)的比值關(guān)系是解題的關(guān)鍵．40．如圖，有甲、乙兩建筑物，甲建筑物的高度為，，，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組開(kāi)展測(cè)量乙建筑物高度的實(shí)踐活動(dòng)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為．求乙建筑物的高．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，可得四邊形ABCE為矩形，根據(jù)∠DAE＝45°，可得AE＝ED，設(shè)AE＝DE＝xm，則BC＝xm，在Rt△BCD中，利用仰角為60°，可得CD＝BC?tan60°，列方程求出x的值，繼而可求得CD的高度．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于．，，．四邊形為矩形．，．，，．設(shè)，則，．在中，，即，解得．．答：乙建筑物的高為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)解直角三角形．41．西安進(jìn)行老舊小區(qū)改造，為方便老年人通行，計(jì)劃將某小區(qū)一段斜坡進(jìn)行改造，如圖所示，斜坡BC長(zhǎng)為10米，坡角∠CBD＝25°，改造后坡角∠CAD降為12°．求斜坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B的距離AB．參考數(shù)據(jù)（sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）【答案】10.8米．【分析】根據(jù)余弦的定義求出，根據(jù)正弦的定義求出，根據(jù)正切的定義求出，計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得CD⊥AB，在RtCBD中，cos∠CBD＝，sin∠CBD＝，∠CBD＝25°，BC＝10米，∴BD＝BC?cos∠CBD≈10×0.91＝9.1（米），CD＝BC?sin∠CBD≈10×0.42＝4.2（米），在RtCAD中，tan∠CAD＝，∠CAD＝12°，（米，∴AB＝AD﹣BD＝20﹣9.2＝10.8（米），答：斜坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B的距離AB約為10.8米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．42．為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，我省森林保護(hù)區(qū)開(kāi)展了尋找古樹(shù)活動(dòng)．如圖，發(fā)現(xiàn)古樹(shù)是直立于水平面，為測(cè)量古樹(shù)的高度，小明從古樹(shù)底端出發(fā)，沿水平方向行走了26米到達(dá)點(diǎn)，然后沿斜坡前進(jìn)，到達(dá)坡頂點(diǎn)處，．在點(diǎn)處放置測(cè)角儀，測(cè)角儀支架高度為0.8米，在點(diǎn)處測(cè)得古樹(shù)頂端點(diǎn)的仰角為（點(diǎn)、、、在同一平面內(nèi)），斜坡的坡度（或坡比）．（1）求斜坡的高；（2）求古樹(shù)的高？（已知，，）

【答案】（1）10米；（2）24.3米．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB與點(diǎn)M，根據(jù)斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可設(shè)DG＝x，則CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而即可求解；（2）由CG與DG的長(zhǎng)，故可得出EG的長(zhǎng)．由矩形的判定定理得出四邊形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB與點(diǎn)M，延長(zhǎng)ED交BC于G，

∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝26米，∴設(shè)DG＝x，則CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2＋CG2＝DC2，即x2＋（2.4x）2＝262，解得x＝10，∴DG＝10米，即：斜坡的高為10米；（2）∵DG＝10米，∴CG＝24米，∴EG＝10＋0.8＝10.8米，BG＝26＋24＝50米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四邊形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝50米，BM＝EG＝10.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝15°，∴AM＝EM?tan15°≈50×0.27＝13.5米，∴AB＝AM＋BM＝13.5＋10.8≈24.3（米）．答：建筑物AB的高度約為24.3米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．43．是長(zhǎng)為，傾斜角為的自動(dòng)扶梯，平臺(tái)與大樓垂直，且，在處測(cè)得大樓頂部的仰角為，求大樓的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】【分析】作BF⊥AE于點(diǎn)F．則BF=DE，在直角△ABF中利用三角函數(shù)求得BF的長(zhǎng)，在直角△CDB中利用三角函數(shù)求得CD的長(zhǎng)，則CE即可求得．【詳解】解：作BF⊥AE于點(diǎn)F．則BF=DE．在直角△ABF中，sin∠BAF=，則BF=AB?sin∠BAF=10×=6（m）．在直角△CDB中，tan∠CBD=，則CD=BD?tan65°=10×≈21（m）．則CE=DE+CD=BF+CD=6+21=27（m）．答：大樓CE的高度是27m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度．44．如圖，某商場(chǎng)從一層到二層的樓梯由臺(tái)階AB，CD和一段水平平臺(tái)BC構(gòu)成，AB與CD互相平行并且與地面成31°角．已知臺(tái)階AB＝5.2米，CD＝2.8米，平臺(tái)BC＝2.5米．求商場(chǎng)一層的高度（結(jié)果精確到0.1米）．參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601．【答案】4.1米【分析】延長(zhǎng)BC與DE交于G，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于F，先證明四邊形BFEG是矩形，得到BF=GE，∠CGD=90°，再解直角三角形即可．【詳解】解：如圖所示延長(zhǎng)BC與DE交于G，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于F，∵BF⊥AE，DE⊥AE，BC∥EF，∴四邊形BFEG是矩形，∴BF=GE，∠CGD=90°，∵，，∴米，∴商場(chǎng)一層的高度為4.1米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．45．圖1是一臺(tái)實(shí)物投影儀，圖2是它的示意圖，折線B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于點(diǎn)O，點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，BC可轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，投影探頭CD始終垂直于水平桌面OE，經(jīng)測(cè)量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（結(jié)果精確到0.1）．（1）如圖2，∠ABC＝70°，BCOE．①填空：∠BAO＝_______°．②求投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離．（2）如圖3，將（1）中的BC向下旋轉(zhuǎn)，當(dāng)投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為6cm時(shí)，求∠ABC的大?。▍⒖紨?shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）【答案】（1）①160；②27.0cm；（2）∠ABC＝33.2°．【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)A作AGBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答便可；②過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，解直角三角形求出AF，進(jìn)而計(jì)算AF+OA﹣CD使得結(jié)果；（2）過(guò)點(diǎn)點(diǎn)D作DH⊥OE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CD，與DC延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，過(guò)A作AF⊥BM于點(diǎn)F，求出CM，再解直角三角形求得∠MBC便可．【詳解】解：（1）①過(guò)點(diǎn)A作AGBC，如圖1，則∠BAG＝∠ABC＝70°，∵BCOE，∴AGOE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°+70°＝160°，故答案為：160；②過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，如圖2，則AF＝AB?sin∠ABF＝30×sin70°≈28.2（cm），∴投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為：AF+OA﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27.0（cm）；（2）作DH⊥OE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CD，與DC延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，過(guò)A作AF⊥BM于點(diǎn)F，如圖3，則∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝35cm，CD＝8cm，∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），∴sin∠MBC＝，∴∠MBC＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．46．如圖，在港口A處的正東方向有兩個(gè)相距的觀測(cè)點(diǎn)B、C，一艘輪船從A處出發(fā)，北偏東方向航行至D處，在B、C處分別測(cè)得，求輪船航行的距離AD（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，通過(guò)解和得和，根據(jù)求得DH，再解求得AD即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為在中，在中，在中，（km）因此，輪船航行的距離約為【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問(wèn)題，銳角三角函數(shù)，勾股定理．作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．47．參加緬甸六日游的王明和張麗用測(cè)角儀和皮尺對(duì)“仰光大金塔”進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量，繪制了如下示意圖已知AB//CD，∠A=∠B，王明測(cè)得圓形塔基上部半徑DF=FC=2米，坡AD長(zhǎng)為2米，張麗在A點(diǎn)處測(cè)得坡AD的坡角為50?，沿直線BA從點(diǎn)A步行6米到達(dá)點(diǎn)G處，測(cè)得點(diǎn)E的仰角為35?，若A、B、C、D、E、F、G在同一平面內(nèi)且G、A、B在同一直線上，（1）求出圓形塔基直徑AB的長(zhǎng)度；（2）塔頂E距離地面的高度．(結(jié)果精確到0.1米，測(cè)角儀的高度忽略不計(jì)，測(cè)參考數(shù)據(jù)sin35?=0.574，cos35?=0.819，tan35?=0.700，sin50?=0.766，cos50?=0.643，tan50?=1.190)【答案】（1）6.6米；（2）6.5米【分析】（1）分別過(guò)D，F(xiàn)作DM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥AB于N，根據(jù)已知條件判斷出四邊形ABCD是等腰梯形，然后解直角三角形即可；（2）先求出GN的長(zhǎng)，然后解直角三角形即可．【詳解】解：（1）如圖，分別過(guò)D，F(xiàn)作DM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥AB于N，∵AB//CD，∠A=∠B，DF=FC，∴四邊形ABCD是等腰梯形，∠DMN=∠FNM=∠DFN=90°∴AN=BN，四邊形DMNF是矩形∴AB=2AN，MN=DF=2米，∵∠DMA=90°∴米，∴米；（2）根據(jù)題意可知AG=6米，∠G=35°，由（1）知，米，∴米，∴塔頂E距離地面的高度約為6.5米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，等腰梯形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．48．圖1是某小型汽車(chē)的側(cè)面示意圖，其中矩形表示該車(chē)的后備箱，在打開(kāi)后備箱的過(guò)程中，箱蓋可以繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，箱蓋落在的位置（如圖2所示）已知厘米，厘米，厘米．（1）求點(diǎn)到的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求、兩點(diǎn)的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）厘米；（2）厘米【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D′作D′H⊥BC，垂足為點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性質(zhì)可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通過(guò)解直角三角形可求出D′F的長(zhǎng)，結(jié)合FH＝DC＝DE＋CE及D′H＝D′F＋FH可求出點(diǎn)D′到BC的距離；（2）連接AE，AE′，EE′，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，進(jìn)而可得出△AEE′是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)度，結(jié)合EE′＝AE可得出E、E′兩點(diǎn)的距離．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖所示．由題意，得：厘米，．四邊形是矩形，，．在中，厘米，又厘米，厘米，厘米，厘米．（2）連接，，，如圖4所示，由題意，得：，，是等邊三角形，．四邊形是矩形，．在中，厘米，厘米，厘米，厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）通過(guò)解直角三角形求出D′F的長(zhǎng)度；（2）利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)度．49．某條過(guò)路上通行車(chē)輛限速為50km/h，在離道路70m的點(diǎn)處建一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，道路的段為監(jiān)測(cè)區(qū)（如圖）在中，已知，．一輛車(chē)通過(guò)段的時(shí)間為10秒，請(qǐng)判斷該車(chē)是否超速，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】沒(méi)有超速，理由見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)作于，解直角三角形分別求出，進(jìn)一步求出，然后可求出實(shí)際車(chē)速便可判斷出結(jié)果．【詳解】解：沒(méi)有超速，理由如下：過(guò)點(diǎn)作于，則（m），在中，，在中，，該車(chē)沒(méi)有超速．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，屬于實(shí)際應(yīng)用類題目，從復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角形是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．50．一艘船以40km/s的速度向正東航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向上繼續(xù)航行1h．到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東30°方向上，已知在燈塔C的四周30km內(nèi)有暗礁，問(wèn)這船繼續(xù)向東航行是否安全？【答案】安全．【分析】過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)方向角的定義及余角的性質(zhì)求出∠BCA=30°，∠ACD=60°，證∠ACB=30°=∠BAC，根據(jù)等角對(duì)等邊得出BC=AB=40海里，然后解Rt△BCD，求出CD即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．如圖所示：

根據(jù)題意可知，∠DBC=90°-30°=60°，

∵，

∴，

∴（），

在中，，，，

∴，

∴這艘船繼續(xù)向東航行安全．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用以及等腰三角形的判定；熟練掌握等腰三角形的判定和銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．51．為了維護(hù)我國(guó)海洋權(quán)力，海監(jiān)部門(mén)對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)70海里的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔P在北偏東方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東方向上．（1）求B處到燈塔P的距離；（2）已知燈塔P的周?chē)＠飪?nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？（結(jié)果保留非特殊角三角函數(shù)值）【答案】（1）70海里；（2）安全【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度數(shù)即可解決問(wèn)題，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定．【詳解】解：（1）∵，∴．∴海里．（2）作于點(diǎn)H，如圖，∵，∴在中，，∴．∵∴∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題，正確根據(jù)題意畫(huà)出圖形、準(zhǔn)確標(biāo)注方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．52．如圖，為迎接上海2010年世博會(huì)，需改變一些老街道的交通狀況．在某大道拓寬工程中，要伐掉一棵樹(shù)，在地面上事先劃定以為圓心，半徑與等長(zhǎng)的圓形區(qū)域?yàn)槲ｋU(xiǎn)區(qū)，現(xiàn)在某工人站在離點(diǎn)3米處的處測(cè)得樹(shù)的頂端點(diǎn)的仰角為，樹(shù)的底部點(diǎn)的俯角為，問(wèn)距離點(diǎn)8米遠(yuǎn)的保護(hù)物是否在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)?（取1.73）【答案】不在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)【分析】過(guò)點(diǎn)作，則米，根據(jù)三角函數(shù)求得的長(zhǎng)度，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，如下圖由題意可知四邊形為矩形，則在中，，，解得在中，，，解得則答：距離點(diǎn)8米遠(yuǎn)的保護(hù)物不在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得樹(shù)高是解題的關(guān)鍵．53．水亭門(mén)是衢州國(guó)家級(jí)儒學(xué)文化產(chǎn)業(yè)園核心區(qū)的重要組成部分，也是古城的中央休閑區(qū)和市政府傾力打造的5A級(jí)景區(qū)主景點(diǎn)．在課外實(shí)踐活動(dòng)中，我校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組決定測(cè)量該水亭門(mén)的高．他們的操作方法如下：如圖，先在D處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為20°，再往水亭門(mén)的方向前進(jìn)22米至C處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為31°（點(diǎn)D、C、B在一直線上），求水亭門(mén)AB的高．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】19.8米【分析】在Rt△ABD中可得出BD=，在Rt△ABC中，可得BC=，則可得BD-BC=22，求出AB即可．【詳解】解：由題意得，∠ABD=90°，∠D=20°，∠ACB=31°，CD=22，在Rt△ABD中，∵tan∠D=，∴BD==，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=，∴BC==，∵CD=BD-BC，∴22=?，解得AB=19.8米．答：水城門(mén)AB的高為19.8米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形，然后利用三角函數(shù)值求出未知線段的長(zhǎng)度．54．某社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量河兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸邊點(diǎn)A處，測(cè)得河的北岸邊點(diǎn)B在其北偏東45°方向，然后向西走50m到達(dá)C點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏東60°方向，如圖．（1）求∠CBA的度數(shù)；（2）求這段河的寬度．（結(jié)果精確到1m）【答案】（1）15°；（2）【分析】(1)如圖，作于點(diǎn)D，可得，再根據(jù)題目中度數(shù)可以求得∠CBA的度數(shù)；(2)根據(jù)題意，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得河寬，注意要精確到1m．【詳解】(1)解：如圖，作于點(diǎn)D，由題意可得，（2）由題意可得，AC=50m，答：這段河的寬度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條