專題07 一元二次方程及應(yīng)用（講義）

專題07一元二次方程及其應(yīng)用核心知識點(diǎn)精講復(fù)習(xí)目標(biāo)1.了解一元二次方程的概念，并會用直接配開平方法、因式分解法、公式法和配方法解一元二次方程：2.會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)數(shù)根和兩根是否相等：3.了解根與系數(shù)的關(guān)系，能解決與根有關(guān)的代數(shù)式求值題：4.能列一元二次方程解實(shí)際問題：并能結(jié)合具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合理性考點(diǎn)梳理典例引領(lǐng)【題型1：一元二次方程的解法】【典例1】（2023?廣州）解方程：x2﹣6x+5＝0．即時檢測1．（2023?赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝172．（2023?齊齊哈爾）解方程：x2﹣3x+2＝0．典例引領(lǐng)【題型2：一元二次方程的判別式及應(yīng)用】【典例2】（2023?荊州）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍：（2）當(dāng)k＝1時，用配方法解方程．即時檢測1．（2023?濱州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情況為（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能判定2．（2023?聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣1 B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠03．（2023?泰安）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是．典例引領(lǐng)【題型3：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用】【典例3】（2023?內(nèi)江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的兩根，則a2+4a+b﹣3＝．即時檢測1．（2023?隨州）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，則x1+x2﹣x1x2的值為．2．（2023?西藏）已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩個根為x1、x2，則的值為（）A．﹣3 B． C．1 D．典例引領(lǐng)【題型4：一元二次方程的應(yīng)用】【典例3】（2022?眉山）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率：（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？即時檢測1．（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）A．8 B．10 C．7 D．92．（2023?大連）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛圖書的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購買書籍．已知2020年該學(xué)校用于購買圖書的費(fèi)用為5000元，2022年用于購買圖書的費(fèi)用是7200元，求2020﹣2022年買書資金的平均增長率．3．（2022?泰州）如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？基礎(chǔ)過關(guān)1．（2024?鞍山模擬）方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．3，﹣1，4 B．3，4，﹣1 C．3，﹣4，﹣1 D．3，﹣1，﹣42．（2023秋?西城區(qū)校級期中）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列變形正確的是（）A．（x+1）2＝﹣2 B．（x+1）2＝2 C．（x+1）2＝﹣4 D．（x+1）2＝43．（2023?銅梁區(qū)校級一模）某電影上映的第一天票房約為3億元，第二、三天單日票房持續(xù)增長，三天累計(jì)票房10.82億元，若第二、三天單日票房增長率相同，設(shè)平均每天票房的增長率為x，則根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．3（1+x）＝10.82 B．3（1+x）2＝10.82 C．3（1+x）+3（1+x）2＝10.82 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10.824．（2023秋?南海區(qū)期中）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的根的情況是（）A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根 C．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 D．無法確定5．（2023秋?武侯區(qū)校級期中）如圖，矩形ABCD是某會展中心一樓展區(qū)的平面示意圖，其中邊AB的長為40m，邊BC的長為25m，該展區(qū)內(nèi)有三個全等的矩形展位，每個展位的面積都為200m2，陰影部分為寬度相等的人行通道，求人行通道的寬度．若設(shè)人行通道的寬度為xm，下列方程正確的是（）A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝6006．（2023秋?長安區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的一個根是x＝3，則m的值是（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．67．（2023秋?金壇區(qū)期中）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則x1+x2+x1x2的值是（）A．2022 B．﹣2022 C．﹣2024 D．20248．（2023秋?新洲區(qū)期中）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)為73，則每個支干長出（）支小分支．A．7 B．8 C．9 D．109．（2023秋?海淀區(qū)校級期中）若x＝3是關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝6的解，則2023﹣6a+2b的值為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．202210．（2024?鞍山模擬）若x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則x1+x2的值為．11．（2023秋?羅定市期中）已知m是方程x2﹣2x﹣2024＝0的一個根，則m2﹣2m的值為．12．（2023秋?樂亭縣期中）某讀書小組在學(xué)校舉行的圖書共享儀式上互贈圖書，每個同學(xué)都把自己的圖書向本組其他成員贈送一本，全組共互贈了210本圖書，如果設(shè)全組共有x名同學(xué)，依題意，可列出的方程是．13．（2024?鞍山模擬）解下列方程：（1）x2+3x﹣4＝0： （2）2x2﹣4x﹣1＝0．14．（2023?延慶區(qū)一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根：（2）如果方程有一個根為正數(shù)，求m的取值范圍．15．（2023?秦淮區(qū)一模）某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價降了多少元？能力提升1．（2022秋?淥口區(qū)期末）如果關(guān)于x的一元二次方程x2﹣c＝0有一個根是2，那么c的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣22．（2023秋?錦江區(qū)校級期中）在探究關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+12x﹣15的值時，小明計(jì)算了如下四組值：x1.1121.31.4x2+12x﹣15﹣0.590.842.293.76則方程x2+12x﹣15＝0的其中一個解滿足的范圍是（）A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．無法確定3．（2023?衢州）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（）A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝364．（2023秋?梁子湖區(qū)期中）在解方程x2+bx+c＝0時，小馬看錯了一次項(xiàng)系數(shù)b，得到的解為x1＝2，x2＝﹣3：小虎看錯了常數(shù)項(xiàng)c，得到的解為x1＝﹣1，x2＝4，則正確的方程是（）A．x2﹣3x﹣6＝0 B．x2﹣3x﹣4＝0 C．x2+x﹣6＝0 D．x2+3x﹣6＝05．（2023秋?伊川縣期中）對于實(shí)數(shù)a，b，c，d，定義如下運(yùn)算＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，則＝0的根的情況為（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個實(shí)數(shù)根 D．無實(shí)數(shù)根6．（2023秋?東莞市期中）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則的值是（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．77．（2023秋?花溪區(qū)期中）定義：關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0與3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若關(guān)于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0與（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．則代數(shù)式﹣ax2+bx+2019的最大值是（）A．2024 B．2023 C．2022 D．20218．（2023秋?黃埔區(qū)期中）若a是方程x2+2x﹣20＝0的一個實(shí)數(shù)根，則2a2+4a﹣19的值為（）A．﹣18 B．21 C．﹣20 D．189．（2023秋?江岸區(qū)期中）如圖，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向終點(diǎn)C以1個單位長度/s移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向終點(diǎn)A以2個單位長度/s移動，P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時P、Q兩點(diǎn)同時停止，則（）秒后，△PCQ的面積等于4．A．1 B．2 C．4 D．1或410．（2023春?張店區(qū)期末）我國古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法．以方程x2+2x﹣35＝0，即x（x+2）＝35為例加以說明，三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽（公元3～4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖中大正方形的面積是（x+x+2）2，同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×35+22，據(jù)此易得x＝5．小剛用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0時，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為81，小正方形的面積為25，則關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0的正數(shù)解為（）A．x＝7 B．x＝5 C．x＝3 D．x＝211．（2022秋?洪江市校級月考）方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x1＝，x2＝．12．（2022?新市區(qū)校級三模）已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，則（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝．13．（2022春?河口區(qū)期末）對于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的兩根，則+的值為．14．（2023?涼山州模擬）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根：（2）若等腰△ABC的一邊長為4，另兩邊長m，n恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進(jìn)價為每頂40元，售價為每頂68元，平均每周可售出100頂．商店計(jì)劃將頭盔降價銷售，每頂售價不高于58元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價2元，平均每周可多售出40頂．（1）若該商店希望平均每周獲利4000元，則每頂頭盔應(yīng)降價多少？（2）商店降價銷售后，決定每銷售1頂頭盔就向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈m元（m為整數(shù)，且1≤m≤5），幫助做“交通安全”宣傳．捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商店每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大，求m的值．真題感知1．（2023?新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝12．（2022?宜賓）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個根，則m2+mn+2m的值為（）A．0 B．﹣10 C．3 D．103．（2023?新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝14．（2022?宜賓）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩個根，則m2+mn+2m的值為（）A．0 B．﹣10 C．3 D．105．（2022?涼山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．6．（2022?齊齊哈爾）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．7．（2022?十堰）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為α，β，且α+2β＝5，求m的值．8．（2023?郴州）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．（1）求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率：（2）預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？

專題07一元二次方程及其應(yīng)用核心知識點(diǎn)精講典例引領(lǐng)【題型1：一元二次方程的解法】【典例1】（2023?廣州）解方程：x2﹣6x+5＝0．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，x﹣1＝0，x﹣5＝0，x1＝1，x2＝5．即時檢測1．（2023?赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17【答案】C【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故選：C．2．（2023?齊齊哈爾）解方程：x2﹣3x+2＝0．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝2．典例引領(lǐng)【題型2：一元二次方程的判別式及應(yīng)用】【典例2】（2023?荊州）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍：（2）當(dāng)k＝1時，用配方法解方程．【答案】（1）k＞﹣且k≠0：（2）x1＝3+，x2＝3﹣．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，解得：k＞﹣且k≠0：（2）當(dāng)k＝1時，原方程為x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，即x2﹣6x﹣5＝0，移項(xiàng)得：x2﹣6x＝5，配方得：x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，直接開平方得：x﹣3＝±解得：x1＝3+，x2＝3﹣． 即時檢測1．（2023?濱州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情況為（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能判定【答案】A【解答】解：由題意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．2．（2023?聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0【答案】D【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，解得：m≤1且m≠0，故選：D．3．（2023?泰安）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是a＞﹣4．【答案】a＞﹣4．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣a）＞0，解得a＞﹣4．故答案為：a＞﹣4．典例引領(lǐng)【題型3：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用】【典例3】（2023?內(nèi)江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的兩根，則a2+4a+b﹣3＝﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，∴a2+3a﹣4＝0，∴a2＝﹣3a+4，∵a，b是方程x2+3x﹣4＝0的兩根，∴a+b＝﹣3，∴a2+4a+b﹣3＝﹣3a+4+4a+b﹣3＝a+b+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案為：﹣2．即時檢測1．（2023?隨州）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，則x1+x2﹣x1x2的值為2．【答案】2．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，∴x1+x2＝＝3，x1x2＝＝1，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案為：2．2．（2023?西藏）已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩個根為x1、x2，則的值為（）A．﹣3 B． C．1 D．【答案】D【解答】解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2＝3，x1x2＝2，∴＝＝＝，故選：D．典例引領(lǐng)【題型4：一元二次方程的應(yīng)用】【典例3】（2022?眉山）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率：（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？【答案】（1）20%：（2）18個．【解答】解：（1）設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x，依題意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%．（2）設(shè)該市在2022年可以改造y個老舊小區(qū)，依題意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤，又∵y為整數(shù)，∴y的最大值為18．答：該市在2022年最多可以改造18個老舊小區(qū)．即時檢測1．（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）A．8 B．10 C．7 D．9【答案】B【解答】解：設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊(duì)伍參加比賽．故選：B．2．（2023?大連）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛圖書的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購買書籍．已知2020年該學(xué)校用于購買圖書的費(fèi)用為5000元，2022年用于購買圖書的費(fèi)用是7200元，求2020﹣2022年買書資金的平均增長率．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)2020年到2022年該校購書費(fèi)用的年平均增長率為x，則：5000（1+x）2＝7200，解得：x＝0.2，或x＝﹣2.2（舍去），答：2020年到2022年該校購書費(fèi)用的年平均增長率為20%．3．（2022?泰州）如圖，在長為50m、寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)路寬應(yīng)為x米根據(jù)等量關(guān)系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，解得：x＝4或40，40不合題意，舍去，所以x＝4，答：道路的寬應(yīng)為4米．基礎(chǔ)過關(guān)1．（2024?鞍山模擬）方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．3，﹣1，4 B．3，4，﹣1 C．3，﹣4，﹣1 D．3，﹣1，﹣4【答案】C【解答】解：∵3x2﹣4x﹣1＝0，∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是3，﹣4，﹣1，故選：C．2．（2023秋?西城區(qū)校級期中）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列變形正確的是（）A．（x+1）2＝﹣2 B．（x+1）2＝2 C．（x+1）2＝﹣4 D．（x+1）2＝4【答案】D【解答】解：方程移項(xiàng)得：x2+2x＝3，配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4．故選：D．3．（2023?銅梁區(qū)校級一模）某電影上映的第一天票房約為3億元，第二、三天單日票房持續(xù)增長，三天累計(jì)票房10.82億元，若第二、三天單日票房增長率相同，設(shè)平均每天票房的增長率為x，則根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．3（1+x）＝10.82 B．3（1+x）2＝10.82 C．3（1+x）+3（1+x）2＝10.82 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10.82【答案】D【解答】解：設(shè)平均每天票房的增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為3+3（1+x）+3（1+x）2＝10.82，故選：D．4．（2023秋?南海區(qū)期中）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的根的情況是（）A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根 C．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 D．無法確定【答案】C【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣5）＝24＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故選：C．5．（2023秋?武侯區(qū)校級期中）如圖，矩形ABCD是某會展中心一樓展區(qū)的平面示意圖，其中邊AB的長為40m，邊BC的長為25m，該展區(qū)內(nèi)有三個全等的矩形展位，每個展位的面積都為200m2，陰影部分為寬度相等的人行通道，求人行通道的寬度．若設(shè)人行通道的寬度為xm，下列方程正確的是（）A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600【答案】B【解答】解：∵人行通道的寬度為xm，∴每個展位的長為（25﹣2x）m，寬為m．依題意得：?（25﹣2x）＝200，即（40﹣4x）（25﹣2x）＝600．故選：B．6．（2023秋?長安區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的一個根是x＝3，則m的值是（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【答案】D【解答】解：由題意得：把x＝3代入方程x2﹣x﹣m＝0中得：32﹣3﹣m＝0，解得：m＝6，故選：D．7．（2023秋?金壇區(qū)期中）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則x1+x2+x1x2的值是（）A．2022 B．﹣2022 C．﹣2024 D．2024【答案】B【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2023，所x1+x2+x1x2＝（x1+x2）+x1x2＝1﹣2023＝﹣2022．故答案為：B．8．（2023秋?新洲區(qū)期中）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)為73，則每個支干長出（）支小分支．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解答】解：由題意得：1+x+x2＝73，即x2+x﹣72＝0，∴（x+9）（x﹣8）＝0，解得x1＝8，x2＝﹣9（舍去）答：每個支干長出8個小分支．故選：B．9．（2023秋?海淀區(qū)校級期中）若x＝3是關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝6的解，則2023﹣6a+2b的值為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】A【解答】解：把x＝3代入方程，得：9a﹣3b＝6，即：3a﹣b＝2，∴2023﹣6a+2b＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣2×2＝2019：故選：A．10．（2024?鞍山模擬）若x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則x1+x2的值為﹣5．【答案】﹣5．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝﹣5．故答案為：﹣5．11．（2023秋?羅定市期中）已知m是方程x2﹣2x﹣2024＝0的一個根，則m2﹣2m的值為2024．【答案】2024．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣2024＝0的一個根，∴m2﹣2m﹣2024＝0，∴m2﹣2m＝2024．故答案為：2024．12．（2023秋?樂亭縣期中）某讀書小組在學(xué)校舉行的圖書共享儀式上互贈圖書，每個同學(xué)都把自己的圖書向本組其他成員贈送一本，全組共互贈了210本圖書，如果設(shè)全組共有x名同學(xué)，依題意，可列出的方程是x（x﹣1）＝210．【答案】x（x﹣1）＝210．【解答】解：由題意可得，x（x﹣1）＝210，故答案為：x（x﹣1）＝210．13．（2024?鞍山模擬）解下列方程：（1）x2+3x﹣4＝0：（2）2x2﹣4x﹣1＝0．【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣4：（2）x1＝1+，x2＝1﹣．【解答】解：（1）x2+3x﹣4＝0，則（x﹣1）（x+4）＝0，則x﹣1＝0或x+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4：（2）2x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣2x＝，∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．14．（2023?延慶區(qū)一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根：（2）如果方程有一個根為正數(shù)，求m的取值范圍．【答案】（1）見解答：（2）m＜1．【解答】（1）證明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴方程總有兩個實(shí)數(shù)根：（2）x＝，解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+1，∵方程只有一個根是正數(shù)，∴﹣m+1＞0，∴m＜1．15．（2023?秦淮區(qū)一模）某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場采取了降價措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價降了多少元？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)襯衫的單價降了x元．根據(jù)題意，得（20+2x）（40﹣x）＝1250，解得：x1＝x2＝15，答：襯衫的單價降了15元．能力提升1．（2022秋?淥口區(qū)期末）如果關(guān)于x的一元二次方程x2﹣c＝0有一個根是2，那么c的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【答案】A【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣c＝0有一個根是2，∴4﹣c＝0，解得c＝4，故選：A．2．（2023秋?錦江區(qū)校級期中）在探究關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+12x﹣15的值時，小明計(jì)算了如下四組值：x1.1121.31.4x2+12x﹣15﹣0.590.842.293.76則方程x2+12x﹣15＝0的其中一個解滿足的范圍是（）A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．無法確定【答案】A【解答】解：∵x＝1.1時，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2時，x2+12x﹣15＝0.84＞0，∴當(dāng)x在1.1與1.2之間取某一個數(shù)時，可使x2+12x﹣15＝0，即方程x2+12x﹣15＝0的其中一個解滿足的范圍是1.1＜x＜1.2．故選：A．3．（2023?衢州）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（）A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36【答案】C【解答】解：由題意得：1+x+x（1+x）＝36，故選：C．4．（2023秋?梁子湖區(qū)期中）在解方程x2+bx+c＝0時，小馬看錯了一次項(xiàng)系數(shù)b，得到的解為x1＝2，x2＝﹣3：小虎看錯了常數(shù)項(xiàng)c，得到的解為x1＝﹣1，x2＝4，則正確的方程是（）A．x2﹣3x﹣6＝0 B．x2﹣3x﹣4＝0 C．x2+x﹣6＝0 D．x2+3x﹣6＝0【答案】A【解答】解：由題意，c＝2×（﹣3）＝﹣6，﹣b＝﹣1+4，∴b＝﹣3，c＝﹣6，∴方程為x2﹣3x﹣6＝0．故選：A．5．（2023秋?伊川縣期中）對于實(shí)數(shù)a，b，c，d，定義如下運(yùn)算＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，則＝0的根的情況為（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個實(shí)數(shù)根 D．無實(shí)數(shù)根【答案】A【解答】解：∵＝0，∴x（1﹣x）﹣2（1﹣x）＝0，整理得x2﹣3x+2＝0，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．6．（2023秋?東莞市期中）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，則的值是（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7【答案】D【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，∴，故選：D．7．（2023秋?花溪區(qū)期中）定義：關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0與3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若關(guān)于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0與（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．則代數(shù)式﹣ax2+bx+2019的最大值是（）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【答案】A【解答】解：由（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0，∴（a+2）（x2﹣2x+1）+2（a+2）x﹣（a+2）+（b﹣4）x+8＝0，即（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0，∵2（x﹣1）2+1＝0與（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程“，∴2（x﹣1）2+1＝0與（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0是“同族二次方程”，∴2a+b＝0，6﹣a＝1，解得：a＝5，b＝﹣10，則﹣ax2+bx+2019＝﹣5x2﹣10x+2019＝﹣5（x2﹣2x+1）+5+2019＝﹣5（x﹣1）2+2024≤2024，當(dāng)x＝1時，﹣ax2+bx+2019取最大值2024，故選：A．8．（2023秋?黃埔區(qū)期中）若a是方程x2+2x﹣20＝0的一個實(shí)數(shù)根，則2a2+4a﹣19的值為（）A．﹣18 B．21 C．﹣20 D．18【答案】B【解答】解：把x＝a代入方程x2+2x﹣20＝0得：a2+2a﹣20＝0，∴a2+2a＝20，∴2a2+4a﹣19＝2（a2+2a）﹣19＝2×20﹣19＝40﹣19＝21，故選：B．9．（2023秋?江岸區(qū)期中）如圖，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向終點(diǎn)C以1個單位長度/s移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向終點(diǎn)A以2個單位長度/s移動，P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時P、Q兩點(diǎn)同時停止，則（）秒后，△PCQ的面積等于4．A．1 B．2 C．4 D．1或4【答案】A【解答】解：設(shè)t秒后，△PCQ的面積等于4，由題意得：BP＝t，CQ＝2t，則CP＝5﹣t，∵S△PCQ＝CQ?CP，∴4＝×2t×（5﹣t），整理得：t2﹣5t+4＝0，解得：t1＝1，t2＝4（不合題意，舍去），即1秒后，△PCQ的面積等于4，故選：A．10．（2023春?張店區(qū)期末）我國古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法．以方程x2+2x﹣35＝0，即x（x+2）＝35為例加以說明，三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽（公元3～4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖中大正方形的面積是（x+x+2）2，同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×35+22，據(jù)此易得x＝5．小剛用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0時，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為81，小正方形的面積為25，則關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0的正數(shù)解為（）A．x＝7 B．x＝5 C．x＝3 D．x＝2【答案】D【解答】解：設(shè)矩形的寬為x，長為a，∵大正方形的面積為81，小正方形的面積為25，∴x+a＝9，a﹣x＝5，∴x＝2，a＝7，故選：D．11．（2022秋?洪江市校級月考）方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：化簡得，x2+2x﹣16＝0∴x2+2x＝16∴（x+1）2＝17∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．12．（2022?新市區(qū)校級三模）已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，則（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝7．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）＝（m+4）（n+4）＝mn+4（m+n）+16＝﹣1+4×（﹣2）+16＝7，故答案為：7．13．（2022春?河口區(qū)期末）對于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的兩根，則+的值為．【答案】．【解答】解：由題意得（x+2）*3＝0即為（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，化簡得x2+10x+7＝0，∵m，n是該方程的兩根，∴m+n＝﹣10，mn＝7，∴+＝＝，故答案為：．14．（2023?涼山州模擬）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根：（2）若等腰△ABC的一邊長為4，另兩邊長m，n恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴無論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根：（2）解：當(dāng)邊長為4的邊為腰時，則可知方程有一個實(shí)數(shù)根為4，∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，∴方程為x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，∴m、n的值分別為2、4，∴△ABC的周長為10：當(dāng)邊長為4的邊為底時，則m＝n，即方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴方程為x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，此時2+2＝4，不符合三角形的三邊關(guān)系，舍去：綜上可知△ABC的周長為10．15．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批頭盔，進(jìn)價為每頂40元，售價為每頂68元，平均每周可售出100頂．商店計(jì)劃將頭盔降價銷售，每頂售價不高于58元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價2元，平均每周可多售出40頂．（1）若該商店希望平均每周獲利4000元，則每頂頭盔應(yīng)降價多少？（2）商店降價銷售后，決定每銷售1頂頭盔就向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈m元（m為整數(shù)，且1≤m≤5），幫助做“交通安全”宣傳．捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商店每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大，求m的值．【答案】（1）每頂頭盔應(yīng)降價20元：（2）m＝3或m＝4或m＝5．【解答】解：（1）設(shè)每頂頭盔應(yīng)降價x元，則每頂頭盔的銷售利潤為（68﹣x﹣40）元，平均每周的銷售量為（100+20x）頂，依題意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，整理得：x2﹣23x+60＝0，解得：x1＝3，x2＝20，∵68﹣x≤58，∴x≥10，∴x＝20．答：每頂頭盔應(yīng)降價20元：（2）設(shè)每周扣除捐贈后可獲得利潤為w元，每頂頭盔售價為a元，依題意得：w＝[100+20（68﹣a）]（a﹣40﹣m）