2611余弦定理課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

2.6.1.1余弦定理北師大版（2019）必修第二冊(cè)第二章

平面向量及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)了解余弦定理的證明過程02掌握余弦定理及其推論01能夠利用余弦定理解決有關(guān)問題03知識(shí)回顧我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）.這說明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示.那么，表示的公式是什么？探究：在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？bca探究：在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？bca

探究：在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b和

C表示

c？bca

那么c＝a－b

所以c2＝a2＋b2－2abcosC

①把幾何元素用向量表示：②進(jìn)行恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算：③向量式化成幾何式：同理可得

a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosB.抽象概括余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

還有其他方法證明余弦定理嗎？余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．利用幾何法證明：在△ABC中，三個(gè)角

A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c（1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖所示，過頂點(diǎn)

C作

CD⊥

AB于點(diǎn)

D，CADB（2）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，同理可證.則CD＝bsinA，AD＝bcosA，BD＝AB－AD＝c－bcosA.在Rt△BCD中，由勾股定理得

BD2＝CD2＋BD2，即a2＝b2sin2A＋（c－bcosA）2＝b2sin2A＋c2＋b2cos2A－2bccosA，所以a2＝b2＋

c2

－2bccosA.同理可證b2

＝

a2＋

c2

－2accosB，

c2

＝

a2

＋

b2－

2abcos

C利用幾何法證明：在△ABC中，三個(gè)角

A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c（3）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖所示，即

a2＝b2sin2A＋（bcosA－c）2，即

a2＝b2＋

c2

－2bccosA.過頂點(diǎn)

C作

AB延長線的垂線

CD，垂足為

D，則CD＝bsinA，BD＝bcosA－c.在Rt△BCD中，由勾股定理得

BC2＝CD2＋BD2，CDBA同理可證

b2

＝

a2＋

c2

－2accosB，

c2

＝

a2

＋

b2－

2abcos

C同學(xué)們也可以嘗試用坐標(biāo)方法證明利用坐標(biāo)法證明：在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c如圖，以

A為原點(diǎn)，邊

AB所在直線為

x軸建立平面直角坐標(biāo)系.同理可證

b2＝c2＋a2－2cacosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.則

A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)，∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即

a2＝b2＋c2－2bccosA.思考：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系.應(yīng)用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？余弦定理的推論已知三條邊求任意角（SSS）已知兩邊及其夾角求第三邊（SAS、SSA）拓展利用余弦定理判斷三角形的形狀

拓展利用余弦定理判斷三角形的形狀

拓展利用余弦定理判斷三角形的形狀

例1

如圖，有兩條直線

AB和

CD

相交成80°角，交點(diǎn)是

O.甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)

O分別沿OA，OC方向出發(fā)，速度分別是4km/h，4.5

km/h.3h后兩人相距多遠(yuǎn)?(精確到

0.1

km)O80°D解：經(jīng)過3h，甲到達(dá)點(diǎn)

P，|OP|＝4×3＝12(km)，乙到達(dá)點(diǎn)

Q，|OQ|＝4.5×3＝13.5(km)，QP在△OPQ中，由余弦定理得(km)，因此，3h后兩人相距約

16.4

km.

解：在△BCD中，BC＝1，CD＝1，∠BCD＝135°，

在△ABD中，

你還能用其他方法求線段

BD的長度及

∠DAB的大小嗎？解：延長

DC交

AB的延長線于點(diǎn)

E.因?yàn)椤螧CD＝135°，∠ABC＝90°，所以∠BEC＝∠BCE＝45°

思考交流：你還能用其他方法