中考數(shù)學二輪復習沖刺第18講 圖形的變換（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第18講圖形的變換（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.通過具體實例認識軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)，探索它們的基本性質(zhì)；2.能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形，能作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；3.探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性質(zhì)及其相關性質(zhì).4.探索圖形之間的變換關系（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合）；5.利用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合進行圖案設計；認識和欣賞軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應用.【知識導圖】【考點梳理】考點一、平移變換1.平移的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大?。疽c詮釋】（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據(jù)；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)．2．平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應角相等．【要點詮釋】（1）要注意正確找出“對應線段，對應角”，從而正確表達基本性質(zhì)的特征；（2）“對應點所連的線段平行且相等”，這個基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)，又可作為平移作圖的依據(jù)．考點二、軸對稱變換1．軸對稱與軸對稱圖形

軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，也叫做這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的對應點，叫做對稱點.

軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

2．軸對稱變換的性質(zhì)

①關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②如果兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

④如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.

3．軸對稱作圖步驟

①找出已知圖形的關鍵點，過關鍵點作對稱軸的垂線，并延長至2倍，得到各點的對稱點．

②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點即得所作圖形.

４．翻折變換：圖形翻折問題是近年來中考的一個熱點，其實質(zhì)是軸對稱問題，折疊重合部分必全等，折痕所在直線就是這兩個全等形的對稱軸，互相重合的兩點（對稱點）連線必被折痕垂直平分.【要點詮釋】翻折的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關于折痕成軸對稱，兩圖形全等，折疊圖形中有相似三角形，常用勾股定理.考點三、旋轉(zhuǎn)變換

1．旋轉(zhuǎn)概念：把一個圖形繞著某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.

２．旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.

３．旋轉(zhuǎn)作圖步驟

①分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角.

②分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關鍵點.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點和旋轉(zhuǎn)中心所連線段,從而作出圖形中各關鍵點的對應點.

④按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對應點.【要點詮釋】１．圖形變換與圖案設計的基本步驟

①確定圖案的設計主題及要求；

②分析設計圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱對基本圖案進行變換，實現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機組合；

④對圖案進行修飾，完成圖案.2．平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱之間的聯(lián)系

一個圖形沿兩條平行直線翻折（軸對稱）兩次相當于一次平移，沿不平行的兩條直線翻折兩次相當于一次旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)角等于兩直線交角的2倍.【典型例題】題型一、平移變換例1．操作與探究：

（1）對數(shù)軸上的點P進行如下操作：先把點P表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對應的點向右平移1個單位，得到點P的對應點P′．點A，B在數(shù)軸上，對線段AB上的每個點進行上述操作后得到線段A′B′，其中點A，B的對應點分別為A′，B′．如圖1，若點A表示的數(shù)是-3，則點A′表示的數(shù)是________；若點B′表示的數(shù)是2，則點B表示的數(shù)是_____；已知線段AB上的點E經(jīng)過上述操作后得到的對應點E′與點E重合，則點E表示的數(shù)是__________．

（2）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，對正方形ABCD及其內(nèi)部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱坐標都乘以同一個實數(shù)a，將得到的點先向右平移m個單位，再向上平移n個單位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其內(nèi)部的點，其中點A，B的對應點分別為A′，B′．已知正方形ABCD內(nèi)部的一個點F經(jīng)過上述操作后得到的對應點F′與點F重合，求點F的坐標．

【變式】如圖，若將邊長為的兩個互相重合的正方形紙片沿對角線翻折成等腰直角三角形后，再抽出一個等腰直角三角形沿移動，若重疊部分的面積是，則移動的距離等于.題型二、軸對稱變換例2.如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是射線CB上的一個動點，把△DCE沿DE折疊，點C的對應點為C′．（1）若點C′剛好落在對角線BD上時，BC′=；（2）若點C′剛好落在線段AB的垂直平分線上時，求CE的長；（3）若點C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時，求CE的長．【變式】如圖所示，有一塊面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別為AD、BC的邊上中點，將C點折至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連接PQ．

（1）求MP的長；

（2）求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于.例3.已知：矩形紙片中，AB=26厘米，厘米，點E在AD上，且厘米，點P是AB邊上一動點，按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點P與點E重合，展開紙片得折痕（如圖（1）所示）；步驟二，過點P作交所在的直線于點Q，連結(jié)QE（如圖（2）所示）；（1）無論點P在AB邊上任何位置，都有PQQE（填“＞”、“=”、“＜”號）（2）如圖（3）所示，將矩形紙片放在直角坐標系中，按上述步驟一、二進行操作：①當點P在A點時，與交于點點的坐標是（，）；②當厘米時，與交于點，點的坐標是（，）；③當厘米時，在圖（3）中畫出，（不要求寫畫法）并求出與的交點的坐標；（3）點P在在運動過程中，與形成一系列的交點，…觀察，猜想：眾多的交點形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達式.（A）BCDEN（A）BCDENO612182461218ABCDPEMNBC（P）D （1） （2） （3）題型三、旋轉(zhuǎn)變換例4.已知，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，點P是射線CB上一點（點P不與點B、C重合），線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接QB交射線AC于點M.（1）如圖①，當AC=BC，點P在線段CB上時，線段PB、CM的數(shù)量關系是；（2）如圖②，當AC=BC，點P在線段CB的延長線時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（3）如圖③，若，點P在線段CB的延長線上，CM=2，AP=13，求△ABP的面積．例5.如圖①，小慧同學把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中，頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點^按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后．她提出了如下問題：問題①：若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程；問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是_______________?請你解答上述兩個問題．【變式】如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2，腰長為3，一個底角為60°．正方形ABCD的邊長為1，它的一邊AD在MN上，且頂點A與M重合．現(xiàn)將正方形ABCD在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進行翻滾，翻滾到有一個頂點與Q重合即停止?jié)L動．(1)請在所給的圖中，用尺規(guī)畫出點A在正方形整個翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖；(2)求正方形在整個翻滾過程中點A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．【中考過關真題練】一．選擇題（共8小題）1．（2022?臺灣）如圖1為一張正三角形紙片ABC，其中D點在AB上，E點在BC上．今以DE為折線將B點往右折后，BD、BE分別與AC相交于F點、G點，如圖2所示．若AD＝10，AF＝16，DF＝14，BF＝8，則CG的長度為多少？（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2022?丹東）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，對角線AC與BD交于點O，點E是AD的中點，連接OE，△ABD的周長為12cm，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．OE∥AB B．四邊形ABCD是中心對稱圖形 C．△EOD的周長等于3cm D．若∠ABC＝90°，則四邊形ABCD是軸對稱圖形3．（2022?資陽）如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E是直線BC上一動點．若AB＝4，則AE+OE的最小值是（）A． B． C． D．4．（2022?黔西南州）在如圖所示的Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB的中點，把紙片沿著CD折疊，點B到點E的位置，連接AE．若AE∥DC，∠B＝α，則∠EAC等于（）A．α B．90°﹣α C．α D．90°﹣2α5．（2022?牡丹江）下列圖形是黃金矩形的折疊過程：第一步，如圖（1），在一張矩形紙片一端折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步，如圖（2），把正方形折成兩個相等的矩形再把紙片展平；第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖（3）中所示的AD處；第四步，如圖（4），展平紙片，折出矩形BCDE就是黃金矩形．則下列線段的比中：①，②，③，④，比值為的是（）A．①② B．①③ C．②④ D．②③6．（2022?呼和浩特）如圖．△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點B的對應點D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點F．若∠BCD＝α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（）A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α7．（2022?綏化）如圖，線段OA在平面直角坐標系內(nèi)，A點坐標為（2，5），線段OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OA'，則點A'的坐標為（）A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）8．（2022?營口）如圖，在矩形ABCD中，點M在AB邊上，把△BCM沿直線CM折疊，使點B落在AD邊上的點E處，連接EC，過點B作BF⊥EC，垂足為F，若CD＝1，CF＝2，則線段AE的長為（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．二．填空題（共5小題）9．（2022?大連）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（1，2），將線段OA向右平移4個單位長度，得到線段BC，點A的對應點C的坐標是．10．（2022?臨沂）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A，B的坐標分別是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若點A的對應點A'的坐標為（﹣1，0），則點B的對應點B'的坐標是．11．（2022?遼寧）在平面直角坐標系中，線段AB的端點A（3，2），B（5，2），將線段AB平移得到線段CD，點A的對應點C的坐標是（﹣1，2），則點B的對應點D的坐標是．12．（2022?淄博）如圖，在平面直角坐標系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點A（﹣3，4）的對應點是A1（2，5），則點B（﹣4，2）的對應點B1的坐標是．13．（2022?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點A1（1，1）；把點A1向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點A2（﹣1，3）；把點A2向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點A3（﹣4，0）；把點A3向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點A4（0，﹣4），…；按此做法進行下去，則點A10的坐標為．三．解答題（共5小題）14．（2022?寧夏）如圖，是邊長為1的小正方形組成的8×8方格，線段AB的端點在格點上．建立平面直角坐標系，使點A、B的坐標分別為（2，1）和（﹣1，3）．（1）畫出該平面直角坐標系xOy；（2）畫出線段AB關于原點O成中心對稱的線段A1B1；（3）畫出以點A、B、O為其中三個頂點的平行四邊形．（畫出一個即可）15．（2022?哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點和線段EF的端點均在小正方形的頂點上．（1）在方格紙中畫出△ADC，使△ADC與△ABC關于直線AC對稱（點D在小正方形的頂點上）；（2）在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點G，點H均在小正方形的頂點上），且平行四邊形EFGH的面積為4，連接DH，請直接寫出線段DH的長．16．（2022?黑龍江）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．（1）將△ABC先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標；（2）畫出△A1B1C1繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C1，并寫出點A2的坐標；（3）在（2）的條件下，求點A1旋轉(zhuǎn)到點A2的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．17．（2022?錦州）如圖，在△ABC中，，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點，連接DE，DF．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，將∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到∠PDQ，當射線DP交AB于點G，射線DQ交BC于點N時，連接FE并延長交射線DP于點M，判斷FN與EM的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，當DP⊥AB時，求DN的長．18．（2022?鞍山）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D在直線AC上，連接BD，將DB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DE，連接BE，CE．（1）求證：BC＝AB；（2）當點D在線段AC上（點D不與點A，C重合）時，求的值；（3）過點A作AN∥DE交BD于點N，若AD＝2CD，請直接寫出的值．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共5小題）1．（2023?偃師市一模）課外活動課上，小明用矩形ABCD玩折紙游戲，如圖，第一步，把矩形ABCD沿EF對折，折出折痕EF，并展開；第二步，將紙片折疊，使點A落在EF上A'點，若AB＝2，則折痕BG的長等于（）﹣A． B． C．2 D．42．（2023?瓊山區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝1，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG，點B的對應點E落在CD上，且DE＝EF，則四邊形ABCE的面積為（）A．2﹣1 B． C．﹣ D．﹣13．（2023?深圳模擬）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是AB邊延長線上一點，BE＝2，F(xiàn)是AB邊上一點，將△CEF沿CF翻折，使點E的對應點G落在AD邊上，連接EG交折痕CF于點H，則FH的長是（）A． B． C．1 D．4．（2023?青島模擬）如圖，將△ABC先向下平移1個單位，再繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△A1B1C1，頂點A落到了點A1（5，3）處，則點B的對應點B1的坐標是（）A．（3，0） B．（3，2） C．（2，2） D．（1，2）5．（2023?青島模擬）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點E是BC邊的中點，將△DCE沿DE折疊得到△DEF，點F落在EG邊上，連接CF．現(xiàn)有如下5個結(jié)論：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③S△BEF＝；④GB＝2AG．在以上4個結(jié)論中正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④二．填空題（共5小題）6．（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在矩形ABCD中，E為邊AB上一點，將△ADE沿DE折疊，使點A的對應點F恰好落在邊BC上，連接AF交DE于點G．若BF?AD＝12，則AF的長度為．7．（2023?延安一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，點E為線段CD的中點，動點F從點C出發(fā)，沿C→B→A的方向在CB和BA上運動，將矩形沿EF折疊，點C的對應點為C'，當點C'恰好落在矩形的對角線上時，點F運動的距離為．8．（2023?武漢模擬）如圖，D是△ABC內(nèi)一點，∠BDC＝90°，BD＝CD，AB＝20，AC＝21，AD＝，則BC的長是．9．（2023?澄邁縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（1，1），（3，0），（2，﹣1）．點M從坐標原點O出發(fā)，第一次跳躍到點M1，使得點M1與點O關于點A成中心對稱；第二次跳躍到點M2，使得點M2與點M1關于點B成中心對稱；第三次跳躍到點M3，使得點M3與點M2關于點C成中心對稱；第四次跳躍到點M4，使得點M4與點M3關于點A成中心對稱；…，依此方式跳躍，點M2022的坐標是．10．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠A＝120°，點F、點N分別為CD、AB的中點，點E在邊AD上運動，將△EDF沿EF折疊，使得點D落在D'處，連接BD′，點M為BD'中點，則MN的最小值是．三．解答題（共6小題）11．（2023?西安一模）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的位置如圖所示，請畫出△ABC關于y軸對稱的△A'B'C'，其中A'、B'、C'分別是A、B、C的對應點，并寫出點A'、B'、C'的坐標．12．（2023?雁塔區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系中：（1）將△ABC向上平移3個單位，再向右平移2個單位得到△A1B1C1，畫出點A的對應點A1的坐標；并在坐標系中畫出平移后的△A1B1C1；（2）求△ABC的面積．13．（2023?定遠縣校級一模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點三角形ABC和格點O（網(wǎng)格線的交點，叫做格點）．（1）作△ABC關于點O的中心對稱圖形△A1B1C1；（點A，B，C的對應點分別為A1，B1，C1）（2）將△A1B1C1先向上平移5個單位長度，再向左平移1個單位長度，得到△A2B2C2，畫出△A2B2C2；（點A1，B1，C1的對應點分別為A2，B2，C2）（3）連接OA，OC2，則∠AOC2＝°．14．（2023?石家莊模擬）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的8×11的網(wǎng)格中，給出了以格點（網(wǎng)格線的交點）為端點的線段AB．（1）以點A為中心，將AB逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AB1，畫出線段AB1；（2）連接BB1，以點B1為中心，將△ABB1縮小0.5倍得到△A2B2B1，畫出△A2B2B1；（3）若△ABB1的面積為S，則△A2B2B1的面積為．15．（2023?廬江縣模擬）（1）如圖1，過等邊△ABC的頂點A作AC的垂線l，點P為l上點（不與點A重合），連接CP，將線段CP繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連接QB．①求證：AP＝BQ；②連接PB并延長交直線CQ于點D．若PD⊥CQ，AC＝，求PB的長；（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB＝45°，將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，連接CD，若AC＝1，BC＝3，求CD長．16．（2023?天涯區(qū)一模）已知D是等邊三角形ABC中AB邊上一點，將CB沿直線CD翻折得到CE，連接EA并延長交直線CD于點F．（1）如圖1，若∠BCD＝40°，直接寫出∠CFE的度數(shù)；（2）如圖1，若CF＝10，AF＝4，求AE的長；（3）如圖2，連接BF，當點D在運動過程中，請?zhí)骄烤€段AF，BF，CF之間的數(shù)量關系，并證明．

【名校自招練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?長壽區(qū)自主招生）下面的圖形是用數(shù)學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．科克曲線 B．笛卡爾心形線 C．趙爽弦圖 D．斐波那契螺旋線2．（2022?溫江區(qū)校級自主招生）在平面直角坐標系中，點Q（﹣3，7）關于y軸對稱的點的坐標是（）A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）3．（2022?南陵縣自主招生）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，P為△ABC內(nèi)一點，分別連接PA、PB、PC，當∠APB＝∠BPC＝∠CPA時，，則BC的值為（）A．1 B． C． D．24．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）下列關于數(shù)字變換的圖案中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．（2022?甌海區(qū)校級自主招生）如圖，將△ABC沿DE折疊，使點A與BC邊的中點F重合，下列結(jié)論中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四邊形ADEF＝AF?DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2022?長壽區(qū)自主招生）如圖，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，點D在邊BC上，且CD＝3DB，點E是邊OA上一點，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點A的對稱點A′恰好落在邊OC上，則OE的長為（）A． B． C． D．17．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為（）A．2 B．4 C．2 D．48．（2022?工業(yè)園區(qū)校級自主招生）如圖，矩形ABCD的頂點A，B分別在x軸、y軸上，OA＝OB＝2，AD＝4，將矩形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點C的坐標為（）A．（6，4） B．（﹣6，4） C．（4，﹣6） D．（﹣4，6）9．（2022?南岸區(qū)自主招生）如圖，在矩形紙片ABCD中，E是BC邊上的中點，連接AE，把矩形紙片沿AE對折，點B恰好落在矩形紙片ABCD的對角線BD上的點F處，連接CF．①CF∥AE；②AD＝AB；③CF＝CD；④∠ABD＝60°；⑤S矩形ABCD＝4S△AEF?以上五個結(jié)論，正確的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．510．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，將四邊形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使得點B落在CD上的點Q處，折痕為AP．再將△PCQ，△ADQ分別沿PQ，AQ折疊，此時點C，D落在AP上的同一點R處．當AD＝CP時，則的值為（）A． B．2 C．2 D．二．填空題（共4小題）11．（2022?渝中區(qū)校級自主招生）如圖，正方形ABCD中，點E在AB邊上且AE＝2BE．連接CE，取CE邊上中點G，作GH⊥CG且CG＝GH連接CH．將△CGH繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△CG'H'．當H'恰好落在AH的延長線上時連接HG'．CG′與HH'交于F，若AH＝2，則FH＝．12．（2022?相城區(qū)校級自主招生）如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF，GH折疊（點E，H在AD邊上，點F，G在BC邊上），使點B和點C落在AD邊上同一點P處，A點的對稱點為A點，D點的對稱點為D'點．若∠FPG＝90°，△A′EP的面積為8，△D'PH的面積為2，則矩形ABCD的面積等于．13．（2022?溫江區(qū)校級自主招生）如圖，在矩形ABCD中，連接對角線BD，在線段BD上