安徽省黃山市徽州一中2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學試卷含解析

安徽省黃山市徽州一中2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其右焦點F的坐標為(c,0)，點A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點，O為坐標原點，滿足|OA|=A．2 B．2 C．2332．設全集，集合，，則集合（）A． B． C． D．3．數(shù)列滿足：，，，為其前n項和，則（）A．0 B．1 C．3 D．44．一個頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為，則估計樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有（）A． B． C． D．5．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．6．關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)一個遞增區(qū)間為C．函數(shù)的圖像關于直線對稱D．將函數(shù)圖像向左平移個單位可得函數(shù)的圖像7．一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價元，乙每件進價元，甲商品每賣出去件可賺元，乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件8．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當時，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若，則實數(shù)a的值為()A． B．3 C． D．9．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．240 B．264 C．274 D．28210．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會的優(yōu)質平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設有“閱讀文章”?“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊?某人在學習過程中，“閱讀文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學習方法有（）A．60 B．192 C．240 D．43211．已知雙曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上與不重合的動點，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C．4 D．212．已知函數(shù)，方程有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合，則“函數(shù)有兩個零點”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設第一象限內(nèi)的點(x，y)滿足約束條件,若目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為40，則＋的最小值為_____.14．的角所對的邊分別為，且，，若，則的值為__________.15．已知雙曲線的左右焦點分別關于兩漸近線對稱點重合，則雙曲線的離心率為_____16．已知向量，滿足，，且已知向量，的夾角為，，則的最小值是__．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，長為3的線段的兩端點分別在軸、軸上滑動，點為線段上的點，且滿足.記點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點為曲線上的兩個動點，記，判斷是否存在常數(shù)使得點到直線的距離為定值？若存在，求出常數(shù)的值和這個定值；若不存在，請說明理由.18．（12分）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，試計算小張該筆貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對比兩種還款方式，從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù)：.19．（12分）在直角坐標系中，曲線的標準方程為.以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線的直角坐標方程；（2）若點在曲線上，點在直線上，求的最小值.20．（12分）分別為的內(nèi)角的對邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當?shù)拿娣e取得最大值時，求的周長.21．（12分）已知函數(shù)，設的最小值為m.（1）求m的值；（2）是否存在實數(shù)a，b，使得，？并說明理由.22．（10分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時，求的值；利用數(shù)學歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，A故Ac,bca，F(xiàn)c,0，故Mc,故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.2、C【解析】∵集合，，∴點睛：本題是道易錯題，看清所問問題求并集而不是交集.3、D【解析】

用去換中的n，得，相加即可找到數(shù)列的周期，再利用計算.【詳解】由已知，①，所以②，①+②，得，從而，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項分別為1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故選：D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應用，在求時，先算出一個周期的和即，再將表示成即可，本題是一道中檔題.4、B【解析】

計算出樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)，再減去樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出結果.【詳解】由題意可知，樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為，樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為，因此，樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為.故選：B.【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻數(shù)，要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.5、A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.6、B【解析】

化簡到，根據(jù)定義域排除，計算單調(diào)性知正確，得到答案.【詳解】，故函數(shù)的定義域為，故錯誤；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故正確；當，關于的對稱的直線為不在定義域內(nèi)，故錯誤.平移得到的函數(shù)定義域為，故不可能為，錯誤.故選：.【點睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對稱，三角函數(shù)平移，意在考查學生的綜合應用能力.7、D【解析】

由題意列出約束條件和目標函數(shù)，數(shù)形結合即可解決.【詳解】設購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別，利潤為元，由題意，畫出可行域如圖所示，顯然當經(jīng)過時，最大.故選：D.【點睛】本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷，是否是整數(shù)，是否是非負數(shù)，并準確的畫出可行域，本題是一道基礎題.8、B【解析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)周期，利用周期性和函數(shù)值，即可求得.【詳解】由已知可知，，所以函數(shù)是一個以4為周期的周期函數(shù)，所以，解得，故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)周期的求解，涉及對數(shù)運算，屬綜合基礎題.9、B【解析】

將三視圖還原成幾何體，然后分別求出各個面的面積，得到答案.【詳解】由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，延長交于點，其中，，，所以表面積.故選B項.【點睛】本題考查三視圖還原幾何體，求組合體的表面積，屬于中檔題10、C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．【點睛】本題考查排列組合的應用，考查捆綁法和插入法求解排列問題．對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法．11、D【解析】

設，，，根據(jù)可得①，再根據(jù)又②，由①②可得，化簡可得，即可求出離心率．【詳解】解：設，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故選：D．【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質，考查了斜率的計算，離心率的求法，屬于基礎題和易錯題．12、A【解析】

作出函數(shù)的圖象，得到，把函數(shù)有零點轉化為與在（2，4]上有交點，利用導數(shù)求出切線斜率，即可求得的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，，函數(shù)有2個零點，即有兩個不同的根，也就是與在上有2個交點，則的最小值為；設過原點的直線與的切點為，斜率為，則切線方程為，把代入，可得，即，∴切線斜率為，∴k的取值范圍是，∴函數(shù)有兩個零點”是“”的充分不必要條件，故選A．【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的判定，考查數(shù)學轉化思想方法與數(shù)形結合的解題思想方法，訓練了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，當直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(8,10)時，目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而當且僅當時取等號，則的最小值為.14、【解析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉化為與邊有關的等式，結合可求的值.【詳解】因為，故，因為，所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足，所以即.因為，解得或（舍）.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，注意結合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.15、【解析】

雙曲線的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合，可得一條漸近線的斜率為1，即，即可求出雙曲線的離心率．【詳解】解：雙曲線的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合，一條漸近線的斜率為1，即，，，故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查學生的計算能力，確定一條漸近線的斜率為1是關鍵，屬于基礎題．16、【解析】

求的最小值可以轉化為求以AB為直徑的圓到點O的最小距離，由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示，設，由題，得，又，所以，則點C在以AB為直徑的圓上，取AB的中點為M，則，設以AB為直徑的圓與線段OM的交點為E，則的最小值是，因為，又，所以的最小值是.故答案為：【點睛】本題主要考查向量的綜合應用問題，涉及到圓的相關知識與余弦定理，考查學生的分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在；常數(shù)，定值【解析】

（1）設出的坐標，利用以及，求得曲線的方程.（2）當直線的斜率存在時，設出直線的方程，求得到直線的距離.聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，寫出根與系數(shù)關系，結合以及為定值，求得的值.當直線的斜率不存在時，驗證.由此得到存在常數(shù)，且定值.【詳解】（1）解析：（1）設，，由題可得，解得又，即，消去得：（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為設，由可得：由點到的距離為定值可得（為常數(shù)）即得：即，又為定值時，，此時，且符合當直線的斜率不存在時，設直線方程為由題可得，時，，經(jīng)檢驗，符合條件綜上可知，存在常數(shù)，且定值【點睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查運算求解能力，考查橢圓中的定值問題，屬于難題.18、（1）289200元；（2）能夠獲批；（3）應選擇等額本金還款方式【解析】

（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數(shù)列，即可由等差數(shù)列的前n項和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據(jù)題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，設小張每月還款額為元，由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù)，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計算出等額本息還款方式時所付出的總利息，兩個利息比較即可判斷.【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數(shù)列，記為，表示數(shù)列的前項和，則，，則，故小張該筆貸款的總利息為元.（2）設小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數(shù)列，則，所以，即，因為，所以小張該筆貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為：，因為，所以從經(jīng)濟利益的角度來考慮，小張應選擇等額本金還款方式.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的綜合應用，數(shù)列在實際問題中的應用，理解題意是解決問題的關鍵，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）直接利用極坐標公式計算得到答案（2）設，，根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.【詳解】（1）因為，所以，因為所以直線的直角坐標方程為.（2）由題意可設，則點到直線的距離.因為，所以，因為，故的最小值為.【點睛】本題考查了極坐標方程，參數(shù)方