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湖南省長(zhǎng)沙市一中2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則().A. B. C. D.2.已知函數(shù),的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,則的一條對(duì)稱軸是()A. B. C. D.3.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則A. B.C. D.4.一個(gè)組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1),則該幾何體的體積是()A. B. C. D.5.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[326.已知向量與向量平行,,且,則()A. B.C. D.7.已知,,那么是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A. B. C. D.19.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知雙曲線(,)的左、右頂點(diǎn)分別為,,虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,,若四邊形的內(nèi)切圓面積為,則雙曲線焦距的最小值為()A.8 B.16 C. D.11.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.512.如圖所示,為了測(cè)量、兩座島嶼間的距離,小船從初始位置出發(fā),已知在的北偏西的方向上,在的北偏東的方向上,現(xiàn)在船往東開(kāi)2百海里到達(dá)處,此時(shí)測(cè)得在的北偏西的方向上,再開(kāi)回處,由向西開(kāi)百海里到達(dá)處,測(cè)得在的北偏東的方向上,則、兩座島嶼間的距離為()A.3 B. C.4 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.有2名老師和3名同學(xué),將他們隨機(jī)地排成一行,用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù),則對(duì)應(yīng)的排法有______種;______;14.在一次體育水平測(cè)試中,甲、乙兩校均有100名學(xué)生參加,其中:甲校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為70%,女生成績(jī)的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成績(jī)的優(yōu)秀率為60%,女生成績(jī)的優(yōu)秀率為40%.對(duì)于此次測(cè)試,給出下列三個(gè)結(jié)論:①甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率;③甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.15.在中,已知,,是邊的垂直平分線上的一點(diǎn),則__________.16.若為假,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在國(guó)家“大眾創(chuàng)業(yè),萬(wàn)眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷,得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:試銷價(jià)格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.(1)試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò),則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè),求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)網(wǎng)絡(luò)看病就是國(guó)內(nèi)或者國(guó)外的單個(gè)人、多個(gè)人或者單位通過(guò)國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)或者其他局域網(wǎng)對(duì)自我、他人或者某種生物的生理疾病或者機(jī)器故障進(jìn)行查找詢問(wèn)、診斷治療、檢查修復(fù)的一種新興的看病方式.因此,實(shí)地看病與網(wǎng)絡(luò)看病便成為現(xiàn)在人們的兩種看病方式,最近某信息機(jī)構(gòu)調(diào)研了患者對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病,實(shí)地看病的滿意程度,在每種看病方式的患者中各隨機(jī)抽取15名,將他們分成兩組,每組15人,分別對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病,實(shí)地看病兩種方式進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng),根據(jù)患者的評(píng)分(滿分100分)繪制了如圖所示的莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷患者對(duì)于網(wǎng)絡(luò)看病、實(shí)地看病那種方式的滿意度更高?并說(shuō)明理由;(2)若將大于等于80分視為“滿意”,根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表:滿意不滿意總計(jì)網(wǎng)絡(luò)看病實(shí)地看病總計(jì)并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān)?(3)從網(wǎng)絡(luò)看病的評(píng)價(jià)“滿意”的人中隨機(jī)抽取2人,求這2人平分都低于90分的概率.附,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足:(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:對(duì)于任意的n∈N*,都有Tn<.20.(12分)已知函數(shù),(Ⅰ)當(dāng)時(shí),證明;(Ⅱ)已知點(diǎn),點(diǎn),設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).21.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,為其中心,為銳角三角形,且平面底面,為的中點(diǎn),.(1)求證:平面;(2)求證:.22.(10分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求的值;(2)若,求面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先化簡(jiǎn)求出,即可求得答案.【詳解】因?yàn)?,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,注意計(jì)算的準(zhǔn)確度,屬于簡(jiǎn)單題目.2、D【解析】

由題,得,由的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數(shù)的解析式,又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因?yàn)榈膱D象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,所以函數(shù)的最小正周期,則,所以,當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性.3、D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,則,即.故選D.4、C【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體,幾何體是圓柱中挖去一個(gè)三棱柱,從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得,幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個(gè)底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個(gè)底面腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形、高為2的棱柱,故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,即,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖問(wèn)題、組合幾何體的體積問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體,然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.5、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù)fgx6、B【解析】

設(shè),根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個(gè)未知數(shù)的值,即可得出向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè),且,,由得,即,①,由,②,所以,解得,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)的求解,涉及共線向量的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于中等題.7、B【解析】

由,可得,解出即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:因?yàn)椋遥?,解得.是的必要不充分條件.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

先將,化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為,再得到下結(jié)論.【詳解】已知復(fù)數(shù),所以,所以的虛部為-1.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,化簡(jiǎn)得到,再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,可得,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的幾何意義,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,準(zhǔn)確化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系,由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑,結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系,再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍,即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意,畫出幾何關(guān)系如下圖所示:設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為,雙曲線半焦距為,則所以,四邊形的內(nèi)切圓面積為,則,解得,則,即故由基本不等式可得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故焦距的最小值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用,屬于中檔題.11、B【解析】

還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長(zhǎng)方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.12、B【解析】

先根據(jù)角度分析出的大小,然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長(zhǎng)度,再根據(jù)正弦定理計(jì)算出的長(zhǎng)度,最后利用余弦定理求解出的長(zhǎng)度即可.【詳解】由題意可知:,所以,,所以,所以,又因?yàn)?,所以,所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中的角度問(wèn)題,難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、36;1.【解析】

的可能取值為0,1,2,3,對(duì)應(yīng)的排法有:.分別求出,,,,由此能求出.【詳解】解:有2名老師和3名同學(xué),將他們隨機(jī)地排成一行,用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù),則的可能取值為0,1,2,3,對(duì)應(yīng)的排法有:.∴對(duì)應(yīng)的排法有36種;,,,,∴故答案為:36;1.【點(diǎn)睛】本題考查了排列、組合的應(yīng)用,離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.14、②③【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系,依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例,故①不正確;因?yàn)榧滓覂尚5哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成績(jī)的優(yōu)秀率,故甲、乙兩校所有男生成績(jī)的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績(jī)的優(yōu)秀率,故②正確;因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例,故不能確定甲校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率的大小關(guān)系,故③正確.故答案為:②③.【點(diǎn)睛】本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.15、【解析】

作出圖形,設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn),可得出且,進(jìn)而可計(jì)算出的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算,涉及平面向量數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量,考查計(jì)算能力,屬于中等題.16、【解析】

由為假,可知為真,所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,求出的最小值,令即可.【詳解】因?yàn)闉榧伲瑒t其否定為真,即為真,所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,所以.又,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題間的關(guān)系的應(yīng)用,利用參變分離是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)乙同學(xué)正確(2)分布列見(jiàn)解析,【解析】

(1)由已知可得甲不正確,求出樣本中心點(diǎn)代入驗(yàn)證,即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)(1)中得到的回歸方程,求出估值,得到“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù),確定“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的可能值,并求出概率,得到分布列,即可求解.【詳解】(1)已知變量具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系,故甲不正確,,代入兩個(gè)回歸方程,驗(yàn)證乙同學(xué)正確,故回歸方程為:(2)由(1)得到的回歸方程,計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)如下表:“理想數(shù)據(jù)”有3個(gè),故“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的取值為:.,,于是“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)的分布列【點(diǎn)睛】本題考查樣本回歸中心點(diǎn)與線性回歸直線方程關(guān)系,以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)實(shí)地看病的滿意度更高,理由見(jiàn)解析;(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有;(3).【解析】

(1)對(duì)實(shí)地看病滿意度更高,可以從莖葉圖四個(gè)方面選一個(gè)回答即可;(2)先完成列聯(lián)表,再由獨(dú)立性檢驗(yàn)得有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān);(3)利用古典概型的概率公式求得這2人平分都低于90分的概率.【詳解】(1)對(duì)實(shí)地看病滿意度更高,理由如下:(i)由莖葉圖可知:在網(wǎng)絡(luò)看病中,有的患者滿意度評(píng)分低于80分;在實(shí)地看病中,有的患者評(píng)分高于80分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(ii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病滿意度評(píng)分的中位數(shù)為73分,實(shí)地看病評(píng)分的中位數(shù)為87分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(iii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評(píng)分平均分低于80分;實(shí)地看病的滿意度的評(píng)分平均分高于80分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(iV)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評(píng)分在莖6上的最多,關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布;實(shí)地看病的評(píng)分分布在莖8,上的最多,關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布,又兩種看病方式打分的分布區(qū)間相同,故可以認(rèn)為實(shí)地看病評(píng)分比網(wǎng)絡(luò)看病打分更高,因此實(shí)地看病的滿意度更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一一種或其他合理理由均可得分.(2)參加網(wǎng)絡(luò)看病滿意度調(diào)查的15名患者中共有5名對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病滿意,10名對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病不滿意;參加實(shí)地看病滿意度調(diào)查的15名患者中共有10名對(duì)實(shí)地看病滿意,5名對(duì)實(shí)地看病不滿意.故完成列聯(lián)表如下:滿意不滿意總計(jì)網(wǎng)絡(luò)看病51015實(shí)地看病10515總計(jì)151530于是,所以有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān).(3)網(wǎng)絡(luò)看病的評(píng)價(jià)的分?jǐn)?shù)依次為82,85,85,88,92,由小到大分別記為,從網(wǎng)絡(luò)看病的評(píng)價(jià)“滿意”的人中隨機(jī)抽取2人,所有可能情況有:;;;共10種,其中,這2人評(píng)分都低于90分的情況有:;;共6種,故由古典概型公式得這2人評(píng)分都低于90分的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用和獨(dú)立性檢驗(yàn),考查古典概型的概率的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、(1)(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足:,所以當(dāng)時(shí),,即解得或,因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng),所以,因?yàn)椋?,解得或,因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng),所以,當(dāng)時(shí),有,所以,解得,當(dāng)時(shí),,符合所以數(shù)列的通項(xiàng)公式,;(2)因?yàn)?,所以,所以?shù)列的前項(xiàng)和為:,當(dāng)時(shí),有,所以,所以對(duì)于任意,數(shù)列的前項(xiàng)和.20、(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)1.【解析】

(Ⅰ)令,;則.易得,.即可證明;(Ⅱ),分①,②,③當(dāng)時(shí),討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】解:(Ⅰ)令,;則.令,,易得在遞減,在遞增,

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