統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)板塊1命題區(qū)間精講精講10空間幾何體的三視圖表面積體積學(xué)案含解析文

PAGE10-空間幾何體的三視圖、表面積、體積命題點(diǎn)1空間幾何體的三視圖、綻開圖、截面圖三視圖、綻開圖、截面圖中的幾何度量(1)空間幾何體的三視圖：①在長(zhǎng)方體或正方體中依據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖，能快速確定幾何體中線面位置關(guān)系；②依據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等、高平齊”的原則由三視圖確定對(duì)應(yīng)幾何體中的量．(2)空間幾何體表面距離最短問題：其解題思路經(jīng)常是將幾何體綻開．一般地，多面體以棱所在的直線為剪開線綻開，旋轉(zhuǎn)體以母線為剪開線綻開．(3)空間幾何體的三類截面：軸截面、橫截面與斜截面．利用截面圖可將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決．[高考題型全通關(guān)]1．[教材改編]已知圓錐的側(cè)面綻開圖為四分之三個(gè)圓面，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，有以下結(jié)論：①l∶r＝4∶3；②圓錐的側(cè)面積與底面面積之比為4∶3；③圓錐的軸截面是銳角三角形．其中全部正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①②B．②③C．①③D．①②③A[對(duì)于①，由題意得eq\f(2πr,l)＝eq\f(3,2)π，∴eq\f(l,r)＝eq\f(4,3)，∴l(xiāng)∶r＝4∶3，∴該結(jié)論正確；對(duì)于②，由題意得eq\f(S圓錐側(cè)面積,S圓錐底面積)＝eq\f(\f(1,2)·l·2πr,πr2)＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,3)，∴圓錐的側(cè)面積與底面面積之比為4∶3，∴該結(jié)論正確；對(duì)于③，由題意得軸截面的三角形的三邊長(zhǎng)分別為eq\f(4,3)r，eq\f(4,3)r,2r，頂角α最大，其余弦值為cosα＝eq\f(\f(16,9)r2＋\f(16,9)r2－4r2,2×\f(16,9)r2)＝－eq\f(1,8)<0，∴頂角為鈍角，∴軸截面三角形是鈍角三角形，∴該結(jié)論錯(cuò)誤．]2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)(如圖)，用過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，C[過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分后，剩余部分的直觀圖如圖，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為C．故選C．]3.(2024·蕪湖仿真模擬一)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為BD1的中點(diǎn)，則△PAC在該正方體各個(gè)面上的射影可能是(A．①④B．②③C．②④D．①②A[從上下方向上看，△PAC的投影為①圖所示的狀況；從左右方向上看，△PAC的投影為④圖所示的狀況；從前后方向上看，△PAC的投影為④圖所示的狀況，故選A．]4．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()A．E B．FC．G D．HA[該幾何體是兩個(gè)長(zhǎng)方體拼接而成，如圖所示，明顯選A．]5．[高考改編]某四面體的三視圖如圖所示，則該四面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)與最短的棱長(zhǎng)的比值是()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(3,2)D[在棱長(zhǎng)為2的正方體中還原該四面體P-ABC．如圖所示，其中最短的棱為AB和BC，最長(zhǎng)的棱為PC．因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以該四面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)與最短的棱長(zhǎng)的比值為eq\f(3,2)，故選D．]6．圓錐的母線長(zhǎng)為l，過頂點(diǎn)的最大截面的面積為eq\f(1,2)l2，則圓錐底面半徑與母線長(zhǎng)的比eq\f(r,l)的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))D[設(shè)圓錐的高為h，過頂點(diǎn)的截面的頂角為θ，則過頂點(diǎn)的截面的面積S＝eq\f(1,2)l2sinθ，而0＜sinθ≤1，所以當(dāng)sinθ＝1，即截面為等腰直角三角形時(shí)取得最大值，故圓錐的軸截面的頂角必需大于或等于90°，得l＞r≥lcos45°＝eq\f(\r(2),2)l，所以eq\f(\r(2),2)≤eq\f(r,l)＜1.]7．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝eq\r(3)，AA1＝4，若點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身，沿著正三棱柱的表面，經(jīng)過棱A1B1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C1，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路程為()A．5 B．eq\r(31)C．4eq\r(2) D．6B[將三棱柱綻開成如圖的圖形，讓點(diǎn)C1與ABB1A1在同一平面內(nèi)，C1D⊥AB交A1B于Q，則C1Q⊥A1B1，∴A1Q＝AD＝eq\f(\r(3),2)，兩點(diǎn)之間線段最短，故AC1即為所求的最短距離，因?yàn)镃1Q＝A1C1×sin60°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，所以C1D＝eq\f(3,2)＋4＝eq\f(11,2)，AD＝eq\f(\r(3),2)，所以AC1＝eq\r(AD2＋C1D2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))eq\s\up12(2))＝eq\r(31).]命題點(diǎn)2空間幾何體的表面積、體積求解幾何體的表面積或體積的策略(1)干脆法：對(duì)于規(guī)則幾何體可干脆利用公式計(jì)算；(2)割補(bǔ)法：對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采納“分割、補(bǔ)體”的思想，采納化整為零或化零為整求解．(3)軸截面法：對(duì)于旋轉(zhuǎn)體的表面積問題，經(jīng)常借助軸截面求解．(4)等體積轉(zhuǎn)化法：對(duì)于某些動(dòng)態(tài)三棱錐的體積問題，干脆求解不便利時(shí)，可采納轉(zhuǎn)換底面的方式求解；尤其涉及“空間點(diǎn)到平面的距離”問題，常采納等體積轉(zhuǎn)換法求解．[高考題型全通關(guān)]1．(2024·濰坊模擬)若圓錐的高等于底面直徑，側(cè)面積為eq\r(5)π，則該圓錐的體積為()A．eq\f(1,3)πB．eq\f(2,3)πC．2πD．eq\f(16,3)πB[圓錐的高等于底面直徑，側(cè)面積為eq\r(5)π，設(shè)底面半徑為r，則高h(yuǎn)＝2r，∴母線長(zhǎng)l＝eq\r(r2＋4r2)＝eq\r(5)r，∴s＝π×r×eq\r(5)r＝eq\r(5)π，解得r＝1，該圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)π×12×2＝eq\f(2,3)π.故選B．]2．[高考改編]榫卯(sǔnmǎo)是兩個(gè)木構(gòu)件上所采納的一種凹凸結(jié)合的連接方式．凸出部分叫榫，凹進(jìn)去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到連接作用．代表建筑有北京的紫禁城、天壇祈年殿、山西懸空寺等，如圖是一種榫卯構(gòu)件中榫的三視圖，則該榫的表面積和體積為()A．8＋16π，2＋8π B．9＋16π，2＋8πC．8＋16π，4＋8π D．9＋16π，4＋8πA[由三視圖知該榫頭是由上下兩部分構(gòu)成：上方為長(zhǎng)方體(底面為邊長(zhǎng)是1的正方形，高為2)，下方為圓柱(底面圓半徑為2，高為2)．其表面積為圓柱的表面積加上長(zhǎng)方體的側(cè)面積，所以S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π×2))＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×22))＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×2))＝8＋16π.其體積為圓柱與長(zhǎng)方體體積之和，所以V＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π×22))×2＋1×1×2＝8π＋2.故選A．]3.設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，點(diǎn)P，Q分別在側(cè)棱AA1，CC1上，且PA＝QC1，則三棱錐B1-BPQA．eq\f(1,6)V B．eq\f(1,4)VC．eq\f(1,3)V D．eq\f(1,2)VC[設(shè)A到BC的距離為h,∵直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V點(diǎn)P，Q分別在側(cè)棱AA1，CC1上，且PA＝QC1,∴V＝eq\f(1,2)×BC×h×AA1，三棱錐B1-BPQ的體積為：VB1-BPQ＝VP-BB1Q＝eq\f(1,3)×h×eq\f(1,2)BC×AA1＝eq\f(1,3)V.故選C．]4．若正三棱錐A-BCD中，AB⊥AC，且BC＝1，則三棱錐A-BCD的高為()A．eq\f(\r(6),6) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(6),3)A[設(shè)三棱錐A-BCD的高為h.依題意得AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝AC＝AD＝eq\f(\r(2),2)BC＝eq\f(\r(2),2)，△BCD的面積為eq\f(\r(3),4)×12＝eq\f(\r(3),4).由VA-BCD＝VB-ACD得eq\f(1,3)S△BCD·h＝eq\f(1,3)S△ACD·AB，即eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(2),2)，解得h＝eq\f(\r(6),6)，即三棱錐A-BCD的高h(yuǎn)＝eq\f(\r(6),6).]5．已知一個(gè)三棱錐的全部棱長(zhǎng)都是eq\r(2)，則該三棱錐的體積為________．eq\f(1,3)[記全部棱長(zhǎng)都是eq\r(2)的三棱錐為P-ABC，如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，作PO⊥AD于點(diǎn)O，則PO⊥平面ABC，且OP＝eq\f(\r(6),3)×eq\r(2)＝eq\f(2\r(3),3)，故三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·OP＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(1,3).]6.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB11∶eq\r(3)[設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則其表面積為6，三棱錐D1-AB1C為正四面體，每個(gè)面都是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正三角形，其表面積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(3)，所以三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為1∶eq\r(3).]7.如圖，在矩形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，AB＝1，BC＝2，分別以A、D為圓心，1為半徑作圓弧eq\o(EB,\s\up20(︵))、eq\o(EC,\s\up20(︵))(E在線段AD上)．由兩圓弧eq\o(EB,\s\up20(︵))、eq\o(EC,\s\up20(︵))及邊BC所圍成的平面圖形繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積為__________．eq\f(2π,3)[題圖中陰影部分繞AD旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為圓柱去掉兩個(gè)半徑為1的半球，兩個(gè)半球的體積為：2×eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4,3)π.圓柱的底面半徑為1，高為2，∴圓柱的體積為π×12×2＝2π，∴該幾何體的體積為2π－eq\f(4,3)π＝eq\f(2π,3).]8．[高考改編]已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為________cm3.eq\f(7π,3)[依據(jù)三視圖可知幾何體下部是一個(gè)高為1，底面半徑為1的圓錐．上部是一個(gè)高為3的圓柱被一個(gè)斜平面所截后的一部分，底面半徑是1.法一：(分割法)幾何體的體積是eq\f(1,3)×π×12×1＋π×12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)×2))＝eq\f(7π,3).法二：(補(bǔ)體法)幾何體的體積是eq\f(1,3)×π×12×1＋eq\f(1,2)×π×12×(1＋3)＝eq\f(7π,3).]9．用一個(gè)邊長(zhǎng)為2R的正方形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，再用一個(gè)半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓柱與圓錐的體積之比為________．eq\f(16\r(3),π2)[設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，則2πr＝πR，∴r＝eq\f(R,2)，∵R2＝r2＋h2，∴h＝eq\f(\r(3),2)R，∴V圓錐＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)R＝eq\f(\r(3),24)πR3；用一個(gè)邊長(zhǎng)為2R的正方形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，圓柱的體積V圓柱＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,π)))eq\s\up12(2)π×2R＝eq\f(2,π)R3.則該圓柱與圓錐的體積之比為eq\f(\f(2,π)R3,\f(\r(3),24)πR3)＝eq\f(16\r(3),π2).]10.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝1，則當(dāng)E，F(xiàn)移動(dòng)時(shí)，①AE∥平面C1BD；②四面體ACEF的體積不為