2024-2025學(xué)年黑龍江省大慶市高二上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年黑龍江省大慶市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷說明：1.請將答案填涂在答題卡的指定區(qū)域內(nèi).2.滿分150分，考試時間120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)拋物線準(zhǔn)線方程計(jì)算即可求解.【詳解】拋物線準(zhǔn)線方程是，而，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是.故選.2.若雙曲線的一個焦點(diǎn)為，則m等于（）.A. B. C. D.8【正確答案】D【分析】利用可得答案.【詳解】由題意知，，.故選：D.3.以直線恒過的定點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)可得圓心坐標(biāo)，再結(jié)合半徑可得圓的方程.【詳解】由，得，令，則，即直線恒過定點(diǎn)，則圓的方程為，即，故選：D.4.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點(diǎn)上，卡門位于另一個焦點(diǎn)上．已知此橢圓的離心率為，且，則燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門時所經(jīng)過的路程為（）A.9cm B.10cm C.14cm D.18cm【正確答案】A【分析】由題意，結(jié)合橢圓的相關(guān)概念，將問題轉(zhuǎn)化為求，由已知條件離心率，結(jié)合其公式，可得答案.【詳解】設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)榇藱E圓的離心率為，且，所以，，所以，所以根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義得燈絲發(fā)出的光線經(jīng)反射鏡面反射后到達(dá)卡門時所經(jīng)過的路程為．故選：A.5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，若，則的面積為（）A. B. C.3 D.5【正確答案】C【分析】由已知，，結(jié)合，得，進(jìn)而解得，再利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】由橢圓的定義可知，且，因?yàn)椋?，又，故，所以．故選：C6.二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，，則該二面角的大小為（）A.45° B.60° C.90° D.120°【正確答案】B【分析】將向量轉(zhuǎn)化成，然后等式兩邊同時平方表示出向量的模，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出向量與的夾角，即可得出答案．【詳解】解：由條件，知．即，，即，所以二面角的大小為.故選：B．7.在三棱錐中，為的重心，，若交平面于點(diǎn)，且，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】利用空間向量的四點(diǎn)共面的定理，得出系數(shù)的關(guān)系，再借助基本不等式求出最小值.【詳解】∵，∴．∵，∴．∵四點(diǎn)共面，∴，即．∵，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴的最小值為1．故選：C8.已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，A，B是橢圓C上的兩點(diǎn)．若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)，結(jié)合題意可得，根據(jù)橢圓定義整理可得，根據(jù)向量關(guān)系可得∥，且，同理結(jié)合橢圓定義可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】由題意可知：，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，可得，由橢圓定義可知：，即，整理可得；又因?yàn)?，則∥，且，則，可得，由橢圓定義可知：BF1+整理可得；即，可得，所以橢圓C的離心率.故選：B.方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率(離心率范圍)的求法求橢圓的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若，則（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上，對每個選項(xiàng)逐一求解即可.【詳解】對：由題意可知，由，可得，故A正確；對B：當(dāng)x=2時，，解得，即，故B錯誤；對C：，故C錯誤；對D：，故D正確；故選：AD.10.下列說法錯誤的是（）A.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B.直線的傾斜角的取值范圍是C.過兩點(diǎn)的所有直線，其方程均可寫為D.已知，若直線與線段有公共點(diǎn)，則【正確答案】ACD【分析】根據(jù)兩直線垂直的判斷方法依次判斷充分性和必要性可知A錯誤；由直線斜率和傾斜角關(guān)系可求得B正確；根據(jù)直線兩點(diǎn)式方程無法表示的直線可知C錯誤；求得所過定點(diǎn)后，由兩點(diǎn)連線斜率公式可求得臨界狀態(tài)，結(jié)合圖象可確定D錯誤.【詳解】對于A，當(dāng)時，兩直線分別為和，此時兩直線垂直，充分性成立；若兩直線垂直，則，解得：或，必要性不成立；“”是“直線與直線互相垂直”充分不必要條件，A錯誤；對于B，由直線得：，直線的斜率，即，又，，B正確；對于C，平行于坐標(biāo)軸的直線，即或時，直線方程不能寫為，C錯誤；對于D，由得：，直線恒過定點(diǎn)；，，結(jié)合圖象可知：，，D錯誤.故選：ACD.11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是雙曲線C的右支上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與雙曲線C的兩條漸近線交于M，N，則（）A.的最小值為8B.若直線l經(jīng)過，且與雙曲線C交于另一點(diǎn)Q，則的最小值為6C.為定值D.若直線l與雙曲線C相切，則點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)之積為【正確答案】ACD【分析】設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，直接計(jì)算可判斷A、C；比較雙曲線的通徑長和實(shí)軸長可判斷B；設(shè)出直線l的方程后聯(lián)立漸近線方程，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線l與雙曲線方程，利用判別式為零可得參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)之積可得結(jié)果.【詳解】依題意，，，，，，設(shè)，則，，即，雙曲線C的兩條漸近線方程為，對于A，，A正確；對于B，若Q在雙曲線C的右支，則通徑最短，通徑為，若Q在雙曲線C的左支，則實(shí)軸最短，實(shí)軸長為，B錯誤；對于C，是定值，C正確；對于D，不妨設(shè)，，直線l的方程為，由得，若直線l與雙曲線C相切，則，化簡整理得，則點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)之積，D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則線段的長為__________.【正確答案】【分析】以勾股定理即可求得線段的長.【詳解】圓的圓心，半徑則則故13.已知橢圓：的離心率為，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，的最大值為．設(shè)點(diǎn)，則的最小值為______．【正確答案】##【分析】首先根據(jù)題目條件求出和，然后根據(jù)橢圓定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換，求出的最小值.【詳解】設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意，得，，所以，．設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以．故．14.已知直四棱柱，，底面是邊長為1的菱形，且，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)H是棱上的動點(diǎn).則直線與直線所成角的正切值的最小值為__________.【正確答案】【分析】利用直四棱柱的特征建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算線線夾角，結(jié)合函數(shù)值域的求法計(jì)算最值即可.【詳解】連接上、下底面的對角線，交點(diǎn)分別為，根據(jù)題意易知兩兩垂直，故可建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，所以，，設(shè)直線與直線所成角為，則，令λ+122顯然時，不符合題意，則，要使兩直線夾角正切最小，即使其夾角余弦最大，即時，此時，所以.故答案為.方法點(diǎn)睛：異面直線夾角常通過平移直線形成共面直線計(jì)算夾角，本題可通過幾何法確定線面關(guān)系，思維量大，計(jì)算量??；也可通過直接建系利用空間向量計(jì)算，思維量小，計(jì)算量大.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知直線與直線．（1）若，求m的值；（2）若點(diǎn)在直線上，直線過點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）由題意可知，所以可得，從而可求出m的值；（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程中，求出m的值，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)出直線方程，利用兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，列方程可求出直線方程【小問1詳解】因?yàn)?，所以，且，由，得，解得或（舍去）所?【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以設(shè)直線的方程為（），令，則，令，則，因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，所以，解得或，所以直線的方程為或.16.已知橢圓長軸長為4，且橢圓離心率，其左右焦點(diǎn)分別為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)斜率為且過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由橢圓的基本性質(zhì)得到橢圓的值，寫出橢圓方程.（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理得到和，用交點(diǎn)弦長公式得到線段長，由點(diǎn)到直線距離得到三角形高，從而算出三角形面積.【小問1詳解】由題意可知：，則，∵，∴，∴，∴橢圓【小問2詳解】，∴直線：，聯(lián)立方程組得,設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離∴17.如圖，三棱臺中，是正三角形，平面ABC，，M，N分別為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先應(yīng)用線面垂直判定定理得出平面再應(yīng)用線面垂直性質(zhì)得出線線垂直，即可證明線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用空間向量法求線面角正弦值即可.【小問1詳解】因?yàn)槭钦切?，M為AB中點(diǎn)，所以CM⊥AB，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，所以，又平面所以平面又因?yàn)槠矫?，所以，連接，易得，所以，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面，所以平?【小問2詳解】取AC中點(diǎn)O，連接，易知三條直線兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由（1）知平面的一個法向量為，又，所以，所以直線與平面所成的角的正弦值為．18.已知雙曲線：離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程．（2）若，試問：是否存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上？若存在求出直線l的方程；若不存在，說明理由．（3）點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．【正確答案】（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列式求，進(jìn)而可得雙曲線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理判斷是否為零即可；（3）用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線，得點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，結(jié)合韋達(dá)定理，證明為定值．【小問1詳解】由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為．【小問2詳解】雙曲線的左焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)，由，消去得，顯然，，設(shè)Ax1,y1于是，，即，因此與不垂直，所以不存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上．【小問3詳解】由直線，得，則，又，于是，而，即有，且，所以，即為定值．方法點(diǎn)睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚侔岩C明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．19.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比，是一個常數(shù)，那么動點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知動點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過右焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓相交于，（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩點(diǎn)，平分，平分．①求的取值范圍；②將點(diǎn)、、看作一個阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若外接圓的面積為，求直線的方程．【正確答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得橢圓方程，方法2，利用定義整理得，再根據(jù)條件列式求得橢圓方程；方法3，利用定義進(jìn)行整理，由為常數(shù)，求得系數(shù)，得到橢圓方程；（2）①首先由面積比值求得，令，則，利用坐標(biāo)表示向量，求得，再求范圍；②由阿波羅尼斯圓定義知，，，在以，為定點(diǎn)得阿波羅尼斯圓上，由幾何關(guān)系列式得，求得，再根據(jù)，求得，即可計(jì)算直線方程.【詳解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得∴，，橢圓的方程為方法（2）設(shè)，由題意（常數(shù)），整理得：，故，又，解得：，．∴，橢圓