2023年福建省中考數(shù)學真題及答案

數(shù)學試題

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的.

1.下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.-1B.OC.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】有理數(shù)比較大小的法則：正數(shù)大于負數(shù)，正數(shù)大于0,兩個負數(shù)中絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即

可.

【詳解】解：正數(shù)大于0,正數(shù)大于負數(shù)，且2>1，所以一1、0、1、2中最大的實數(shù)是2.

故選：D

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，熟練掌握其方法是解題的關鍵.

2.下圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）

/I視方向

【解析】

【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖即可解答.

【詳解】解：從上面看下邊是一個矩形，矩形的上邊是一個圓，

故選：D.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，掌握從上面看得到的圖形是俯視圖是解答本題的關鍵.

3.若某三角形的三邊長分別為3,4,加，則機的值可以是（）

A.1B.5C.7D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角形的三邊關系求解即可.

【詳解】解?：由題意，得4一3＜根＜4+3,即1＜機＜7,

故加的值可選5,

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解答的關鍵.

4.黨的二十大報告指出，我國建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及

水平實現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險覆蓋十億四千萬人，基本醫(yī)療保險參保應穩(wěn)定在百分之九十五、將數(shù)

據(jù)104)000000用科學記數(shù)法表示為()

A.104xl07B.IO.4xlO8C.1.04xl09D.0.104x10'°

【答案】C

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axlO”的形式，其中〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)

變成。時.，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：1040000000=1.04x1()9,

故選：C.

【點睛】此題主要考查了科學記數(shù)法表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為ax10”的形式，其中

〃為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定〃的值以及〃的值.

5.下列計算正確的是()

A.=。6B,4-a2=a3C.a3a4=a]2D.a2-a=a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)轅的乘方法、同底數(shù)轅的除法法則、同底數(shù)事的乘法以及合并同類項逐項判斷即可.

【詳解】解：A.(^2)3=a2x3=a6,故A選項計算正確，符合題意；

2624

B.a^a=a-=af故B選項計算錯誤，不合題意；

343+47

C.a.a=a=a,故C選項計算錯誤，不合題意；

D./與一。不是同類項，所以不能合并，故D選項計算錯誤，不合題意.

故選：A.

【點睛】本題主要考瓷問底數(shù)騫的乘除運算、騫的乘方運算以及整式的加減運算等知識點，問底數(shù)塞相乘，

底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

6.根據(jù)福建省統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為

53109.85億元.設這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為％根據(jù)題意可列方程()

A.43903.89(1+x)=53109.85B.43903.89(1+x)2=53109.85

C.43903.89f=53109.85D.43903.89(1+x2)=53109.85

【答案】B

【解析】

【分析】設這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為K根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解.

【詳解】設這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為人根據(jù)題意可列方程

43903.89(1+x)2=53109.85,

故選：B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關鍵.

7.閱讀以下作圖步驟：

①在04和08上分別截取OCOO,使。。=8：

②分別以為圓心，以大于'CD的長為半徑作弧，兩弧在N4O8內(nèi)交于點M；

2

③作射線。歷，連接如圖所示.

根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結論是()

B.N1=N3且。/=。加

N2且。。=。加D.N2=/3且=

【答案】A

【解析】

【分析】由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,再結合=可得&COM也DQM（SSS）,由

全等三角形的性質可得Zl=Z2即可解答.

【詳解】解：由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,

?:DM=DM,

???ACOM—ZXMSSS）.

???Z1=Z2.

；?A選項符合題意；

不能確定OC=CM，則Zl=N3不一定成立，故B選項不符合題意；

不能確定OD=DM，故C選項不符合題意，

QO〃CM不一定成立，則12=N3不一定成立，故D選項不符合題意.

故選A.

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質等知識點，理解尺規(guī)作圖過程是

解答本題的關鍵.

8.為貫徹落實教育部辦公廳關于“保障學生每天校內(nèi)、校外各1小時體育活動時間”的要求，學校要求學

生每天堅持體育鍛煉.小亮記錄了自己一周內(nèi)每天校外鍛煉的時間（單位：分鐘），并制作了如圖所示的

統(tǒng)計圖.

根據(jù)統(tǒng)計圖，下列關于小亮該周每天校外鍛煉時間的描述，正確的是（）

A.平均數(shù)為70分鐘B.眾數(shù)為67分鐘C.中位數(shù)為67分鐘D.方差為0

【答案】B

【解析】

【分析】分別求出平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，即可進行判斷.

【詳解】解：A.平均數(shù)為6*7X2+7；+7”67+88=73（分鐘），故選項錯誤，不符合題意;

B.在7個數(shù)據(jù)中，67出現(xiàn)的次數(shù)最多，為2次，則眾數(shù)為67分鐘，故選項王確，符合題意；

C.7個數(shù)據(jù)按照從小到大排列為:65,67,67,70,75,79,88,中位數(shù)是70分鐘，故選項錯誤，不符合題

意；

e…乂65+67x2+70+75+79+88.

D.平均數(shù)為---------------------------=73,

方差為（65-73）2+（67-7362+（70-73）2+（75-73）2+（79-73）2+（88-73）2=410.故選項錯

77

誤，不符合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，熟練掌握各量的求解方法是解題的關鍵.

9.如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)丁=3和》=巴的圖象的四個分支上，則實數(shù)〃的值為

xx

（）

【答案】A

【解析】

3

【分析】如圖所示，點3在丁=—上，證明?AOCgAOM,根據(jù)&的幾何意義即可求解.

x

【詳解】解：如圖所不，連接止方形的對角線，過點AB分別作x軸的垂線，垂足分別為CD,點B在

'：OB=OA,ZAOB=ZBDO=ZACO=9（）°,

???ZCAO=90°一ZAOC=ZBOD.

A：.AOC^MBD.

???A點在第二象限，

n=—3.

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質，反比例函數(shù)的七的幾何意義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

10.我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼

近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所

失矣”.“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率萬的近似值為3.1416.如圖，OO的

oa

半徑為1,運用“割圓術”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計。。的面積，可得%的估計值為土，若用

2

圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得）的估計值為（）

A.73B.2&C.3D.2>/3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質可得448-30°,根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得

BC=~,根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解.

2

【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為

30°,設圓的半徑為1,如圖為其中一個等腰三角形。43,過點B作8C_LQ4交04于點于點C,

'：ZAO6=30°,

???BC=-OB=-f

22

…1.11

=2XX2=4,

故正十二邊形的面積為12S.QAB=12x1=3,

圓的面積為乃xlxl=3,

用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計。。的面積可得萬=3,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓

的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關鍵.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.某倉庫記賬員為方便記賬，將進貨10件記作十10,那么出貨5件應記作.

【答案】-5

【解析】

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.

【詳解】解：???“正”和“負”相對，

???進貨10件記作+10,那么出貨5件應記作-5.

故答案為：—5.

【點睛】本題主要考查了正數(shù)和負數(shù)，理解“正"和“負''的相對性，確定一對具有相反意義的量是解題關

鍵.

12.如圖，在YA8CD中，。為3力的中點，放過點。且分別交ARCO于點￡尸.若4石=10,則

C/7的長為.

【答案】10

【解析】

【分析】由平行四邊形的性質可得。氏。C=AB即NOH>=NOEB,NOD/=N￡BO,再結合

OD=OB可得△DO9絲△3。石(AAS)可得DF=EB，最進一步說明FC=AE=10即可解答.

【詳解】解：???ABC。中,

.?.DC〃AB,DC=AB,

??.ZOFD=NOEB,ZODF=NEBO,

?：OD=OB,

???ZXDOF/△BOE(AAS),

:?DF=EB，

。。一。尸=48-8后，即FC=A￡=10.

故答案：10.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質等知識點，證明三角形全等是解答

本題的關鍵.

13.如圖，在菱形ABC。中，A3=10,ZB=60°,則AC的長為.

【答案】10

【解析】

【分析】由菱形A5CO中，NBW0。，易證得u$C是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質即可得解.

【詳解】解：,??四邊形ABC。是菱形，

；?AB=BC=iO,

,/13=60。，

???JBC是等邊三角形，

???AC=10.

故答案為：10.

【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，熟記菱形的性質并推出等邊三角形是解題的

關鍵.

14.某公司欲招聘一名職員.對甲、乙、丙三名應聘者進行了綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達等三方面

測試，他們的各項成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

綜合知識工作經(jīng)驗語言表達

漏臬

甲758080

乙858070

丙707870

如果將每位應聘者的綜合知識、工作經(jīng)驗、語言表達的成績按5:2:3的比例計算其總成績，并錄用總成績

最高的應聘者，則被錄用的是.

【答案】乙

【解析】

【分析】分別計算甲、乙、丙三名應聘者的成績的加權平均數(shù)，比較大小即可求解.

-523

【詳解】解：x甲=75x—+80x—+80x—=77.5,

101010

523

A：Z.=85X—+80x—+70x—=79.5,

101010

-523

x丙=70x—+78x—+70x—=71.6,

101010

V71.6<77.5<79.5

???被錄用的是乙，

故答案為：乙.

【點睛】本題考查了加權平均數(shù)，熟練掌握加權平均數(shù)的計算方法是解題的關鍵.

15.已知一十二=1,且。工一6,則竺」的值為___________.

aba+b

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)一+—=I可得〃+勿=出?，即出?一〃=〃+〃，然后將出?一〃=力+〃整體代入----;計算即

aba+h

可.

【詳解】解：?=1

ab

???如網(wǎng)=1,

ab

:?b+2a=ab,即出?一。=〃+。.

ab-aa+b,

..-------=-------=1.

a+ba+b

【點睛】本題主要考查了分式的加減運算，根據(jù)分式的加減運算法則得到是解答本題的關

鍵.

16.已知拋物線y=o？-2or+伙。>0）經(jīng)過4（2〃+3,凹）,3（〃-1,%）兩點，若A3分別位于拋物線對

稱軸的兩側，且yv%，則〃的取值范圍是.

【答案】一1<〃<0

【解析】

【分析】根據(jù)題意，可得拋物線對稱軸為直線x=l,開口向上，根據(jù)已知條件得出點A在對稱軸的右側,

且巧<當，進而得出不等式，解不等式即可求解.

【詳解】解：：y"or?-2”+6,〃>0

???拋物線的對稱軸為直線冗=-0=1，開口向上，

2a

IA（2〃+3,y）,8（〃—1,%）分別位于拋物線對稱軸的兩側,

假設點B在對稱軸的右側，則〃一1>1,解得〃>2,

:.2〃+3-（〃-1）=〃+4>0

???A點在8點的右側，與假設矛盾，則點A在對稱軸的右側，

2?+3>1

n-1<1

解得：-l<w<2

又?:<y2，

A|（2n+3）-l|<|l-（H-l）|

2〃+2V2—n.

解得：72<O

；?—1<A2<0,

故答案為：

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算：>/9-2°+|-1|.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)算術平方根，絕對值，零指數(shù)累，有理數(shù)的混合運算法則計算即可.

【詳解】解：原式=3-1+1

=3.

【點睛】本題考查了算術平方根，絕對值，零指數(shù)暴，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握以上運算法則是解題

的關鍵.

'2x+l<3,①

18.解不等式組：x1—3x八否

-+----<1.?

124

【答案】-3<x<l

【解析】

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不

到確定不等式組的解集.

2x+l<3,0

【詳解】解：x>3x八臺

-+----<1.?

124

解不等式①，得x<l.

解不等式②，得xN—3.

所以原不等式組的解集為-3<x<1.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵.

19.如圖，OA=OC,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求證：AB=CD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件得出NAQB=NCO￡>,進而證明如會△。切，根據(jù)全等三角形的性質即可得

證.

【詳解】證明：-ZAOD=/COB,

/.ZAOD-/BOD=Z.COB-NBOD,

即ZAOB=ZCOD.

在dOB和△C。。中，

0A=0C,

</AOB=/COD,

OB=OD,

；gA0BgCOD

:.AB=CD.

【點睛】本小題考查等式的基本性質、全等三角形的判定與性質等基礎知識，考查幾何直觀、推理能力

等，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵.

20.先化簡，再求值：+其中工二夜一1?

【答案】一一I，一也

x+12

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的混合運算法則化簡，然后再將x二血-1代入計算即可解答.

【詳解】解：fi--

x-(x+l)x(x-l)

~(x+l)(x-l)

x+1

當1r=—1時，

原式二-----i—V2

2

【點睛】本題主要考查了分式的基本性質及其運算、分母有理化，正確的化簡分式是解答本題的關鍵.

21.如圖，己知"WC內(nèi)接于OO,CO的延長線交4B于點。，交0O于點E，交。。的切線A尸于點

F,且A/〃3c.

（1）求證：AO//BE；

（2）求證：AO平分NBAC.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）由切線的性質可得ZOAF=90。，由圓周角定理可得ZCBE=90°,即ZOAF=NCBE=90°,

再根據(jù)平行線的性質可得/胡尸=445。，則根據(jù)角的和差可得NQ48=NABE,最后根據(jù)平行線的判

定定理即可解答；

（2）由圓周角定理可得NA5E=NACE,再由等腰三角形的性質可得NACf=NQ4C,進而得到

ZABE=NQ4C,再結合ZOAB=ZABE得到/OAB=ZOAC即可證明結論.

【小問1詳解】

證明〈AF是。。的切線，

.?.4尸_1_04,即NQ4尸=90°.

???CE是OO的直徑，

/.ZCBE=90°.

:.AOAF=ZCBE=90°.

vAF〃BC,

NBAF=NABC,

;.NOAF-NBAF=NCBE-ZABC,3PZOAB=ZABE,

:.AO//BE.

【小問2詳解】

解：ZABE與ZACE都是舛后所對的圓周角,

FA

.\ZABE=ZACE.

?：OA=OC,

ZACE=ZOAC,

.\ZABE=ZOAC.

由（1）知NQ4B=NABE,

..NO4B=NCHC,

.?.40平分/84C.

【點睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質、圓周角定理、切線的性質等知識點，靈活運用相

關性質定理是解答本題的關鍵.

22.為促進消費，助力經(jīng)濟發(fā)展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動.活動

規(guī)定：凡在商場消費一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機會.抽獎方案如人：從裝有大小質地完全相同

的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品：若

摸得黃球，則不中獎.同時，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃

球（它們的大小質地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨

機摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份.現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機會.

（1）求該顧客首次摸球中獎的概率；

（2）假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機會獲得精美禮品，他應往袋中加入哪種顏色的球？說明

你的理由

【答案】（1）-

4

（2）應往袋中加入黃球，見解析

【解析】

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）根據(jù)列表法求分別求得加入黃球和紅球概率即可求解.

【小問1詳解】

解：顧客首次摸球的所有可能結果為紅，黃①，黃②，黃③，共4種等可能的結果.

記“首次摸得紅球”為事件A,則事件A發(fā)生的結果只有1種，

所以戶（A）=；,所以顧客首次摸球中獎的概率為1.

【小問2詳解】

他應往袋中加入黃球.

理由如下：

記往袋中加入的球為“新”，摸得的兩球所有可能的結果列表如下：

第*紅黃①黃②黃③新

紅紅，黃①紅，黃②紅，黃③紅，新

黃①黃①，紅黃①，黃②黃①，黃③黃①，新

黃②黃②，紅黃②，黃①黃②，黃③黃②，新

黃③黃③，紅黃③，黃①黃③，黃②黃③，新

新新，紅新，黃①新，黃②新，黃③

共有20種等可能結果.

（i）若往袋中加入的是紅球，兩球顏色相同的結果共有8種，此時該顧客獲得精美禮品的概率

n82

,205

（ii）若往袋中加入的是黃球，兩球顏色相同的結果共有12種，此時該顧客獲得精美禮品的概率

123

Kn=-=—；

2205

因為不＜W，所以《＜乙，所作他應往袋中加入黃球.

【點睛】本小題考查簡單隨機事件的概率等基礎知識，考查抽象能力、運算能力、推理能力、應用意識、

創(chuàng)新意識等，考查統(tǒng)計與概率思想、模型觀念，熟練掌握概率公式是解題的關鍵.

23.閱讀下列材料，回答問題

任務：測量?一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠大于南北走向的最大寬

度，如圖1.

工具；一把皮尺（測量長度略小于A3）和一臺測角儀，如圖2.皮尺的功能是宜接測量任意可到達的

兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；

測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點。處，對其視線可及的P,。兩點，可測得NPOQ的大

小，如圖3.

圖1圖2圖3圖4

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度AB，其測量及求解過程如下：測量過程：

（i）在小水池外選點C,如圖4,測得AC=am,BC=bm；

（ii）分別在AC,BC,上測得CM=2/n,CN.m；測得MN=cm.求解過程:

33

由測量知，AC=a,BC=b,CM=巴,CN=一，

33

,CM_CN_1

??一——,?CD________,

CACB3

MN1

:.Z\CMNs^CAB、：.---=

AB3

又vMN=c,???AB:②（m）.

故小水池的最大寬度為m.

（1）補全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；

（2）小明求得AB用到的幾何知識是;

（3）小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾

何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度A8,寫出你的測量及求解過程.要求：測量得到

的長度用字母”，b,CL表示，角度用a,0，/L表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求

出A8,且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）.

【答案】（1）①NC=NC；②3c

（2）相似三角形的判定與性質

（3）最大寬度為（acosa十竺學］m,見解析

Itan夕）

【解析】

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定和性質求解即可；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質進行回答即可；

(3)測量過程：在小水池外選點C,用測角儀在點8處測得NABC=a,在點A處測得=

用皮尺測得8C=m；

求解過程：過點C作C￡>_LA5,垂足為O,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推得BE>=/2sa,

CD=as\na.AD=-----,根據(jù)=班>+AD，即可求得.

tan/7

【小問1詳解】

VAC=a,BC=b,CM=~,CN=-

33f

.CMCN1

??----=----=一,

CACB3

又???zc=zc,

???ACMNs^CAB,

MN1

?*?----=一?

AB3

又,：MN=c,

:.AB=3c(m).

故小水池的最大寬度為3cm.

【小問2詳解】

根據(jù)相似三角形的判定和性質求得AB=3MN=3c,

故答案為：相似三角形的判定與性質.

【小問3詳解】

測量過程：

(i)在小水池外選點C,如圖，用測角儀在點8處測得NABC=a,在點A處測得N8AC=〃；

(ii)用皮尺測得8C=〃m.

求解過程：

由測量知，在"8C中，ZABC=a,4BAC=0,BC=a.

過點C作。垂足為O.

RD

在RtZ\C3￡>中，cos/CBD=—,

BC

BD

即cosa=——，所以B￡>=dcosa.

a

同理，CD=asina.

CD

在RtAACD中，tanZCXD=——,

AD

石asintzasma

a即ntan4=-----所以4。二

tan/^

f…asm。/、

所以AB=BD+AD=acosa+-----（m）.

tan/7/

故小水池的最大寬度為（〃cosa+絲1

Itan夕J

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形的實際應用，杈據(jù)題意畫出幾何圖形，建立

數(shù)學模型是解題的關鍵.

24.已知拋物線丁二加+法+3交x軸于A（l,0）,3（3,0）兩點，M為拋物線的頂點，C。為拋物線上不

與AB重合的相異兩點，記A8中點為E,直線的交點為P.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

/、（3、

（2）若C（4,3）,。w,--,且“<2,求證：C,￡）,E三點共線；

（3）小明研究發(fā)現(xiàn)：無論G。在拋物線上如何運動，只要C,D,E三點共線，/\AMP,/\MEP,AABP

中必存在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由.

【答案】（1）y=x2-4x+3

（2）見解析（3）4ABp面積為定值，其面積為2

【解析】

【分析】（1）將A（l,0）,8（3,0）代入》=公：2+笈+3,即可解得；

（2）4（1,0）,5（3,0）,4B中點為E，且。（4,3）,可求出過C,E兩點所在直線的一次函數(shù)表達式

3(33}3

y=-x-3,。為拋物線上的一點，所以。,此點在》二一了一3,可證得CO,E三點共線；

2U4J2

(3)設。,。'與0,C'分別關于直線EM對稱，則P,P關于直線對稱，且上，0與"1A/P的面積

不相等，所以4AMp的面積不為定值；如圖，當C,。分別運動到點G，A的位置，且保持G，O，E三點

共線.此時與8G的交點4到直線E"的距離小于2到直線的距離，所以AM3的面積小于

(7、

△MEP的面積，故△MEP的面積不為定值；故-A8尸的面積為定值，由(2)求出尸-,-2,此時

/

A5P的面積為2.

【小問1詳解】

解：因為拋物線y=o?+法+3經(jīng)過點4(1,0),8(3,0)，

。+8+3=0,

所以W

[9a+3b+3=0.

<7=1,

解得11.

Z?=-4.

所以拋物線的函數(shù)表達式為y=f-4x+3；

【小問2詳解】

解：

設直線C片對應的函數(shù)表達式為y=依+"(女工0),

因為E為中點，所以E(2,0).

1r*4->7=qa--

又因為C（4,3）,所以一；，解得《2,

[n=-3

3

所以直線CE對應的函數(shù)表達式為y=-x-3.

因為點0（加,一1）在拋物線上，所以/??一4機+3=-：.

35

解得，6=—或加=—.

22

3

又因為陽<2,所以加二一.

2

所以嗚w

333,33、

因為一x——3=—,即。二,一二滿足直線CE對應的函數(shù)表達式，所以點O在直線CE上，即

224124）

C,2E三點共線；

【小問3詳解】

解：工452的面積為定值，其面積為2.

理由如下：（考生不必寫出下列理由）

如圖1,當C。分別運動到點的位置時，G。'與2c'分別關于直線應0對稱，此時仍有

C',O',E三點共線.設A￡T與5C的交點為尸'，則尸,尸'關于直線EM對稱，即PP〃x軸.此時,

PP與AM不平行，且AM不平分線段PP，故P,P到直線AM的距離不相等，即在此情形下

..AMP與AAMP的面積不相等，所以?AMP的面積不為定值.

如圖2,當C。分別運動到點G，A的位置，且保持C1,三點共線.此時AR與8G的交點A到直

線的距離小于P到直線的距離，所以△加石匕的面積小于2版尸的面積，故△JWEP的面積不

為定值.

又因為尸中存在面積為定值的三角形，故&A5P的面積為定值.

在（2）的條件下，直