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文檔簡(jiǎn)介
數(shù)學(xué)試題
一、選擇題:本題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一
項(xiàng)是符合要求的.
1.下列實(shí)數(shù)中,最大的數(shù)是()
A.-1B.OC.1D.2
【答案】D
【解析】
【分析】有理數(shù)比較大小的法則:正數(shù)大于負(fù)數(shù),正數(shù)大于0,兩個(gè)負(fù)數(shù)中絕對(duì)值大的反而小,據(jù)此判斷即
可.
【詳解】解:正數(shù)大于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù),且2>1,所以一1、0、1、2中最大的實(shí)數(shù)是2.
故選:D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)比較大小,熟練掌握其方法是解題的關(guān)鍵.
2.下圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱組成的幾何體,它的俯視圖是()
/I視方向
【解析】
【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖即可解答.
【詳解】解:從上面看下邊是一個(gè)矩形,矩形的上邊是一個(gè)圓,
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖,掌握從上面看得到的圖形是俯視圖是解答本題的關(guān)鍵.
3.若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,加,則機(jī)的值可以是()
A.1B.5C.7D.9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解即可.
【詳解】解?:由題意,得4一3<根<4+3,即1<機(jī)<7,
故加的值可選5,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系,熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解答的關(guān)鍵.
4.黨的二十大報(bào)告指出,我國(guó)建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會(huì)保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系,教育普及
水平實(shí)現(xiàn)歷史性跨越,基本養(yǎng)老保險(xiǎn)覆蓋十億四千萬人,基本醫(yī)療保險(xiǎn)參保應(yīng)穩(wěn)定在百分之九十五、將數(shù)
據(jù)104)000000用科學(xué)記數(shù)法表示為()
A.104xl07B.IO.4xlO8C.1.04xl09D.0.104x10'°
【答案】C
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO”的形式,其中〃為整數(shù).確定〃的值時(shí),要看把原數(shù)
變成。時(shí).,小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.
【詳解】解:1040000000=1.04x1()9,
故選:C.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10”的形式,其中
〃為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定〃的值以及〃的值.
5.下列計(jì)算正確的是()
A.=。6B,4-a2=a3C.a3a4=a]2D.a2-a=a
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)轅的乘方法、同底數(shù)轅的除法法則、同底數(shù)事的乘法以及合并同類項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】解:A.(^2)3=a2x3=a6,故A選項(xiàng)計(jì)算正確,符合題意;
2624
B.a^a=a-=af故B選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤,不合題意;
343+47
C.a.a=a=a,故C選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤,不合題意;
D./與一。不是同類項(xiàng),所以不能合并,故D選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤,不合題意.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題主要考瓷問底數(shù)騫的乘除運(yùn)算、騫的乘方運(yùn)算以及整式的加減運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn),問底數(shù)塞相乘,
底數(shù)不變,指數(shù)相加;同底數(shù)幕相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減;幕的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.
6.根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù),福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元,2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為
53109.85億元.設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為%根據(jù)題意可列方程()
A.43903.89(1+x)=53109.85B.43903.89(1+x)2=53109.85
C.43903.89f=53109.85D.43903.89(1+x2)=53109.85
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為K根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解.
【詳解】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為人根據(jù)題意可列方程
43903.89(1+x)2=53109.85,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.
7.閱讀以下作圖步驟:
①在04和08上分別截取OCOO,使。。=8:
②分別以為圓心,以大于'CD的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在N4O8內(nèi)交于點(diǎn)M;
2
③作射線。歷,連接如圖所示.
根據(jù)以上作圖,一定可以推得的結(jié)論是()
B.N1=N3且。/=。加
N2且。。=。加D.N2=/3且=
【答案】A
【解析】
【分析】由作圖過程可得:OD=OC,CM=DM,再結(jié)合=可得&COM也DQM(SSS),由
全等三角形的性質(zhì)可得Zl=Z2即可解答.
【詳解】解:由作圖過程可得:OD=OC,CM=DM,
?:DM=DM,
???ACOM—ZXMSSS).
???Z1=Z2.
;?A選項(xiàng)符合題意;
不能確定OC=CM,則Zl=N3不一定成立,故B選項(xiàng)不符合題意;
不能確定OD=DM,故C選項(xiàng)不符合題意,
QO〃CM不一定成立,則12=N3不一定成立,故D選項(xiàng)不符合題意.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),理解尺規(guī)作圖過程是
解答本題的關(guān)鍵.
8.為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各1小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間”的要求,學(xué)校要求學(xué)
生每天堅(jiān)持體育鍛煉.小亮記錄了自己一周內(nèi)每天校外鍛煉的時(shí)間(單位:分鐘),并制作了如圖所示的
統(tǒng)計(jì)圖.
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,下列關(guān)于小亮該周每天校外鍛煉時(shí)間的描述,正確的是()
A.平均數(shù)為70分鐘B.眾數(shù)為67分鐘C.中位數(shù)為67分鐘D.方差為0
【答案】B
【解析】
【分析】分別求出平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差,即可進(jìn)行判斷.
【詳解】解:A.平均數(shù)為6*7X2+7;+7”67+88=73(分鐘),故選項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題意;
B.在7個(gè)數(shù)據(jù)中,67出現(xiàn)的次數(shù)最多,為2次,則眾數(shù)為67分鐘,故選項(xiàng)王確,符合題意;
C.7個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列為:65,67,67,70,75,79,88,中位數(shù)是70分鐘,故選項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題
意;
e…乂65+67x2+70+75+79+88.
D.平均數(shù)為---------------------------=73,
方差為(65-73)2+(67-7362+(70-73)2+(75-73)2+(79-73)2+(88-73)2=410.故選項(xiàng)錯(cuò)
77
誤,不符合題意.
故選:B.
【點(diǎn)睛】此題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差,熟練掌握各量的求解方法是解題的關(guān)鍵.
9.如圖,正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別位于兩個(gè)反比例函數(shù)丁=3和》=巴的圖象的四個(gè)分支上,則實(shí)數(shù)〃的值為
xx
()
【答案】A
【解析】
3
【分析】如圖所示,點(diǎn)3在丁=—上,證明?AOCgAOM,根據(jù)&的幾何意義即可求解.
x
【詳解】解:如圖所不,連接止方形的對(duì)角線,過點(diǎn)AB分別作x軸的垂線,垂足分別為CD,點(diǎn)B在
':OB=OA,ZAOB=ZBDO=ZACO=9()°,
???ZCAO=90°一ZAOC=ZBOD.
A:.AOC^MBD.
???A點(diǎn)在第二象限,
n=—3.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),反比例函數(shù)的七的幾何意義,熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
10.我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”,即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼
近圓的方法來近似估算,指出“割之彌細(xì),所失彌少.割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所
失矣”.“割圓術(shù)”孕育了微積分思想,他用這種思想得到了圓周率萬的近似值為3.1416.如圖,OO的
oa
半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”,以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)。。的面積,可得%的估計(jì)值為土,若用
2
圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì),可得)的估計(jì)值為()
A.73B.2&C.3D.2>/3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得448-30°,根據(jù)30度的作對(duì)的直角邊是斜邊的一半可得
BC=~,根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積,即可求解.
2
【詳解】解:圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個(gè)全等的等腰三角形組成,故等腰三角形的頂角為
30°,設(shè)圓的半徑為1,如圖為其中一個(gè)等腰三角形。43,過點(diǎn)B作8C_LQ4交04于點(diǎn)于點(diǎn)C,
':ZAO6=30°,
???BC=-OB=-f
22
…1.11
=2XX2=4,
故正十二邊形的面積為12S.QAB=12x1=3,
圓的面積為乃xlxl=3,
用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計(jì)。。的面積可得萬=3,
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì),30度的作對(duì)的直角邊是斜邊的一半,三角形的面積公式,圓
的面積公式等,正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵.
二、填空題:本題共6小題,每小題4分,共24分.
11.某倉(cāng)庫(kù)記賬員為方便記賬,將進(jìn)貨10件記作十10,那么出貨5件應(yīng)記作.
【答案】-5
【解析】
【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中,先規(guī)定其中一個(gè)為正,則另一個(gè)就用負(fù)表示.
【詳解】解:???“正”和“負(fù)”相對(duì),
???進(jìn)貨10件記作+10,那么出貨5件應(yīng)記作-5.
故答案為:—5.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù),理解“正"和“負(fù)''的相對(duì)性,確定一對(duì)具有相反意義的量是解題關(guān)
鍵.
12.如圖,在YA8CD中,。為3力的中點(diǎn),放過點(diǎn)。且分別交ARCO于點(diǎn)£尸.若4石=10,則
C/7的長(zhǎng)為.
【答案】10
【解析】
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得。氏。C=AB即NOH>=NOEB,NOD/=N£BO,再結(jié)合
OD=OB可得△DO9絲△3。石(AAS)可得DF=EB,最進(jìn)一步說明FC=AE=10即可解答.
【詳解】解:???ABC。中,
.?.DC〃AB,DC=AB,
??.ZOFD=NOEB,ZODF=NEBO,
?:OD=OB,
???ZXDOF/△BOE(AAS),
:?DF=EB,
。。一。尸=48-8后,即FC=A£=10.
故答案:10.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),證明三角形全等是解答
本題的關(guān)鍵.
13.如圖,在菱形ABC。中,A3=10,ZB=60°,則AC的長(zhǎng)為.
【答案】10
【解析】
【分析】由菱形A5CO中,NBW0。,易證得u$C是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解.
【詳解】解:,??四邊形ABC。是菱形,
;?AB=BC=iO,
,/13=60。,
???JBC是等邊三角形,
???AC=10.
故答案為:10.
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),熟記菱形的性質(zhì)并推出等邊三角形是解題的
關(guān)鍵.
14.某公司欲招聘一名職員.對(duì)甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進(jìn)行了綜合知識(shí)、工作經(jīng)驗(yàn)、語(yǔ)言表達(dá)等三方面
測(cè)試,他們的各項(xiàng)成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?/p>
綜合知識(shí)工作經(jīng)驗(yàn)語(yǔ)言表達(dá)
漏臬
甲758080
乙858070
丙707870
如果將每位應(yīng)聘者的綜合知識(shí)、工作經(jīng)驗(yàn)、語(yǔ)言表達(dá)的成績(jī)按5:2:3的比例計(jì)算其總成績(jī),并錄用總成績(jī)
最高的應(yīng)聘者,則被錄用的是.
【答案】乙
【解析】
【分析】分別計(jì)算甲、乙、丙三名應(yīng)聘者的成績(jī)的加權(quán)平均數(shù),比較大小即可求解.
-523
【詳解】解:x甲=75x—+80x—+80x—=77.5,
101010
523
A:Z.=85X—+80x—+70x—=79.5,
101010
-523
x丙=70x—+78x—+70x—=71.6,
101010
V71.6<77.5<79.5
???被錄用的是乙,
故答案為:乙.
【點(diǎn)睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù),熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.
15.已知一十二=1,且。工一6,則竺」的值為___________.
aba+b
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)一+—=I可得〃+勿=出?,即出?一〃=〃+〃,然后將出?一〃=力+〃整體代入----;計(jì)算即
aba+h
可.
【詳解】解:?=1
ab
???如網(wǎng)=1,
ab
:?b+2a=ab,即出?一。=〃+。.
ab-aa+b,
..-------=-------=1.
a+ba+b
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算,根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則得到是解答本題的關(guān)
鍵.
16.已知拋物線y=o?-2or+伙。>0)經(jīng)過4(2〃+3,凹),3(〃-1,%)兩點(diǎn),若A3分別位于拋物線對(duì)
稱軸的兩側(cè),且yv%,則〃的取值范圍是.
【答案】一1<〃<0
【解析】
【分析】根據(jù)題意,可得拋物線對(duì)稱軸為直線x=l,開口向上,根據(jù)已知條件得出點(diǎn)A在對(duì)稱軸的右側(cè),
且巧<當(dāng),進(jìn)而得出不等式,解不等式即可求解.
【詳解】解::y"or?-2”+6,〃>0
???拋物線的對(duì)稱軸為直線冗=-0=1,開口向上,
2a
IA(2〃+3,y),8(〃—1,%)分別位于拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè),
假設(shè)點(diǎn)B在對(duì)稱軸的右側(cè),則〃一1>1,解得〃>2,
:.2〃+3-(〃-1)=〃+4>0
???A點(diǎn)在8點(diǎn)的右側(cè),與假設(shè)矛盾,則點(diǎn)A在對(duì)稱軸的右側(cè),
2?+3>1
n-1<1
解得:-l<w<2
又?:<y2,
A|(2n+3)-l|<|l-(H-l)|
2〃+2V2—n.
解得:72<O
;?—1<A2<0,
故答案為:
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
三、解答題:本題共9小題,共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.計(jì)算:>/9-2°+|-1|.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根,絕對(duì)值,零指數(shù)累,有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】解:原式=3-1+1
=3.
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根,絕對(duì)值,零指數(shù)暴,有理數(shù)的混合運(yùn)算,熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題
的關(guān)鍵.
'2x+l<3,①
18.解不等式組:x1—3x八否
-+----<1.?
124
【答案】-3<x<l
【解析】
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集,根據(jù)口訣:同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不
到確定不等式組的解集.
2x+l<3,0
【詳解】解:x>3x八臺(tái)
-+----<1.?
124
解不等式①,得x<l.
解不等式②,得xN—3.
所以原不等式組的解集為-3<x<1.
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組,正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)鍵.
19.如圖,OA=OC,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求證:AB=CD.
【答案】見解析
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件得出NAQB=NCO£>,進(jìn)而證明如會(huì)△。切,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得
證.
【詳解】證明:-ZAOD=/COB,
/.ZAOD-/BOD=Z.COB-NBOD,
即ZAOB=ZCOD.
在dOB和△C。。中,
0A=0C,
</AOB=/COD,
OB=OD,
;gA0BgCOD
:.AB=CD.
【點(diǎn)睛】本小題考查等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查幾何直觀、推理能力
等,掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.
20.先化簡(jiǎn),再求值:+其中工二夜一1?
【答案】一一I,一也
x+12
【解析】
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn),然后再將x二血-1代入計(jì)算即可解答.
【詳解】解:fi--
x-(x+l)x(x-l)
~(x+l)(x-l)
x+1
當(dāng)1r=—1時(shí),
原式二-----i—V2
2
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)及其運(yùn)算、分母有理化,正確的化簡(jiǎn)分式是解答本題的關(guān)鍵.
21.如圖,己知"WC內(nèi)接于OO,CO的延長(zhǎng)線交4B于點(diǎn)。,交0O于點(diǎn)E,交。。的切線A尸于點(diǎn)
F,且A/〃3c.
(1)求證:AO//BE;
(2)求證:AO平分NBAC.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】
【分析】(1)由切線的性質(zhì)可得ZOAF=90。,由圓周角定理可得ZCBE=90°,即ZOAF=NCBE=90°,
再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/胡尸=445。,則根據(jù)角的和差可得NQ48=NABE,最后根據(jù)平行線的判
定定理即可解答;
(2)由圓周角定理可得NA5E=NACE,再由等腰三角形的性質(zhì)可得NACf=NQ4C,進(jìn)而得到
ZABE=NQ4C,再結(jié)合ZOAB=ZABE得到/OAB=ZOAC即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
證明〈AF是。。的切線,
.?.4尸_1_04,即NQ4尸=90°.
???CE是OO的直徑,
/.ZCBE=90°.
:.AOAF=ZCBE=90°.
vAF〃BC,
NBAF=NABC,
;.NOAF-NBAF=NCBE-ZABC,3PZOAB=ZABE,
:.AO//BE.
【小問2詳解】
解:ZABE與ZACE都是舛后所對(duì)的圓周角,
FA
.\ZABE=ZACE.
?:OA=OC,
ZACE=ZOAC,
.\ZABE=ZOAC.
由(1)知NQ4B=NABE,
..NO4B=NCHC,
.?.40平分/84C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),靈活運(yùn)用相
關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵.
22.為促進(jìn)消費(fèi),助力經(jīng)濟(jì)發(fā)展,某商場(chǎng)決定“讓利酬賓”,于“五一”期間舉辦了抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng).活動(dòng)
規(guī)定:凡在商場(chǎng)消費(fèi)一定金額的顧客,均可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).抽獎(jiǎng)方案如人:從裝有大小質(zhì)地完全相同
的1個(gè)紅球及編號(hào)為①②③的3個(gè)黃球的袋中,隨機(jī)摸出1個(gè)球,若摸得紅球,則中獎(jiǎng),可獲得獎(jiǎng)品:若
摸得黃球,則不中獎(jiǎng).同時(shí),還允許未中獎(jiǎng)的顧客將其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1個(gè)紅球或黃
球(它們的大小質(zhì)地與袋中的4個(gè)球完全相同),然后從中隨機(jī)摸出1個(gè)球,記下顏色后不放回,再?gòu)闹须S
機(jī)摸出1個(gè)球,若摸得的兩球的顏色相同,則該顧客可獲得精美禮品一份.現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).
(1)求該顧客首次摸球中獎(jiǎng)的概率;
(2)假如該顧客首次摸球未中獎(jiǎng),為了有更大機(jī)會(huì)獲得精美禮品,他應(yīng)往袋中加入哪種顏色的球?說明
你的理由
【答案】(1)-
4
(2)應(yīng)往袋中加入黃球,見解析
【解析】
【分析】(1)直接由概率公式求解即可;
(2)根據(jù)列表法求分別求得加入黃球和紅球概率即可求解.
【小問1詳解】
解:顧客首次摸球的所有可能結(jié)果為紅,黃①,黃②,黃③,共4種等可能的結(jié)果.
記“首次摸得紅球”為事件A,則事件A發(fā)生的結(jié)果只有1種,
所以戶(A)=;,所以顧客首次摸球中獎(jiǎng)的概率為1.
【小問2詳解】
他應(yīng)往袋中加入黃球.
理由如下:
記往袋中加入的球?yàn)椤靶隆?,摸得的兩球所有可能的結(jié)果列表如下:
第*紅黃①黃②黃③新
紅紅,黃①紅,黃②紅,黃③紅,新
黃①黃①,紅黃①,黃②黃①,黃③黃①,新
黃②黃②,紅黃②,黃①黃②,黃③黃②,新
黃③黃③,紅黃③,黃①黃③,黃②黃③,新
新新,紅新,黃①新,黃②新,黃③
共有20種等可能結(jié)果.
(i)若往袋中加入的是紅球,兩球顏色相同的結(jié)果共有8種,此時(shí)該顧客獲得精美禮品的概率
n82
,205
(ii)若往袋中加入的是黃球,兩球顏色相同的結(jié)果共有12種,此時(shí)該顧客獲得精美禮品的概率
123
Kn=-=—;
2205
因?yàn)椴唬糤,所以《<乙,所作他應(yīng)往袋中加入黃球.
【點(diǎn)睛】本小題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率等基礎(chǔ)知識(shí),考查抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識(shí)、
創(chuàng)新意識(shí)等,考查統(tǒng)計(jì)與概率思想、模型觀念,熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.
23.閱讀下列材料,回答問題
任務(wù):測(cè)量?一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度,該水池東西走向的最大寬度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬
度,如圖1.
工具;一把皮尺(測(cè)量長(zhǎng)度略小于A3)和一臺(tái)測(cè)角儀,如圖2.皮尺的功能是宜接測(cè)量任意可到達(dá)的
兩點(diǎn)間的距離(這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長(zhǎng)度);
測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小,即在任一點(diǎn)。處,對(duì)其視線可及的P,。兩點(diǎn),可測(cè)得NPOQ的大
小,如圖3.
圖1圖2圖3圖4
小明利用皮尺測(cè)量,求出了小水池的最大寬度AB,其測(cè)量及求解過程如下:測(cè)量過程:
(i)在小水池外選點(diǎn)C,如圖4,測(cè)得AC=am,BC=bm;
(ii)分別在AC,BC,上測(cè)得CM=2/n,CN.m;測(cè)得MN=cm.求解過程:
33
由測(cè)量知,AC=a,BC=b,CM=巴,CN=一,
33
,CM_CN_1
??一——,?CD________,
CACB3
MN1
:.Z\CMNs^CAB、:.---=
AB3
又vMN=c,???AB:②(m).
故小水池的最大寬度為m.
(1)補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容;
(2)小明求得AB用到的幾何知識(shí)是;
(3)小明僅利用皮尺,通過5次測(cè)量,求得請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀,通過測(cè)量長(zhǎng)度、角度等幾
何量,并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度A8,寫出你的測(cè)量及求解過程.要求:測(cè)量得到
的長(zhǎng)度用字母”,b,CL表示,角度用a,0,/L表示;測(cè)量次數(shù)不超過4次(測(cè)量的幾何量能求
出A8,且測(cè)量的次數(shù)最少,才能得滿分).
【答案】(1)①NC=NC;②3c
(2)相似三角形的判定與性質(zhì)
(3)最大寬度為(acosa十竺學(xué)]m,見解析
Itan夕)
【解析】
【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可;
(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行回答即可;
(3)測(cè)量過程:在小水池外選點(diǎn)C,用測(cè)角儀在點(diǎn)8處測(cè)得NABC=a,在點(diǎn)A處測(cè)得=
用皮尺測(cè)得8C=m;
求解過程:過點(diǎn)C作C£>_LA5,垂足為O,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推得BE>=/2sa,
CD=as\na.AD=-----,根據(jù)=班>+AD,即可求得.
tan/7
【小問1詳解】
VAC=a,BC=b,CM=~,CN=-
33f
.CMCN1
??----=----=一,
CACB3
又???zc=zc,
???ACMNs^CAB,
MN1
?*?----=一?
AB3
又,:MN=c,
:.AB=3c(m).
故小水池的最大寬度為3cm.
【小問2詳解】
根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求得AB=3MN=3c,
故答案為:相似三角形的判定與性質(zhì).
【小問3詳解】
測(cè)量過程:
(i)在小水池外選點(diǎn)C,如圖,用測(cè)角儀在點(diǎn)8處測(cè)得NABC=a,在點(diǎn)A處測(cè)得N8AC=〃;
(ii)用皮尺測(cè)得8C=〃m.
求解過程:
由測(cè)量知,在"8C中,ZABC=a,4BAC=0,BC=a.
過點(diǎn)C作。垂足為O.
RD
在RtZ\C3£>中,cos/CBD=—,
BC
BD
即cosa=——,所以B£>=dcosa.
a
同理,CD=asina.
CD
在RtAACD中,tanZCXD=——,
AD
石asintzasma
a即ntan4=-----所以4。二
tan/^
f…asm。/、
所以AB=BD+AD=acosa+-----(m).
tan/7/
故小水池的最大寬度為(〃cosa+絲1
Itan夕J
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用,杈據(jù)題意畫出幾何圖形,建立
數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵.
24.已知拋物線丁二加+法+3交x軸于A(l,0),3(3,0)兩點(diǎn),M為拋物線的頂點(diǎn),C。為拋物線上不
與AB重合的相異兩點(diǎn),記A8中點(diǎn)為E,直線的交點(diǎn)為P.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
/、(3、
(2)若C(4,3),。w,--,且“<2,求證:C,£),E三點(diǎn)共線;
(3)小明研究發(fā)現(xiàn):無論G。在拋物線上如何運(yùn)動(dòng),只要C,D,E三點(diǎn)共線,/\AMP,/\MEP,AABP
中必存在面積為定值的三角形.請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積,不必說明理由.
【答案】(1)y=x2-4x+3
(2)見解析(3)4ABp面積為定值,其面積為2
【解析】
【分析】(1)將A(l,0),8(3,0)代入》=公:2+笈+3,即可解得;
(2)4(1,0),5(3,0),4B中點(diǎn)為E,且。(4,3),可求出過C,E兩點(diǎn)所在直線的一次函數(shù)表達(dá)式
3(33}3
y=-x-3,。為拋物線上的一點(diǎn),所以。,此點(diǎn)在》二一了一3,可證得CO,E三點(diǎn)共線;
2U4J2
(3)設(shè)。,。'與0,C'分別關(guān)于直線EM對(duì)稱,則P,P關(guān)于直線對(duì)稱,且上,0與"1A/P的面積
不相等,所以4AMp的面積不為定值;如圖,當(dāng)C,。分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G,A的位置,且保持G,O,E三點(diǎn)
共線.此時(shí)與8G的交點(diǎn)4到直線E"的距離小于2到直線的距離,所以AM3的面積小于
(7、
△MEP的面積,故△MEP的面積不為定值;故-A8尸的面積為定值,由(2)求出尸-,-2,此時(shí)
/
A5P的面積為2.
【小問1詳解】
解:因?yàn)閽佄锞€y=o?+法+3經(jīng)過點(diǎn)4(1,0),8(3,0),
。+8+3=0,
所以W
[9a+3b+3=0.
<7=1,
解得11.
Z?=-4.
所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=f-4x+3;
【小問2詳解】
解:
設(shè)直線C片對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=依+"(女工0),
因?yàn)镋為中點(diǎn),所以E(2,0).
1r*4->7=qa--
又因?yàn)镃(4,3),所以一;,解得《2,
[n=-3
3
所以直線CE對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-x-3.
因?yàn)辄c(diǎn)0(加,一1)在拋物線上,所以/??一4機(jī)+3=-:.
35
解得,6=—或加=—.
22
3
又因?yàn)殛?yáng)<2,所以加二一.
2
所以嗚w
333,33、
因?yàn)橐粁——3=—,即。二,一二滿足直線CE對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式,所以點(diǎn)O在直線CE上,即
224124)
C,2E三點(diǎn)共線;
【小問3詳解】
解:工452的面積為定值,其面積為2.
理由如下:(考生不必寫出下列理由)
如圖1,當(dāng)C。分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí),G。'與2c'分別關(guān)于直線應(yīng)0對(duì)稱,此時(shí)仍有
C',O',E三點(diǎn)共線.設(shè)A£T與5C的交點(diǎn)為尸',則尸,尸'關(guān)于直線EM對(duì)稱,即PP〃x軸.此時(shí),
PP與AM不平行,且AM不平分線段PP,故P,P到直線AM的距離不相等,即在此情形下
..AMP與AAMP的面積不相等,所以?AMP的面積不為定值.
如圖2,當(dāng)C。分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G,A的位置,且保持C1,三點(diǎn)共線.此時(shí)AR與8G的交點(diǎn)A到直
線的距離小于P到直線的距離,所以△加石匕的面積小于2版尸的面積,故△JWEP的面積不
為定值.
又因?yàn)槭写嬖诿娣e為定值的三角形,故&A5P的面積為定值.
在(2)的條件下,直
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