量子力學試卷

05級2學分A一、答復以下問題〔每題5分，共30分〕1十九世紀末期人們發(fā)現(xiàn)了哪些不能被經(jīng)典物理學所解釋的新的物理現(xiàn)象？2什么是束縛態(tài)？什么是定態(tài)？3試述電子具有自旋的實驗證據(jù)。4寫出量子力學五個基本假設中的任意三個。5表示力學量的厄米算符有哪些特性？6一維空間兩粒子體系的歸一化波函數(shù)為，寫出以下概率：發(fā)現(xiàn)粒子1的位置介于和之間〔不對粒子2進行觀測〕二、此題總分值10分設單粒子定態(tài)波函數(shù)為，試利用薛定諤方程確定其勢場。三、此題總分值12分利用厄米多項式的遞推關系和求導公式：，證明：一維諧振子波函數(shù)滿足以下關系：已知一維諧振子的波函數(shù)為：四、此題總分值12分一粒子在一維無限深勢阱中運動，求粒子的能級和相應的歸一化波函數(shù)。五、此題總分值12分已知氫原子的電子波函數(shù)為。求在態(tài)中測量氫原子能量、、、、的可能值和這些力學量的平均值。六、此題總分值14分一維運動的粒子處于狀態(tài)之中,其中,A為待求的歸一化常數(shù),求：(1)歸一化常數(shù);(2)粒子坐標的平均值和粒子坐標平方的平均值;(3)粒子動量的平均值和粒子動量平方的平均值。七、此題總分值10分附：氫原子能量本征值：定積分：，n為正整數(shù)球坐標系中：05級2學分B一、答復以下問題〔每題5分，共30分〕1考慮自旋時，描述氫原子需要哪幾個量子數(shù)？2〔1〕德布羅意關系式是僅適用于基本粒子如電子、中子，還是同樣適用于具有內(nèi)部結構的復合體系？〔2〕粒子的德布羅意波長是否可以比其本身線度更大？二者之間是否有必然聯(lián)系？3量子力學中角動量是如何定義的？地球自轉是否與量子力學中的自旋概念相對應？4具有完備的共同本征函數(shù)系的兩個力學量算符有什么特征？球諧函數(shù)是哪兩個算符的共同本征函數(shù)？5具有分立本征值譜的力學量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？6什么是費米子？對費米子體系的波函數(shù)有什么要求？二、此題總分值14分設氫原子處于狀態(tài),求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的概率和這些力學量的平均值。三、此題總分值15分證明：是一維線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對應的能量。已知。四、此題總分值8分證明在的本征態(tài)下，。五、此題總分值15分設粒子限制在矩形匣子中運動，即，，求粒子的能量本征值和本征波函數(shù)。六、此題總分值10分求以下算符對易關系式：1)2)七、此題總分值8分定義Pauli算符與自旋角動量算符的關系為，證明：附：氫原子能量本征值：06級2學分A一、填空〔每空3分，共45分〕1一維線性諧振子的能量本征值為。2動量的三個分量的共同本征函數(shù)為。3自旋角動量算符在空間任意方向上的投影只能取值為；=。4。5德布羅意關系為

。6波函數(shù)的標準條件為。7寫出量子力學五個基本假設中任意兩個_____________。8費米子和玻色子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)分別具有_________性和_______性。9不考慮電子的自旋時，氫原子能級的簡并度為

。10電子具有自旋的實驗證據(jù)包括。11坐標和動量的對易關系為______。12測不準關系_______。13一維空間兩粒子體系的歸一化波函數(shù)為，x1和x2分別表示兩粒子的空間位置，那么，發(fā)現(xiàn)粒子1的位置介于和之間〔不對粒子2進行觀測〕的概率。二此題總分值7分已知角動量的對易關系為。證明：假設一個算符與角動量算符的兩個分量和對易，即滿足和，則算符必與的第三個分量對易，滿足。三此題總分值8分厄密算符的本征方程為，試根據(jù)厄密算符的定義式，證明厄密算符的本征值是實數(shù)。四此題總分值9分設體系處于狀態(tài)〔已歸一化〕，求：〔1〕的測量可能值及平均值；〔2〕的測量可能值及相應的概率。五此題總分值9分氫原子處在基態(tài)，求在此態(tài)中：(1)r的平均值；(2)勢能的平均值；(3)動量的概率分布函數(shù)。已知定積分。六此題總分值6分一個轉動慣量為I的剛性轉子繞空間某一固定點轉動，叫空間轉子，其能量的經(jīng)典表示式為，L為角動量。求與此對應的量子體系的定態(tài)能量及波函數(shù)。已知角動量平方算符。七此題總分值8分在自旋態(tài)中，求和的不確定關系：已知算符的不確定度為，平均值。八此題總分值8分算符方程稱為算符的本征方程，其中常數(shù)稱為算符的本征值，函數(shù)稱為算符的本征函數(shù)。試確定以下函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，假設是本征函數(shù)，其對應的本征值是什么？，②，③，④，⑤06級2學分B一、答復以下問題〔每題4分，共24分〕1十九世紀末期人們發(fā)現(xiàn)了哪些不能被經(jīng)典物理學所解釋的新的物理現(xiàn)象？2試述電子具有自旋的實驗證據(jù)。3考慮自旋時，描述氫原子需要哪幾個量子數(shù)？4寫出量子力學五個基本假設中的任意三個。5表示力學量的厄米算符有哪些特性？6什么是費米子？對費米子體系的波函數(shù)有什么要求？二、計算題〔此題總分值12分〕氦原子的動能是，k是玻耳茲曼常數(shù)，求時，氦原子的德布羅意波長。已知普朗克常數(shù)，玻耳茲曼常數(shù)，質子質量，氦原子的質量近似取為質子質量的四倍。三、計算題〔此題總分值12分〕一粒子在一維無限深勢阱中運動，求粒子的能級和相應的歸一化波函數(shù)。四、計算題〔此題總分值12分〕設氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的概率和這些力學量的平均值。已知氫原子的能量本征值為五、證明題〔此題總分值14分〕利用厄米多項式的遞推關系和求導公式：，證明：一維諧振子波函數(shù)滿足以下關系：已知一維諧振子的波函數(shù)為：六、證明題〔此題總分值12分〕定義Pauli算符與自旋角動量算符的關系為，證明：七、證明題〔此題總分值14分〕證明：是一維線性諧振子的能量本征波函數(shù)，并求此波函數(shù)對應的本征能量。已知一維線性諧振子的哈密頓算符為，參數(shù)。07級2學分A一、問答題〔每空5分，共30分〕1十九世紀末期人們發(fā)現(xiàn)了哪些不能被經(jīng)典物理學所解釋的新的物理現(xiàn)象。2寫出量子力學五個基本假設中任意三個。3表示力學量的厄米算符有哪些特性？4考慮自旋時，描述氫原子需要幾個量子數(shù)？5什么是玻色子？對玻色子的波函數(shù)有什么要求？6具有共同本征函數(shù)的兩個力學量算符有什么特征？球諧函數(shù)是哪兩個算符的共同本征函數(shù)？二此題總分值10分一粒子在一維無限深勢阱中運動，求粒子的能級和相應的歸一化波函數(shù)。三此題總分值7分設單粒子定態(tài)波函數(shù)為，試利用薛定諤方程確定其勢場。四此題總分值10分算符方程稱為算符的本征方程，其中常數(shù)稱為算符的本征值，函數(shù)稱為算符的本征函數(shù)。試確定以下函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，假設是本征函數(shù)，其對應的本征值是什么？①，②，③，④，⑤五此題總分值10分氫原子處在基態(tài)，求在此態(tài)中：(1)r的平均值；(2)勢能的平均值；(3)動量的概率分布函數(shù)。已知定積分。六此題總分值8分已知在和的共同表象中，算符的矩陣為，求它的本征值和歸一化本征函數(shù)。七此題總分值15分已知氫原子的電子波函數(shù)為。求在態(tài)中測量氫原子能量、、、、的可能值和這些力學量的平均值。八此題總分值10分在自旋態(tài)中，求和的不確定關系：已知算符的不確定度為，平均值。07級2學分B一、問答題〔每空5分，共30分〕1那些實驗現(xiàn)象揭示了光的波粒二象性？2寫出角動量算符、哈密頓算符、自旋算符的本征值。3什么是束縛態(tài)？什么是定態(tài)？4具有分立本征值譜的力學量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？5試述電子具有自旋的實驗證據(jù)。6什么是費米子？費米子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)有什么要求？二此題總分值10分一維運動的粒子處于狀態(tài)之中,其中,A為待求的歸一化常數(shù),求：(1)歸一化常數(shù);(2)粒子坐標的平均值和粒子坐標平方的平均值;(3)粒子動量的平均值和粒子動量平方的平均值。三此題總分值7分厄密算符的本征方程為，試根據(jù)厄密算符的定義式，證明厄密算符的本征值是實數(shù)。四此題總分值10分氫原子處在基態(tài)，求在此態(tài)中：(1)r的平均值；(2)勢能的平均值；(3)動量的概率分布函數(shù)。已知定積分。五此題總分值15分設氫原子處于求：〔1〕的測量可能值、相應的概率及平均值；〔2〕的測量可能值、相應的概率及平均值；〔3〕的測量可能值、相應的概率及平均值。附：氫原子能量本征值：六此題總分值8分定義Pauli算符與自旋角動量算符的關系為，證明：七此題總分值10分求及的本征值和所屬的本征函數(shù)。八此題總分值10分在自旋態(tài)中，求和的不確定關系：已知算符的不確定度為，平均值。05級2學分A答案一、答復以下問題〔每題5分，共30分〕1黑體輻射，光電效應，邁克爾遜-莫雷實驗，原子的光譜線系，固體的低溫比熱等2當粒子被勢場約束于特定的空間區(qū)域內(nèi)，即在無窮遠處波函數(shù)等于零的態(tài)叫束縛態(tài)。定態(tài)是概率密度和概率流密度不隨時間變化的狀態(tài)。假設勢場恒定，，則體系處于定態(tài)。3電子具有自旋的實驗證據(jù)：1〕斯特恩-蓋拉赫實驗2〕光譜精細結構3〕反常塞曼效應4五個基本假定：1〕微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述。2〕力學量用算符表示。3〕將體系的狀態(tài)波函數(shù)用力學量算符的本征函數(shù)展開，則在該態(tài)上測量該力學量的結果是力學量算符的一個本征值，測量概率是相應本征函數(shù)前展開系數(shù)的模方。4〕體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程。5〕在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互調換不改變體系的狀態(tài)。5厄米算符具有如下特性：1〕厄米算符的本征值為實數(shù)2〕厄米算符在任何態(tài)中的平均值均為實數(shù)3〕厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交4〕描寫力學量的厄米算符的本征函數(shù)是完全系6概率二、此題總分值10分將已知波函數(shù)代入球坐標系的波動方程可得所以故不妨令其為零，則所給波函數(shù)乃是自由粒子波函數(shù)三、此題總分值12分已知所以利用四、此題總分值15分解：無關，是定態(tài)問題。其定態(tài)SE方程在各區(qū)域的具體形式為Ⅰ：①Ⅱ：②Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。方程(2)可變?yōu)榱睿闷浣鉃棰芨鶕?jù)波函數(shù)的標準條件確定系數(shù)A，B，由連續(xù)性條件，得⑤⑥⑤∴由歸一化條件得由可見E是量子化的。對應于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為五、此題總分值10分解：的可能值的可能值,的可能值的可能值的可能值六、此題總分值15分解：1〕由歸一化條件，有2〕坐標的平均值為：坐標平方的平均值為：3〕動量平均值為：動量平方的平均值為：七、此題總分值8分解：①不是②是，1。③是，－1。④是，－1。⑤是，－1。05級2學分答案B一、答復以下問題〔每題5分，共30分〕1主量子數(shù)n，角動量量子數(shù)l，磁量子數(shù)m，自旋磁量子數(shù)ms2德布羅意關系式是適用于一切物質的普遍關系，是波粒二象性的反映而與物質具體結構無關，因此，不僅適用于基本粒子也適用于具有內(nèi)部結構的復合體系。由基本假設，波長僅取決于粒子的動量大小而與粒子本身線度無必然聯(lián)系。3量子力學中角動量按下式定義：任何滿足此式的算符所代表的力學量，都可以認為是角動量，此定義較之角動量的仿經(jīng)典定義更具普遍性，后者只適用于軌道角動量而不能適用于自旋。自旋是量子力學中的特有概念，無經(jīng)典對應，是微觀粒子的內(nèi)稟屬性。地球自轉實際上仍然是地球各質點的軌道運動，應與軌道角動量相對應，而不是與自旋相對應。4具有完備的共同本征函數(shù)系的兩個力學量算符對易。球諧函數(shù)是L2和Lz的共同本征函數(shù)5在其自身表象中表示為對角矩陣：，為諸本征值本征矢量為單元素的一列矩陣：，，6自旋為的半奇數(shù)倍的微觀粒子，要求費米子的波函數(shù)是交換反對稱的。二、此題總分值14分設氫原子處于狀態(tài),求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的概率和這些力學量的平均值。解：，可能值，幾率1；，可能值2，幾率1；，可能值-，幾率；可能值0，幾率三、此題總分值15分試證明是線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對應的能量。證：一維線性諧振子的薛定鄂方程為①把代入上式，有 把代入①式左邊，得當時，左邊=右邊。n=3，是線性諧振子的波函數(shù)，其對應的能量為。四、此題總分值8分證明在的本征態(tài)下，。證明：由于；；所以五、此題總分值15分設粒子限制在矩形匣子中運動，即，，求粒子的能量本征值和本征波函數(shù)。解：匣內(nèi)(3分)采用直角坐標系，方程的解可以別離變量，邊界條件本征函數(shù)(4分),可得，(4分)(2分)歸一化能量本征函數(shù)為六、此題總分值10分求以下算符對易關系式：1)2)解：5分5分七、此題總分值8分證明證明：〔1〕〔2〕〔1〕+〔2〕得：〔3〕〔3〕右乘：06級2學分考試答案及評分標準A一、此題共13小題，15空，每空3分，總分值45分1.〔共3分〕要點：注：該題為基此題，考核對量子力學中諧振子能量量子化問題的掌握情況。2.〔共3分〕要點：〔或〕注：該題為綜合題，考核的知識點包括動量本征函數(shù)、平面波波函數(shù)和力學量的共同本征函數(shù)等，要求學生綜合考慮這些知識點后作答。3.〔共6分〕要點：注：該題為基此題，考核對自旋角動量的理解和掌握情況。4.〔共3分〕要點：注：該題為基此題，考核的知識點是量子力學中非常重要的概念-球諧函數(shù)的正交性問題。5.〔共3分〕要點：注：該題為基此題，考核對量子力學中最重要的基本概念-德布羅意波的理解和掌握程度。6.〔共3分〕要點：連續(xù)性、有限性、單值性注：該題為基此題，考核對量子力學中波函數(shù)的理解和掌握情況。7.〔共3分〕要點：〔1〕波函數(shù)的統(tǒng)計解釋?！?〕力學量用厄密算符表示?！?〕(4)薛定諤方程〔5〕全同性原理注：該題為基此題，考核量子力學理論框架的基本假定，考生答出其中的任意二項即可。8.〔共6分〕要點：反對稱對稱注：該題為基此題，考核對量子力學中全同粒子體系特性的理解情況。9.〔共3分〕要點：注：該題為基此題，考核氫原子能級和簡并度等問題。10.〔共3分〕要點：1〕斯特恩-蓋拉赫實驗2〕光譜精細結構3〕反常塞曼效應注：該題為基此題，考核對自旋假設的實驗依據(jù)的掌握情況。11.〔共3分〕要點：注：該題為基此題，考核知識點是量子力學中重要的一個基本對易關系。12.〔共3分〕要點：注：該題為基此題，考核量子力學中的不確定關系。13.〔共3分〕要點：概率注：該題為基此題，考核概率和概率密度等知識點。二、此題總分值7分證明：設算符與角動量算符及皆對易，即┈┈2分則┈┈3分同理可知，假設算符與角動量算符及皆對易，則算符必與對易；假設算符與角動量算符及皆對易，則算符必與對易，于是，問題得證。┈┈2分注：該題為基此題，考核學生對算符運算規(guī)則和角動量算符性質的掌握情況。三、此題總分值8分證明：厄密算符的本征值方程為：┈┈2分由厄密算符的性質，假設取，┈┈3分┈┈3分注：該題為基此題，考核學生對一維諧振子波函數(shù)的理解和應用能力。四、此題總分值9分解：由于，┈┈2分，┈┈2分所以〔1〕的可能值為；相應的概率為；平均值為┈┈3分〔2〕的可能值為；相應的概率為。┈┈2分注：該題為綜合題，考核軌道角動量算符的本征值問題以及力學量的測量值及分布概率等問題。五、此題總分值9分解：(1)┈┈3分┈┈3分〔3〕動量幾率分布函數(shù)┈┈3分注：該題為綜合題，考核氫原子的波函數(shù)的意義以及力學量的測值概率和平均值等知識點。六、此題總分值6分解：而則┈┈2分為使在變化的整個區(qū)域內(nèi)都是有限的，必須有〔〕〔〕┈┈2分()┈┈2分注：該題為基此題，考核角動量平方算符的本征值問題。七、此題總分值8分解：由，同理，┈┈2分┈┈2分┈┈2分┈┈2分注：該題為綜合題，考核的知識點包括：波函數(shù)歸一化，力學量平均值的計算以及力學量算符等。八、此題總分值8分解：①∴不是的本征函數(shù)。┈┈1分②∴是的本征函數(shù)，其對應的本征值為1。┈┈1分③∴可見，是的本征函數(shù)，其對應的本征值為－1。┈┈2分④∴是的本征函數(shù)，其對應的本征值為－1。┈┈2分⑤∴是的本征函數(shù)，其對應的本征值為－1。┈┈2分注：該題為基此題，考核算符的本征函數(shù)和本征值的概念06級2學分考試答案及評分標準B一、此題共6小題，每題4分，總分值24分1.〔共4分〕要點：黑體輻射，光電效應，邁克爾遜-莫雷實驗，原子的光譜線系，固體的低溫比熱等。注：該題為基此題，考核對量子力學發(fā)展過程的了解情況。要求考生至少答出其中三項。2.〔共4分〕要點：電子具有自旋的實驗證據(jù)：1〕斯特恩-蓋拉赫實驗2〕光譜精細結構3〕反常塞曼效應注：該題為基此題，考核對自旋假設的實驗依據(jù)的掌握情況。3.〔共4分〕要點：主量子數(shù)n，角動量量子數(shù)l，磁量子數(shù)m，自旋磁量子數(shù)ms注：該題為基此題，考核描述氫原子所需的量子數(shù)這一知識點。4.〔共4分〕要點：五個基本假定：1〕微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述。2〕力學量用算符表示。3〕將體系的狀態(tài)波函數(shù)用力學量算符的本征函數(shù)展開，則在該態(tài)上測量該力學量的結果是力學量算符的一個本征值，測量概率是相應本征函數(shù)前展開系數(shù)的模方。4〕體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程。5〕在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互調換不改變體系的狀態(tài)。注：該題為基此題，考核量子力學理論框架的基本假定，考生答出其中的任意三項即可。5.〔共4分〕要點：厄米算符具有如下特性：1〕厄米算符的本征值為實數(shù)。┈┈1分2〕厄米算符在任何態(tài)中的平均值均為實數(shù)。┈┈1分3〕厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。┈┈1分4〕描寫力學量的厄米算符的本征函數(shù)是完全系。┈┈1分注：該題為綜合題，考核量子力學中一個概念--厄米算符的性質。6.〔共4分〕要點：自旋為的半奇數(shù)倍的微觀粒子。┈┈2分要求費米子的波函數(shù)是交換反對稱的。┈┈2分注：該題為基此題，考核自旋、費米子和波函數(shù)反對稱化等知識點。二、計算題〔此題總分值12分〕解：根據(jù)┈┈3分知此題氦原子的動能為：┈┈3分顯然遠小于氦原子的靜止能量。這樣，便有┈┈6分注：該題為基此題，考核德布羅意關系。三、計算題〔此題總分值12分〕解：無關，是定態(tài)問題。其定態(tài)薛定諤方程在各區(qū)域的具體形式為Ⅰ：①Ⅱ：②┈┈2分Ⅲ：③由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立