小學(xué)奧數(shù)舉一反三(六年級)上

第1講定義新運算

一、知識要點

定義新運算是指運用某種特殊符號來表示特定的意義，從而解答某些算式的一種運

算。

解答定義新運算，關(guān)鍵是要正確地理解新定義的算式含義，然后嚴(yán)格按照新定義的計

算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運算算式進(jìn)行計算。

定義新運算是一種人為的、臨時性的運算形式，它使用的是一些特殊的運算符號，如:

*、△、。等，這是與四則運算中的“+、一、X、不同的。

新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合于各種

運算定律的。

二、精講精練

【例題1］假設(shè)a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*(5*4)。

【思路導(dǎo)航】這題的新運算被定義為：a*b等于a和b兩數(shù)之和加上兩數(shù)之差。這里

的就代表一種新運算。在定義

13*5=(13+5)+(13-5)=18+8=26

新運算中同樣規(guī)定了要先算小括號

5*4=(5+4)+(5-4)=10

里的。因此，在13*(5*4)中，就

13*(5*4)=13*10=(13+10)+(13-10)=26

要先算小括號里的(5*4)。

練習(xí)1:

1.將新運算“*”定義為:a*b=(a+b)X(a-b).o求27*9。

2.設(shè)a*b=a2+2b,那么求10*6和5*(2*8)。

3.設(shè)a*b=3a—bXl/2,求(25*12)*(10*5)。3A(4A6)

【例題2】設(shè)p、q是兩個數(shù)，規(guī)定：pZ\q=4X=3A[4X6-(4+6)4-2]

q-(p+q)-r2o求34(4Z^6)O=3A19

【思路導(dǎo)航】根據(jù)定義先算4A6e在這里=4X19-(3+19)+2

是新的運算符號。=76-11

=65

練習(xí)2：

1.設(shè)p、q是兩個數(shù)，規(guī)定pZ\q=4Xq—(p+q)4-2,求(6A4)O

2.設(shè)p、q是兩個數(shù)，規(guī)定p/\q=p2+(p-q)X2O求30A(5A3)?

3.設(shè)M、N是兩個數(shù)，規(guī)定M*N=M/N+N/M,求10*20—1/4。

【例題3】如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+例+222+2222,3*3=3+33+333,

4*2=4+44,那么7*4=；210*2二。

【思路導(dǎo)航】經(jīng)過觀察，可以發(fā)現(xiàn)本題的新運算被定義為。因此

a*b=a+aa+aaa+??**--Faa.......a7*4=7+77+777+7777=8638

b個a210*2=210+210210=210420

練習(xí)3：

1.如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,..那么

4*4=o

2.規(guī)定，a*b=a+aa+aaa+...+aa....a那么8*5二________。

(b—a

3.如果2*1=1/2,3*2=1/33,4*3=1/444,那么(6*3)+(2*6)=。

【例題4】規(guī)定②=1X2X3,③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,..如果1/

⑥-1/⑦=1/⑦XA,那么，A是幾？

【思路導(dǎo)航】這題的新運算被定義為：@二(aA=(1/⑥-1/⑦)+1/⑦

—1)XaX(a+1),據(jù)此，可以求出1/⑥一1/=(1/⑥一"⑦)X⑦

⑦=1/(5X6X7)-1/(6X7X8),這里的分母=⑦/⑥T

都比較大，不易直接求出結(jié)果。根據(jù)1/⑥一"⑦二(6X7X8)/(5X6X7)-1

=1/⑦XA,可得出A=(1/⑥-1/⑦)+1/⑦=(1/二1又3/5—1

⑥一1/⑦)義⑦=⑦/⑥-lo即=3/5

練習(xí)4:

1.規(guī)定：②二1X2X3,③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,……如果1/⑧一

"⑨=1/⑨XA,那么A=o

2.規(guī)定：③=2X3X4,@=3X4X5,⑤=4X5X6,⑥=5X6X7,..如果"⑩

+1/(11)=1/(11)XQ,那么□=o

3.如果1派2=1+2,2派3=2+3+4,……5X6=5+6+7+8+9+10,那么xX3=54中，x

______Q

【例題5】設(shè)a€)b=4a—2b+l/2ab,求z。(4

O1)=34中的未知數(shù)Xo401=4X4-2X1+1/2X4X1=16

【思路導(dǎo)航】先求出小括號中的401=4X4-2xO16=4x-2X16+l/2XxX16

X1+1/2X4X1=16,再根據(jù)xG)16=4x—2X=12x-32

16+l/2XxX16=12x-32,然后解方程12x-32二12x-32=34

34,求出x的值。列算式為12x=66

練習(xí)5：x=5.5

1.設(shè)a(Db=3a—2b,已知xG)(401)=7

求X。2a-b

2.對兩個整數(shù)a和b定義新運算“△“：aAb="豆一),求644+9/\8。

3.對任意兩個整數(shù)x和y定于新運算，“*"：x*y=加肝3y(其中四是一個確定的整

數(shù))。如果1*2=1,那么3*12=o

第2講簡便運算(一)

一、知識要點

根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)和數(shù)的特征，靈活運用運算法則、定律、性質(zhì)和某些公式，可以把一

些較復(fù)雜的四則混合運算化繁為簡，化難為易。

二、精講精練

【例題1］計算4.75-9.63+(8.25-1.37)

【思路導(dǎo)航】先去掉小括號，使4.75和8.25相加湊整，再運用減法的性質(zhì)：a-b-

c=a-(b+c),使運算過程簡便。所以

原式=4.75+8.25-9.63-1.37

=13-(9.63+1.37)

=13-11

=2

練習(xí)1:計算下面各題。

1.6.73-2又8/17+(3.27-1又9/17)

2.7又5/9—(3.8+1又5/9)—1又1/5

3.14.15-(7又7/8—6又17/20)-2.125

4.13又7/13—(4又1/4+3又7/13)-0.75

【例題2】計算333387又1/2X79+790X66661又1/4

【思路導(dǎo)航】可把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后，利用積的變化規(guī)律和乘法分配律使計算簡便。所

以：原式=333387.5X79+790X66661.25

=33338.75X790+790X66661.25

=(33338.75+66661.25)X790

=100000X790

=79000000

練習(xí)2：計算下面各題：

1.3.5X1X1/4+125%+1X1/24-4/5

2.975X0.25+9又3/4X76—9.75

3.9又2/5X425+4.25+1/60

4.0.9999X0.7+0.1111X2.7

【例題3】計算：36X1.09+1.2X67.3

【思路導(dǎo)航】此題表面看沒有什么簡便算法，仔細(xì)觀察數(shù)的特征后可知：36=1.2X

30。這樣一轉(zhuǎn)化，就可以運用乘法分配律了。所以

原式=1.2X30X1.09+1.2X67.3

=1.2X(30X1.09+1.2X67.3)

=1.2X(32.7+67.3)

=1.2X100

=120

練習(xí)3：計算：

1.45X2.08+1.5X37.6

2.52X11.1+2.6X778

3.48X1.08+1.2X56.8

4.72X2.09-1.8X73.6

【例題4】計算：3又3/5X25又2/5+37.9X6又2/5

【思路導(dǎo)航】雖然3又3/5與6又2/5的和為10,但是與它們相乘的另一個因數(shù)不同,

因此，我們不難想到把37.9分成25.4和12.5兩部分。當(dāng)出現(xiàn)12.5義6.4時，我們又可

以將6.4看成8X0.8,這樣計算就簡便多了。所以

原式=3又3/5X25又2/5+(25.4+12.5)X6.4

=3又3/5X25又2/5+25.4X6.4+12.5X6.4

=(3.6+6.4)X25.4+12.5X8X0.8

=254+80

=334

練習(xí)4：

計算下面各題：

1.6.8X16.8+19.3X3.2

2.139X137/138+137X1/138

3.4.4X57.8+45.3X5.6

【例題5】計算81.5X15.8+81.5X51.8+67.6X18.5

【思路導(dǎo)航】先分組提取公因數(shù)，再第二次提取公因數(shù)，使計算簡便。所以

原式=8L5X(15.8+51.8)+67.6X18.5

=81.5X67.6+67.6X18.5

=(81.5+18.5)X67.6

=100X67.6

=6760

練習(xí)5：

1.53.5X35.3+53.5X43.2+78.5X46.5

2.235X12.1++235X42.2-135X54.3

3.3.75X735-3/8X5730+16.2X62.5

第3講簡便運算(二)

一、知識要點

計算過程中，我們先整體地分析算式的特點，然后進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，創(chuàng)造條件運用乘

法分配律來簡算，這種思考方法在四則運算中用處很大。

二、精講精練

【例題1】計算：1234+2341+3412+4123

【思路導(dǎo)航】整體觀察全式，可以發(fā)現(xiàn)題中的4個四位數(shù)均由數(shù)1,2,3,4組成，

且4個數(shù)字在每個數(shù)位上各出現(xiàn)一次，于是有

原式=1X1111+2X1111+3X1111+4X1111

=(1+24-3+4)X1111

=10X1111

=11110

練習(xí)1:

1.23456+34562+45623+56234+62345

2.45678+56784+67845+78456+84567

3.124.68+324.68+524.68+724.68+924.68

【例題2】計算：2又4/5X23.4+11.1X57.6+6.54X28

【思路導(dǎo)航】我們可以先整體地分析算式的特點，然后進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，創(chuàng)造條件運

用乘法分配律來簡算。所以

原式=2.8X23.4+2.8X65.4+11.1X8X7.2

=2.8X(23.4+65.4)+88.8X7.2

=2.8X88.8+88.8X7.2

=88.8X(2.8+7.2)

=88.8X10

=888

練習(xí)2：計算下面各題：

1.99999X77778+33333X66666

2.34.5X76.5-345X6.42-123X1.45

3.77X13+255X999+510

【例題3】計算(1993X1994-1)/(1993+1992X1994)

【思路導(dǎo)航】仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點，就會發(fā)現(xiàn)分子中1993X1994可變

形為1992+1)X1994=1992X1994+1994,同時發(fā)現(xiàn)1994―1:1993,這樣就可以把原

式轉(zhuǎn)化成分子與分母相同，從而簡化運算。所以

原式=[(1992+1)X1994-1]/(1993+1992X1994)

=(1992X1994+1994-1)/(1993+1992X1994)

=1

練習(xí)3：計算下面各題：

1.(362+548X361)/(362X548-186)

2.(1988+1989X1987)/(1988X1989-1)

3.(204+584X1991)/(1992X584-380)-1/143

【例題4】有一串?dāng)?shù)1,4,9,16,25,36…….它們是按一定的規(guī)律排列的，那么其

中第2000個數(shù)與2001個數(shù)相差多少？

【思路導(dǎo)航】這串?dāng)?shù)中第2000個數(shù)是20002,而第2001個數(shù)是20012,它們相差：

20012-20002,即

20012-20002

=2001X2000-20002+2001

=2000X(2001-2000)+2001

=2000+2001

=4001

練習(xí)4：計算：

1.19912-199022.99992+199993.999X274+6274

【例題5】計算：(9又2/7+7又2/9)4-(5/7+5/9)

【思路導(dǎo)航】在本題中，被除數(shù)提取公因數(shù)65,除數(shù)提取公因數(shù)5,再把1/7與1/9

的和作為一個數(shù)來參與運算，會使計算簡便得多。

原式=(65/7+65/9)-r(5/7+5/9)

=[65X(1/7+1/9)]+[5X(1/7+1/9)]

=65+5

=13

練習(xí)5：

計算下面各題：

1.(8/9+1又3/7+6/11)4-(3/11+5/7+4/9)

2.(3又7/11+1又12/13)4-(1又5/11+10/13)

3.(96又63/73+36又24/25)4-(32又21/73+12又8/25)

第4講簡便運算（三）

一、知識要點

在進(jìn)行分?jǐn)?shù)運算時，除了牢記運算定律、性質(zhì)外，還要仔細(xì)審題，仔細(xì)觀察運算符號

和數(shù)字特點，合理地把參加運算的數(shù)拆開或者合并進(jìn)行重新組合，使其變成符合運算定律

的模式，以便于口算，從而簡化運算。

二、精講精練

【例題1】

441R

計算：（1）/X37(2)27X—

43Zb

(1)原式=(1一上)X37

=1X37-右X37

45

M37

=37——

45

=364

45

練習(xí)1

用簡便方法計算下面各題:

14八2

1.—X82.—X1263.35X而

lo

73礙「1997”八

4.5.—X1999

【例題2】

計算：73專x|

原式=(72+y1)x|

_1161

=72X8玉X8

練習(xí)2

計算下面各題:

1.6*x|

2.2220X21

111314

3.~X57-4.41-X-+51-X-

【例題3】

計算：|X27+|X41

33

原式=三X9+TX41

□o

3

=-X(9+41)

D

3

=-X50

□

=30

練習(xí)3

計算下面各題:

315151

X39Xz--X工-X5-X1o

+—4276178+—88±

【例題4】

、L號515256

計算：6Xl3+9X?3X13

原式+9Xl3+18X?3

6+9)X13

135

-18X13

5

18

練習(xí)4

計算下面各題:

「萬行下X-2,f節(jié)X6節(jié)Xl2

c5_16_115531711

3.-X7?+50X-節(jié)X-4

-UX”后X-+-X3-

【例題5】

1998

計算：(1)166—4-41(2)1998—1998高布

乙u1

解：（1）原式=（164+2^7；）?41

=1644-41+—?41

=碌

練習(xí)5

計算下面各題:

238

1.54.4-172.238-^238—3.

16313i玷

第5講簡便運算(四)

一、知識要點

前面我們介紹了運用定律和性質(zhì)以及數(shù)的特點進(jìn)行巧算和簡算的一些方法，下面再向

同學(xué)們介紹怎樣用拆分法(也叫裂項法、拆項法)進(jìn)行分?jǐn)?shù)的簡便運算。

運用拆分法解題主要是使拆開后的一些分?jǐn)?shù)互相抵消，達(dá)到簡化運算的目的。一般地,

形如的分?jǐn)?shù)可以拆成；形如的分?jǐn)?shù)可以拆成,

aX(a+1)1a-4a+17aX、(Ja+n)、nX(a--

；),形如呼；的分?jǐn)?shù)可以拆成等等。同學(xué)們可以結(jié)合例題思考其中的規(guī)律。

a+naXbab

二、精講精練

【例題1】

11]]

計算:T><2+2X3+3x4+……+99X100

出二_八1、/1、/1、/I1、

原式一1-2）+（5-5）+，―7）+……+（99-Too）

1111111

—4-———4-———++-------

22334……99100

1

Too

_99

=Too

練習(xí)1

計算下面各題:

11]_1_

4X5+5X6+6X7+……+39X40

1_]]]1

2.10X11+11X12+12X13+13X14+14X15

111111

—+—~+

2612203042

1111

4.1652

【例題2】

1+笆?----+-----+-----1

1月.2X44X66X848X50

222

原式=(++------)x-

2X44X66X848X502

11111111

-)+-)+z--)X-

44-6-k6-82

4850

l1▼1

[r2-501X2

6

25

練習(xí)2

計算下面各題:

1]]]_J_]]I

1.3X5+5X7+7X9+…-+97X992,+4X7+7X10+,,…+97X100

_J_1]]

+J+—+L+工

3,1X5+5X99X13+……+33X374287013C208

【例題3】

79111315

計算：

4O12班-30%-56

1/1、/1、/1、/1、/1、

原式=5_V2）+qr）一=葦）+恁節(jié)）一勺節(jié)）

11111111111

-33445566778

1

1

8

7

8

練習(xí)3

計算下面各題:

157911

L5葦一誦男-30

2J"1

420304256

19981998199819981998

工T5<2+2X3+3X4+4X5+5X6

79

4.6X——X6+非X6

1乙20JU

【例題4】

、》111111

計算：5^巧飛無刀

原式=(J-411111.1

乙A節(jié)十元至覆+而)一百

1

=1

64

63

64

練習(xí)4

計算下面各題:

1111

L2^4+8+...........嗝

22222

2.3+9+243

3.9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

【例題5】

、L號/?111、/111、/1111、/11、

計算：（1蕩節(jié)）x（5芍+彳*）—（1+2節(jié)號號）義:芍二）

、…111111

設(shè)1巧+52』2"3"4

原式=aX(b+^)—(a+^)Xb

ab+^a—ab——b

=7(a—b)

o

1

5

練習(xí)5

/Ill、1111.11111111.

L（5巧7號）xq二與+v-（5節(jié)二苒+/X。二十5）

京節(jié)十五F〉x（§+正f+正）—（京+§+元+五+適）義（§+■+n）

工(1+1999+2000+200?)X(?999+2000+200?+2002)-(1+1999+2000+2001

1111

2002)X+2000+2001)

第6講轉(zhuǎn)化單位“1”（一）

一、知識要點

把不同的數(shù)量當(dāng)作單位“1”，得到的分率可以在一定的條件下轉(zhuǎn)化。

如果甲是乙的a/b,乙是丙的c/d,則甲是丙的ac/bd；如果甲是乙的a/b,則乙是甲

的b/a；如果甲的a/b等于乙的c/d,則甲是乙的c/d+a/b=bc/ad,乙是甲的a/b+a/b

=ad/bco

二、精講精練

【例題1】乙數(shù)是甲數(shù)的2/3,丙數(shù)是乙數(shù)的4/5,丙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？

2/3X4/5=8/15

練習(xí)1:

1.乙數(shù)是甲數(shù)的3/4,丙數(shù)是乙數(shù)的3/5,丙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？

2.一根管子，第一次截去全長的1/4,第二次截去余下的1/2,兩次共截去全長的幾

分之幾？

3.一個旅客從甲城坐火車到乙城，火車行了全程的一半時旅客睡著了。他醒來時，

發(fā)現(xiàn)剩下的路程是他睡著前所行路程的1/4。想一想，剩下的路程是全程的幾分之幾？他

睡著時火車行了全程的幾分之幾？

【例題2】修一條8000米的水渠，第一周修了全長的1/4,第二周修的相當(dāng)于第一周

的4/5,第二周修了多少米？

解一：8000X1/4X4/5=1600（米）

解二：8000X（1/4X4/5）=1600（米）

答：第二周修了1600米。

練習(xí)2：用兩種方法解答下面各題：

1.一堆黃沙30噸，第一次用去總數(shù)的1/5,第二次用去的是第一次的1又1/4倍，

第二次用去黃沙多少噸？

2.大象可活80年，馬的壽命是大象的1/2,長頸鹿的壽命是馬的7/8,長頸鹿可活

多少年？

3.倉庫里有化肥30噸，第一次取出總數(shù)的1/5,第二次取出余下的1/3,第二次取

出多少噸？

【例題3】晶晶三天看完一本書，第一天看了全書的1/4,第二天看了余下的2/5,第

二天比第一天多看了15頁，這本書共有多少頁？

解：154-[（1-1/4）X2/5-1/4]=300（頁）

答：這本書有300頁。

練習(xí)3：

1.有一批貨物，第一天運了這批貨物的1/4,第二天運的是第一天的3/5,還剩90

噸沒有運。這批貨物有多少噸？

2.修路隊在一條公路上施工。第一天修了這條公路的1/4,第二天修了余下的2/3,

已知這兩天共修路1200米，這條公路全長多少米？

3.加工一批零件，甲先加工了這批零件的2/5,接著乙加工了余下的4/9。已知乙加

工的個數(shù)比甲少200個，這批零件共有多少個？

【例題4】男生人數(shù)是女生人數(shù)的4/5,女生人數(shù)是男生人數(shù)的幾分之幾？

解：把女生人數(shù)看作單位“1”。14-4/5=5/4

把男生人數(shù)看作單位“1”。5。4=5/4

練習(xí)4：

1.停車場里有小汽車的輛數(shù)是大汽車的3/4,大汽車的輛數(shù)是小汽車的幾分之幾？

2.如果山羊的只數(shù)是綿羊的6/7,那么綿羊的只數(shù)是山羊的幾分之幾？

3.如果花布的單價是白布的1又3/5倍，則白布的單價是花布的幾分之幾？

【例題5】甲數(shù)的1/3等于乙數(shù)的1/4,甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾，乙數(shù)是甲數(shù)的幾倍？

解：1/4+1/3=3/41/3+1/4=1又1/3

答：甲數(shù)是乙數(shù)的3/4,乙數(shù)是甲數(shù)的1又1/3。

練習(xí)5:

1.甲數(shù)的3/4于乙數(shù)的2/5,甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾？乙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？

2.甲數(shù)的1又2/3倍等于乙數(shù)的5/6,甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾？乙數(shù)是甲乙兩數(shù)和的

幾分之幾？

3.甲數(shù)是丙數(shù)的3/4,乙數(shù)是丙數(shù)的2/5,甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾？乙數(shù)是甲數(shù)的幾

分之幾？（想一想：這題與第一題有什么不同？）

第7講轉(zhuǎn)化單位“1”(二)

一、知識要點

我們必須重視轉(zhuǎn)化訓(xùn)練。通過轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，既可理解數(shù)量關(guān)系的實質(zhì)，又可拓展我們的

解題思路，提高我們的思維能力。

二、精講精練

【例題1】甲數(shù)是乙數(shù)的2/3,乙數(shù)是丙數(shù)的3/4,甲、乙、丙的和是216,甲、乙、

丙各是多少？

解法一：把丙數(shù)看所單位“1”那么甲數(shù)就是丙數(shù)的3/4X2/3=l/2,

丙：216+(1+3/4+3/4X2/3)=96乙：96X3/4=72甲：72X2/3=48

解法二：可將“乙數(shù)是丙數(shù)的3/4”轉(zhuǎn)化成“丙數(shù)是乙數(shù)的4/3”，把乙數(shù)看作單位“1”。

乙：216+(2/3+1+4/3)=72甲：72X2/3=48丙：72+3/4=96

解法三：將條件“甲數(shù)是乙數(shù)的2/3”轉(zhuǎn)化為“乙數(shù)是甲數(shù)的3/2”，再將條件“乙數(shù)

是丙數(shù)的3/4”轉(zhuǎn)化為“丙數(shù)是乙數(shù)的4/3”，以甲數(shù)為單位“1二

甲：216+(1+3/2+3/2X4/3)=48乙：48X3/2=72丙：72X4/3=96

答：甲數(shù)是48,乙數(shù)是72,丙數(shù)是96。

練習(xí)1:下面各題怎樣計算簡便就怎樣計算：

1.甲數(shù)是乙數(shù)的5/6,乙數(shù)是丙數(shù)的3/4,甲、乙、丙三個數(shù)的和是152,甲、乙、

丙三個數(shù)各是多少？

2.橘子的千克數(shù)是蘋果的2/3,香蕉的千克數(shù)是橘子的1/2,香蕉和蘋果共有220千

克，橘子有多少千克？

3.某中學(xué)的初中部三個年級中，初一的學(xué)生數(shù)是初二學(xué)生數(shù)的9/10,初二的學(xué)生數(shù)

是初三學(xué)生數(shù)的1又1/4倍，這個學(xué)校里初三的學(xué)生數(shù)占初中部學(xué)生數(shù)的幾分之幾？

【例題2】紅、黃、藍(lán)氣球共有62只，其中紅氣球的3/5等于黃氣球的2/3,藍(lán)氣球

有24只，紅氣球和黃氣球各有多少只？

解法一：將條件“紅氣球的3/5等于黃氣球的2/3”轉(zhuǎn)化為“黃氣球的只數(shù)是紅氣球

的(3/54-2/3)=9/10”。先求紅氣球的只數(shù)，再求出黃氣球的只數(shù)。

紅氣球：(62—24)+(1+3/54-2/3)=20(只)黃氣球：62-24-20=18(只)

解法二：將條件“紅氣球的3/5等于黃氣球的2/3”轉(zhuǎn)化為“紅氣球的只數(shù)是黃氣球

的(2/34-3/5)=10/9”。先求黃氣球的只數(shù)，再求出紅氣球的只數(shù)。

黃氣球：(62—24)4-(1+2/34-3/5)=18(只)紅氣球：62-24-18=20(只)

答：紅氣球有20只，黃氣球有18只。

練習(xí)2：

1.甲數(shù)的2/3等于乙數(shù)的5/6,甲、乙兩數(shù)的和是162,甲、乙兩數(shù)各是多少？

2,今年8月份，甲所得的獎金比乙少200元，甲得的獎金的2/3正好是乙得獎金的

4/7,甲、乙兩人各得獎金多少元？

3.商店運來香蕉、蘋果和梨子共900千克，香蕉重量的1/4等于蘋果重量的1/3,梨

子的重量是200千克。香蕉和革果各多少千克？

【例題3】已知甲校學(xué)生數(shù)是乙校學(xué)生數(shù)的2/5,甲校的女生數(shù)是甲校學(xué)生數(shù)的3/10,

乙校的男生數(shù)是乙校學(xué)生數(shù)的21/50,那么兩校女生總數(shù)占兩校學(xué)生總數(shù)的幾分之幾？

解法一：把乙校學(xué)生數(shù)看作單位“1”。[2/5X3/10+(1-21/50)]4-(1+2/5)=1/2

解法二：把甲校學(xué)生數(shù)看作單位“1”。(5/2-5/2X2150+3/10)+(1+5/2)=1/2

答：甲、乙兩校女生總數(shù)占兩校學(xué)生總數(shù)的1/2。

練習(xí)3：

1.在一座城市中，中學(xué)生數(shù)是居民的1/5,大學(xué)生是中學(xué)生數(shù)的1/4,那么占大學(xué)生

總數(shù)的2/5的理工科大學(xué)生是居民數(shù)的幾分之幾？

2.某人在一次選舉中，需3/4的選票才能當(dāng)選，計算2/3的選票后，他得到的選票

已達(dá)到當(dāng)選票數(shù)的5/6,他還要得到剩下選票的幾分之幾才能當(dāng)選？

3.某校有3/5的學(xué)生是男生，男生的1/20想當(dāng)醫(yī)生，全校想當(dāng)醫(yī)生的學(xué)生的3/4是

男生，那么全校女生的幾分之幾想當(dāng)醫(yī)生？

【例題4】倉庫里的大米和面粉共有2000袋。大米運走2/5,面粉運作1/10后，倉

庫里剩下大米和面粉正好相等。原來大米和面粉各有多少袋？

解法一：將大米的袋數(shù)看作單位“1”

(1-2/5)+(1-1/10)=2/320004-(1+2/3)=1200(袋)2000-1200=800(袋)

解法二：將面粉的袋數(shù)看作單位“1”

(1-1/10)+(1-2/5)=3/220004-(1+3/2)=800(袋)2000-800=1200(袋)

答：大米原有1200袋，面粉原有800袋。

練習(xí)4：

1.甲、乙兩人各準(zhǔn)備加工零件若干個，當(dāng)甲完成自己的2/3、乙完成自己的1/4時，

兩人所剩零件數(shù)量相等，已知甲比乙多做了70個，甲、乙兩人各準(zhǔn)備加工多少個零件？

2.一批水果四天賣完。第一天賣出180千克，第二天賣出余下的2/7,第三、四天共

賣出這批水果的一半，這批水果有多少千克？

3.甲、乙兩人合打一篇書稿，共有10500字。如果甲增加他的任務(wù)的20%,乙減少

他的任務(wù)的20%,那么甲打的字?jǐn)?shù)就是乙的2倍，問兩人原來的任務(wù)各是多少？

【例題5】400名學(xué)生參加植樹活動，計劃每個男生植樹20棵，每個女生植樹15棵。

除抽出25%的男生搞衛(wèi)生外，其他的同學(xué)都按計劃完成了植樹任務(wù)。問共植樹多少棵？

解：20X(1-25%)X400

=20X0.75X400

=6000(棵)

答：共植樹6000棵。

練習(xí)5：

1.有一塊菜地和一塊麥地，菜地的一半和麥地的1/3放在一起是13公頃，麥地的一

半和菜地的1/3放在一起是12公頃，那么，菜地有多少公頃？

2.師徒兩人加工同樣多的零件，師傅要10分鐘，徒弟要18分鐘。兩人共同加工零

件168個，如果要在相同的時間內(nèi)完成，兩人各應(yīng)加工零件多少個？

3.有5元和2元的人民幣若干張，其金額之比為15：4。如果5元人民幣減少6張，

則兩種人民幣的張數(shù)相等。求原來兩種人民幣的張數(shù)各是多少？

第8講轉(zhuǎn)化單位“1”(三)

一、知識要點

解答較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，我們往往從題目中找出不變的量，把不變的量看作單位

“1”，將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找出所求數(shù)量相當(dāng)于單位“1”的幾分之幾，再列式解答。

二、精講精練

【例題1】有兩筐梨。乙筐是甲筐的3/5,從甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的

梨是甲筐的7/9。甲、乙兩筐梨共重多少千克？

解；5+(5/(5+3)-9/(7+9))=80(千克)

答：甲、乙兩筐梨共重80千克。

練習(xí)1:

1.某小學(xué)低年級原有少先隊員是非少先隊員的1/3,后來又有39名同學(xué)加入少先隊

組織。這樣，少先隊員的人數(shù)是非少先隊員的7/8。低年級有學(xué)生多少人？

2.王師傅生產(chǎn)一批零件，不合格產(chǎn)品是合格產(chǎn)品的1/19,后來從合格產(chǎn)品中又發(fā)現(xiàn)

了2個不合格產(chǎn)品，這時算出產(chǎn)品的合格率是94%。合格產(chǎn)品共有多少個？

3.某校六年級上學(xué)期男生占總?cè)藬?shù)的54%,本學(xué)期轉(zhuǎn)進(jìn)3名女生，轉(zhuǎn)走3名男生，

這時女生占總?cè)藬?shù)的48%?，F(xiàn)在有男生多少人？

【例題2】某學(xué)校原有長跳繩的根數(shù)占長、短跳繩總數(shù)的3/8。后來又買進(jìn)20根長跳

繩，這時長跳繩的根數(shù)占長、短跳繩總數(shù)的7/12。這個學(xué)?，F(xiàn)有長、短跳繩的總數(shù)是多少

根？

解法一：根據(jù)短跳繩的根數(shù)沒有變，我們把短跳繩看作單位“1”?？梢缘贸鲈瓉淼拈L

跳繩根數(shù)占短跳繩根數(shù)的3/(8-3),后來長跳繩是短跳繩的7/(12-7)。這樣就找到了20

根長跳繩相當(dāng)于短跳繩的(7/(12-7)-3/(8-3)),從而求出短跳繩的根數(shù)。再用短跳

繩的根數(shù)除以(1-7/12)就可以求出這個學(xué)校現(xiàn)有跳繩的總數(shù)。即

204-[7/(12-7)-3/(8-3)]4-(1-7/12)=60(根)

解法二：把短跳繩看作單位“1”，原來的總數(shù)是短跳繩的8/(8-3),后來的總數(shù)是短

跳繩的12/(12-7)o所以204-(12/(12-7)-8/(8-3))+(1-7/12)=60(根)

答：這個學(xué)校現(xiàn)有長、短跳繩的總數(shù)是60根。

練習(xí)2：

1.閱覽室看書的同學(xué)中，女同學(xué)占3/5,從閱覽室走出5位女同學(xué)后，看數(shù)的同學(xué)中，

女同學(xué)占4/7,原來閱覽室一共有多少名同學(xué)在看書？

2.一堆什錦糖，其中奶糖占45%,再放入16千克其他糖后，奶糖只占25%,這堆

糖中有奶糖多少千克？

3.數(shù)學(xué)課外興趣小組，上學(xué)期男生占5/9,這學(xué)期增加21名女生后，男生就只占2/5

了，這個小組現(xiàn)有女生多少人？

【例題3】有兩段布，一段右長40米，另一段長30米，把兩段布都用去同樣長的一

部分后，發(fā)現(xiàn)短的一段布剩下的長度是長的一段布所剩長度的3/5,每段布用去多少米？

解：40-(40-30)+(1-3/5)=15(米)

答：每段布用去15米。

練習(xí)3：

1.有兩根塑料繩，一根長80米，另一根長40米，如果從兩根上各剪去同樣長的一

段后，短繩剩下的長度是長繩剩下的2/7,兩根繩各剪去多少米？

2.今年父親40歲，兒子12歲，當(dāng)兒子的年齡是父親的5/12時，兒子多少歲？

3.倉庫里原來存大米和面粉袋數(shù)相等，運出800袋大米和500袋面粉后，倉庫里所

剩的大米袋數(shù)時面粉的3/4,倉店里原有大米和面粉各多少袋？

4.甲、乙、丙、丁四個筑路隊共筑1200米長的一段公路，甲隊筑的路時其他三個隊

的1/2,乙隊筑的路時其他三個隊的1/3,丙隊筑的路時其他三個隊的1/4,丁隊筑了多少

米？

【例題4】某商店原有黑白、彩色電視機(jī)共630臺，其中黑白電視機(jī)占1/5,后來又

運進(jìn)一些黑白電視機(jī)。這時黑白電視機(jī)占兩種電視機(jī)總臺數(shù)的30%,問：又運進(jìn)黑白電視

機(jī)多少臺？

解：630X(1-1/5)4-(1-30%)-630=90(臺)

答：又運進(jìn)黑白電視機(jī)90臺。

練習(xí)4：

1.書店運來科技書和文藝書共240包，科技書占1/6。后來又運來一批科技書，這時

科技書占兩種書總和的3/11,現(xiàn)在兩種書各有多少包？

2.某市派出60名選手參加田徑比賽，其中女選手占1/4,正式比賽時，有幾名女選

手因故缺席，這樣女選手人數(shù)占參賽選手總數(shù)的2/11。問：正式參賽的女選手有多少人？

3.把12千克的鹽溶解于120千克水中，得到132千克鹽水，如果要使鹽水中含鹽8%,

要往鹽水中加鹽還是加水？加多少千克？

4.東風(fēng)水果店上午運進(jìn)梨和蘋果共1020千克，其中梨占水果總數(shù)的1/5；下午又運

進(jìn)梨若干千克，這時梨占兩種水果總數(shù)的2/5,下午運進(jìn)梨多少千克？

【例題5】一堆煤，運走的比總數(shù)的2/5多120噸，剩下的比運走的5/6多60噸，這

雄煤原有多少噸？

解：(120+120X5/6+60)4-(1-2/5-2/5X5/6)=1050(噸)

答：這堆煤原有1050噸。

練習(xí)5：

1.修一條路，第一天修了全長的2/5多60米，第二天修的長度比第一天的3/4多35

米，還剩100米沒有修，這條路全長多少米？

2.修一條路，第一天修了全長的2/5多60米，第二天修的長度比第一天的3/4少35

米，這兩天共修路420米，這條路全長多少米？

3.某工程隊修筑一條公路，第一天修了全長的2/5,第二天修了剩下部分的5/9又

20米，第三天修的是第一天的1/4又30米，這樣，正好修完，這段公路全長多少米？

第9講設(shè)數(shù)法解題

一、知識要點

在小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中，常常會遇到一些看起來缺少條件的題目，按常規(guī)解法似乎無解，

但仔細(xì)分析就會發(fā)現(xiàn)，題目中缺少的條件對于答案并無影響，這時就可以采用“設(shè)數(shù)代入

法”，即對題目中“缺少”的條件，隨便假設(shè)一個數(shù)代入(當(dāng)然假設(shè)的這個數(shù)要盡量的方

便計算)，然后求出解答。

二、精講精練

【例題1］如果△△=□□□,△☆=□□□□,那么☆☆口=()個△(5

解：由第一個等式可以設(shè)4=3,口=2,代入第二式得☆=5,再代入第三式左邊是

12,所以右邊括號內(nèi)應(yīng)填4。

說明：本題如果不用設(shè)數(shù)代入法，直接用圖形互相代換，顯然要多費周折。

練習(xí)1：

1.已知△=00口口，AC=nn,☆=□□□,問△口☆=()個o。

2.五個人比較身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊

矮5厘米，甲與戊誰高，高幾厘米？

3.甲、乙、丙三個倉庫原有同樣多的貨，從甲倉庫運60噸到乙倉庫，從乙倉庫運45

噸到丙倉庫，從丙倉庫運55噸到甲倉庫，這時三個倉庫的貨哪個最多？哪個最少？最多

的比最少的多多少噸？

【例題2】足球門票15元一張，降價后觀眾增加一倍，收入增加1/5,問一張門票降

價多少元？

【思路導(dǎo)航】初看似乎缺少觀眾人數(shù)這個條件，實際上觀眾人數(shù)于答案無關(guān)，我們可

以隨便假設(shè)一個觀眾數(shù)。為了方便，假設(shè)原來只有一個觀眾，收入為15元，那么降價后

有兩個觀眾，收入為15X(1+1/5)=18元，則降價后每張票價為18+2=9元，每張票

降價15—9=6元。即：

15-15X(1+1/5)+2=6(元)

答：每張票降價6元。

說明：如果設(shè)原來有a名觀眾，則每張票降價：

15-15aX(1+1/5)+2a=6(元)

練習(xí)2：

1.某班一次考試，平均分為70分，其中3/4及格，及格的同學(xué)平均分為80分，那

么不及格的同學(xué)平均分是多少分？

2.游泳池里參加游泳的學(xué)生中，小學(xué)生占30%,又來了一批學(xué)生后，學(xué)生總數(shù)增加

了20%,小學(xué)生占學(xué)生總數(shù)的40%,小學(xué)生增加百分之幾？

3.五年級三個班的人數(shù)相等。一班的男生人數(shù)和二班的女生人數(shù)相等，三班的男生

是全部男生的2/5,全部女生人數(shù)占全年級人數(shù)的幾分之幾？

【例題3】小王在一個小山坡來回運動。先從山下跑上山，每分鐘跑200米，再從原

路下山，每分鐘跑240米，又從原路上山，每分鐘跑150米，再從原路下山，每分鐘跑200

米，求小王的平均速度。

【思路導(dǎo)航】題中四個速度的最小公倍數(shù)是1200,設(shè)一個單程是1200米。則

(1)四個單程的和：1200X4=4800(米)

(2)四個單程的時間分別是；

1200^-200=6(分)

12004-240=5(分)

12004-150=8(分)

12004-200=6(分)

(3)小王的平均速度為：

48004-(6+5+8+6)=192(米)

答：小王的平均速度是每分鐘192米。

練習(xí)3:

1.小華上山的速度是每小時3千米，下山的速度是每小時6千米，求上山后又沿原

路下山的平均速度。

2.張師傅騎自行車往返A(chǔ)、B兩地。去時每小時行15千米，返回時因逆風(fēng)，每小時

只行10千米，張師傅往返途中的平均速度是每小時多少千米？

3.小王騎摩托車往返A(chǔ)、B兩地。平均速度為每小時48千米，如果他去時每小時行

42千米，那么他返回時的平均速度是每小時行多少千米？

【例題4】某幼兒園中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多1/5,女孩

平均身高比男孩高10%,這個班男孩平均身高是多少？

【思路導(dǎo)航】題中沒有男、女孩的人數(shù)，我們可以假設(shè)女孩有5人，則男孩有6人。

(1)總身高：115X[5+5X(1+1/5)]=1265(厘米)

(2)由于女孩平均身高是男孩的(1+10%),所以5個女孩的身高相當(dāng)于5X

(1+10%)=5.5個男孩的身高，因此男孩的平均身高為：

12654-[(1+10%)X5+6]=110(厘米)

答：這個班男孩平均身高是110厘米。

練習(xí)4：

1.某班男生人數(shù)是女生的2/3,男生平均身高為138厘米，全班平均身高為132厘米。

問：女生平均身高是多少厘米？

2.某班男生人數(shù)是女生的4/5,女生的平均身高比男生高15%,全班的平均身高是

130厘米，求男、女生的平均身高各是多少？

3.一個長方形每邊增加10%,那么它的周長增加百分之幾？它的面積增加百分之幾？

【例題5】狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米,

馬開始追它。問狗再跑多遠(yuǎn)，馬可以追到它？

【思路導(dǎo)航】馬跑一步的距離不知道，跑3步的時間也不知道，可取具體數(shù)值，并不

影響解題結(jié)果。

設(shè)馬跑一步為7,則狗跑一步為4,再設(shè)馬跑3步的時間為1,則狗跑5步的時間為1,

推知狗的速度為20,馬的速度為21。那么，

20X[30+(21-20)]=600(米)

練習(xí)5:

1.獵狗前面26步遠(yuǎn)的地方有一野兔，獵狗追之。兔跑8步的時間狗只跑5步，但兔

跑9步的距離僅等于狗跑4步的距離。問兔跑幾步后，被狗抓獲？

2.獵人帶獵狗去捕獵，發(fā)現(xiàn)兔子剛跑出40米，獵狗去追兔子。已知獵狗跑2步的時

間兔子跑3步，獵狗跑4步的距離與兔子跑7步的距離相等，求兔再跑多遠(yuǎn)，獵狗可以追

到它？

3.狗和兔同時從A地跑向B地，狗跑3步的距離等于兔跑5步的距離，而狗跑2步

的時間等于兔跑3步的時間，狗跑600步到達(dá)B地，這時兔還要跑多少步才能到達(dá)B地？

第10講假設(shè)法解題(一)

一、知識要點

假設(shè)法解體的思考方法是先通過假設(shè)來改變題目的條件，然后再和已知條件配合推

算。有些題目用假設(shè)法思考，能找到巧妙的解答思路。

運用假設(shè)法時，可以假設(shè)數(shù)量增加或減少，從而與已知條件產(chǎn)生聯(lián)系；也可以假設(shè)某

個量的分率與另一個量的分率一樣，再根據(jù)乘法分配律求出這個分率對應(yīng)的和，最后依據(jù)

它與實際條件的矛盾求解。

二、精講精練

【例題1】

甲、乙兩數(shù)之和是185,已知甲數(shù)的1/4與乙數(shù)的1/5的和是42,求兩數(shù)各是多少？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)將題中“甲數(shù)的1/4”、“乙數(shù)的1/5”與“和為42”同時擴(kuò)大4倍,

則變成了“甲數(shù)與乙數(shù)的4/5的和為168”，再用185減去168就是乙數(shù)的1/5。

解：乙：(185-42X4)+(1-1/5X4)=85

答：甲數(shù)是100,乙數(shù)是85。

練習(xí)1:

1.甲、乙兩人共有錢150元，甲的1/2與乙的1/10的錢數(shù)和是35元，求甲、乙兩

人各有多少元錢？

2.甲、乙兩個消防隊共有338人。抽調(diào)甲隊人數(shù)的1/7,乙隊人數(shù)的1/3,共抽調(diào)78

人，甲、乙兩個消防隊原來各有多少人？

3.海洋化肥廠計劃第二季度生產(chǎn)一批化肥，已知四月份完成息數(shù)的1/3多50噸，五

月份完成總數(shù)的2/5少70噸，還有420噸沒完成，第二季度原計劃生產(chǎn)多少噸？

【例題2】

彩色電視機(jī)和黑白電視機(jī)共250臺。如果彩色電視機(jī)賣出1/9,則比黑白電視機(jī)多5

臺。問：兩種電視機(jī)原來各有多少臺？

【思路導(dǎo)航】從圖中可以看出：假設(shè)黑白電視機(jī)增加5臺，就和彩色電視機(jī)賣出1