中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第17講 圖形的相似（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第17講圖形的相似（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．3.掌握?qǐng)D形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個(gè)圖形放大或縮?。?.掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置或由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用不同方式確定物體的位置．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、比例線段1.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng).2、比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）（交換內(nèi)項(xiàng)）（交換外項(xiàng)）（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：（4）合比性質(zhì)：（5）等比性質(zhì)：3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB.考點(diǎn)二、相似圖形相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.也就是說：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成的比相等.相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性質(zhì)：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線的比相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；(2)如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；(3)如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；(4)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.(5)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.考點(diǎn)三、位似圖形位似圖形的定義：兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不經(jīng)過交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心.2.位似圖形的分類：(1)外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外.(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上.3.位似圖形的性質(zhì)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；第四步：順次連接截取點(diǎn).【典型例題】題型一、比例線段例1.已知三個(gè)數(shù)1,2,,請(qǐng)你再添上一個(gè)(只填一個(gè))數(shù),使它們能構(gòu)成一個(gè)比例式,則這個(gè)數(shù)是_________.【變式】將一個(gè)菱形放在2倍的放大鏡下，則下列說法不正確的是()A．菱形的各角擴(kuò)大為原來的2倍B．菱形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來的2倍C．菱形的對(duì)角線擴(kuò)大為原來的2倍D．菱形的面積擴(kuò)大為原來的4倍題型二、相似圖形例2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠ECF=45°，過點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正確結(jié)論為（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④例3．如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AF=EC，連結(jié)EF，DE，DF，M是FE中點(diǎn)，連結(jié)MC，設(shè)FE與DC相交于點(diǎn)N．則4個(gè)結(jié)論：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC=，則BF=2；正確的結(jié)論有（）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【變式】如圖8，△ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.求證：求這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng).例4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線BC經(jīng)過點(diǎn)，，將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形，此時(shí)直線、直線分別與直線BC相交于點(diǎn)P、Q．（1）四邊形OABC的形狀是，當(dāng)時(shí)，的值是；（2）①如圖1，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在軸正半軸時(shí)，求的值；②如圖2，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在直線上時(shí)，求的面積．（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例5．如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．①求證：ADE∽BEF；②設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，AE=，BF=．當(dāng)取什么值時(shí)，有最大值?并求出這個(gè)最大值．題型三、位似圖形例6.如圖，用下面的方法可以畫出△AOB的“內(nèi)接等邊三角形”，閱讀后證明相應(yīng)的問題.畫法：(1)在△AOB內(nèi)畫等邊△CDE，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；(2)連結(jié)OE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E′，過E′作E′C′∥EC，交OA于點(diǎn)C′，作E′D′∥ED，交OB于點(diǎn)D′；(3)連結(jié)C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接三角形.請(qǐng)判斷△C′D′E′是否是等邊三角形，并說明理由.【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共7小題）1．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022?徐州）如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則陰影部分的面積為（）A．5 B．6 C． D．3．（2022?德州）如圖，把一根長(zhǎng)為4.5m的竹竿AB斜靠在石壩旁，量出竿長(zhǎng)1m處離地面的高度為0.6m，則石壩的高度為（）A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m4．（2022?鹽城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測(cè)距離的方法，步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測(cè)物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時(shí)看到被測(cè)物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測(cè)物體的大小，估算橫向距離的長(zhǎng)度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長(zhǎng)度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測(cè)物體離觀測(cè)點(diǎn)的距離值．如圖是用“跳眼法”估測(cè)前方一輛汽車到觀測(cè)點(diǎn)距離的示意圖，該汽車的長(zhǎng)度大約為4米，則汽車到觀測(cè)點(diǎn)的距離約為（）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米5．（2022?攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，BF、DE相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH∥CD，交BF于點(diǎn)H，則線段GH的長(zhǎng)度是（）A． B．1 C． D．6．（2022?東營(yíng)）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠BAC＝∠MAN＝60°，連接MN、OM．以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）①△AMN是等邊三角形；②MN的最小值是；③當(dāng)MN最小時(shí)S△CMN＝S菱形ABCD；④當(dāng)OM⊥BC時(shí)，OA2＝DN?AB．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④7．（2022?衢州）西周數(shù)學(xué)家商高總結(jié)了用“矩”（如圖1）測(cè)量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖2的位置，從矩的一端A（人眼）望點(diǎn)E，使視線通過點(diǎn)C，記人站立的位置為點(diǎn)B，量出BG長(zhǎng)，即可算得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y(tǒng)（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝x B．y＝x+1.6 C．y＝2x+1.6 D．y＝+1.6二．填空題（共6小題）8．（2022?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時(shí)期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿．衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個(gè)砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時(shí)被稱物重量是砝碼重量的倍．9．（2022?東營(yíng)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)F、G在BC上，點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長(zhǎng)為．10．（2022?錦州）如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F．若AB＝6，則△AEF的面積為．11．（2022?淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，作∠BAC的平分線交DF于點(diǎn)E，連接BE．若△ABE的面積是2，則的值是．12．（2022?阜新）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點(diǎn)，且AE＝2DE，BD與CE相交于點(diǎn)F，若△DEF的面積是3，則△BCF的面積是．13．（2022?丹東）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的菱形，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且BE＝AF，BF與CE交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BF交邊AD（或邊CD）于點(diǎn)G，連接OP，OG，則下列結(jié)論：①△ABF≌△BCE；②當(dāng)BE＝2時(shí)，△BOG的面積與四邊形OCDG面積之比為1：3；③當(dāng)BE＝4時(shí)，BE：CG＝2：1；④線段OP的最小值為2﹣2．其中正確的是．（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）三．解答題（共10小題）14．（2022?朝陽）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DAF＝∠B．（1）求證：AF是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，AD是△AEF的中線，且AD＝6，求AE的長(zhǎng)．15．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，EF與⊙O相切于點(diǎn)D，EF∥BC分別交AB，AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E和F，連接AD交BC于點(diǎn)N，∠ABC的平分線BM交AD于點(diǎn)M．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求線段DM的長(zhǎng)．16．（2022?徐州）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面CQ，坡角∠QCN＝30°．在陽光下，小明觀察到AB在地面上的影長(zhǎng)為120cm，在坡面上的影長(zhǎng)為180cm．同一時(shí)刻，小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60cm的木桿的影長(zhǎng)為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．17．（2022?鎮(zhèn)江）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm，高為42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑AB、CD以及、組成的軸對(duì)稱圖形，直線l為對(duì)稱軸，點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，如圖2，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角∠AEC＝66°，發(fā)現(xiàn)并證明了點(diǎn)E在MN上．請(qǐng)你繼續(xù)完成MN長(zhǎng)的計(jì)算．參考數(shù)據(jù)：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．18．（2022?襄陽）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接AC，BC，AD，AD與BC相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作直線DE∥BC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若＝，CG＝2，求陰影部分的面積．19．（2022?淮安）如圖，湖邊A、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測(cè)量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）20．（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)CD＝15m，斜坡的傾斜角為α，cosα＝．小文在C點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為60°，在D點(diǎn)處測(cè)得樓頂端A的仰角為30°（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．（1）求C，D兩點(diǎn)的高度差；（2）求居民樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）21．（2022?巴中）四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，直徑AC與弦BD交于點(diǎn)E，直線PB與⊙O相切于點(diǎn)B．（1）如圖1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求證：BA平分∠PBD；（2）如圖2，連接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求證：△OAB∽△CDE．22．（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度AB．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）23．（2022?資陽）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM＝4，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合，過點(diǎn)E作直線AB的垂線，垂足為F，連接DE、DF．（1）求證：△ABM∽△EBF；（2）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求DE的長(zhǎng)；（3）設(shè)BE＝x，△DEF的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共9小題）1．（2023?邢臺(tái)一模）4sin260°的值為（）A．3 B．1 C． D．2．（2023?邢臺(tái)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF關(guān)于原點(diǎn)O位似，且OB＝2OE，若S△ABC＝4，則S△DEF為（）A．1 B．2 C． D．3．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝，則BC的長(zhǎng)為（）A．+1 B．2+2 C．2+1 D．+44．（2023?深圳模擬）如圖，九年級(jí)（1）班課外活動(dòng)小組利用平面鏡測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在觀測(cè)員與旗桿AB之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記E，當(dāng)觀測(cè)到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合時(shí)，測(cè)得觀測(cè)員的眼睛到地面的高度CD為1.6m，觀測(cè)員到標(biāo)記E的距離CE為2m，旗桿底部到標(biāo)記E的距離AE為16m，則旗桿AB的高度約是（）A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m5．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)一模）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，△ABC面積為1，△DEF面積為9，則的值為（）A． B． C． D．26．（2023?吉陽區(qū)一模）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現(xiàn)測(cè)得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，則點(diǎn)A到BC的距離為（）A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°7．（2023?深圳模擬）數(shù)學(xué)中余弦定理是這樣描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，則BC的值是（）A．5 B． C． D．28．（2023?深圳模擬）某品牌20寸的行李箱拉桿拉開后放置如圖所示，經(jīng)測(cè)量該行李箱從輪子底部到箱子上沿的高度AB與從輪子底部到拉桿頂部的高度CD之比是黃金比（約等于0.618）．已知CD＝80cm，則AB約是（）A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm9．（2023?邢臺(tái)一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠BAC，則添加下列條件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C． D．二．填空題（共10小題）10．（2023?福安市一模）若cos（α﹣15）°＝，則α＝．11．（2023?雁塔區(qū)一模）如圖，點(diǎn)P把線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＜BP．如果AB＝2，那么BP＝（結(jié)果保留小數(shù)）．12．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知直線AB∥CD∥EF，且AE：EC＝2：3，BD＝15，則DF＝．13．（2023?未央?yún)^(qū)校級(jí)三模）某綜合實(shí)踐活動(dòng)課，老師要求學(xué)生測(cè)量教學(xué)樓外的旗桿高度．組長(zhǎng)將成員分為兩，選擇了一個(gè)身高1.6m的同學(xué)站立在旗桿影子的前方，并要求組內(nèi)同學(xué)測(cè)量他的影子長(zhǎng)度，另一組成員測(cè)量旗桿的影子長(zhǎng)度．經(jīng)過測(cè)量，該同學(xué)的影長(zhǎng)為1.2m，旗桿影長(zhǎng)為9m．那么他們得到旗桿的高度是m．14．（2023?未央?yún)^(qū)校級(jí)三模）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD＝5，AC＝6，則tanA的值為．15．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝135°，BC＝6，CD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的三等分點(diǎn)，AE＝AB，AF＝AD，連接CE，CF，EF，若四邊形ABCD的面積為24，則△CEF的面積是．16．（2023?偃師市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．邊長(zhǎng)為3的等邊△OAB的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BD＝2AC，DE∥AB，連接CD、CE，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為時(shí)，△CDE與△ACE相似．17．（2023?市南區(qū)校級(jí)一模）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧所在圓的圓心，A是圓弧與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為cm2．18．（2023?鎮(zhèn)海區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E、F分別是邊AB，BC邊上的點(diǎn)（E、F不與端點(diǎn)重合），且EF∥AC．將△BEF沿直線EF折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，延長(zhǎng)EM交AC于點(diǎn)G，若以M、G、F為頂點(diǎn)的三角形與△BEF相似，求BF的長(zhǎng)．19．（2023?青島一模）如圖，正方形ABCD中，AD＝12，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F，連接AF，交BD于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接AM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是BC邊的中點(diǎn)，下列說法正確的是.（填序號(hào)）①△AGD∽△FGB；②∠EFG＝∠ABD＝45°；③AM＝10；④S△EAM＝．三．解答題（共6小題）20．（2023?蓮湖區(qū)一模）為測(cè)量一棵大樹的高度，設(shè)計(jì)的測(cè)量方案如圖所示：標(biāo)桿高度CD＝3m，人的眼睛A、標(biāo)桿的頂端C和大樹頂端M在一條直線上，標(biāo)桿與大樹的水平距離DN＝14m，人的眼睛與地面的高度AB＝1.6m，人與標(biāo)桿CD的水平距離BD＝2m，B、D、N三點(diǎn)共線，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，求大樹MN的高度．21．（2023?深圳模擬）如圖，已知菱形ABCD，點(diǎn)E是BC上的點(diǎn)，連接DE，將△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的F點(diǎn)上，連接DF，延長(zhǎng)FE，交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：△DFG∽△FAD；（2）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，AF＝3，求BE的長(zhǎng)．22．（2023?碑林區(qū)校級(jí)二模）小明家窗外有一個(gè)路燈，每天晚上燈光都會(huì)透過窗戶照進(jìn)房間里，小明利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量了這個(gè)路燈的高．如圖，路燈頂部A處發(fā)光，光線透過窗子BC照亮地面的長(zhǎng)度為DE，小明測(cè)得窗戶距離地面高度BF＝0.6m，窗高BC＝1.4m，某一時(shí)刻，F(xiàn)D＝0.6m，DE＝2.4m，其中O、F、D、E四點(diǎn)在同一條直線上，C、B、F三點(diǎn)在同一條直線上，且OA⊥OE，CF⊥OE，請(qǐng)求出路燈的高度OA．23．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)二模）長(zhǎng)安塔是2011西安世園會(huì)的標(biāo)志，也是園區(qū)的觀景塔，游人可登塔俯瞰，全園美景盡收眼底．該塔的設(shè)計(jì)既體現(xiàn)了中國建筑文化的內(nèi)涵，又彰顯出時(shí)尚現(xiàn)代的都市風(fēng)貌，是生態(tài)建筑的實(shí)踐和示范，建成后的目標(biāo)是成為提升西安城市建筑文化內(nèi)涵的標(biāo)志性建筑．小華是一位數(shù)學(xué)受好者，想利用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量長(zhǎng)安塔的高度，陽光明媚的一天，小華站在點(diǎn)D處利用測(cè)傾器測(cè)得塔尖A的仰角為42°，然后沿著DM方向走了60米到達(dá)點(diǎn)F處，此時(shí)塔的影子頂端與小華的影子頂端恰好重合，小華身高EF＝1.7米，測(cè)得FG＝3米，測(cè)傾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．請(qǐng)你根據(jù)以上信息，計(jì)算塔AB的高度．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：tan42°≈0.9）24．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)二模）問題探究：（1）如圖①，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，，則△ADE與△ABC的高之比為；（2）如圖②，在△ABC中，BC＝10，S△ABC＝50，矩形DEFG的頂點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，頂點(diǎn)F、G在邊BC上，若設(shè)DG＝x，求當(dāng)x取何值時(shí)，矩形DEFG面積最大．問題解決：（3）某市進(jìn)行綠化改造，美化生態(tài)環(huán)境．如圖③，現(xiàn)有一塊四邊形的空地ABCD計(jì)劃改造公園，經(jīng)測(cè)量AB＝50m，BC＝100m，CD＝72m，且∠B＝∠C＝60°，按設(shè)計(jì)要求，要在四邊形公園ABCD內(nèi)建造一個(gè)矩形活動(dòng)場(chǎng)所PQMN，頂點(diǎn)M、N同在邊BC上，頂點(diǎn)Q、P分別在邊AB、CD上，為了滿足居民需求，計(jì)劃在矩形活動(dòng)場(chǎng)所PQMN中種植草坪，在公園內(nèi)其它區(qū)域種植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，則綠化改造所需費(fèi)用至少為多少元？（結(jié)果保留根號(hào)）25．（2023?邢臺(tái)一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC．已知BC＝10，．（1）DE的長(zhǎng)為；△ADE與△ABC的周長(zhǎng)比為；（2）將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BD，CE．①當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置時(shí)，求證：△ABD∽△ACE；②如圖3，當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)D在BC上時(shí)，AD⊥BC，直接寫出AB及EC的長(zhǎng)．【名校自招練】一．選擇題（共6小題）1．（2022?北碚區(qū)自主招生）如圖，已知△ABC和△AED是以點(diǎn)A為位似中心的位似圖形，且S△ABC：S△AED＝1：4，則△ABC與△AED的相似比是（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：12．（2022?南岸區(qū)自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC與菱形ODEF位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O．若點(diǎn)A（5，0），點(diǎn)D（10，0），則菱形OABC與菱形ODEF的周長(zhǎng)比是（）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：33．（2022?長(zhǎng)壽區(qū)自主招生）如圖，四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OA1＝：3，則四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積比為（）A．：3 B．5：3 C．5：9 D．：9