中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第16講正多邊形與圓（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第16講正多邊形與圓（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；2．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解決問題的能力.【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑.）(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角.2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.這個(gè)圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.3、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓.

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.要點(diǎn)詮釋：正n邊形的有n個(gè)相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.

（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長(zhǎng)的比等于它們邊長(zhǎng)（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長(zhǎng)（或半徑、邊心距）平方的比.考點(diǎn)二、圓中有關(guān)計(jì)算1．圓中有關(guān)計(jì)算圓的面積公式：，周長(zhǎng).圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形的面積.弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算.圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有.弓形的面積（1）由弦及其所對(duì)的劣弧組成的圖形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所對(duì)的優(yōu)弧組成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.··OAB·ABOm·ABOm要點(diǎn)詮釋：(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.【典型例題】題型一、正多邊形有關(guān)計(jì)算 例1．如圖，矩形ABCD中，AB=4，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心的⊙O與弧AE，邊AD，DC都相切．把扇形BAE作一個(gè)圓錐的側(cè)面，該圓錐的底面圓恰好是⊙O，則AD的長(zhǎng)為（） A.4 B.QUOTEC.QUOTE D.5【變式1】如圖，兩個(gè)相同的正六邊形，其中一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)正多邊形外接圓圓心O處．求重疊部分面積與陰影部分面積之比.【變式2】已知：正十邊形的半徑是R，求證：它的邊長(zhǎng)為.題型二、正多邊形與圓綜合運(yùn)用例2．如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對(duì)角線．（1）在剩余的頂點(diǎn)B、C、D、E、F、H中，連接兩個(gè)頂點(diǎn)，使連接的線段與AG平行，并說明理由；（2）兩邊延長(zhǎng)AB、CD、EF、GH，使延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．【變式】如圖所示，在△ABC中，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點(diǎn)D，交AB于E，交AC于F，點(diǎn)P是⊙A上的一點(diǎn)，且∠EPF＝40°，則圖中陰影部分的面積是()A．B．C．D．例3．如圖，已知在⊙O中，，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)你出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共7小題）1．（2022?安順）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為2的正六邊形OABCDE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n個(gè)45°，得到正六邊形OAnBn?nDnEn，當(dāng)n＝2022時(shí)，正六邊形OAnBn?nDnEn的頂點(diǎn)Dn的坐標(biāo)是（）A．（﹣，﹣3） B．（﹣3，﹣） C．（3，﹣） D．（﹣，3）2．（2022?安順）如圖，邊長(zhǎng)為的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，PA，PD分別與⊙O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)D，PD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為（）A．5﹣π B．5﹣ C．﹣ D．﹣3．（2022?綿陽(yáng)）在2022年北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（2﹣2，3） B．（0，1+2） C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）4．（2022?青島）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在上，則∠CME的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．60°5．（2022?內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和的長(zhǎng)分別為（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π6．（2022?雅安）如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．37．（2022?成都）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（）A． B． C．3 D．2二．填空題（共6小題）8．（2022?長(zhǎng)春）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB＝27厘米，則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為厘米．9．（2022?營(yíng)口）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AC，CF，則∠ACF＝度．10．（2022?呼和浩特）如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)是a的正五邊形紙片上剪出一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的面積為（用含π的代數(shù)式表示）；如果將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的底面圓直徑為．11．（2022?綏化）如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形AHIJK內(nèi)接于⊙O，且有公共頂點(diǎn)A，則∠BOH的度數(shù)為度．12．（2022?梧州）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正四邊形，分別以點(diǎn)A，O為圓心，取大于OA的定長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)．若OA＝1，則，AE，AB所圍成的陰影部分面積為．13．（2022?宿遷）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB＝6，點(diǎn)M在邊AF上，且AM＝2．若經(jīng)過點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長(zhǎng)是．三．解答題（共1小題）14．（2022?金華）如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：作法如圖2．1．作直徑AF．2．以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N．3．連接AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度數(shù)．（2）△AMN是正三角形嗎？請(qǐng)說明理由．（3）從點(diǎn)A開始，以DN長(zhǎng)為邊長(zhǎng)，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．

【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．填空題（共6小題）1．（2023?撫州一模）蜂巢的構(gòu)造非常美麗、科學(xué)，如圖是由7個(gè)形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)絡(luò)，正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．設(shè)定AB邊如圖所示，則△ABC是直角三角形的個(gè)數(shù)有．2．（2023?瓊山區(qū)一模）一個(gè)正n邊形的中心角為36°，則它的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．3．（2023?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）線段AB是圓內(nèi)接正十二邊形的一條邊，則AB邊所對(duì)的圓周角是°．4．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．若該正六邊形的邊長(zhǎng)為5，則⊙O的面積等于．5．（2023?瀘縣校級(jí)模擬）已知⊙O的半徑為1，則它的內(nèi)接正三角形邊心距為．6．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE、CD分別相切于A、C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)為．

【名校自招練】一．選擇題（共9小題）1．（2017?雙流區(qū)校級(jí)自主招生）如圖1，在平面內(nèi)選一定點(diǎn)O，引一條有方向的射線Ox，再選定一個(gè)單位長(zhǎng)度，那么平面上任一點(diǎn)M的位置可由∠MOx的度數(shù)θ與OM的長(zhǎng)度m確定，有序數(shù)對(duì)（θ，m）稱為M點(diǎn)的“極坐標(biāo)”，這樣建立的坐標(biāo)系稱為“極坐標(biāo)系”．在圖2的極坐標(biāo)系下，如果正六邊形的邊長(zhǎng)為2，有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)應(yīng)記為（）A．（60°，4） B．（45°，4） C．（60°，2） D．（50°，2）2．（2018?蔡甸區(qū)校級(jí)自主招生）以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是（）A． B． C． D．3．（2019?順慶區(qū)校級(jí)自主招生）在一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師拿出三個(gè)邊長(zhǎng)都為5cm的正方形硬紙板，他向同學(xué)們提出了這樣一個(gè)問題：若將三個(gè)正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個(gè)圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑為（）A．50 B．40 C． D．1004．（2020?和平區(qū)校級(jí)自主招生）如圖是邊長(zhǎng)為2的正方形及其內(nèi)切圓和外接圓，則圖中陰影部分的總面積為（）A．3π﹣4 B．π+4 C．5π﹣4 D．3π+45．（2021?和平區(qū)校級(jí)自主招生）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在公元263年撰寫的《九章算術(shù)》中提出了一種估計(jì)π的方法，也就是“割圓術(shù)”：用圓內(nèi)接正6n邊形的周長(zhǎng)估計(jì)圓的周長(zhǎng)進(jìn)而估計(jì)π的近似值，且n越大時(shí)圓內(nèi)接正6n邊形的周長(zhǎng)越接近圓的周長(zhǎng)，估計(jì)值越接近π．當(dāng)n＝1時(shí)，如圖，用這種方法估計(jì)此時(shí)π的近似值為（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.1416．（2019?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)自主招生）在一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師拿出三個(gè)邊長(zhǎng)都為40mm的正方形硬紙板，他向同學(xué)們提出了這樣一個(gè)問題：若將三個(gè)正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個(gè)圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑為（單位：mm）（）A．80 B．40 C．25 D．1007．（2018?青羊區(qū)校級(jí)自主招生）將正多邊形ABCDEF放入直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)B，D，E的坐標(biāo)分別為（n，m），（﹣n，m），（a，b），則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以為（）A．（﹣m，﹣n） B．（m，﹣n） C．（﹣a，b） D．（﹣b，﹣a）8．（2017?平陽(yáng)縣自主招生）如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC，CD分別相交于點(diǎn)G，H，則的值為（）A． B． C． D．29．（2020?溫江區(qū)校級(jí)自主招生）“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣“，早在1800多年前，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)“，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無(wú)限逼近圓面積．如圖，連接⊙O的內(nèi)接正十二邊形頂點(diǎn)得到AB，BC，若OA＝2，則陰影部分的面積為（）A．2 B．2 C．π D．二．填空題（共8小題）10．（2019?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，ABCDE是邊長(zhǎng)為1的正五邊形，則它的內(nèi)切圓與外接圓所圍圓環(huán)的面積為．11．（2017?雙流區(qū)校級(jí)自主招生）一個(gè)半徑為1cm的圓，在邊長(zhǎng)為6cm的正六邊形內(nèi)任意挪動(dòng)（圓可以與正六邊形的邊相切），則圓在正六邊形內(nèi)不能達(dá)到的部分的面積為cm2．12．（2021?黃州區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，設(shè)ABCDE是正五邊形，五角星ACEBD（陰影部分）的面積為2，設(shè)AC與BE的交點(diǎn)為P，BD與CE的交點(diǎn)為Q，則四邊形APQD的面積等于．13．（2020?洪山區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，以正六邊形ABCDEF的對(duì)角線BD為邊，向右作等邊三角形BDG，若四邊形BCDG（圖中陰影部分）的面積為6，則五邊形ABDEF的面積為．14．（2017?江陰市自主招生）如圖，已知M（3，3），⊙M的半徑為2，四邊形ABCD是⊙M的內(nèi)接正方