中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第16講正多邊形與圓（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第16講正多邊形與圓（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計(jì)算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；2．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識解決問題的能力.【知識導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑.）(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角.2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形.(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓.（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.3、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個外接圓.

(2)正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.要點(diǎn)詮釋：正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.

（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.考點(diǎn)二、圓中有關(guān)計(jì)算1．圓中有關(guān)計(jì)算圓的面積公式：，周長.圓心角為、半徑為R的弧長.圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.弓形的面積（1）由弦及其所對的劣弧組成的圖形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所對的優(yōu)弧組成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.··OAB·ABOm·ABOm要點(diǎn)詮釋：(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.【典型例題】題型一、正多邊形有關(guān)計(jì)算 例1．如圖，矩形ABCD中，AB=4，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心的⊙O與弧AE，邊AD，DC都相切．把扇形BAE作一個圓錐的側(cè)面，該圓錐的底面圓恰好是⊙O，則AD的長為（） A.4 B.QUOTEC.QUOTE D.5【思路點(diǎn)撥】首先求得弧AE的長，然后利用弧AE的長正好等于圓的底面周長，求得⊙O的半徑，則BE的長加上半徑即為AD的長．【答案】D；【解析】解：∵AB=4，∠B=90°，∴，∵圓錐的底面圓恰好是⊙O，∴⊙O的周長為2π，∴⊙O的半徑為1QUOTE，∴AD=BC=BE+EC=4+QUOTE1=QUOTE5.故選D．【總結(jié)升華】本題考查了圓錐的計(jì)算及相切兩圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記弧長的計(jì)算公式.【變式1】如圖，兩個相同的正六邊形，其中一個正多邊形的頂點(diǎn)在另一個正多邊形外接圓圓心O處．求重疊部分面積與陰影部分面積之比.【答案】解：連結(jié)OA、OB、OC，設(shè)OA′交AB于K，OE′交CD于H，∵∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，∠COH=120°-∠KOC，∴∠AOK=∠COH，又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，∴△AOK≌△COH，由△AOK≌△COH，得S五邊形OKBCH=S四邊形ABCO=2S△OBC，∴S陰影=S正六邊形ABCDEF-S五邊形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.S五邊形OKBCH：S陰影=.即重疊部分面積與陰影部分面積之比為：.【變式2】已知：正十邊形的半徑是R，求證：它的邊長為.【答案】證明：作∠OAB的平分線AM交OB于M，則∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°，∴OM=MA=AB，則△ABM∽△OAB得：用R，a10分別表示OA，AB，BM，代入以上比例式整理得a102+Ra10-R2=0,解關(guān)于a10的一元二次方程得（負(fù)值已舍去）.題型二、正多邊形與圓綜合運(yùn)用例2．如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對角線．（1）在剩余的頂點(diǎn)B、C、D、E、F、H中，連接兩個頂點(diǎn)，使連接的線段與AG平行，并說明理由；（2）兩邊延長AB、CD、EF、GH，使延長線分別交于點(diǎn)P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）利用已知得出正八邊形，它的內(nèi)角都為135°，再利用正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對稱，得出∠2+∠3=180°，進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)題意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，則PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四邊形PQMN是正方形，進(jìn)而求出PQ的長即可得出答案．【答案與解析】解：（1）連接BF，則有BF∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH是正八邊形，∴它的內(nèi)角都為135°．又∵HA=HG，∴∠1=22.5°，從而∠2=135°﹣∠1=112.5°．由于正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對稱，∴即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．（2）根據(jù)題設(shè)可知∠PHA=∠PAH=45°，∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，∴四邊形PQMN是矩形．又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE，∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四邊形PQMN是正方形．在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AH=2，∴PA=∴．故．【總結(jié)升華】此題主要考查了正多邊形和圓以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出PQ的長是解題關(guān)鍵．【變式】如圖所示，在△ABC中，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點(diǎn)D，交AB于E，交AC于F，點(diǎn)P是⊙A上的一點(diǎn)，且∠EPF＝40°，則圖中陰影部分的面積是()A．B．C．D．【答案】連接AD，則AD⊥BC，陰影部分面積．故．答案：B例3．如圖，已知在⊙O中，，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側(cè)面，請你出這個圓錐的底面圓的半徑．【思路點(diǎn)撥】（1）陰影部分是一個扇形，扇形圓心角∠BOD＝2∠BOC＝2×2×30°＝120°，只需通過解直角三角形求出OB的長，即可利用扇形面積求出陰影部分面積．（2）扇形弧長是圓錐的底面周長，由條件求出的長l，利用可求出半徑r的長．【答案與解析】解：(1)過O作OE⊥AB于E，則．在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，．∴．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝30°．∴∠BOC＝60°．∵AC⊥BD，∴．∴∠COD＝∠BOC＝60°．∴∠BOD＝120°．∴．(2)設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，∴．∴．【總結(jié)升華】用扇形圍成圓錐，扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長是圓錐的底面周長.【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共7小題）1．（2022?安順）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為2的正六邊形OABCDE繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)n個45°，得到正六邊形OAnBn?nDnEn，當(dāng)n＝2022時，正六邊形OAnBn?nDnEn的頂點(diǎn)Dn的坐標(biāo)是（）A．（﹣，﹣3） B．（﹣3，﹣） C．（3，﹣） D．（﹣，3）【分析】由題意旋轉(zhuǎn)8次應(yīng)該循環(huán)，因?yàn)?022÷8＝252…6，所以Dn的坐標(biāo)與D6的坐標(biāo)相同．【解答】解：由題意旋轉(zhuǎn)8次應(yīng)該循環(huán)，∵2022÷8＝252…6，∴Dn的坐標(biāo)與D6的坐標(biāo)相同，如圖，過點(diǎn)D6H⊥OE于點(diǎn)H，∵∠DOD6＝90°，∠DOE＝30°，OD＝OD6＝2，∴OH＝OD6?cos60°＝，HD6＝OH＝3，∴D6（﹣，﹣3），∴頂點(diǎn)Dn的坐標(biāo)是（﹣，﹣3），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形與圓，坐標(biāo)與圖形變化﹣性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．2．（2022?安順）如圖，邊長為的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，PA，PD分別與⊙O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)D，PD的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為（）A．5﹣π B．5﹣ C．﹣ D．﹣【分析】連接AC，OD，根據(jù)已知條件得到AC是⊙O的直徑，∠AOD＝90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAO＝∠PDO＝90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到PE＝3，根據(jù)梯形和圓的面積公式即可得到答案．【解答】解：連接AC，OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AC是⊙O的直徑，∠AOD＝90°，∵PA，PD分別與⊙O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)D，∴∠PAO＝∠PDO＝90°，∴四邊形AODP是矩形，∵OA＝OD，∴矩形AODP是正方形，∴∠P＝90°，AP＝AO，AC∥PE，∴∠E＝∠ACB＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∵AB＝，∴AC＝2AO＝2，DE＝CD＝2，∴AP＝PD＝AO＝1，∴PE＝3，∴圖中陰影部分的面積＝（AC+PE）?AP﹣AO2?π＝（2+3）×1﹣×12?π＝（5﹣π）＝﹣，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2022?綿陽）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與x軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（2﹣2，3） B．（0，1+2） C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接BD交CF于點(diǎn)M，則點(diǎn)B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣（2﹣2）＝2﹣2，縱坐標(biāo)為1+2＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2﹣2，3），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形與圓，勾股定理，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確計(jì)算的前提，理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022?青島）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在上，則∠CME的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．60°【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出∠COE＝120°，由圓周角定理求出∠CME＝60°．【解答】解：連接OC，OD，OE，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴∠CME＝∠COE＝60°，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由圓周角定理求出∠COM＝120°是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022?內(nèi)江）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π【分析】連接OB、OC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出∠BOC，根據(jù)等邊三角形的判定定理得到△BOC為等邊三角形，根據(jù)垂徑定理求出BM，根據(jù)勾股定理求出OM，根據(jù)弧長公式求出的長．【解答】解：連接OB、OC，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC為等邊三角形，∴BC＝OB＝6，∵OM⊥BC，∴BM＝BC＝3，∴OM＝＝＝3，的長為：＝2π，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是正多邊形和圓、弧長的計(jì)算，正確求出正六邊形的中心角是解題的關(guān)鍵．6．（2022?雅安）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3【分析】連接OC，OD，由正六邊形ABCDEF可求出∠COD＝60°，進(jìn)而可求出∠COG＝30°，根據(jù)30°角的銳角三角函數(shù)值即可求出邊心距OG的長．【解答】解：連接OC，OD，∵正六邊形ABCDEF是圓的內(nèi)接多邊形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周長等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．7．（2022?成都）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長等于6π，則正六邊形的邊長為（）A． B． C．3 D．2【分析】連接OB、OC，根據(jù)⊙O的周長等于6π，可得⊙O的半徑OB＝OC＝3，而六邊形ABCDEF是正六邊形，即知∠BOC＝＝60°，△BOC是等邊三角形，即可得正六邊形的邊長為3．【解答】解：連接OB、OC，如圖：∵⊙O的周長等于6π，∴⊙O的半徑OB＝OC＝＝3，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝＝60°，∴△BOC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，即正六邊形的邊長為3，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接正六邊形中心角等于60°，從而得到△BOC是等邊三角形．二．填空題（共6小題）8．（2022?長春）跳棋是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB＝27厘米，則這個正六邊形的周長為54厘米．【分析】根據(jù)對稱性和周長公式進(jìn)行解答即可．【解答】解：由圖象的對稱性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六邊形的周長為9×6＝54（厘米），故答案為：54．【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，正多邊形與圓，理解圖形的對稱性以及等邊三角形的判定是解決問題的前提．9．（2022?營口）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AC，CF，則∠ACF＝30度．【分析】設(shè)正六邊形的邊長為1，正六邊形的每個內(nèi)角為120°，在△ABC中，根據(jù)等腰三角形兩底角相等得到∠BAC＝30°，從而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求出BM，根據(jù)勾股定理求出AM，進(jìn)而得到AC的長，根據(jù)tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：設(shè)正六邊形的邊長為1，正六邊形的每個內(nèi)角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，則AM＝CM（等腰三角形三線合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案為：30．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形與圓，根據(jù)tan∠ACF＝＝＝得出∠ACF＝30°是解題的關(guān)鍵．10．（2022?呼和浩特）如圖，從一個邊長是a的正五邊形紙片上剪出一個扇形，這個扇形的面積為（用含π的代數(shù)式表示）；如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，圓錐的底面圓直徑為．【分析】先求出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；扇形的弧長等于圓錐的底面周長，可求出底面直徑．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的長為＝，即圓錐底面周長為，∴圓錐底面直徑為，故答案為：；．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形與圓，扇形面積，弧長及圓周長，掌握扇形面積、弧長、圓周長的計(jì)算方法是正確解決問題的關(guān)鍵．11．（2022?綏化）如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形AHIJK內(nèi)接于⊙O，且有公共頂點(diǎn)A，則∠BOH的度數(shù)為12度．【分析】求出正六邊形的中心角∠AOB和正五邊形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接OA，正六邊形的中心角為∠AOB＝360°÷6＝60°，正五邊形的中心角為∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題主要考查正多邊形與圓，會求正多邊形的中心角是解題關(guān)鍵．12．（2022?梧州）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正四邊形，分別以點(diǎn)A，O為圓心，取大于OA的定長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)．若OA＝1，則，AE，AB所圍成的陰影部分面積為．【分析】連接OE、OB．由題意可知，∴△AOE為等邊三角形，推出S陰影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：連接OE、OB，由題意可知，直線MN垂直平分線段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE為等邊三角形，∴∠AOE＝60°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正四邊形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S陰影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形與圓，正確運(yùn)用扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．13．（2022?宿遷）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB＝6，點(diǎn)M在邊AF上，且AM＝2．若經(jīng)過點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分，則直線l被正六邊形所截的線段長是4．【分析】設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為O，過點(diǎn)M、O作直線l交CD于點(diǎn)N，則直線l將正六邊形的面積平分，直線l被正六邊形所截的線段長是MN，連接OF，過點(diǎn)M作MH⊥OF于點(diǎn)H，連接OA，由正六邊形的性質(zhì)得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，進(jìn)而得出△OAF是等邊三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，進(jìn)而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的長度，即可得出答案．【解答】解：如圖，設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為O，過點(diǎn)M、O作直線l交CD于點(diǎn)N，則直線l將正六邊形的面積平分，直線l被正六邊形所截的線段長是MN，連接OF，過點(diǎn)M作MH⊥OF于點(diǎn)H，連接OA，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AB＝6，中心為O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等邊三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵M(jìn)H⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，解法二：利用對稱性，DN＝AM＝2，由M向下作垂線，利用勾股定理求解，可得結(jié)論．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形和圓，掌握正六邊形的特點(diǎn)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題（共1小題）14．（2022?金華）如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：作法如圖2．1．作直徑AF．2．以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N．3．連接AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度數(shù)．（2）△AMN是正三角形嗎？請說明理由．（3）從點(diǎn)A開始，以DN長為邊長，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．【分析】（1）根據(jù)正五邊形內(nèi)角和，可以計(jì)算出∠ABC的度數(shù)；（2）先判斷，然后根據(jù)題意和圖形說明理由即可；（3）根據(jù)題意和（2）中的結(jié)果，計(jì)算出∠NOD的度數(shù)，然后即可計(jì)算出n的值．【解答】解：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC＝＝108°，即∠ABC＝108°；（2）△AMN是正三角形，理由：連接ON，NF，如圖，由題意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等邊三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）連接OD，如圖，∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，∵∠AOD＝＝144°，∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形和圓、等邊三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．填空題（共6小題）1．（2023?撫州一模）蜂巢的構(gòu)造非常美麗、科學(xué)，如圖是由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)絡(luò)，正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．設(shè)定AB邊如圖所示，則△ABC是直角三角形的個數(shù)有10．【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，分AB是直角邊和斜邊兩種情況確定出點(diǎn)C的位置即可得解．【解答】解：如圖，AB是直角邊時，點(diǎn)C共有6個位置，即有6個直角三角形，AB是斜邊時，點(diǎn)C共有4個位置，即有4個直角三角形，綜上所述，△ABC是直角三角形的個數(shù)有6+4＝10個．故答案為：10．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形和圓，難點(diǎn)在于分AB是直角邊和斜邊兩種情況討論，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．2．（2023?瓊山區(qū)一模）一個正n邊形的中心角為36°，則它的一個內(nèi)角的度數(shù)為144°．【分析】一個正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度數(shù)，就得到中心角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)，再利用公式（n﹣2）×180°÷n計(jì)算即可．【解答】解：由題意可得：邊數(shù)為360°÷36°＝10，一個內(nèi)角的度數(shù)為：（10﹣2）×180°÷10＝144°．故答案為：144°．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形的內(nèi)角度數(shù)，根據(jù)多邊形中心角的個數(shù)與邊數(shù)之間的關(guān)系解題是關(guān)鍵．3．（2023?漢陽區(qū)校級一模）線段AB是圓內(nèi)接正十二邊形的一條邊，則AB邊所對的圓周角是15°或165°．【分析】求出一條邊所對的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系解答．【解答】解：圓內(nèi)接正十二邊形的邊所對的圓心角360°÷12＝30°和360°﹣30°＝330°，根據(jù)圓周角等于同弧所對圓心角的一半，AB所對的圓周角的度數(shù)是15°或165°，故答案為15°或165．【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生對正多邊形的概念掌握和計(jì)算的能力，屬于基礎(chǔ)題，要注意分兩種情況討論．4．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．若該正六邊形的邊長為5，則⊙O的面積等于25π．【分析】連接OB，OC，易證△OBC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得⊙O的半徑．【解答】解：連接OB，OC，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝BC＝5，∴⊙O的面積＝25π．故答案為：25π．【點(diǎn)評】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正六邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023?瀘縣校級模擬）已知⊙O的半徑為1，則它的內(nèi)接正三角形邊心距為．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，連接OB、OC，作OD⊥BC于D，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OD即可．【解答】解：如圖所示，連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODB＝90°，∵∠BOC＝×360°＝120°，∵OB＝OC＝1，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴OD＝OB＝，故答案為：．【點(diǎn)評】該題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．6．（2023?定遠(yuǎn)縣校級一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE、CD分別相切于A、C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)為144°．【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和求∠E＝∠D＝108°，由切線的性質(zhì)得：∠OAE＝∠OCD＝90°，最后利用五邊形的內(nèi)角和相減可得結(jié)論．【解答】解：正五邊形的內(nèi)角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠E＝∠D＝108°，連接OA、OC，∵AE、CD分別與⊙O相切于A、C兩點(diǎn)，∴∠OAE＝∠OCD＝90°，∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，故答案為：144°．【點(diǎn)評】本題考查了正五邊形的內(nèi)角和、內(nèi)角的度數(shù)、切線的性質(zhì)，本題的五邊形內(nèi)角可通過外角來求：180°﹣360°÷5＝108°．【名校自招練】一．選擇題（共9小題）1．（2017?雙流區(qū)校級自主招生）如圖1，在平面內(nèi)選一定點(diǎn)O，引一條有方向的射線Ox，再選定一個單位長度，那么平面上任一點(diǎn)M的位置可由∠MOx的度數(shù)θ與OM的長度m確定，有序數(shù)對（θ，m）稱為M點(diǎn)的“極坐標(biāo)”，這樣建立的坐標(biāo)系稱為“極坐標(biāo)系”．在圖2的極坐標(biāo)系下，如果正六邊形的邊長為2，有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)應(yīng)記為（）A．（60°，4） B．（45°，4） C．（60°，2） D．（50°，2）【分析】設(shè)正六邊形的中心為D，連接AD，判斷出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OD＝OA，∠AOD＝60°，再求出OC，然后根據(jù)“極坐標(biāo)”的定義寫出即可．【解答】解：如圖，設(shè)正六邊形的中心為D，連接AD，∵∠ADO＝360°÷6＝60°，OD＝AD，∴△AOD是等邊三角形，∴OD＝OA＝2，∠AOD＝60°，∴OC＝2OD＝2×2＝4，∴正六邊形的頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)應(yīng)記為（60°，4）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形和圓，坐標(biāo)確定位置，主要利用了正六邊形的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解“極坐標(biāo)”的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2018?蔡甸區(qū)校級自主招生）以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是（）A． B． C． D．【分析】由于內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形是特殊內(nèi)角的多邊形，可構(gòu)造直角三角形分別求出邊心距的長，由勾股定理逆定理可得該三角形是直角三角形，進(jìn)而可得其面積．【解答】解：如圖1，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如圖2，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝；如圖3，∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝，則該三角形的三邊分別為：1，，，∵（1）2+（）2＝（）2，∴該三角形是直角三角形，∴該三角形的面積是：×1×＝．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查多邊形與圓，解答此題要明確：多邊形的半徑、邊心距、中心角等概念，根據(jù)解直角三角形的知識解答是解題的關(guān)鍵．3．（2019?順慶區(qū)校級自主招生）在一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課上，老師拿出三個邊長都為5cm的正方形硬紙板，他向同學(xué)們提出了這樣一個問題：若將三個正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑為（）A．50 B．40 C． D．100【分析】連接OA、OB、ON，設(shè)OG＝x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得到答案．【解答】解：如圖所示：設(shè)圓心為O，GH與AB交點(diǎn)為P，連接OA、OB、ON，∵PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON，∴O在PG上，AP＝PB＝AB＝2.5，設(shè)OG＝x，則OP＝PG﹣OG＝10﹣x，在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2∴AP2+OP2＝NG2+OG2∴2.52+（10﹣x）2＝52+x2解得：x＝，則ON＝＝，∴圓形硬紙板的最小直徑為，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算，掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．4．（2020?和平區(qū)校級自主招生）如圖是邊長為2的正方形及其內(nèi)切圓和外接圓，則圖中陰影部分的總面積為（）A．3π﹣4 B．π+4 C．5π﹣4 D．3π+4【分析】陰影部分的面積＝大圓面積減去正方形面積+小圓面積．【解答】解：陰影部分的面積＝大圓面積減去正方形面積+小圓面積＝π?（）2﹣4+π?12＝3π﹣4，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，圓的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分割法求陰影部分面積．5．（2021?和平區(qū)校級自主招生）我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在公元263年撰寫的《九章算術(shù)》中提出了一種估計(jì)π的方法，也就是“割圓術(shù)”：用圓內(nèi)接正6n邊形的周長估計(jì)圓的周長進(jìn)而估計(jì)π的近似值，且n越大時圓內(nèi)接正6n邊形的周長越接近圓的周長，估計(jì)值越接近π．當(dāng)n＝1時，如圖，用這種方法估計(jì)此時π的近似值為（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.141【分析】連接OC、OD，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到∠COD＝60°，得到△COD是等邊三角形，得到OC＝CD，根據(jù)題意計(jì)算即可．【解答】解：連接OC、OD，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD＝60°，又OC＝OD，∴△COD是等邊三角形，∴OC＝CD，正六邊形的周長：圓的直徑＝6CD：2CD＝3，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．6．（2019?漢陽區(qū)校級自主招生）在一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課上，老師拿出三個邊長都為40mm的正方形硬紙板，他向同學(xué)們提出了這樣一個問題：若將三個正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑為（單位：mm）（）A．80 B．40 C．25 D．100【分析】連接OA、OB、ON，設(shè)OG＝x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得到答案．【解答】解：如圖所示：設(shè)圓心為O，GH與AB交點(diǎn)為P，連接OA、OB、ON，∵PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON，∴O在PG上，AP＝PB＝AB＝20，設(shè)OG＝x，則OP＝PG﹣OG＝80﹣x，在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2∴AP2+OP2＝NG2+OG2∴202+（80﹣x）2＝402+x2解得：x＝，則ON＝＝，∴圓形硬紙板的最小直徑為25，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算，掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．7．（2018?青羊區(qū)校級自主招生）將正多邊形ABCDEF放入直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)B，D，E的坐標(biāo)分別為（n，m），（﹣n，m），（a，b），則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以為（）A．（﹣m，﹣n） B．（m，﹣n） C．（﹣a，b） D．（﹣b，﹣a）【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，對稱性解決問題即可．【解答】解：∵正多邊形ABCDEF中，AB∥DE，AB＝DE，∵B，D，E的坐標(biāo)分別為（n，m），（﹣n，m），（a，b），∴B，D關(guān)于x軸對稱，∴A，E關(guān)于x軸對稱，∴A（﹣a，b），故選：C．【點(diǎn)評】本題考查正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2017?平陽縣自主招生）如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC，CD分別相交于點(diǎn)G，H，則的值為（）A． B． C． D．2【分析】首先設(shè)⊙O的半徑是r，則OF＝r，根據(jù)AO是∠EAF的平分線，求出∠COF＝60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判斷出OI、CI的關(guān)系，再根據(jù)GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出EF：GH的值是多少即可．【解答】解：如圖，連接AC、BD、OF，設(shè)⊙O的半徑是r，則OF＝r，∵AO是∠EAF的平分線，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r?sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r，∵AO＝2OI，∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，∴＝＝，∴GH＝BD＝r，∴＝＝．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了正多邊形與圓的關(guān)系、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及特殊角的銳角三角函數(shù)值，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確正多邊形的有關(guān)概念．9．（2020?溫江區(qū)校級自主招生）“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣“，早在1800多年前，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)“，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積．如圖，連接⊙O的內(nèi)接正十二邊形頂點(diǎn)得到AB，BC，若OA＝2，則陰影部分的面積為（）A．2 B．2 C．π D．【分析】根據(jù)已知條件得到∠AOE＝＝30°，求得∠OAE＝∠OEA＝75°，∠AOB＝90°，得到AB＝2，過E作EH⊥AB于H，EG⊥OF于G，解直角三角形得到FG＝2﹣，EH＝AE＝，根據(jù)梯形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵正十二邊形，∴∠AOE＝＝30°，∴∠OAE＝∠OEA＝75°，∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝2，∴AB＝2，過E作EH⊥AB于H，EG⊥OF于G，∴∠OEG＝60°，∴，∴FG＝2﹣，∴EF＝AE＝＝2，∵∠EAH＝30°，∴EH＝AE＝，∵S四邊形AEFB＝（EF+AB）?EH＝（2+2）＝1，∴陰影部分的面積為2S四邊形AEFB＝2，方法二：，∵正十二邊形，∴∠AOE＝＝30°，∴∠OAE＝∠OEA＝75°，∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝2，∴AB＝2，過E作EH⊥AB于H，EG⊥OF于G，∴∠OEG＝60°，∴，∴△EOF的面積為1，∴△AOE的面積＝△BOF的面積＝1，∴一個陰影部分面積為3﹣△AOB的面積＝1．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形與圓，梯形的面積的計(jì)算，解直角三角形，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）10．（2019?寶山區(qū)校級自主招生）如圖，ABCDE是邊長為1的正五邊形，則它的內(nèi)切圓與外接圓所圍圓環(huán)的面積為．【分析】直接利用圓環(huán)面積求法進(jìn)而得出答案．【解答】解：正五邊形的內(nèi)切圓與外接圓所圍圓環(huán)的面積為：π（OA2﹣OH2）＝π×AH2＝．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了正多邊形和圓，正確掌握圓的面積求法是解題關(guān)鍵．11．（2017?雙流區(qū)校級自主招生）一個半徑為1cm的圓，在邊長為6cm的正六邊形內(nèi)任意挪動（圓可以與正六邊形的邊相切），則圓在正六邊形內(nèi)不能達(dá)到的部分的面積為2﹣πcm2．【分析】小圓不能達(dá)到的是每個頂點(diǎn)出的六小塊，每小塊的面積等于四邊形的面積，即兩個全等的直角三角形的面積的和，減去圓的面積的，據(jù)此即可求解．【解答】解：如圖，小圓不能達(dá)到的是每個頂點(diǎn)出的六小塊，每小塊的面積是2S△OAM﹣S圓O＝×1﹣π＝．故六小塊的面積的和是2﹣π．故答案是：2﹣π．【點(diǎn)評】本題主要考查了正多邊形的計(jì)算，正確理解小圓不能到達(dá)的部分是每個頂點(diǎn)出的六小塊，是解決本題的關(guān)鍵．12．（2021?黃州區(qū)校級自主招生）如圖，設(shè)ABCDE是正五邊形，五角星ACEBD（陰影部分）的面積為2，設(shè)AC與BE的交點(diǎn)為P，BD與CE的交點(diǎn)為Q，則四邊形APQD的面積等于1．【分析】設(shè)AD與BE交于點(diǎn)R，AC與BD交于點(diǎn)H，AD與CE交于點(diǎn)J，連接RQ，證明四邊形APQR為菱形，再由菱形的性質(zhì)可得出△APR與△PQR面積相等，由SSS證得△HPQ≌△JRQ，由五角星的性質(zhì)得出△APR≌△BHP≌△CQH≌△DJQ≌△ERJ，設(shè)△APR的面積為S1，△HPQ的面積為S2，則2＝6S1+2S2，進(jìn)而可得出SAPQD＝3S1+S2＝1，即可得出結(jié)果．【解答】解：設(shè)AD與BE交于點(diǎn)R，AC與BD交于點(diǎn)H，AD與CE交于點(diǎn)J，連接RQ，如圖所示：∵由五角星的性質(zhì)可知：△APR≌△BHP≌△CQH≌△DJQ≌△ERJ，AP＝AR，JR＝JQ＝HQ＝HP，AR＝CQ，∴RQ∥AC，同理：PQ∥AD，∴四邊形APQR為平行四邊形，∵AP＝AR，∴四邊形APQR為菱形，∴△APR與△PQR面積相等，PQ＝RQ，在△HPQ和△JRQ中，，∴△HPQ≌△JRQ（SSS），∴△HPQ和△JRQ的面積相等，設(shè)△APR的面積為S1，△HPQ的面積為S2，則2＝6S1+2S2，∴SAPQD＝3S1+S2＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形和圓、五角星的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；解答此題的關(guān)鍵是由五角星的性質(zhì)得出△APR≌△BHP≌△CQH≌△DJQ≌△ERJ，四邊形APQR為平行四邊形，再證明△HPQ≌△JRQ．13．（2020?洪山區(qū)校級自主招生）如圖，以正六邊形ABCDEF的對角線BD為邊，向右作等邊三角形BDG，若四邊形BCDG（圖中陰影部分）的面積為6，則五邊形ABDEF的面積為15．【分析】連接GC并延長交BD于點(diǎn)H，連接AE，根據(jù)正六邊形和等邊三角形的性質(zhì)可得，△BCG≌△DCG，△GBC≌△DBC，所以得S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝2，S△AEF＝3，進(jìn)而可得五邊形ABDEF的面積．【解答】解：如圖，連接GC并延長交BD于點(diǎn)H，連接AE，∵ABCDEF正六邊形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，∠F＝∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°∵△BDG是等邊三角形，∴BG＝DG＝BD，∠GBD＝∠GDB＝60°，又CG＝CG，∴△BCG≌△DCG（SSS），∵∠GBC＝∠DBC＝60°﹣30°＝30°，∴△GBC≌△DBC（SAS），∴S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝3，∴S△AEF＝3，設(shè)CH＝x，則BC＝CG＝2x，BH＝x，∴BD＝2x，∴CG?BH＝3，即×2x×x＝3，∴x2