中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第05講一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用【挑戰(zhàn)中考滿(mǎn)分模擬練】（解析版）

第05講一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用【挑戰(zhàn)中考滿(mǎn)分模擬練】一．根的判別式（共1小題）1．（2022?天寧區(qū)校級(jí)二模）在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式一一利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)一一運(yùn)用函數(shù)解決問(wèn)題”的學(xué)習(xí)過(guò)程．在畫(huà)函數(shù)圖象時(shí)，我們通過(guò)描點(diǎn)或平移的方法畫(huà)出了所學(xué)的函數(shù)圖象．同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義．結(jié)合上面經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過(guò)程，現(xiàn)在來(lái)解決下面的問(wèn)題：在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1．（1）求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)用你喜歡的方法畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）已知函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫(huà)的函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a＜9．【分析】（1）把x＝2，y＝﹣4；x＝0，y＝﹣1代入y＝|kx﹣3|+b求解即可；（2）由y＝|﹣3|﹣4，得出，再根據(jù)函數(shù)的圖象寫(xiě)出函數(shù)的性質(zhì)；（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖象，再根據(jù)圖象得出不等式的解集；（4）根據(jù)題意畫(huà)出圖象，再根據(jù)方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出結(jié)果．【解答】解：（1）∵在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1，∴，解得，∴這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是y＝|﹣3|﹣4；（2）∵y＝|﹣3|﹣4，∴，∴函數(shù)y＝x﹣7過(guò)點(diǎn)（2，﹣4）和點(diǎn)（4，﹣1）；函數(shù)y＝﹣x﹣1過(guò)點(diǎn)（0，﹣1）和點(diǎn)（﹣2，2），該函數(shù)的圖象如圖所示，性質(zhì)：當(dāng)x＞2時(shí)，y的值隨x的增大而增大；（3）由函數(shù)的圖象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的圖象，由圖象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則0＜a＜9，故答案為：0＜a＜9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意準(zhǔn)確畫(huà)出圖象．二．根與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）2．（2022?隨縣一模）已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，則（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝7．【分析】根據(jù)一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，變形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）＝（m+4）（n+4）＝mn+4（m+n）+16＝﹣1+4×（﹣2）+16＝7，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝，也考查了一元二次方程的解．3．（2022?黃石港區(qū)校級(jí)模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求m的取值范圍；（2）若x1，x2滿(mǎn)足3x1＝|x2|+2，求m的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出Δ＝20﹣4m≥0，解之即可得出結(jié)論；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝6①、x1?x2＝m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1＝x2+2③或3x1＝﹣x2+2④，聯(lián)立①③或①④求出x1、x2的值，進(jìn)而可求出m的值．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+4）＝20﹣4m≥0，解得：m≤5，∴m的取值范圍為m≤5．（2）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，∴x1+x2＝6①，x1?x2＝m+4②．∵3x1＝|x2|+2，當(dāng)x2≥0時(shí)，有3x1＝x2+2③，聯(lián)立①③解得：x1＝2，x2＝4，∴8＝m+4，m＝4；當(dāng)x2＜0時(shí)，有3x1＝﹣x2+2④，聯(lián)立①④解得：x1＝﹣2，x2＝8（不合題意，舍去）．∴符合條件的m的值為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，找出Δ＝20﹣4m≥0；（2）分x2≥0和x2＜0兩種情況求出x1、x2的值．三．一元二次方程的應(yīng)用（共10小題）4．（2022?江岸區(qū)校級(jí)模擬）某公司以3萬(wàn)元/噸的價(jià)格收購(gòu)20噸某種水果后，分成A，B兩類(lèi)（A類(lèi)直接銷(xiāo)售，B類(lèi)深加工成果醬后再銷(xiāo)售），并全部售出：A類(lèi)水果的銷(xiāo)售價(jià)格y（單位：萬(wàn)元/噸）與銷(xiāo)售數(shù)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝﹣x+13．B類(lèi)水果深加工總費(fèi)用m（單位：萬(wàn)元）與加工數(shù)量n（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是m＝12+3n，B類(lèi)果醬每噸利潤(rùn)率（不考慮深加工費(fèi)用）是A類(lèi)水果每噸利潤(rùn)率的2倍，按此標(biāo)準(zhǔn)定B類(lèi)的銷(xiāo)售價(jià)格．注：總利潤(rùn)＝售價(jià)﹣總成本；利潤(rùn)率＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）÷進(jìn)價(jià)．（1）設(shè)其中A類(lèi)水果有x噸，用含x的代數(shù)式表示下列各量．①B類(lèi)果醬有（20﹣x）噸；②A(yíng)類(lèi)水果所獲得總利潤(rùn)為（﹣x2+10x）萬(wàn)元；③B類(lèi)果醬所獲得總利潤(rùn)為（2x2﹣57x+328）萬(wàn)元．（2）若A類(lèi)水果比B類(lèi)果醬獲得總利潤(rùn)低24萬(wàn)元，問(wèn)A，B兩類(lèi)水果各有多少?lài)?？?）若A，B兩類(lèi)水果獲得總利潤(rùn)和不低于48萬(wàn)元，直接寫(xiě)出x的取值范圍．【分析】（1）①根據(jù)題意可得答案；②根據(jù)總利潤(rùn)＝每噸的利潤(rùn)×數(shù)量可得答案；③根據(jù)總利潤(rùn)＝總售價(jià)﹣總費(fèi)用可得答案；（2）根據(jù)題意列出方程，（2x2﹣57x+328）﹣（﹣x2+10x）＝24，解方程可得答案；（3）設(shè)兩類(lèi)水果總利潤(rùn)的和為w萬(wàn)元，得出w關(guān)于x的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）①B類(lèi)果醬有（20﹣x）噸；故答案為：（20﹣x）；②A(yíng)類(lèi)水果所獲得總利潤(rùn)為（﹣x+13﹣3）x＝﹣x2+10x，故答案為：（﹣x2+10x）；③設(shè)B類(lèi)水果每噸銷(xiāo)售價(jià)格為z元，∵A類(lèi)水果每噸所獲利潤(rùn)為（﹣x+10）元，根據(jù)題意可知，＝2×，解得z＝﹣2x+23，∴B類(lèi)水果所獲總利潤(rùn)為：（﹣2x+23﹣3）（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝2x2﹣57x+328；故答案為：（2x2﹣57x+328）；（2）由題意得，（2x2﹣57x+328）﹣（﹣x2+10x）＝24，解得x1＝16（舍），x2＝，∴20﹣＝（噸），答：A類(lèi)水果有噸，B類(lèi)水果有噸；（3）設(shè)兩類(lèi)水果總利潤(rùn)的和為w萬(wàn)元，則w＝（2x2﹣57x+328）+（﹣x2+10x）＝x2﹣47x+328，∵w≥48，∴x2﹣47x+328≥48，∴0＜x≤7或x≥40（舍），∴x的取值范圍為0＜x≤7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．解題關(guān)鍵是理清售價(jià)、成本、利潤(rùn)三者之間的關(guān)系．5．（2022?裕安區(qū)校級(jí)一模）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣傳月”期間，某商店銷(xiāo)售一批頭盔，進(jìn)價(jià)為每頂40元，售價(jià)為每頂68元，平均每周可售出100頂．商店計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷(xiāo)售，每頂售價(jià)不高于58元，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)2元，平均每周可多售出40頂．（1）若該商店希望平均每周獲利4000元，則每頂頭盔應(yīng)降價(jià)多少？（2）商店降價(jià)銷(xiāo)售后，決定每銷(xiāo)售1頂頭盔就向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元（m為整數(shù)，且1≤m≤5），幫助做“交通安全”宣傳．捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商店每周銷(xiāo)售這種商品的利潤(rùn)仍隨售價(jià)的增大而增大，求m的值．【分析】（1）設(shè)每頂頭盔應(yīng)降價(jià)x元，則每頂頭盔的銷(xiāo)售利潤(rùn)為（68﹣x﹣40）元，平均每周的銷(xiāo)售量為（100+20x）頂，根據(jù)每周銷(xiāo)售頭盔獲得的利潤(rùn)＝每頂頭盔的銷(xiāo)售利潤(rùn)×平均每周的銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，結(jié)合每頂售價(jià)不高于58元，即可確定x的值；（2）設(shè)每周扣除捐贈(zèng)后可獲得利潤(rùn)為w元，每頂頭盔售價(jià)為a元，利用每周銷(xiāo)售頭盔獲得的利潤(rùn)＝每頂頭盔的銷(xiāo)售利潤(rùn)×平均每周的銷(xiāo)售量，即可得出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合1≤m＜5且m為整數(shù)，即可得出m的值．【解答】解：（1）設(shè)每頂頭盔應(yīng)降價(jià)x元，則每頂頭盔的銷(xiāo)售利潤(rùn)為（68﹣x﹣40）元，平均每周的銷(xiāo)售量為（100+20x）頂，依題意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，整理得：x2﹣23x+60＝0，解得：x1＝3，x2＝20，∵68﹣x≤58，∴x≥10，∴x＝20．答：每頂頭盔應(yīng)降價(jià)20元；（2）設(shè)每周扣除捐贈(zèng)后可獲得利潤(rùn)為w元，每頂頭盔售價(jià)為a元，依題意得：w＝[100+20（68﹣a）]（a﹣40﹣m）＝﹣20a2+（20m+2260）a﹣1460（40+m）．∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為a＝，開(kāi)口向下，當(dāng)a≤58時(shí)，利潤(rùn)仍隨售價(jià)的增大而增大，∴≥58，解得：m≥3，又∵1≤m≤5，且m為整數(shù)，∴m＝3或m＝4或m＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．6．（2022?常州一模）某區(qū)各街道居民積極響應(yīng)“創(chuàng)文明社區(qū)”活動(dòng)，據(jù)了解，某街道居民人口共有7.5萬(wàn)人，街道劃分為A，B兩個(gè)社區(qū)，B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過(guò)A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍．（1）求A社區(qū)居民人口至少有多少萬(wàn)人？（2）街道工作人員調(diào)查A，B兩個(gè)社區(qū)居民對(duì)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀(guān)”知曉情況發(fā)現(xiàn)：A社區(qū)有1.2萬(wàn)人知曉，B社區(qū)有1萬(wàn)人知曉，為了提高知曉率，街道工作人員用了兩個(gè)月的時(shí)間加強(qiáng)宣傳，A社區(qū)的知曉人數(shù)平均月增長(zhǎng)率為m%，B社區(qū)的知曉人數(shù)第一個(gè)月增長(zhǎng)了m%，第二個(gè)月增長(zhǎng)了2m%，兩個(gè)月后，街道居民的知曉率達(dá)到76%，求m的值．【分析】（1）設(shè)A社區(qū)居民人口有x萬(wàn)人，根據(jù)“B社區(qū)居民人口數(shù)量不超過(guò)A社區(qū)居民人口數(shù)量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社區(qū)的知曉人數(shù)+B社區(qū)的知曉人數(shù)＝7.5×76%，據(jù)此列出關(guān)于m的方程并解答．【解答】解：（1）設(shè)A社區(qū)居民人口有x萬(wàn)人，則B社區(qū)有（7.5﹣x）萬(wàn)人，依題意得：7.5﹣x≤2x，解得x≥2.5．即A社區(qū)居民人口至少有2.5萬(wàn)人；（2）依題意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%設(shè)m%＝a，方程可化為：1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7化簡(jiǎn)得：32a2+54a﹣35＝0解得a＝0.5或a＝﹣（舍）∴m＝50答：m的值為50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到題中相關(guān)數(shù)據(jù)的數(shù)量關(guān)系，列出不等式或方程．7．（2022?法庫(kù)縣模擬）某水果商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一種高檔水果，原價(jià)每千克50元，連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，若每千克漲價(jià)1元，日銷(xiāo)售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫(kù)存，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？【分析】（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為a，（1﹣a）2為兩次降價(jià)的百分率，50降至32就是方程的平衡條件，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根據(jù)題意確定其值．【解答】解：（1）設(shè)每次下降的百分率為a，根據(jù)題意，得：50（1﹣a）2＝32，解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，答：每次下降的百分率為20%；（2）設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，由題意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因?yàn)橐M快減少庫(kù)存，所以x＝5符合題意．答：該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價(jià)5元．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到蘊(yùn)含的相等關(guān)系，列出方程，解答即可．8．（2022?臺(tái)兒莊區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向C點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【分析】作出輔助線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面積為，有P、Q點(diǎn)的移動(dòng)速度，設(shè)時(shí)間為t秒時(shí)，可以得出PB、QE關(guān)于t的表達(dá)式，代入面積公式，即可得出答案．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥PB于E，則∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝?PB?QE．設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后△PBQ的面積等于4cm2，則PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．根據(jù)題意，?（6﹣t）?t＝4．t2﹣6t+8＝0．t1＝2，t2＝4．當(dāng)t＝4時(shí)，2t＝8，8＞7，不合題意舍去，取t＝2．答：經(jīng)過(guò)2秒后△PBQ的面積等于4cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的運(yùn)用，注意求得的值的取舍問(wèn)題．9．（2022?盂縣一模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)沿著CB邊以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)沿著AC邊以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為幾秒時(shí)，△PCQ的面積是△ABC面積的？（2）△PCQ的面積能否為△ABC面積的一半？若能，求出t的值；若不能，說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可以求出時(shí)間t；（2）由等量關(guān)系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值，但方程無(wú)解．【解答】解：（1）∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，∴t（8﹣2t）＝16×，整理得t2﹣4t+4＝0，解得t＝2．答：當(dāng)t＝2s時(shí)△PCQ的面積為△ABC面積的；（2）當(dāng)S△PCQ＝S△ABC時(shí)，t（8﹣2t）＝16×，整理得t2﹣4t+8＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴△PCQ的面積不可能是△ABC面積的一半．【點(diǎn)評(píng)】考查三角形的面積公式及解一元二次方程，將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用在實(shí)際問(wèn)題中．10．（2022?大連模擬）某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分枝，主干，支干和小分枝的總數(shù)是73，每個(gè)支干長(zhǎng)出多少分枝？【分析】設(shè)主干長(zhǎng)出x個(gè)支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出x個(gè)小分支，得方程1+x+x2＝73，整理求解即可．【解答】解：由題意得1+x+x?x＝73，即x2+x﹣72＝0，∴（x+9）（x﹣8）＝0，解得x1＝8，x2＝﹣9（舍去）答：每個(gè)支干長(zhǎng)出8個(gè)小分支．【點(diǎn)評(píng)】本題設(shè)長(zhǎng)為x個(gè)支干，把小分枝用x2表示是關(guān)鍵．11．（2022?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)四模）某商店在2014年至2016年期間銷(xiāo)售一種禮盒．2014年，該商店用3500元購(gòu)進(jìn)了這種禮盒并且全部售完；2016年，這種禮盒的進(jìn)價(jià)比2014年下降了11元/盒，該商店用2400元購(gòu)進(jìn)了與2014年相同數(shù)量的禮盒也全部售完，禮盒的售價(jià)均為60元/盒．（1）2014年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是多少元/盒？（2）若該商店每年銷(xiāo)售這種禮盒所獲利潤(rùn)的年增長(zhǎng)率相同，問(wèn)年增長(zhǎng)率是多少？【分析】（1）設(shè)2014年這種禮盒的進(jìn)價(jià)為x元/盒，則2016年這種禮盒的進(jìn)價(jià)為（x﹣11）元/盒，根據(jù)2014年花3500元與2016年花2400元購(gòu)進(jìn)的禮盒數(shù)量相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)年增長(zhǎng)率為a，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)求出2014年的購(gòu)進(jìn)數(shù)量，再根據(jù)2014年的銷(xiāo)售利潤(rùn)×（1+增長(zhǎng)率）2＝2016年的銷(xiāo)售利潤(rùn)，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)2014年這種禮盒的進(jìn)價(jià)為x元/盒，則2016年這種禮盒的進(jìn)價(jià)為（x﹣11）元/盒，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝35，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝35是原方程的解．答：2014年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是35元/盒．（2）設(shè)年增長(zhǎng)率為a，2014年的銷(xiāo)售數(shù)量為3500÷35＝100（盒）．根據(jù)題意得：（60﹣35）×100（1+a）2＝（60﹣35+11）×100，解得：a＝0.2＝20%或a＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：年增長(zhǎng)率為20%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出一元二次方程．12．（2022?永州模擬）今年，我市某中學(xué)響應(yīng)習(xí)總書(shū)記“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，開(kāi)設(shè)了“足球大課間”活動(dòng)，現(xiàn)需要購(gòu)進(jìn)100個(gè)某品牌的足球供學(xué)生使用．經(jīng)調(diào)查，該品牌足球2015年單價(jià)為200元，2017年單價(jià)為162元．（1）求2015年到2017年該品牌足球單價(jià)平均每年降低的百分率；（2）選購(gòu)期間發(fā)現(xiàn)該品牌足球在兩個(gè)文體用品商場(chǎng)有不同的促銷(xiāo)方案：試問(wèn)去哪個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)足球更優(yōu)惠？【分析】（1）設(shè)2015年到2017年該品牌足球單價(jià)平均每年降低的百分率為x，根據(jù)2015年及2017年該品牌足球的單價(jià)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩商城的促銷(xiāo)方案，分別求出在兩商城購(gòu)買(mǎi)100個(gè)該品牌足球的總費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)2015年到2017年該品牌足球單價(jià)平均每年降低的百分率為x，根據(jù)題意得：200×（1﹣x）2＝162，解得：x＝0.1＝10%或x＝1.9（舍去）．答：2015年到2017年該品牌足球單價(jià)平均每年降低的百分率為10%．（2）100×＝≈90.91（個(gè)），在A(yíng)商城需要的費(fèi)用為162×91＝14742（元），在B商城需要的費(fèi)用為162×100×＝14580（元）．14742＞14580．答：去B商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)足球更優(yōu)惠．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)2015年及2017年該品牌足球的單價(jià)，列出關(guān)于x的一元二次方程；（2）根據(jù)兩商城的促銷(xiāo)方案，分別求出在兩商城購(gòu)買(mǎi)100個(gè)該品牌足球的總費(fèi)用．13．（2022?祁陽(yáng)縣校級(jí)模擬）某養(yǎng)殖戶(hù)每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為4萬(wàn)元，可變成本逐年增長(zhǎng)，已知該養(yǎng)殖戶(hù)第1年的可變成本為2.6萬(wàn)元，設(shè)可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為x．（1）用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為2.6（1+x）2萬(wàn)元；（2）如果該養(yǎng)殖戶(hù)第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬(wàn)元，求可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率x．【分析】（1）根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題由第1年的可變成本為2.6萬(wàn)元就可以表示出第二年的可變成本為2.6（1+x），則第三年的可變成本為2.6（1+x）2，故得出答案；（2）根據(jù)養(yǎng)殖成本＝固定成本+可變成本建立方程求出其解即可【解答】解：（1）由題意，得第3年的可變成本為：2.6（1+x）2，故答案為：2.6（1+x）2；（2）由題意，得4+2.6（1+x）2＝7.146，解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）．答：可變成本平均每年增長(zhǎng)的百分率為10%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了增長(zhǎng)率的問(wèn)題關(guān)系的運(yùn)用，列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)增長(zhǎng)率問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．四．高次方程（共1小題）14．（2022?揚(yáng)州一模）已知x1、x2、x3為方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．x1x2x3＜0 B．x1+x2﹣x3＞0 C．x1﹣x2﹣x3＞0 D．x1+x2+x3＜0【分析】由x3+3x2﹣9x﹣4＝0可得x2+3x﹣9＝則x1、x2、x3可以看作是拋物線(xiàn)y＝x2+3x﹣9與反比例函數(shù)y＝的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此畫(huà)出函數(shù)圖象求解即可．【解答】解：∵x3+3x2﹣9x﹣4＝0，當(dāng)x＝0時(shí)，﹣4≠0，∴x2+3x﹣9﹣＝0，∴x1、x2、x3可以看作是拋物線(xiàn)y＝x2+3x﹣9與反比例函數(shù)y＝的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由函數(shù)圖象可知x1x2x3＞0，x1+x2+x3＜0，根據(jù)已知條件無(wú)法判定x1+x2﹣x3＞0，x1﹣x2﹣x3＞0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)綜合，正確理解題意得到x1、x2、x3可以看作是拋物線(xiàn)y＝x2+3x﹣9與反比例函數(shù)y＝的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．五．無(wú)理方程（共1小題）15．（2022?揭陽(yáng)一模）小明用下面的方法求出方程2﹣3＝0的解，方程換元法得新方程解新方程檢驗(yàn)求原方程的解2﹣3＝0令＝t，則2t﹣3＝0t＝t＝＞0，所以x＝請(qǐng)你仿照他的方法求出下面方程的解，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程．解方程：x+2﹣3＝0．【分析】把方程中的無(wú)理數(shù)變成有理數(shù)計(jì)算，后再解無(wú)理數(shù)，從而解得．【解答】解：x+2﹣3＝0，令，則t2+2t﹣3＝0，解得：t1＝1，t2＝﹣3（不合題意舍去），可得：，解得：x＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查無(wú)理方程的計(jì)算，對(duì)無(wú)理方程部分設(shè)定未知數(shù)，求解后而最終求得未知數(shù)．六．分式方程的解（共2小題）16．（2022?渝中區(qū)校級(jí)模擬）已知關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x＞2，且關(guān)于y的分式方程＝1﹣的解為正整數(shù)，則所有滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)a的和為（）A．2 B．5 C．6 D．9【分析】利用不等式組的解為x＞2，確定a的取值范圍，解分式方程，當(dāng)解為正整數(shù)時(shí)求得a值，將符合條件的a值相加即可得出結(jié)論．【解答】解：∵不等式組的解集為x＞2，∴a﹣2≤2．∴a≤4．關(guān)于y的分式方程＝1﹣的解為y＝．∵y＝3是原分式方程的增根，∴≠3．∴a≠3．∵關(guān)于y的分式方程＝1﹣的解為正整數(shù)，∴為正整數(shù)．∴a＝2，4，7．∵a≤4，∴a＝2，4．∴所有滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)a的和為：2+4＝6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元一次不等式組，分式方程的解，注意解分式方程可能產(chǎn)生增根是解題的關(guān)鍵．17．（2022?恩施市模擬）已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3【分析】首先對(duì)原分式方程變形，其次解出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解是非負(fù)數(shù)，最簡(jiǎn)公分母不為0，列不等式，求出公共的解集即可．【解答】解：原分式方程可化為：﹣2＝，去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，解得x＝，∵分式方程解是非負(fù)數(shù)，∴≥0，且≠1，∴m的取值范圍是：m≤5且m≠3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根據(jù)方程的解為非負(fù)數(shù)，x﹣1≠0，列不等式組是解題關(guān)鍵．七．分式方程的應(yīng)用（共26小題）18．（2022?江津區(qū)一模）2021年11月2日，重慶市九龍坡區(qū)、長(zhǎng)壽區(qū)分別新增1例新冠本土確診．當(dāng)疫情出現(xiàn)后，各級(jí)政府及有關(guān)部門(mén)高度重視，堅(jiān)決阻斷疫情傳播．開(kāi)州區(qū)趙家工業(yè)園區(qū)一家民營(yíng)公司為了防疫需要，引進(jìn)一條口罩生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)口罩，該產(chǎn)品有三種型號(hào)，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研后，按三種型號(hào)受消費(fèi)者喜愛(ài)的程度分別對(duì)A型、B型、C型產(chǎn)品在成本的基礎(chǔ)上分別加價(jià)20%，30%，45%出售（三種型號(hào)的成本相同）．經(jīng)過(guò)一個(gè)月的經(jīng)營(yíng)后，發(fā)現(xiàn)C型產(chǎn)品的銷(xiāo)量占總銷(xiāo)量的，且三種型號(hào)的總利潤(rùn)率為35%．第二個(gè)月，公司決定對(duì)A型產(chǎn)品進(jìn)行升級(jí)，升級(jí)后A型產(chǎn)品的成本提高了25%，銷(xiāo)量提高了20%；B型、C型產(chǎn)品的銷(xiāo)量和成本均不變，且三種產(chǎn)品在第二個(gè)月成本基礎(chǔ)上分別加價(jià)20%，30%，50%出售，則第二個(gè)月的總利潤(rùn)率為36%．【分析】由題意得出A型、B型、C型三種型號(hào)產(chǎn)品利潤(rùn)率分別為20%，30%，45%，設(shè)A型、B型、C型三種型號(hào)口罩原來(lái)的成本為a，A產(chǎn)品原銷(xiāo)量為x，B產(chǎn)品原銷(xiāo)量為y，C產(chǎn)品原銷(xiāo)量為z，由題意列出方程組，解得；第二個(gè)季度A產(chǎn)品成本為（1+25%）a＝，B、C的成本仍為a，A產(chǎn)品銷(xiāo)量為（1+20%）x＝，B產(chǎn)品銷(xiāo)量為y，C產(chǎn)品銷(xiāo)量為z，則可表示第二個(gè)月的總利潤(rùn)率．【解答】解：由題意得：A型、B型、C型三種型號(hào)產(chǎn)品利潤(rùn)率分別為20%，30%，45%，設(shè)A型、B型、C型三種型號(hào)產(chǎn)品原來(lái)的成本為a，A產(chǎn)品原銷(xiāo)量為x，B產(chǎn)品原銷(xiāo)量為y，C產(chǎn)品原銷(xiāo)量為z，由題意得：，解得：，第二個(gè)季度A產(chǎn)品的成本提高了25%，成本為：（1+25%）a＝，B、C的成本仍為a，A產(chǎn)品銷(xiāo)量為（1+20%）x＝，B產(chǎn)品銷(xiāo)量為y，C產(chǎn)品銷(xiāo)量為z，∴第二個(gè)季度的總利潤(rùn)率為：＝＝＝36%，故答案為：36%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用三元一次方程組解實(shí)際問(wèn)題，正確理解題意，設(shè)出未知數(shù)列出方程組是解題的關(guān)鍵．19．（2022?牡丹江二模）某商場(chǎng)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A，B兩款凈水器，每臺(tái)A款凈水器比B款凈水器的進(jìn)價(jià)少600元，用36000元購(gòu)進(jìn)A款凈水器的臺(tái)數(shù)是用27000元購(gòu)進(jìn)B款凈水器臺(tái)數(shù)的2倍，A，B兩款凈水器每臺(tái)售價(jià)分別是1350元、2100元．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）A，B兩款凈水器每臺(tái)進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）若該商場(chǎng)用6萬(wàn)元資金全部用于購(gòu)進(jìn)A和B兩款凈水器，購(gòu)進(jìn)B款凈水器不超過(guò)8臺(tái)，設(shè)購(gòu)進(jìn)A款凈水器a臺(tái)，則該商場(chǎng)有幾種進(jìn)貨方案？（3）在（2）條件下，為促進(jìn)銷(xiāo)售，商場(chǎng)推出每購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)凈水器可抽獎(jiǎng)一次，中獎(jiǎng)?lì)櫩唾?zèng)送同款凈水器濾芯一個(gè)．A，B兩款凈水器每個(gè)濾芯的進(jìn)價(jià)分別是400元、500元．如果這批凈水器全部售出，除去獎(jiǎng)品的費(fèi)用后仍獲利5250元，那么兩款凈水器濾芯共贈(zèng)送多少個(gè)？請(qǐng)直接寫(xiě)出答案．【分析】（1）設(shè)A款凈水器每臺(tái)x元，B款凈水器每臺(tái)（x+600）元，根據(jù)用36000元購(gòu)進(jìn)A款凈水器的臺(tái)數(shù)是用27000元購(gòu)進(jìn)B款凈水器臺(tái)數(shù)的2倍，列出分?jǐn)?shù)方程，解方程即可；（2）由題意可知購(gòu)進(jìn)A款凈水器a臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)BA款凈水器臺(tái)，根據(jù)購(gòu)進(jìn)B款凈水器不超過(guò)8臺(tái)，列出不等式，求不等式的整數(shù)解即可；（3）將（2）中方案代入進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）設(shè)A款凈水器每臺(tái)x元，B款凈水器每臺(tái)（x+600）元，根據(jù)題意得，＝2×，解得：x＝1200，經(jīng)檢驗(yàn)x＝1200是原方程的根，此時(shí)x+600＝1800，答：A款凈水器每臺(tái)進(jìn)價(jià)是1200元，B款凈水器每臺(tái)進(jìn)價(jià)是1800元；（2）∵購(gòu)進(jìn)A款凈水器a臺(tái)，∴購(gòu)進(jìn)BA款凈水器臺(tái)，根據(jù)題意得：≤8，解得：a≥38，∵a，都是正整數(shù)，∴a＝47，44，41，38；＝2，4，6，8；∴該商場(chǎng)有4種進(jìn)貨方案；（3）①當(dāng)A款凈水器購(gòu)進(jìn)47臺(tái)，B款凈水器購(gòu)進(jìn)2臺(tái)時(shí)，47×（1350﹣1200）+2×（2100﹣1800）﹣5250＝2400（元），400×6+0＝2400（元），∴A款凈水器贈(zèng)送6個(gè)，B款凈水器贈(zèng)送0個(gè)，兩款凈水器濾芯共贈(zèng)送6個(gè)；②當(dāng)A款凈水器購(gòu)進(jìn)44臺(tái)，B款凈水器購(gòu)進(jìn)4臺(tái)+，44×（1350﹣1200）+4×（2100﹣1800）﹣5250＝2550（元），由于400、500不管以多少整數(shù)倍相加都不等于2550，故不符合題意；③當(dāng)A款凈水器購(gòu)進(jìn)41臺(tái)，B款凈水器購(gòu)進(jìn)6臺(tái)，41×（1350﹣1200）+6×（2100﹣1800）﹣5250＝2700（元），400×3+500×3＝2700（元），∴A款凈水器贈(zèng)送3個(gè)，B款凈水器贈(zèng)送3個(gè)，兩款凈水器濾芯共贈(zèng)送6個(gè)；④當(dāng)A款凈水器購(gòu)進(jìn)38臺(tái)，B款凈水器購(gòu)進(jìn)8臺(tái)，38×（1350﹣1200）+8×（2100﹣1800）﹣5250＝2850（元），由于400、500不管以多少整數(shù)倍相加都不等于2850，故不符合題意；綜上所述，兩款凈水器濾芯共贈(zèng)送6個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，正確理解題意列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．20．（2022?東營(yíng)二模）為了防止水土流失，某村開(kāi)展綠化荒山活動(dòng)，計(jì)劃經(jīng)過(guò)若干年使本村綠化總面積新增360萬(wàn)平方米．自2014年初開(kāi)始實(shí)施后，實(shí)際每年綠化面積是原計(jì)劃的1.6倍，這樣可提前4年完成任務(wù)．問(wèn)實(shí)際每年綠化面積多少萬(wàn)平方米？【分析】設(shè)原計(jì)劃每年綠化面積為x萬(wàn)平方米，則實(shí)際每年綠化面積為1.6x萬(wàn)平方米．根據(jù)“實(shí)際每年綠化面積是原計(jì)劃的1.6倍，這樣可提前4年完成任務(wù)”列出方程．【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每年綠化面積為x萬(wàn)平方米，根據(jù)題意，得：解得：x＝33.75，經(jīng)檢驗(yàn)x＝33.75是原分式方程的解，則1.6x＝1.6×33.75＝54（萬(wàn)平方米）．答：實(shí)際每年綠化面積為54萬(wàn)平方米．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，找出等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗(yàn)．21．（2022?長(zhǎng)春模擬）列方程解應(yīng)用題：中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”，是我們必須世代傳承的文化根脈、文化基因．為傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校為各班購(gòu)進(jìn)《三國(guó)演義》和《水滸傳》連環(huán)畫(huà)若干套，其中每套《三國(guó)演義》連環(huán)畫(huà)的價(jià)格比每套《水滸傳》連環(huán)畫(huà)的價(jià)格貴60元，用4800元購(gòu)買(mǎi)《水滸傳》連環(huán)畫(huà)的套數(shù)是用3600元購(gòu)買(mǎi)《三國(guó)演義》連環(huán)畫(huà)套數(shù)的2倍，求每套《水滸傳》連環(huán)畫(huà)的價(jià)格．【分析】設(shè)每套《水滸傳》連環(huán)畫(huà)的價(jià)格是x元．則《三國(guó)演義》連環(huán)畫(huà)的價(jià)格是（x+60）元．根據(jù)“用4800元購(gòu)買(mǎi)《水滸傳》連環(huán)畫(huà)的套數(shù)是用3600元購(gòu)買(mǎi)《三國(guó)演義》連環(huán)畫(huà)套數(shù)的2倍”列出方程并解答．注意要驗(yàn)根．【解答】解：設(shè)每套《水滸傳》連環(huán)畫(huà)的價(jià)格為x元，則每套《三國(guó)演義》連環(huán)畫(huà)的價(jià)格為（x+60）元．由題意，得＝2×解得x＝120經(jīng)檢驗(yàn)，x＝120是原方程的解，且符合題意．答：每套《水滸傳》連環(huán)畫(huà)的價(jià)格為120元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，利用分式方程解應(yīng)用題時(shí)，一般題目中會(huì)有兩個(gè)相等關(guān)系，這時(shí)要根據(jù)題目所要解決的問(wèn)題，選擇其中的一個(gè)相等關(guān)系作為列方程的依據(jù)，而另一個(gè)則用來(lái)設(shè)未知數(shù)．22．（2022?章丘區(qū)模擬）山地自行車(chē)越來(lái)越受到大眾的喜愛(ài)，某車(chē)行經(jīng)銷(xiāo)了某品牌的A、B兩型車(chē)，其經(jīng)銷(xiāo)的A型車(chē)去年銷(xiāo)售總額為5萬(wàn)元，今年每輛車(chē)的銷(xiāo)售價(jià)將比去年降低400元，若賣(mài)出的數(shù)量相同，銷(xiāo)售總額將比去年減少20%．其中A，B兩種型號(hào)車(chē)的進(jìn)貨和銷(xiāo)售價(jià)格如下表：A型車(chē)B型車(chē)進(jìn)貨價(jià)格（元）11001400銷(xiāo)售價(jià)格（元）今年的銷(xiāo)售價(jià)格2000試問(wèn)：（1）今年A型車(chē)每輛售價(jià)多少元？（2）該車(chē)行計(jì)劃新進(jìn)一批A型車(chē)和B型車(chē)共60輛（見(jiàn)上表），要使這批車(chē)獲利不少于33000元，A型車(chē)至多進(jìn)多少輛？【分析】（1）設(shè)今年A型車(chē)每輛售價(jià)x元，則去年售價(jià)每輛為（x+400）元，由賣(mài)出的數(shù)量相同建立方程求出其解即可；（2）設(shè)今年新進(jìn)A型車(chē)a輛，則B型車(chē)（60﹣a）輛，獲利不少于33000元，由條件表示出33000與a之間的關(guān)系式，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）設(shè)今年A型車(chē)每輛售價(jià)x元，則去年售價(jià)每輛為（x+400）元，由題意，得：＝，解得：x＝1600．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1600是原方程的根．答：今年A型車(chē)每輛售價(jià)1600元；（2）設(shè)今年新進(jìn)A型車(chē)a輛，則B型車(chē)（60﹣a）輛，由題意，得（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a）≥33000，解得：a≤30，故要使這批車(chē)獲利不少于33000元，A型車(chē)至多進(jìn)30輛．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列分式方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，得出正確不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．23．（2022?南崗區(qū)校級(jí)一模）某中學(xué)為了創(chuàng)建書(shū)香校園，去年購(gòu)買(mǎi)了一批圖書(shū)．其中故事書(shū)的單價(jià)比文學(xué)書(shū)的單價(jià)多4元，用1200元購(gòu)買(mǎi)的故事書(shū)與用800元購(gòu)買(mǎi)的文學(xué)書(shū)數(shù)量相等．（1）求去年購(gòu)買(mǎi)的文學(xué)書(shū)和故事書(shū)的單價(jià)各是多少元？（2）若今年文學(xué)書(shū)的單價(jià)比去年提高了25%，故事書(shū)的單價(jià)與去年相同，這所中學(xué)今年計(jì)劃再購(gòu)買(mǎi)文學(xué)書(shū)和故事書(shū)共200本，且購(gòu)買(mǎi)文學(xué)書(shū)和故事書(shū)的總費(fèi)用不超過(guò)2120元，這所中學(xué)今年至少要購(gòu)買(mǎi)多少本文學(xué)書(shū)？【分析】（1）設(shè)去年文學(xué)書(shū)單價(jià)為x元，則故事書(shū)單價(jià)為（x+4）元，根據(jù)用1200元購(gòu)買(mǎi)的故事書(shū)與用800元購(gòu)買(mǎi)的文學(xué)書(shū)數(shù)量相等，列出方程，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可得出答案；（2）設(shè)這所學(xué)校今年購(gòu)買(mǎi)y本文學(xué)書(shū)，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)文學(xué)書(shū)和故事書(shū)的總費(fèi)用不超過(guò)2120元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案．【解答】解：（1）設(shè)去年文學(xué)書(shū)單價(jià)為x元，則故事書(shū)單價(jià)為（x+4）元，根據(jù)題意得：，解得：x＝8，經(jīng)檢驗(yàn)x＝8是原方程的解，當(dāng)x＝8時(shí)x+4＝12，答：去年文學(xué)書(shū)單價(jià)為8元，則故事書(shū)單價(jià)為12元．（2）設(shè)這所學(xué)校今年購(gòu)買(mǎi)y本文學(xué)書(shū)，根據(jù)題意得．8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，y≥140，∴y最小值是140；答：這所中學(xué)今年至少要購(gòu)買(mǎi)140本文學(xué)書(shū)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注意分式方程要檢驗(yàn)．24．（2022?南崗區(qū)校級(jí)二模）某商品經(jīng)銷(xiāo)店欲購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品，用160元購(gòu)進(jìn)的A種紀(jì)念品與用240元購(gòu)進(jìn)的B種紀(jì)念品的數(shù)量相同，每件B種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)比A種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)貴10元．（1）求A、B兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）若該商店A種紀(jì)念品每件售價(jià)24元，B種紀(jì)念品每件售價(jià)35元，這兩種紀(jì)念品共購(gòu)進(jìn)1000件，這兩種紀(jì)念品全部售出后總獲利不低于4900元，求A種紀(jì)念品最多購(gòu)進(jìn)多少件．【分析】（1）設(shè)A種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)為x元，則B種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)（x+10）元，根據(jù)用160元購(gòu)進(jìn)的A種紀(jì)念品與用240元購(gòu)進(jìn)的B種紀(jì)念品的數(shù)量相同列出方程，再解即可；（2）設(shè)A種紀(jì)念品購(gòu)進(jìn)a件，由題意得不等關(guān)系：A種紀(jì)念品的總利潤(rùn)+B種紀(jì)念品的總利潤(rùn)≥4900元，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式，再解即可．【解答】解：（1）設(shè)A種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)為x元，則B種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)（x+10）元，由題意得：＝，解得：x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝20是原分式方程的解，x+10＝30，答：A種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)為20元，則B種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)30元；（2）設(shè)A種紀(jì)念品購(gòu)進(jìn)a件，由題意得：（24﹣20）a+（35﹣30）（1000﹣a）≥4900，解得：a≤100，∵a為整數(shù)，∴a的最大值為100．答：A種紀(jì)念品最多購(gòu)進(jìn)100件．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系或不等關(guān)系，再列出不等式或方程組即可．25．（2022?揚(yáng)州三模）某學(xué)校準(zhǔn)備組織部分學(xué)生到少年宮參加活動(dòng)，陳老師從少年宮帶回來(lái)兩條信息：信息一：按原來(lái)報(bào)名參加的人數(shù)，共需要交費(fèi)用320元，如果參加的人數(shù)能夠增加到原來(lái)人數(shù)的2倍，就可以享受優(yōu)惠，此時(shí)只需交費(fèi)用480元；信息二：如果能享受優(yōu)惠，那么參加活動(dòng)的每位同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用比原來(lái)少4元．根據(jù)以上信息，現(xiàn)在報(bào)名參加的學(xué)生有多少人？【分析】設(shè)原來(lái)報(bào)名參加的學(xué)生有x人，根據(jù)原來(lái)每位同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用﹣參加活動(dòng)后的每位同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用＝4元，列出方程，再進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)原來(lái)報(bào)名參加的學(xué)生有x人，依題意，得﹣＝4，解這個(gè)方程，得x＝20．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原方程的解且符合題意．答：現(xiàn)在報(bào)名參加的學(xué)生有40人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系，列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；注意分式方程要檢驗(yàn)．26．（2022?包頭模擬）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃參與一項(xiàng)工程建設(shè)，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成該項(xiàng)工程的，這時(shí)乙隊(duì)加入，兩隊(duì)還需同時(shí)施工15天，才能完成該項(xiàng)工程．（1）若乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要多少天才能完成該項(xiàng)工程？（2）若甲隊(duì)參與該項(xiàng)工程施工的時(shí)間不超過(guò)36天，則乙隊(duì)至少施工多少天才能完成該項(xiàng)工程？【分析】（1）直接利用隊(duì)單獨(dú)施工30天完成該項(xiàng)工程的，這時(shí)乙隊(duì)加入，兩隊(duì)還需同時(shí)施工15天，進(jìn)而利用總工作量為1得出等式求出答案；（2）直接利用甲隊(duì)參與該項(xiàng)工程施工的時(shí)間不超過(guò)36天，得出不等式求出答案．【解答】解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要x天才能完成該項(xiàng)工程，∵甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成該項(xiàng)工程的，∴甲隊(duì)單獨(dú)施工90天完成該項(xiàng)工程，根據(jù)題意可得：+15（+）＝1，解得：x＝30，檢驗(yàn)得：x＝30是原方程的根，答：乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要30天才能完成該項(xiàng)工程；（2）設(shè)乙隊(duì)參與施工y天才能完成該項(xiàng)工程，根據(jù)題意可得：×36+y×≥1，解得：y≥18，答：乙隊(duì)至少施工18天才能完成該項(xiàng)工程．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．27．（2022?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）某市政工程隊(duì)承擔(dān)著1200米長(zhǎng)的道路維修任務(wù)．為了減少對(duì)交通的影響，在維修了240米后通過(guò)增加人數(shù)和設(shè)備提高了工程進(jìn)度，工作效率是原來(lái)的4倍，結(jié)果共用了6小時(shí)就完成了任務(wù)．求原來(lái)每小時(shí)維修多少米？【分析】設(shè)原來(lái)每小時(shí)維修x米，則后來(lái)每小時(shí)維修4x米，等量關(guān)系是：原來(lái)維修240米所用時(shí)間+后來(lái)維修（1200﹣240）米所用時(shí)間＝6小時(shí)，依此列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)原來(lái)每小時(shí)維修x米．根據(jù)題意得+＝6，解得x＝80，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是原方程的解，且符合題意．答：原來(lái)每小時(shí)維修80米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．28．（2022?本溪模擬）東東玩具商店用500元購(gòu)進(jìn)一批悠悠球，很受中小學(xué)生歡迎，悠悠球很快售完，接著又用900元購(gòu)進(jìn)第二批這種悠悠球，所購(gòu)數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，但每套進(jìn)價(jià)多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是多少元；（2）如果這兩批悠悠球每套售價(jià)相同，且全部售完后總利潤(rùn)不低于25%，那么每套悠悠球的售價(jià)至少是多少元？【分析】（1）設(shè)第一批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是x元，則第二批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是（x+5）元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合第二批購(gòu)進(jìn)數(shù)量是第一批數(shù)量的1.5倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每套悠悠球的售價(jià)為y元，根據(jù)銷(xiāo)售收入﹣成本＝利潤(rùn)結(jié)合全部售完后總利潤(rùn)不低于25%，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)第一批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是x元，則第二批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是（x+5）元，根據(jù)題意得：＝1.5×，解得：x＝25，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的進(jìn)價(jià)是25元．（2）設(shè)每套悠悠球的售價(jià)為y元，根據(jù)題意得：500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，解得：y≥35．答：每套悠悠球的售價(jià)至少是35元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．29．（2022?豐澤區(qū)校級(jí)模擬）現(xiàn)有一工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這工程，剛好如期完成，若由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，則要比規(guī)定工期多用6天，現(xiàn)先由甲乙兩隊(duì)合做3天，余下的工程再由乙隊(duì)單獨(dú)完成，也正好如期完成．（1）求該工程規(guī)定的工期天數(shù)；（2）若甲工程隊(duì)每天的費(fèi)用為0.5萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天的費(fèi)用為0.4萬(wàn)元，該工程總預(yù)算不超過(guò)3.9萬(wàn)元，問(wèn)甲工程隊(duì)至少要工作幾天？【分析】（1）設(shè)這項(xiàng)工程規(guī)定的工期天數(shù)為x天，根據(jù)甲工程隊(duì)完成的工程+乙工程隊(duì)完成的工程＝整個(gè)工程，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成該工程所需時(shí)間可得出甲工程隊(duì)的工作效率是乙工程隊(duì)的2倍，設(shè)甲工程隊(duì)工作y天，則乙工程隊(duì)工作（12﹣2y）天，根據(jù)總費(fèi)用＝0.5×甲工程隊(duì)工作時(shí)間+0.4×乙工程隊(duì)工作時(shí)間，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)這項(xiàng)工程規(guī)定的工期天數(shù)為x天，根據(jù)題意得：+＝1，解得：x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的根，且符合題意．答：該工程規(guī)定的工期天數(shù)為6天．（2）∵6+6＝12（天），∴甲工程隊(duì)的工作效率是乙工程隊(duì)的2倍．設(shè)甲工程隊(duì)工作y天，則乙工程隊(duì)工作（12﹣2y）天，根據(jù)題意得：0.5y+0.4（12﹣2y）≤3.9，解得：y≥3．答：甲工程隊(duì)至少要工作3天．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．30．（2022?平房區(qū)校級(jí)模擬）某工廠(chǎng)簽了1200件商品訂單，要求不超過(guò)15天完成．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)車(chē)間來(lái)完成加工任務(wù)．已知甲車(chē)間的加工能力是乙車(chē)間加工能力的1.5倍，并且加工240件需要的時(shí)間甲車(chē)間比乙車(chē)間少用2天．（1）求甲、乙每個(gè)車(chē)間的加工能力每天各是多少件？（2）甲、乙兩個(gè)車(chē)間共同生產(chǎn)了若干天后，甲車(chē)間接到新任務(wù)，留下乙車(chē)間單獨(dú)完成剩余工作，求甲、乙兩車(chē)間至少合作多少天，才能保證完成任務(wù)．【分析】（1）設(shè)乙車(chē)間的加工能力每天是x件，則甲車(chē)間的加工能力每天是1.5x件．根據(jù)加工240件需要的時(shí)間甲車(chē)間比乙車(chē)間少用2天列出方程，求解即可；（2）設(shè)甲、乙兩車(chē)間合作m天，才能保證完成任務(wù)．根據(jù)兩車(chē)間合作的天數(shù)+乙車(chē)間單獨(dú)完成剩余工作的≤15列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)乙車(chē)間的加工能力每天是x件，則甲車(chē)間的加工能力每天是1.5x件．根據(jù)題意得：﹣＝2，解得：x＝40．經(jīng)檢驗(yàn)x＝40是方程的解，則1.5x＝60．答：甲、乙每個(gè)車(chē)間的加工能力每天分別是60件和40件；（2）設(shè)甲、乙兩車(chē)間合作m天，才能保證完成任務(wù)．根據(jù)題意得：m+[1200﹣（40+60）m]÷40≤15，解得m≥10．答：甲、乙兩車(chē)間至少合作10天，才能保證完成任務(wù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，進(jìn)而找到所求的量的數(shù)量關(guān)系．31．（2022?松北區(qū)三模）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃修建一條長(zhǎng)15千米的鄉(xiāng)村公路，已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)每天多修路0.5千米，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成修路任務(wù)所需天數(shù)是甲工程隊(duì)單獨(dú)完成修路任務(wù)所需天數(shù)的1.5倍．（1）求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各修路多少千米？（2）若甲工程隊(duì)每天的修路費(fèi)用為0.5萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天的修路費(fèi)用為0.4萬(wàn)元，要使兩個(gè)工程隊(duì)修路總費(fèi)用不超過(guò)5.2萬(wàn)元，甲工程隊(duì)至少修路多少天？【分析】（1）可設(shè)甲每天修路x千米，則乙每天修路（x﹣0.5）千米，則可表示出修路所用的時(shí)間，可列分式方程，求解即可；（2）設(shè)甲修路a天，則可表示出乙修路的天數(shù)，從而可表示出兩個(gè)工程隊(duì)修路的總費(fèi)用，由題意可列不等式，求解即可．【解答】解：（1）設(shè)甲每天修路x千米，則乙每天修路（x﹣0.5）千米，根據(jù)題意，可列方程：1.5×＝，解得x＝1.5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝1.5是原方程的解，且x﹣0.5＝1，答：甲每天修路1.5千米，則乙每天修路1千米；（2）設(shè)甲修路a天，則乙需要修（15﹣1.5a）千米，∴乙需要修路＝15﹣1.5a（天），由題意可得0.5a+0.4（15﹣1.5a）≤5.2，解得a≥8，答：甲工程隊(duì)至少修路8天．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程及一元一次不等式的應(yīng)用，找出題目中的等量（或不等）關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意分式方程需要檢驗(yàn)．32．（2022?博白縣校級(jí)模擬）五月初，我市多地遭遇了持續(xù)強(qiáng)降雨的惡劣天氣，造成部分地區(qū)出現(xiàn)嚴(yán)重洪澇災(zāi)害，某愛(ài)心組織緊急籌集了部分資金，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種救災(zāi)物品共2000件送往災(zāi)區(qū)，已知每件甲種物品的價(jià)格比每件乙種物品的價(jià)格貴10元，用350元購(gòu)買(mǎi)甲種物品的件數(shù)恰好與用300元購(gòu)買(mǎi)乙種物品的件數(shù)相同（1）求甲、乙兩種救災(zāi)物品每件的價(jià)格各是多少元？（2）經(jīng)調(diào)查，災(zāi)區(qū)對(duì)乙種物品件數(shù)的需求量是甲種物品件數(shù)的3倍，若該愛(ài)心組織按照此需求的比例購(gòu)買(mǎi)這2000件物品，需籌集資金多少元？【分析】（1）設(shè)每件乙種物品的價(jià)格是x元，則每件甲種物品的價(jià)格是（x+10）元，根據(jù)用350元購(gòu)買(mǎi)甲種物品的件數(shù)恰好與用300元購(gòu)買(mǎi)乙種物品的件數(shù)相同列出方程，求解即可；（2）設(shè)甲種物品件數(shù)為m件，則乙種物品件數(shù)為3m件，根據(jù)該愛(ài)心組織按照此需求的比例購(gòu)買(mǎi)這2000件物品列出方程，求解即可．【解答】解：（1）設(shè)每件乙種物品的價(jià)格是x元，則每件甲種物品的價(jià)格是（x+10）元，根據(jù)題意得，＝，解得：x＝60．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原方程的解，x+10＝60+10＝70．答：甲、乙兩種救災(zāi)物品每件的價(jià)格各是70元、60元；（2）設(shè)甲種物品件數(shù)為m件，則乙種物品件數(shù)為3m件，根據(jù)題意得，m+3m＝2000，解得m＝500，即甲種物品件數(shù)為500件，則乙種物品件數(shù)為1500件，此時(shí)需籌集資金：70×500+60×1500＝125000（元）．答：若該愛(ài)心組織按照此需求的比例購(gòu)買(mǎi)這2000件物品，需籌集資金125000元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程、一元一次方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．33．（2022?泰安模擬）某商家預(yù)測(cè)一種應(yīng)季襯衫能暢銷(xiāo)市場(chǎng)，就用13200元購(gòu)進(jìn)了一批這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商家又用28800元購(gòu)進(jìn)了第二批這種襯衫，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍，但單價(jià)貴了10元．（1）該商家購(gòu)進(jìn)的第一批襯衫是多少件？（2）若兩批襯衫按相同的標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣(mài)出，如果兩批襯衫全部售完后利潤(rùn)率不低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標(biāo)價(jià)至少是多少元？【分析】（1）可設(shè)該商家購(gòu)進(jìn)的第一批襯衫是x件，則購(gòu)進(jìn)第二批這種襯衫是2x件，根據(jù)第二批這種襯衫單價(jià)貴了10元，列出方程求解即可；（2）設(shè)每件襯衫的標(biāo)價(jià)y元，求出利潤(rùn)表達(dá)式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）設(shè)該商家購(gòu)進(jìn)的第一批襯衫是x件，則購(gòu)進(jìn)第二批這種襯衫是2x件，依題意有+10＝，解得x＝120，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝120是原方程的解，且符合題意．答：該商家購(gòu)進(jìn)的第一批襯衫是120件．（2）3x＝3×120＝360，設(shè)每件襯衫的標(biāo)價(jià)y元，依題意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件襯衫的標(biāo)價(jià)至少是150元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意并找出題中的數(shù)量關(guān)系并列出方程是解題的關(guān)鍵．34．（2022?東平縣模擬）榮慶公司計(jì)劃從商店購(gòu)買(mǎi)同一品牌的臺(tái)燈和手電筒，已知購(gòu)買(mǎi)一個(gè)臺(tái)燈比購(gòu)買(mǎi)一個(gè)手電筒多用20元，若用400元購(gòu)買(mǎi)臺(tái)燈和用160元購(gòu)買(mǎi)手電筒，則購(gòu)買(mǎi)臺(tái)燈的個(gè)數(shù)是購(gòu)買(mǎi)手電筒個(gè)數(shù)的一半．（1）求購(gòu)買(mǎi)該品牌一個(gè)臺(tái)燈、一個(gè)手電筒各需要多少元？（2）經(jīng)商談，商店給予榮慶公司購(gòu)買(mǎi)一個(gè)該品牌臺(tái)燈贈(zèng)送一個(gè)該品牌手電筒的優(yōu)惠，如果榮慶公司需要手電筒的個(gè)數(shù)是臺(tái)燈個(gè)數(shù)的2倍還多8個(gè)，且該公司購(gòu)買(mǎi)臺(tái)燈和手電筒的總費(fèi)用不超過(guò)670元，那么榮慶公司最多可購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)該品牌臺(tái)燈？【分析】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)該品牌一個(gè)手電筒需要x元，則購(gòu)買(mǎi)一個(gè)臺(tái)燈需要（x+20）元．則根據(jù)等量關(guān)系：購(gòu)買(mǎi)臺(tái)燈的個(gè)數(shù)是購(gòu)買(mǎi)手電筒個(gè)數(shù)的一半，列出方程；（2）設(shè)公司購(gòu)買(mǎi)臺(tái)燈的個(gè)數(shù)為a，則還需要購(gòu)買(mǎi)手電筒的個(gè)數(shù)是（2a+8）個(gè)，則根據(jù)“該公司購(gòu)買(mǎi)臺(tái)燈和手電筒的總費(fèi)用不超過(guò)670元”列出不等式．【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)該品牌一個(gè)手電筒需要x元，則購(gòu)買(mǎi)一個(gè)臺(tái)燈需要（x+20）元．根據(jù)題意得＝×解得x＝5經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是原方程的解．所以x+20＝25．答：購(gòu)買(mǎi)一個(gè)臺(tái)燈需要25元，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)手電筒需要5元；（2）設(shè)公司購(gòu)買(mǎi)臺(tái)燈的個(gè)數(shù)為a，則還需要購(gòu)買(mǎi)手電筒的個(gè)數(shù)是（2a+8﹣a）由題意得25a+5（2a+8﹣a）≤670解得a≤21∴榮慶公司最多可購(gòu)買(mǎi)21個(gè)該品牌的臺(tái)燈．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式和分式方程的應(yīng)用．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，進(jìn)而找到所求的量的等量（不等量）關(guān)系．35．（2022?諸城市一模）某校為美化校園，計(jì)劃對(duì)面積為1800m2的區(qū)域進(jìn)行綠化，安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)完成．已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化的面積的2倍，并且在獨(dú)立完成面積為400m2區(qū)域的綠化時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天．（1）求甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化的面積分別是多少m2？（2）若學(xué)校每天需付給甲隊(duì)的綠化費(fèi)用為0.4萬(wàn)元，乙隊(duì)為0.25萬(wàn)元，要使這次的綠化總費(fèi)用不超過(guò)8萬(wàn)元，至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作多少天？【分析】（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是x（m2），根據(jù)在獨(dú)立完成面積為400m2區(qū)域的綠化時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天，列出方程，求解即可；（2）設(shè)應(yīng)安排甲隊(duì)工作y天，根據(jù)這次的綠化總費(fèi)用不超過(guò)8萬(wàn)元，列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是x（m2），根據(jù)題意得：﹣＝4，解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)x＝50是原方程的解，則甲工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是50×2＝100（m2），答：甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成綠化的面積分別是100m2、50m2；（2）設(shè)應(yīng)安排甲隊(duì)工作y天，根據(jù)題意得：0.4y+×0.25≤8，解得：y≥10，答：至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作10天．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析題意，找到合適的數(shù)量關(guān)系列出方程和不等式，解分式方程時(shí)要注意檢驗(yàn)．36．（2022?道外區(qū)二模）興發(fā)服裝店老板用4500元購(gòu)進(jìn)一批某款T恤衫，由于深受顧客喜愛(ài)，很快售完，老板又用4950元購(gòu)進(jìn)第二批該款式T恤衫，所購(gòu)數(shù)量與第一批相同，但每件進(jìn)價(jià)比第一批多了9元．（1）第一批該款式T恤衫每件進(jìn)價(jià)是多少元？（2）老板以每件120元的價(jià)格銷(xiāo)售該款式T恤衫，當(dāng)?shù)诙鶷恤衫售出時(shí)，出現(xiàn)了滯銷(xiāo)，于是決定降價(jià)促銷(xiāo)，若要使第二批的銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于650元，剩余的T恤衫每件售價(jià)至少要多少元？（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）【分析】（1）設(shè)第一批T恤衫每件進(jìn)價(jià)是x元，則第二批每件進(jìn)價(jià)是（x+9）元，再根據(jù)等量關(guān)系：第二批進(jìn)的件數(shù)＝第一批進(jìn)的件數(shù)可得方程；（2）設(shè)剩余的T恤衫每件售價(jià)y元，由利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，根據(jù)第二批的銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于650元，可列不等式求解．【解答】解：（1）設(shè)第一批T恤衫每件進(jìn)價(jià)是x元，由題意，得＝，解得x＝90，經(jīng)檢驗(yàn)x＝90是分式方程的解，符合題意．答：第一批T恤衫每件的進(jìn)價(jià)是90元；（2）設(shè)剩余的T恤衫每件售價(jià)y元．由（1）知，第二批購(gòu)進(jìn)＝50（件）．由題意，得120×50×+y×50×﹣4950≥650，解得y≥80．答：剩余的T恤衫每件售價(jià)至少要80元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程、一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量作為等量關(guān)系列出方程，根據(jù)利潤(rùn)作為不等關(guān)系列出不等式求解．37．（2022?保定一模）甲、乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實(shí)驗(yàn)器材．若甲單獨(dú)整理需要40分鐘完工：若甲、乙共同整理20分鐘后，乙需再單獨(dú)整理20分鐘才能完工．（1）問(wèn)乙單獨(dú)整理多少分鐘完工？（2）若乙因工作需要，他的整理時(shí)間不超過(guò)30分鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？【分析】（1）將總的工作量看作單位1，根據(jù)本工作分兩段時(shí)間完成列出分式方程解之即可；（2）設(shè)甲整理y分鐘完工，根據(jù)整理時(shí)間不超過(guò)30分鐘，列出一次不等式解之即可．【解答】解：（1）設(shè)乙單獨(dú)整理x分鐘完工，根據(jù)題意得：，解得x＝80，經(jīng)檢驗(yàn)x＝80是原分式方程的解．答：乙單獨(dú)整理80分鐘完工．（2）設(shè)甲整理y分鐘完工，根據(jù)題意，得，解得：y≥25，答：甲至少整理25分鐘完工．【點(diǎn)評(píng)】分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．此題等量關(guān)系比較多，主要用到公式：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間．38．（2022?營(yíng)口模擬）南寧市2006年的污水處理量為10萬(wàn)噸/天，2007年的污水處理量為34萬(wàn)噸/天，2007年平均每天的污水排放量是2006年平均每天污水排放量的1.05倍，若2007年每天的污水處理率比2006年每天的污水處理率提高40%（污水處理率＝）．（1）求南寧市2006年、2007年平均每天的污水排放量分別是多少萬(wàn)噸？（結(jié)果保留整數(shù)）（2）預(yù)計(jì)我市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天污水排放量增加20%，按照國(guó)家要求“2010年省會(huì)城市的污水處理率不低于70%”，那么我市2010年每天污水處理量在2007年每天污水處理量的基礎(chǔ)上至少還需要增加多少萬(wàn)噸，才能符合國(guó)家規(guī)定的要求？【分析】（1）關(guān)鍵描述語(yǔ)是：2007年每天的污水處理率比2006年每天的污水處理率提高40%．等量關(guān)系為：2007年每天的污水處理率﹣2006年每天的污水處理率＝40%；（2）關(guān)系式為：2010年污水處理率≥70%．【解答】解：（1）設(shè)2006年平均每天的污水排放量為x萬(wàn)噸，則2007年平均每天的污水排放量為1.05x萬(wàn)噸，依題意得：（4分）解得：x≈56（5分）經(jīng)檢驗(yàn)，x≈56是原方程的解（6分）∴1.05x≈59答：2006年平均每天的污水排放量約為56萬(wàn)噸，2007年平均每天的污水排放量約為59萬(wàn)噸．（7分）（2）設(shè)2010年平均每天的污水處理量還需要在2007年的基礎(chǔ)上至少增加y萬(wàn)噸，（8分）依題意得：≥70%（9分）解得y≥15.56答：2010年平均每天的污水處理量還需要在2007年的基礎(chǔ)上至少增加15.56萬(wàn)噸．【點(diǎn)評(píng)】分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．此題還要套用題中給出的公式：污水處理率＝．39．（2022?市中區(qū)校級(jí)模擬）在汕頭市“創(chuàng)文”活動(dòng)中，一項(xiàng)綠化工程由甲、乙兩工程隊(duì)承擔(dān)．已知甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需120天，甲工程隊(duì)單獨(dú)工作30天后，乙工程隊(duì)參與合做，兩隊(duì)又共同工作了36天完成．（1）求乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要多少天？（2）因工期的需要，將此項(xiàng)工程分成兩部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程隊(duì)還有其它工作任務(wù)，最多只能做52天．求甲工程隊(duì)至少應(yīng)做多少天？【分析】（1）設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要x天，由題意列出分式方程，求出x的值即可；（2）首先根據(jù)題意列出a和y的關(guān)系式，進(jìn)而求出a的取值范圍，結(jié)合a和y都是正整數(shù)，即可求出a的值．【解答】解：（1）設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要x天，由題意得：+（+）×36＝1，解得：x＝80，經(jīng)檢驗(yàn)x＝80是原方程的解．答：乙工程隊(duì)單獨(dú)做需要80天完成．（2）因?yàn)榧坠こ剃?duì)做其中一部分用了a天，乙工程隊(duì)做另一部分用了y天，依題意得：+＝1，解得：y＝80﹣a，∵y≤52，∴80﹣a≤52，解得：a≥42，答：甲工程隊(duì)至少應(yīng)做42天．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．此題涉及的公式：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間．40．（2022?旌陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）我校在開(kāi)學(xué)前去商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌的乒乓球拍，購(gòu)買(mǎi)A品牌球拍共花費(fèi)1800元，購(gòu)買(mǎi)B品牌球拍共花費(fèi)700元，且購(gòu)買(mǎi)A品牌球拍數(shù)量是購(gòu)買(mǎi)B品牌球拍的3倍，已知購(gòu)買(mǎi)一副B品牌球拍比購(gòu)買(mǎi)一副A品牌球拍多花5元．（1）求購(gòu)買(mǎi)一副A品牌、一副B品牌球拍各需多少元？（2）為了進(jìn)一步發(fā)展“校園乒