中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第04講 一次方程及方程組【中考過(guò)關(guān)真題練】（原卷版）

第04講一次方程及方程組【中考過(guò)關(guān)真題練】一．等式的性質(zhì)（共1小題）1．（2022?青海）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）A．若＝，則a＝b B．若ac＝bc，則a＝b C．若a2＝b2，則a＝b D．若﹣x＝6，則x＝﹣2【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【解答】解：A、若＝，則a＝b，故A符合題意；B、若ac＝bc（c≠0），則a＝b，故B不符合題意；C、若a2＝b2，則a＝±b，故C不符合題意；D、﹣x＝6，則x＝﹣18，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．解一元一次方程（共1小題）2．（2022?黔西南州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①去括號(hào)，得3x+3﹣1＝2x﹣2②移項(xiàng)，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③合并同類項(xiàng)，得x＝﹣4④以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】對(duì)題目的解題過(guò)程逐步分析，即可找出出錯(cuò)的步驟．【解答】解：方程兩邊同乘6應(yīng)為：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），∴出錯(cuò)的步驟為：①，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次方程，解題關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確觀察出出錯(cuò)的步驟．三．一元一次方程的應(yīng)用（共5小題）3．（2022?河北）“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖．按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出．然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個(gè)搬運(yùn)工，這時(shí)水位恰好到達(dá)標(biāo)記位置，如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個(gè)搬運(yùn)工，水位也恰好到達(dá)標(biāo)記位置．已知搬運(yùn)工體重均為120斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則正確的是（）A．依題意3×120＝x﹣120 B．依題意20x+3×120＝（20+1）x+120 C．該象的重量是5040斤 D．每塊條形石的重量是260斤【分析】利用題意找出等量關(guān)系，將等量關(guān)系中的量用已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式替換即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意得出等量關(guān)系為：20塊等重的條形石的重量+3個(gè)搬運(yùn)工的體重和＝21塊等重的條形石的重量+1個(gè)搬運(yùn)工的體重，∵已知搬運(yùn)工體重均為120斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，∴20x+3×120＝（20+1）x+120，∴A選項(xiàng)不正確，B選項(xiàng)正確；由題意：大象的體重為20×240+360＝5160斤，∴C選項(xiàng)不正確；由題意可知：一塊條形石的重量＝2個(gè)搬運(yùn)工的體重，∴每塊條形石的重量是240斤，∴D選項(xiàng)不正確；綜上，正確的選項(xiàng)為：B．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，利用題意正確找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2020?呼和浩特）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載，“三百七十八里關(guān)；初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意是；有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到關(guān)口，則此人第一和第六這兩天共走了（）A．102里 B．126里 C．192里 D．198里【分析】設(shè)第六天走的路程為x里，則第五天走的路程為2x里，依此往前推，第一天走的路程為32x里，根據(jù)前六天的路程之和為378里，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)第六天走的路程為x里，則第五天走的路程為2x里，依此往前推，第一天走的路程為32x里，依題意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x＝378，解得：x＝6．32x＝192，6+192＝198，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2019?牡丹江）夏季到來(lái)，商家為清理庫(kù)存，決定對(duì)部分春季商品進(jìn)行打折銷售．已知某服裝一件進(jìn)價(jià)為100元，若按標(biāo)價(jià)打五折出售，仍可獲利30%，則該服裝的標(biāo)價(jià)是260元．【分析】直接利用進(jìn)價(jià)與利潤(rùn)和打折與標(biāo)價(jià)之間的關(guān)系列出方程，解方程即可求解．【解答】解：設(shè)該服裝的標(biāo)價(jià)是x元，依題意有：0.5x＝100（1+30%），解得x＝260．故答案為：260．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解進(jìn)價(jià)與利潤(rùn)和打折與標(biāo)價(jià)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2022?重慶）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛(ài)好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先騎行2千米，甲才開(kāi)始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙，求甲騎行的速度；（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開(kāi)始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)B地，求甲騎行的速度．【分析】（1）設(shè)乙騎行的速度為x千米/時(shí)，則甲騎行的速度為1.2x千米/時(shí)，利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合甲追上乙時(shí)二者的行駛路程相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可求出乙騎行的速度，再將其代入1.2x中即可求出甲騎行的速度；（2）設(shè)乙騎行的速度為y千米/時(shí)，則甲騎行的速度為1.2y千米/時(shí)，利用時(shí)間＝路程÷速度，結(jié)合乙比甲多用20分鐘，即可得出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可求出乙騎行的速度，再將其代入1.2y中即可求出甲騎行的速度．【解答】解：（1）設(shè)乙騎行的速度為x千米/時(shí)，則甲騎行的速度為1.2x千米/時(shí)，依題意得：×1.2x＝2+x，解得：x＝20，∴1.2x＝1.2×20＝24．答：甲騎行的速度為24千米/時(shí)．（2）設(shè)乙騎行的速度為y千米/時(shí)，則甲騎行的速度為1.2y千米/時(shí)，依題意得：﹣＝，解得：y＝15，經(jīng)檢驗(yàn)，y＝15是原方程的解，且符合題意，∴1.2y＝1.2×15＝18．答：甲騎行的速度為18千米/時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．7．（2022?南充）南充市被譽(yù)為中國(guó)綢都，本地某電商銷售真絲襯衣和真絲圍巾兩種產(chǎn)品，它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表．用15000元可購(gòu)進(jìn)真絲襯衣50件和真絲圍巾25件．（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）種類真絲襯衣真絲圍巾進(jìn)價(jià)（元/件）a80售價(jià)（元/件）300100（1）求真絲襯衣進(jìn)價(jià)a的值．（2）若該電商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)真絲襯衣和真絲圍巾兩種商品共300件，據(jù)市場(chǎng)銷售分析，真絲圍巾進(jìn)貨件數(shù)不低于真絲襯衣件數(shù)的2倍．如何進(jìn)貨才能使本次銷售獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？（3）按（2）中最大利潤(rùn)方案進(jìn)貨與銷售，在實(shí)際銷售過(guò)程中，當(dāng)真絲圍巾銷量達(dá)到一半時(shí)，為促銷并保證銷售利潤(rùn)不低于原來(lái)最大利潤(rùn)的90%，襯衣售價(jià)不變，余下圍巾降價(jià)銷售，每件最多降價(jià)多少元？【分析】（1）利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)真絲襯衣x件，則購(gòu)進(jìn)真絲圍巾（300﹣x）件，根據(jù)真絲圍巾進(jìn)貨件數(shù)不低于真絲襯衣件數(shù)的2倍，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，設(shè)兩種商品全部售出后獲得的總利潤(rùn)為w元，利用總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題；（3）設(shè)每件真絲圍巾降價(jià)y元，利用總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×銷售數(shù)量，結(jié)合要保證銷售利潤(rùn)不低于原來(lái)最大利潤(rùn)的90%，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）依題意得：50a+80×25＝15000，解得：a＝260．答：a的值為260．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)真絲襯衣x件，則購(gòu)進(jìn)真絲圍巾（300﹣x）件，依題意得：300﹣x≥2x，解得：x≤100．設(shè)兩種商品全部售出后獲得的總利潤(rùn)為w元，則w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．∵20＞0，∴w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝100時(shí)，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此時(shí)300﹣x＝300﹣100＝200．答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)真絲襯衣100件，真絲圍巾200件時(shí)，才能使本次銷售獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是8000元．（3）設(shè)每件真絲圍巾降價(jià)y元，依題意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）××200+（100﹣y﹣80）××200≥8000×90%，解得：y≤8．答：每件真絲圍巾最多降價(jià)8元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．四．二元一次方程的應(yīng)用（共3小題）8．（2022?齊齊哈爾）端午節(jié)前夕，某食品加工廠準(zhǔn)備將生產(chǎn)的粽子裝入A、B兩種食品盒中，A種食品盒每盒裝8個(gè)粽子，B種食品盒每盒裝10個(gè)粽子，若現(xiàn)將200個(gè)粽子分別裝入A、B兩種食品盒中（兩種食品盒均要使用并且裝滿），則不同的分裝方式有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【分析】根據(jù)題意列方程，求其正整數(shù)解．【解答】解：設(shè)A種食品盒x個(gè)，B種食品盒y個(gè)，根據(jù)題意得：8x+10y＝200，∴y＝20﹣0.8x，∴方程的正整數(shù)解為：，，，．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程的應(yīng)用，并求其特殊解的問(wèn)題．9．（2016?齊齊哈爾）足球比賽規(guī)定：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．某足球隊(duì)共進(jìn)行了6場(chǎng)比賽，得了12分，該隊(duì)獲勝的場(chǎng)數(shù)可能是（）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5【分析】設(shè)該隊(duì)勝x場(chǎng)，平y(tǒng)場(chǎng)，則負(fù)（6﹣x﹣y）場(chǎng)，根據(jù)：勝場(chǎng)得分+平場(chǎng)得分+負(fù)場(chǎng)得分＝最終得分，列出二元一次方程，根據(jù)x、y的范圍可得x的可能取值．【解答】解：設(shè)該隊(duì)勝x場(chǎng)，平y(tǒng)場(chǎng)，則負(fù)（6﹣x﹣y）場(chǎng)，根據(jù)題意，得：3x+y＝12，即：x＝，∵x、y均為非負(fù)整數(shù)，且x+y≤6，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝4；當(dāng)y＝3時(shí)，x＝3；即該隊(duì)獲勝的場(chǎng)數(shù)可能是3場(chǎng)或4場(chǎng)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)相等關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵，要熟練根據(jù)未知數(shù)的范圍確定方程的解．10．（2018?黃石）小光和小王玩“石頭、剪子、布”游戲，規(guī)定：一局比賽后，勝者得3分，負(fù)者得﹣1分，平局兩人都得0分，小光和小王都制訂了自己的游戲策略，并且兩人都不知道對(duì)方的策略．小光的策略是：石頭、剪子、布、石頭、剪子、布、……小王的策略是：剪子、隨機(jī)、剪子、隨機(jī)……（說(shuō)明：隨機(jī)指石頭、剪子、布中任意一個(gè)）例如，某次游戲的前9局比賽中，兩人當(dāng)時(shí)的策略和得分情況如下表局?jǐn)?shù)123456789小光實(shí)際策略石頭剪子布石頭剪子布石頭剪子布小王實(shí)際策略剪子布剪子石頭剪子剪子剪子石頭剪子小光得分33﹣100﹣13﹣1﹣1小王得分﹣1﹣13003﹣133已知在另一次游戲中，50局比賽后，小光總得分為﹣6分，則小王總得分為90分．【分析】觀察二人的策略可知：每6局一循環(huán)，每個(gè)循環(huán)中第一局小光拿3分，第三局小光拿﹣1分，第五局小光拿0分，進(jìn)而可得出五十局中可預(yù)知的小光勝9局、平8局、負(fù)8局，設(shè)其它二十五局中，小光勝了x局，負(fù)了y局，則平了（25﹣x﹣y）局，根據(jù)50局比賽后小光總得分為﹣6分，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程，由x、y、（25﹣x﹣y）均非負(fù)，可得出x＝0、y＝25，再由勝一局得3分、負(fù)一局得﹣1分、平不得分，可求出小王的總得分．【解答】解：由二人的策略可知：每6局一循環(huán)，每個(gè)循環(huán)中第一局小光拿3分，第三局小光拿﹣1分，第五局小光拿0分．∵50÷6＝8（組）……2（局），∴（3﹣1+0）×8+3＝19（分）．設(shè)其它二十五局中，小光勝了x局，負(fù)了y局，則平了（25﹣x﹣y）局，根據(jù)題意得：19+3x﹣y＝﹣6，∴y＝3x+25．∵x、y、（25﹣x﹣y）均非負(fù)，∴x＝0，y＝25，∴小王的總得分＝（﹣1+3+0）×8﹣1+25×3＝90（分）．故答案為：90．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．五．解二元一次方程組（共1小題）11．（2022?淄博）解方程組：．【分析】利用加減消元法或代入消元法解二元一次方程組即可．【解答】解：整理方程組得，①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，y＝1，把y＝1代入①得x﹣2＝3，解得x＝5，∴方程組的解為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，做題關(guān)鍵是掌握加減消元法和代入消元法解二元一次方程組．六．由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組（共3小題）12．（2020?隨州）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何”．設(shè)雞有x只，兔有y只，則根據(jù)題意，下列方程組中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“雞的數(shù)量+兔的數(shù)量＝35，雞的腳的數(shù)量+兔子的腳的數(shù)量＝94”可列方程組．【解答】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，根據(jù)題意，可列方程組為，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系．13．（2018?朝陽(yáng)）雞兔同籠，從上面數(shù)，有20個(gè)頭；從下面數(shù)，有60條腿，設(shè)雞有x只，兔有y只，則下列方程組正確的是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)雞有x只，兔有y只，根據(jù)雞和兔共有20個(gè)頭60條腿，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，依題意，得：．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．14．（2021?阿壩州）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題，”今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”若設(shè)雞有x只，兔有y只，則列出的方程組為（列出方程組即可，不求解）．【分析】根據(jù)等量關(guān)系：上有三十五頭，下有九十四足，即可列出方程組．【解答】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，由題意得：．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，根據(jù)等量關(guān)系得出方程組，難度一般．七．二元一次方程組的應(yīng)用（共12小題）15．（2022?湖北）有大小兩種貨車，3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運(yùn)貨22噸，5輛大貨車與2輛小貨車一次可以運(yùn)貨25噸，則4輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)貨23.5噸．【分析】根據(jù)題意列二元一次方程組，再求有關(guān)代數(shù)式的值．【解答】解：設(shè)1輛大貨車一次可以運(yùn)貨x噸，1輛小貨車一次可以運(yùn)貨y噸，根據(jù)題意得：，得：4x+3y＝23.5；故答案為：23.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查得是二元一次方程的應(yīng)用，審題、列方程是解決本題的關(guān)鍵．16．（2022?海南）我省某村委會(huì)根據(jù)“十四五”規(guī)劃的要求，打造鄉(xiāng)村品牌，推銷有機(jī)黑胡椒和有機(jī)白胡椒．已知每千克有機(jī)黑胡椒比每千克有機(jī)白胡椒的售價(jià)便宜10元，購(gòu)買(mǎi)2千克有機(jī)黑胡椒和3千克有機(jī)白胡椒需付280元，求每千克有機(jī)黑胡椒和每千克有機(jī)白胡椒的售價(jià)．【分析】設(shè)每千克有機(jī)黑胡椒的售價(jià)為x元，每千克有機(jī)白胡椒的售價(jià)為y元，根據(jù)“每千克有機(jī)黑胡椒比每千克有機(jī)白胡椒的售價(jià)便宜10元，購(gòu)買(mǎi)2千克有機(jī)黑胡椒和3千克有機(jī)白胡椒需付280元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每千克有機(jī)黑胡椒的售價(jià)為x元，每千克有機(jī)白胡椒的售價(jià)為y元，依題意得：，解得：．答：每千克有機(jī)黑胡椒的售價(jià)為50元，每千克有機(jī)白胡椒的售價(jià)為60元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．17．（2022?黑龍江）學(xué)校開(kāi)展大課間活動(dòng)，某班需要購(gòu)買(mǎi)A、B兩種跳繩．已知購(gòu)進(jìn)10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元；購(gòu)進(jìn)15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元．（1）求購(gòu)進(jìn)一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種跳繩m根，若班級(jí)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A、B兩種跳繩共45根，所花費(fèi)用不少于548元且不多于560元，則有哪幾種購(gòu)買(mǎi)方案？（3）在（2）的條件下，哪種購(gòu)買(mǎi)方案需要的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)一根A種跳繩需x元，購(gòu)進(jìn)一根B種跳繩需y元，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元：購(gòu)進(jìn)15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種跳繩m根，則購(gòu)買(mǎi)B種跳繩（45﹣m）根，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不少于548元且不多于560元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為整數(shù)，即可得出各購(gòu)買(mǎi)方案；（3）設(shè)購(gòu)買(mǎi)跳繩所需總費(fèi)用為w元，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)一根A種跳繩需x元，購(gòu)進(jìn)一根B種跳繩需y元，依題意得：，解得：．答：購(gòu)進(jìn)一根A種跳繩需10元，購(gòu)進(jìn)一根B種跳繩需15元．（2）∵該班級(jí)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A、B兩種跳繩共45根，且購(gòu)買(mǎi)A種跳繩m根，∴購(gòu)買(mǎi)B種跳繩（45﹣m）根．依題意得：，解得：23≤m≤25.4，又∵m為整數(shù)，∴m可以取23，24，25，∴共有3種購(gòu)買(mǎi)方案，方案1：購(gòu)買(mǎi)23根A種跳繩，22根B種跳繩；方案2：購(gòu)買(mǎi)24根A種跳繩，21根B種跳繩；方案3：購(gòu)買(mǎi)25根A種跳繩，20根B種跳繩．（3）設(shè)購(gòu)買(mǎi)跳繩所需總費(fèi)用為w元，則w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．∵﹣5＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝25時(shí)，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．答：在（2）的條件下，購(gòu)買(mǎi)方案3需要的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是550元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．18．（2022?福建）在學(xué)校開(kāi)展“勞動(dòng)創(chuàng)造美好生活”主題系列活動(dòng)中，八年級(jí)（1）班負(fù)責(zé)校園某綠化角的設(shè)計(jì)、種植與養(yǎng)護(hù)．同學(xué)們約定每人養(yǎng)護(hù)一盆綠植，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍．已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元．（1）采購(gòu)組計(jì)劃將預(yù)算經(jīng)費(fèi)390元全部用于購(gòu)買(mǎi)綠蘿和吊蘭，問(wèn)可購(gòu)買(mǎi)綠蘿和吊蘭各多少盆？（2）規(guī)劃組認(rèn)為有比390元更省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案，請(qǐng)求出購(gòu)買(mǎi)兩種綠植總費(fèi)用的最小值．【分析】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)綠蘿x盆，吊蘭y盆，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合購(gòu)進(jìn)兩種綠植46盆共花費(fèi)390元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)綠蘿m盆，則購(gòu)買(mǎi)吊蘭（46﹣m）盆，根據(jù)購(gòu)進(jìn)綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，設(shè)購(gòu)買(mǎi)兩種綠植的總費(fèi)用為w元，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)綠蘿x盆，吊蘭y盆，依題意得：，解得：．∵8×2＝16，16＜38，∴符合題意．答：購(gòu)買(mǎi)綠蘿38盆，吊蘭8盆．（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)綠蘿m盆，則購(gòu)買(mǎi)吊蘭（46﹣m）盆，依題意得：m≥2（46﹣m），解得：m≥．設(shè)購(gòu)買(mǎi)兩種綠植的總費(fèi)用為w元，則w＝9m+6（46﹣m）＝3m+276，∵3＞0，∴w隨m的增大而增大，又∵m≥，且m為整數(shù)，∴當(dāng)m＝31時(shí)，w取得最小值，最小值＝3×31+276＝369．答：購(gòu)買(mǎi)兩種綠植總費(fèi)用的最小值為369元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．19．（2022?雅安）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A，B兩種商品，已知購(gòu)進(jìn)3件A商品和5件B商品費(fèi)用相同，購(gòu)進(jìn)3件A商品和1件B商品總費(fèi)用為360元．（1）求A，B兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為多少元？（列方程或方程組求解）（2）若該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元銷售，B商品按每件80元銷售，求銷售完A，B兩種商品后獲得總利潤(rùn)w（元）與m（件）的函數(shù)關(guān)系式．【分析】（1）根據(jù)題意列方程組，并求解．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，列函數(shù)關(guān)系式【解答】解：（1）A商品每件的進(jìn)價(jià)為x元，B商品每件的進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)題意得：．解得：；答：A商品每件的進(jìn)價(jià)為100元，B商品每件的進(jìn)價(jià)為60元．（2）∵A商品m件，∴B商品（80﹣m）件，∴w＝（150﹣100）m+（80﹣60）（80﹣m）＝30m+1600．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，及列函數(shù)表達(dá)式，因此審題列方程組是解題的關(guān)鍵．20．（2022?廣東）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，幾名學(xué)生要湊錢(qián)購(gòu)買(mǎi)1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問(wèn)學(xué)生人數(shù)和該書(shū)單價(jià)各是多少？【分析】設(shè)有x人，該書(shū)單價(jià)y元，根據(jù)“如果每人出8元，則多了3元；如果每人出7元，則少了4元錢(qián)”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)學(xué)生有x人，該書(shū)單價(jià)y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：學(xué)生有7人，該書(shū)單價(jià)53元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．21．（2021?黃石）我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳，問(wèn)籠中各有幾只雞和兔？根據(jù)以上譯文，回答以下問(wèn)題：（1）籠中雞、兔各有多少只？（2）若還是94只腳，但不知道頭多少個(gè)，籠中雞兔至少30只且不超過(guò)40只．雞每只值80元，兔每只值60元，問(wèn)這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？【分析】（1）設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，根據(jù)“從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)籠中雞有m只，則兔有只，根據(jù)籠中雞兔至少30只且不超過(guò)40只，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，設(shè)這籠雞兔共值w元，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題．【解答】解：（1）設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，依題意得：，解得：．答：籠中雞有23只，兔有12只．（2）設(shè)籠中雞有m只，則兔有只，依題意得：，解得：13≤m≤33．設(shè)這籠雞兔共值w元，則w＝80m+60×＝50m+1410．∵50＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m＝13時(shí)，w取得最小值，最小值＝50×13+1410＝2060；當(dāng)m＝33時(shí)，w取得最大值，最大值＝50×33+1410＝3060．答：這籠雞兔最多值3060元，最少值2060元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、數(shù)學(xué)常識(shí)以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．22．（2019?婁底）某商場(chǎng)用14500元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種礦泉水共500箱，礦泉水的成本價(jià)與銷售價(jià)如表所示：類別成本價(jià)（元/箱）銷售價(jià)（元/箱）甲2535乙3548求：（1）購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種礦泉水各多少箱？（2）該商場(chǎng)售完這500箱礦泉水，可獲利多少元？【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲礦泉水x箱，購(gòu)進(jìn)乙礦泉水y箱，根據(jù)該商場(chǎng)用14500元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種礦泉水共500箱，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總利潤(rùn)＝單箱利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲礦泉水x箱，購(gòu)進(jìn)乙礦泉水y箱，依題意，得：，解得：．答：購(gòu)進(jìn)甲礦泉水300箱，購(gòu)進(jìn)乙礦泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：該商場(chǎng)售完這500箱礦泉水，可獲利5600元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．23．（2018?聊城）建設(shè)中的大外環(huán)路是我市的一項(xiàng)重點(diǎn)民生工程．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量為120萬(wàn)立方，原計(jì)劃由公司的甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)從公路的兩端同時(shí)相向施工150天完成．由于特殊情況需要，公司抽調(diào)甲隊(duì)外援施工，由乙隊(duì)先單獨(dú)施工40天后甲隊(duì)返回，兩隊(duì)又共同施工了110天，這時(shí)甲乙兩隊(duì)共完成土方量103.2萬(wàn)立方．（1）問(wèn)甲、乙兩隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量分別為多少萬(wàn)立方？（2）在抽調(diào)甲隊(duì)外援施工的情況下，為了保證150天完成任務(wù)，公司為乙隊(duì)新購(gòu)進(jìn)了一批機(jī)械來(lái)提高效率，那么乙隊(duì)平均每天的施工土方量至少要比原來(lái)提高多少萬(wàn)立方才能保證按時(shí)完成任務(wù)？【分析】（1）設(shè)甲隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為x萬(wàn)立方，乙隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為y萬(wàn)立方，根據(jù)“甲乙兩隊(duì)合作150天完成土方量120萬(wàn)立方，甲隊(duì)施工110天、乙隊(duì)施工150天完成土方量103.2萬(wàn)立方”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)乙隊(duì)平均每天的施工土方量比原來(lái)提高a萬(wàn)立方才能保證按時(shí)完成任務(wù)，根據(jù)完成工作的總量＝甲隊(duì)完成的土方量+乙隊(duì)完成的土方量，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)甲隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為x萬(wàn)立方，乙隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為y萬(wàn)立方，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為0.42萬(wàn)立方，乙隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為0.38萬(wàn)立方．（2）設(shè)乙隊(duì)平均每天的施工土方量比原來(lái)提高a萬(wàn)立方才能保證按時(shí)完成任務(wù)，根據(jù)題意得：110×0.42+（40+110）×（0.38+a）≥120，解得：a≥0.112．答：乙隊(duì)平均每天的施工土方量至少要比原來(lái)提高0.112萬(wàn)立方才能保證按時(shí)完成任務(wù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于a的一元一次不等式．24．（2017?烏魯木齊）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何”，意思是：雞和兔關(guān)在一個(gè)籠子里，從上面看有35個(gè)頭，從下面看有94條腿，問(wèn)籠中雞或兔各有多少只？【分析】設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，本題中的等量關(guān)系有：雞頭+兔頭＝35頭；雞足+兔足＝94足，需要注意的是，一只雞有一頭兩足，一只兔有一頭四足．【解答】解：設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，由題意得：，解得．答：籠中雞有23只，兔有12只．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．需要注意的是，一只雞有一頭兩足，一只兔有一頭四足．25．（2017?河南）學(xué)校“百變魔方”社團(tuán)準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A，B兩種魔方，已知購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A種魔方和6個(gè)B種魔方共需130元，購(gòu)買(mǎi)3個(gè)A種魔方和4個(gè)B種魔方所需款數(shù)相同．（1）求這兩種魔方的單價(jià)；（2）結(jié)合社員們的需求，社團(tuán)決定購(gòu)買(mǎi)A，B兩種魔方共100個(gè)（其中A種魔方不超過(guò)50個(gè)）．某商店有兩種優(yōu)惠活動(dòng)，如圖所示．請(qǐng)根據(jù)以上信息，說(shuō)明選擇哪種優(yōu)惠活動(dòng)購(gòu)買(mǎi)魔方更實(shí)惠．【分析】（按買(mǎi)3個(gè)A種魔方和買(mǎi)4個(gè)B種魔方錢(qián)數(shù)相同解答）（1）設(shè)A種魔方的單價(jià)為x元/個(gè)，B種魔方的單價(jià)為y元/個(gè)，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A種魔方和6個(gè)B種魔方共需130元，購(gòu)買(mǎi)3個(gè)A種魔方和4個(gè)B種魔方所需款數(shù)相同”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種魔方m個(gè)（0＜m≤50），總價(jià)格為w元，則購(gòu)進(jìn)B種魔方（100﹣m）個(gè)，根據(jù)兩種活動(dòng)方案即可得出w活動(dòng)一、w活動(dòng)二關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再分別令w活動(dòng)一＜w活動(dòng)二、w活動(dòng)一＝w活動(dòng)二和w活動(dòng)一＞w活動(dòng)二，解出m的取值范圍，此題得解．（按購(gòu)買(mǎi)3個(gè)A種魔方和4個(gè)B種魔方需要130元解答）（1）設(shè)A種魔方的單價(jià)為x元/個(gè)，B種魔方的單價(jià)為y元/個(gè)，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A種魔方和