（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+隨堂檢測08空間中的平行與垂直（教師版）

第08課空間中的平行與垂直考點(diǎn)01 判斷平行，垂直的有關(guān)命題【例1】已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】對于A，，則可能平行、可能相交且不垂直，故A不正確；對于B，，則可能平行、可能相交且不垂直、可能異面且不垂直，故B不正確；對于C，若，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，故C正確；對于D，若，則或異面，故D不正確．故選：C．【變式1】已知平面，直線，若且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】如下圖且，，則l//a，此時(shí)，，所以，充分性不成立；

若，因?yàn)?，所以，必要性成立?/p>

故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【變式2】已知是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則有下列命題①，，；

②，，；③，，；

④，.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】①若，，，則直線沒有交點(diǎn)，異面或，故①不正確；②若，，，當(dāng)均與，的交線平行時(shí)，可得，故②不正確；③若，，則，又，則，故③正確；④若，，則或，故④不正確.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.故選：B.考點(diǎn)02 平行的判定定理【例2】下列正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能滿足平面MNP的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】對于A：連接，由圖可知，與平面相交，故不滿足平面，故A錯(cuò)誤；

對于B：如圖所示，分別是所在棱的中點(diǎn)，連接，則平面MNP和平面為同一平面，因?yàn)椋驗(yàn)榕c平面相交，所以不滿足平面，故B錯(cuò)誤；

對于C：連接，交與點(diǎn)，連接，因?yàn)椋謩e為中點(diǎn)，所以，由線面平行的判定定理可知，平面，故C正確；

對于D：分別是所在棱的中點(diǎn)，連接，，平面與平面為同一平面，取的中點(diǎn)為，連接，由中位線定理可知，，因?yàn)榕c平面相交，所以不滿足平面，故D錯(cuò)誤；

故選：C【變式3】如圖，在直三棱柱中，D，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．

(1)若E為CD的中點(diǎn)，O為側(cè)面的中心，證明：平面；(2)若，側(cè)面為菱形，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）連接，，證得，進(jìn)而證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，結(jié)合，利用錐體的體積公式，即可求解.【詳解】（1）證明：連接，．因?yàn)镺為側(cè)面的中心，且側(cè)面為矩形，所以O(shè)是的中點(diǎn)．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，且且所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以，平面，平面，所以平?（2）解：因?yàn)?，且是的中點(diǎn)，且側(cè)面為菱形，所以，因?yàn)?，所以，所以的面積，在直三棱柱中，底面，所以.

考點(diǎn)03 補(bǔ)全平行的條件【例3】如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，.

(1)求點(diǎn)到平面的距離.(2)若是的中點(diǎn)，是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，棱上是否存在一點(diǎn)使平面？證明你的結(jié)論并求的長.【答案】(1)；(2)存在滿足條件的點(diǎn)，且點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).證明見解析，.【分析】（1）法一：根據(jù)垂直關(guān)系分別求出以及，利用等體積轉(zhuǎn)化法可求出點(diǎn)到平面的距離；法二：由條件可證明平面，從而點(diǎn)到平面的距離即為所求，在等腰直角中可求出結(jié)果；（2）取點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，可證明平面平面，從而平面，結(jié)合三等分點(diǎn)即可求出結(jié)果.【詳解】（1）方法一：如圖，連接，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面PCD，所以平面，平面，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.又因?yàn)椋钥傻?，得，即點(diǎn)到平面的距離為.方法二：因?yàn)槠矫?，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離.作，垂足為.同方法一可知平面，所以平面平面，且交線為，又平面，所以平面，點(diǎn)到平面的距離即.在等腰直角中，，所以，即點(diǎn)到平面的距離為.

（2）存在滿足條件的點(diǎn)，且點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).證明如下：連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)辄c(diǎn)是的三等分點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).在矩形中，為的中點(diǎn)，所以，平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，平面，所以平面DEF，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)椋?考點(diǎn)04 平行的性質(zhì)定理【例4】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，M為PA的中點(diǎn)，E是PC靠近C的一個(gè)三等分點(diǎn)．

(1)若N是PD上的點(diǎn)，平面ABCD，判斷MN與BC的位置關(guān)系，并加以證明．(2)在PB上是否存在一點(diǎn)Q，使平面BDE成立？若存在，請予以證明，若不存在，說明理由．【答案】(1)，證明見解析(2)存在，證明見解析【分析】（1）．利用線面平行的性質(zhì)定理可得答案；（2）當(dāng)Q是PB的中點(diǎn)時(shí)，平面BDE成立．由線面平行的判定定理可得平面BDE、平面BDE，再由面面平行的判定定理和性質(zhì)定理答案.【詳解】（1），理由如下，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面PAD，平面平面，∴．又因?yàn)?，∴；?）當(dāng)Q是PB的中點(diǎn)時(shí)，平面BDE成立，理由如下，取PE的中點(diǎn)F，連接QF，又Q為PB的中點(diǎn)，∴．∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE，連接AC交BD于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)，又E是PC靠近C的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴E為CF的中點(diǎn)，∴，∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE，又，∴平面平面BDE，∵平面AQF，∴平面BDE．

考點(diǎn)05 垂直的判定定理【例5】如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：∥平面;(2)求證：平面平面．【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，則由三角形中位線定理得∥，∥，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可得∥，則∥平面，由理∥平面，從而可證得平面∥平面，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）由已知面面垂直可得平面，則，再由結(jié)合勾股定理逆定理可得，再由面線垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．，分別是和的中點(diǎn)，∥，∥．又四邊形為正方形，∥，從而∥．平面，平面，∥平面，同理∥平面，又，平面，平面∥平面，平面，則∥平面;

（2）為正方形，．又平面平面，且平面平面，面，平面，∵平面，∴，設(shè)，，，∴，∴．又，，平面，平面，而平面，∴平面平面．考點(diǎn)06 補(bǔ)全垂直的條件【例6】在四棱錐中，是等邊三角形，且平面平面，，．

(1).在AD上是否存在一點(diǎn)M，使得平面平面，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；(2).若的面積為，求三棱錐的體積．【答案】(1)存在；證明見解析；(2)【分析】（1）由題可得，即在上找一點(diǎn)M，使平面即可；（2）設(shè)，由題目條件及的面積為，可得，即可得三棱錐的體積.【詳解】（1）存在，當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面．證明：取AD的中點(diǎn)M，連接，由是等邊三角形，可得，由平面平面，平面，平面平面，可得平面，由平面，可得平面平面．（2）設(shè)，可得，則，由，可得，由.所以三棱錐P－ABC的體積為．

.

【變式5】如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，，與相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)．又．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求二面角的大??；(3)設(shè)點(diǎn)M在棱上，且，問為何值時(shí)，平面．【答案】(1)；(2)45°；(3)見解析.【分析】（1）由已知得到PO⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質(zhì)得到PO⊥BD，過D做DE∥BC交于AB于E，連接PE，則∠PDE或其補(bǔ)角為異面直線PD與BC所成的角，利用平面幾何即可得解；（2）連接OE，由為等腰梯形，所以，且為中點(diǎn)，所以，又平面，∠PEO為二面角P﹣AB﹣C的平面角，然后求值即可；（3）連接MD，MB，MO，利用PC⊥平面BMD，得到PC⊥OM，Rt△POC中求的PM＝，MC＝．【詳解】（1）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD，又，由平面幾何可得：，過D做DE∥BC交于AB于E，連接PE，則∠PDE或其補(bǔ)角為異面直線PD與BC所成的角，∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴OC＝OD＝1，OB＝OA＝2，OA⊥OB，∴又AB∥DC∴四邊形EBCD是平行四邊形．∴，∴E是AB的中點(diǎn)，且，又，∴PEA為直角三角形，∴在△PED中，由余弦定理得故異面直線PD與BC所成的角的余弦值為；（2）連接OE，由為等腰梯形，所以，且為中點(diǎn)，所以，又平面，∠PEO為二面角P﹣AB﹣C的平面角，∴sin∠PE0＝，∴∠PEO＝45°，∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的大小為45°；（3）連接MD，MB，MO，∵PC⊥平面BMD，OM?平面BMD，∴PC⊥OM，在Rt△POC中，PC＝PD＝，OC＝1，PO＝，∴PM＝，MC＝，∴，故λ＝時(shí)，PC⊥平面BMD．考點(diǎn)07 垂直的性質(zhì)定理【例7】如圖，在三棱柱中，，分別為棱BC，的中點(diǎn).

(1)求證:∥平面；(2)若平面平面，，，點(diǎn)滿足，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析；(2)3【分析】（1）連接MN，則可得為平行四邊形，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，則∥，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）取AB的中點(diǎn)，連接，則，再由面面垂直的性質(zhì)可得平面ABC，則，連接，則，由線面垂直的判定可得平面，則，從而可得∥，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）連接MN，因?yàn)椋謩e為棱BC，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椤危?，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，，又∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平?（2）解：取AB的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面ABC.因?yàn)槠矫鍭BC，所以.連接，因?yàn)椤?，，所?又，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)椋?，所以∥，所以為MB的中點(diǎn)，即，所以.

考點(diǎn)08 平行，垂直的綜合應(yīng)用【例8】如圖所示，在多面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，，且，，分別是，的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)若平面平面，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析;(2).【分析】（1）根據(jù)條件可以證明平面，平面，進(jìn)而可以證明平面平面；（2）利用條件可以求出到平面的距離，進(jìn)而利用體積公式可以求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，是的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，從而.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?同理平面，又，所以平面平面.（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.

因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面，所以到平面的距離為，所以.空間中的平行與垂直隨堂檢測1.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】對于A，若，則或，錯(cuò)誤；對于B，若，的位置關(guān)系不確定，可以平行、相交、異面直線，錯(cuò)誤；對于C，若，則或者相交，錯(cuò)誤；對于D，若，可得的方向向量分別是的法向量，因?yàn)?，所以的法向量垂直，所以的方向向量垂直，則，正確.故選：D.2.在直三棱柱中，是的中點(diǎn)．

(1)求證：//平面；(2)求三棱錐的體積；【答案】(1)證明見解析;(2)5【分析】（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用線面平行的判定定理；（2）依據(jù)題設(shè)運(yùn)用體積轉(zhuǎn)換法進(jìn)行探求．【詳解】（1）設(shè)，連接，由直三棱柱性質(zhì)可知，側(cè)面為矩形，

∴為中點(diǎn)，又∵為中點(diǎn)，∴在中，，又∵平面，平面，∴平面．（2）由題，∴，即，又由直三棱柱可知，側(cè)棱底面，∴.所以三棱錐的體積為53.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面ABCD，，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，且交SC于點(diǎn)N.

(1)求證：平面ACM；(2)求證：；(3)求證：平面平面