中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第04講 一次方程及方程組（23個考點）（知識精講）（原卷版）

第04講一次方程及方程組（23個考點）【考綱要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，會解一元一次方程；2.了解二元一次方程組的定義，會用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組；3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程（組），體會方程思想和轉(zhuǎn)化思想.【知識導(dǎo)圖】【考點梳理】一、一元一次方程1.等式性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為零），結(jié)果仍是等式.2.方程的概念（1）含有未知數(shù)的等式叫做方程.（2）使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).（3）求方程的解的過程，叫做解方程.3.一元一次方程（1）只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的一般形式:.（3）解一元一次方程的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化成1；⑥檢驗(檢驗步驟可以不寫出來).要點詮釋：解一元一次方程的一般步驟步驟名稱方法依據(jù)注意事項1去分母在方程兩邊同時乘以所有分母的最小公倍數(shù)（即把每個含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍數(shù)）等式性質(zhì)21、不含分母的項也要乘以最小公倍數(shù)；2、分子是多項式的一定要先用括號括起來.2去括號去括號法則（可先分配再去括號）乘法分配律注意正確的去掉括號前帶負(fù)數(shù)的括號3移項把未知項移到方程的一邊（左邊），常數(shù)項移到另一邊（右邊）等式性質(zhì)1移項一定要改變符號4合并同類項分別將未知項的系數(shù)相加、常數(shù)項相加1、整式的加減；2、有理數(shù)的加法法則單獨的一個未知數(shù)的系數(shù)為“±1”5系數(shù)化為“1”在方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)（或方程兩邊同時乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)）等式性質(zhì)2不要顛倒了被除數(shù)和除數(shù)（未知數(shù)的系數(shù)作除數(shù)——分母）*6檢根x=a方法：把x=a分別代入原方程的兩邊，分別計算出結(jié)果.①若左邊＝右邊，則x=a是方程的解；②若左邊≠右邊，則x=a不是方程的解.注：當(dāng)題目要求時，此步驟必須表達出來.說明：（1）上表僅說明了在解一元一次方程時經(jīng)常用到的幾個步驟，但并不是說，解每一個方程都必須經(jīng)過六個步驟；（2）解方程時，一定要先認(rèn)真觀察方程的形式，再選擇步驟和方法；（3）對于形式較復(fù)雜的方程，可依據(jù)有效的數(shù)學(xué)知識將其轉(zhuǎn)化或變形成我們常見的形式，再依照一般方法解.二、二元一次方程組1.二元一次方程組的定義兩個含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程組成的一組方程，叫做二元一次方程組.要點詮釋：判斷一個方程組是不是二元一次方程組應(yīng)從方程組的整體上看，若一個方程組內(nèi)含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這樣的方程組都叫做二元一次方程組．2.二元一次方程組的一般形式要點詮釋：a1、a2不同時為0，b1、b2不同時為0，a1、b1不同時為0，a2、b2不同時為0.3.二元一次方程組的解法(1)代入消元法；(2)加減消元法.要點詮釋：（1）二元一次方程組的解有三種情況，即有唯一解、無解、無限多解．教材中主要是研究有唯一解的情況，對于其他情況，可根據(jù)學(xué)生的接受能力給予滲透．（2）一元一次方程與一次函數(shù)、一元一次不等式之間的關(guān)系：當(dāng)二元一次方程中的一個未知數(shù)的取值確定范圍時，可利用一元一次不等式組確定另一個未知數(shù)的取值范圍，由于任何二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式，所以解二元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)y＝0時，求x的值.從圖象上看，這相當(dāng)于已知縱坐標(biāo)，確定橫坐標(biāo)的值.三、一次方程（組）的應(yīng)用列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟：1.審:分析題意，找出已知、未知之間的數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系；2.設(shè):選擇恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)(直接或間接設(shè)元)，注意單位的統(tǒng)一和語言完整；3.列:根據(jù)數(shù)量和相等關(guān)系，正確列出代數(shù)式和方程(組)；4.解:解所列的方程(組)；5.驗:(有三次檢驗①是否是所列方程(組)的解；②是否使代數(shù)式有意義；③是否滿足實際意義)；6.答:注意單位和語言完整.要點詮釋：列方程應(yīng)注意：（1）方程兩邊表示同類量；（2）方程兩邊單位一定要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值相等.【典型例題】一．方程的定義（共1小題）1．（2022?南京模擬）下列四個式子中，是方程的是（）A．3+2＝5 B．x＝1 C．2x﹣1＜0 D．a(chǎn)+b二．方程的解（共2小題）2．（2022?江陰市模擬）已知x＝1是方程x+2a＝﹣1的解，那么a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（2022?香洲區(qū)校級一模）關(guān)于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b為實數(shù)且a≠0），a恰好是該方程的根，則a+b的值為．三．等式的性質(zhì)（共2小題）4．（2022?宜興市校級二模）若x+y＝5，2x﹣3y＝10，則x﹣4y的值為（）A．15 B．﹣5 C．5 D．35．（2022?景縣校級模擬）設(shè)■，●，▲分別表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示，則在■，●，▲中，質(zhì)量最小的是（）A．■ B．● C．▲ D．無法確定四．一元一次方程的定義（共2小題）6．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是關(guān)于x的一元一次方程，那么a的值是（）A．0 B．7 C．8 D．107．（2022?宛城區(qū)一模）例如44x+64＝328，等，像這樣的方程叫做一元一次方程．請寫出一元一次方程的共同特點：．五．一元一次方程的解（共2小題）8．（2022?石家莊二模）x＝1是下列哪個方程的解（）A．6＝5﹣x B．2x+2＝3x+3 C． D．x2＝x9．（2022?青縣一模）已知關(guān)于x的方程的解為x＝﹣10，則a的值為；嘉琪在解該方程去分母時等式右邊的﹣1忘記乘6，則嘉琪解得方程的解為x＝．六．解一元一次方程（共3小題）10．（2022?鐘山縣模擬）解方程：＝1．11．（2022?西安模擬）解方程：3（x﹣1）＝2﹣2x．12．（2022?昭化區(qū)模擬）解方程：．七．含絕對值符號的一元一次方程（共2小題）13．（2021?江陰市校級模擬）方程|1﹣|x+1||+k＝kx有三個實數(shù)根，則k＝．14．（2012?鳳陽縣校級模擬）閱讀下列材料：我們知道|x|的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點與原點的距離；即|x|＝|x﹣0|，也就是說，|x|表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點之間的距離；這個結(jié)論可以推廣為|x1﹣x2|表示在數(shù)軸上數(shù)x1，x2對應(yīng)點之間的距離；在解題中，我們會常常運用絕對值的幾何意義：例1：解方程|x|＝2．容易得出，在數(shù)軸上與原點距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為±2，即該方程的x＝±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如圖，在數(shù)軸上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為﹣1，3，則|x﹣1|＞2的解為x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和﹣2的距離之和為5的點對應(yīng)的x的值．在數(shù)軸上，1和﹣2的距離為3，滿足方程的x對應(yīng)點在1的右邊或﹣2的左邊．若x對應(yīng)點在1的右邊，如圖可以看出x＝2；同理，若x對應(yīng)點在﹣2的左邊，可得x＝﹣3．故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程|x+3|＝4的解為；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a對任意的x都成立，求a的取值范圍．八．同解方程（共3小題）15．（2022?南山區(qū)模擬）若關(guān)于y的方程ay﹣2＝6+y與方程y+4＝2的解相同，則a的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．416．（2020?邯山區(qū)校級二模）已知關(guān)于x的方程5x﹣2＝3x+16的解與方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，則a＝；若[m]表示不大于m的最大整數(shù)，那么[﹣1]＝．17．（2021?邵陽模擬）已知方程x+3＝0與關(guān)于x的方程6x﹣3（x+k）＝x﹣12的解相同（1）求k的值；（2）若|m+5|+（n﹣1）k＝0求m+n的值．九．由實際問題抽象出一元一次方程（共2小題）18．（2022?蕭山區(qū)校級二模）在車間原計劃用15小時生產(chǎn)一批零件，實際每小時多生產(chǎn)了10件，用了13小時不但完成了任務(wù)，而且還多生產(chǎn)了80件，設(shè)原計劃每小時生產(chǎn)x個零件，那么下列方程正確的是（）A．x＝（x+10）+80 B．＝x+80 C．15x＝13（x+10）+80 D．13（x+10）＝15x+8019．（2022?政和縣模擬）中國一本著名數(shù)學(xué)文獻《九章算術(shù)》，書中出現(xiàn)了一個“共買雞問題”，原文是：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六，問人數(shù)、物價各幾何？其題意是：有若干人一起買雞，如果每人出9文錢，就多出11文錢；如果每人出6文錢，就相差16文錢．問買雞的人數(shù)、雞的價錢各是多少？設(shè)買雞的人數(shù)為x，則下面符合題意的方程是（）A．9x+11＝6x﹣16 B．9x+6x＝16+11 C．9x+11＝6x+16 D．9x﹣11＝6x+16一十．一元一次方程的應(yīng)用（共7小題）20．（2022?沂水縣一模）如圖，用一塊長7.5cm、寬3cm的長方形紙板，和一塊長6cm、寬1.5cm的長方形紙板，與一塊小正方形紙板以及另兩塊長方形紙板，恰好拼成一個大正方形，則小正方形的邊長是cm，拼成的大正方形的面積是cm2．21．（2022?溫州校級模擬）在端午節(jié)來臨之際，某超市李老板花1600元購進了A、B、C三種類型的粽子，其中A粽子40盒，B粽子35盒，C粽子10盒，A粽子每盒的進價比B粽子低5元，C粽子進價30元/盒．（1）求A粽子和B粽子每盒的進價；（2）第一批粽子全部售出后，李老板又去采購，這次采購A粽子的數(shù)量和B粽子相同，但是A粽子的進價每盒降低了m%，B粽子的進價每盒提高了m%，當(dāng)A粽子花費960元進貨時，B粽子需要花費1920元進貨，①求m的值；②進價調(diào)整后，李老板采購這三種粽子用了3000元，且A、B、C三種類型的粽子的售價分別為20元/盒，30元/盒，40元/盒，設(shè)出售完第二批粽子所得利潤為W元，求W的最大值．22．（2022?埇橋區(qū)校級模擬）寒假期間，小亮同學(xué)想跟著父母一起從合肥乘坐高鐵去宣城，已知普通快車從合肥站到宣城站全程的平均速度為70km/h，剛開通的高鐵從合肥站到宣城站全程的平均速度為140km/h，行完全程高鐵比普通快車節(jié)省了90min．求合肥站到宣城站的距離為多少千米？23．（2022?馬鞍山二模）某奶茶店的一款主打奶茶分為線上和線下兩種銷售模式，消費者從線上下單，每次可使用“滿30減28”消費券一張（線下下單沒有該消費券），同規(guī)格的一杯奶茶，線上價格比線下高20%，外賣配送費為4元/次，訂單顯示用券后線上一次性購買6杯實際支付金額和線下購買6杯支付金額一樣多，求該款奶茶線下銷售價格．24．（2022?新城區(qū)模擬）為引導(dǎo)廣大青少年樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀，傳承紅色基因，某校組織學(xué)生去紅色革命圣地﹣延安開展研學(xué)旅行，若單獨租用30座客車若干輛，則恰好坐滿：若單獨租用40座客車，則可少租一輛．且余20個座位，求參加此次研學(xué)旅行的總?cè)藬?shù)．25．（2022?運城一模）在落實國家“精準(zhǔn)扶貧”政策的過程中，政府為某村修建一條長為400米的公路，由甲、乙兩個工程隊負(fù)責(zé)施工．甲工程隊獨立施工2天后乙工程隊加入，兩工程隊聯(lián)合施工4天后，還剩70米的工程．已知甲工程隊每天比乙工程隊多施工5米，求甲，乙工程隊每天各施工多少米？26．（2022?石家莊一模）某社區(qū)打算購買一批垃圾分類提示牌和垃圾箱，計劃提示牌比垃圾箱多購買6個，且提示牌與垃圾箱的個數(shù)之和恰好為100個．（1）求計劃購買提示牌多少個？（2）為提升居民垃圾分類意識，實際購買時增加了提示牌的購買數(shù)量，且提示牌與垃圾箱的購買數(shù)量之和不變．已知提示牌的單價為每個60元，垃圾箱的單價為每個150元，若預(yù)算費用不超過9800元，請求出實際購買提示牌的數(shù)量至少增加了多少個？一十一．二元一次方程的定義（共2小題）27．（2022?麒麟?yún)^(qū)模擬）若方程x2a﹣b﹣3ya+b＝2是關(guān)于x、y的二元一次方程，則ab的值為（）A． B．2 C． D．128．（2021?饒平縣校級模擬）若關(guān)于x，y的方程2x|n|+3ym﹣2＝0是二元一次方程，則m+n＝．一十二．二元一次方程的解（共3小題）29．（2022?上城區(qū)一模）二元一次方程4x﹣y＝2的解可以是（）A． B． C． D．30．（2022?鐵西區(qū)二模）已知是方程mx﹣y＝3的解，則m的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．731．（2022?易縣三模）我們稱使方程成立的一對數(shù)x，y為“相伴數(shù)對”，記為（x，y）．（1）若（6，y）是“相伴數(shù)對”，則y的值為；（2）若（a，b）是“相伴數(shù)對”，請用含a的代數(shù)式表示b＝．一十三．解二元一次方程（共3小題）32．（2022?長春二模）將方程7x﹣y＝5變形成用含x的代數(shù)式表示y，則y＝．33．（2022?惠城區(qū)一模）在二元一次方程5x﹣3y＝16中，若x、y互為相反數(shù)，求x與y值．34．（2022?河源一模）方程3x+4y＝9，如果2y＝6，求x的值．一十四．由實際問題抽象出二元一次方程（共2小題）35．（2022?蕭山區(qū)二模）為了迎接杭州亞運會的召開，某學(xué)校組織學(xué)生開展有關(guān)亞運會的知識競賽．競賽共有20道題，規(guī)定：每答對一道題得5分，每答錯一道題扣3分，不答的題得1分．已知杭杭同學(xué)這次競賽成績?yōu)?0分．設(shè)杭杭同學(xué)答對了x道題，答錯了y道題，則有（）A．x﹣y＝10 B．5x﹣3y＝60 C．3x﹣y＝40 D．x+y＝2036．（2022?上虞區(qū)模擬）我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》上有這樣一道題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？若設(shè)雞x只，兔y只，則由頭數(shù)可列出方程x+y＝35，那么由足數(shù)可列出的方程為．一十五．二元一次方程的應(yīng)用（共3小題）37．（2022?前進區(qū)三模）為了加大“精準(zhǔn)扶貧”力度，某市準(zhǔn)備將10名干部分成2人一組或3人一組，到村屯帶領(lǐng)貧困戶脫貧，在所有干部都參加且每人只能參加一個小組的前提下，分組方案有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種38．（2022?樂陵市模擬）為落實好樂陵市“1115”高效課堂，李老師把班級里50名學(xué)生分成若干小組進行小組互助學(xué)習(xí)，每小組只能是4人或6人，則分組方案有種．39．（2022?諸暨市模擬）我國的《洛書》中記載著世界最古老的一個幻方：將九個數(shù)字填入3×3的方格中，使三行、三列、兩對角線上的三個數(shù)之和都相等，根據(jù)如圖的幻方，則代數(shù)式x﹣3y＝．x2y﹣2y0一十六．二元一次方程組的定義（共1小題）40．（2022?長春二模）下列方程組中是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．一十七．二元一次方程組的解（共1小題）41．（2022?淮陰區(qū)模擬）已知是方程組的解，則3a﹣b的值是（）A．1 B．3 C．4 D．5一十八．解二元一次方程組（共4小題）42．（2022?倉山區(qū)校級模擬）解方程組：．43．（2022?紅花崗區(qū)三模）解方程組：．44．（2022?義安區(qū)模擬）解二元一次方程組：．45．（2022?青秀區(qū)校級三模）閱讀下列材料，并回答問題：【情境1】：小紅在研究學(xué)習(xí)無理數(shù)時發(fā)現(xiàn)：①任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)；②任意一個不為零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)；③零與無理數(shù)的積為零．【情境2】：小剛在小紅研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究，又發(fā)現(xiàn)：若ax+b＝0，其中a，b為有理數(shù)，x為無理數(shù)，則a＝0且b＝0．例如：若，其中a，b為有理數(shù)，則a＝0，b＝0．【情境3】：后來，小陳也加入到小紅和小剛的研究學(xué)習(xí)當(dāng)中，并成功解決了之前困擾他的一道題：，其中a，b為有理數(shù)．分析：通過變形，得：．又a，b為有理數(shù)，∴解得：．運用上述知識解決下列問題：（1）已知，其中a，b為有理數(shù)，則a＝，b＝；（2）已知，其中a，b為有理數(shù)，求ab+2的值．一十九．由實際問題抽象出二元一次方程組（共1小題）46．（2022?興慶區(qū)校級三模）某商店促銷活動，同時購買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打七折，需要花費224元．已知一副羽毛球拍標(biāo)價比一副乒乓球拍標(biāo)價的2倍多20元，若一副乒乓球拍的標(biāo)價是x元，一副羽毛球拍的標(biāo)價為y元，根據(jù)題意，可列方程組（）A． B． C． D．二十．二元一次方程組的應(yīng)用（共4小題）47．（2022?大名縣三模）可以借助圖1、圖2的方式測量桌子的高度，將兩塊完全一樣的長方體木塊先按圖1方式放置，再按圖2方式放置，測量的數(shù)據(jù)如圖所示，則桌子的高度是（）A．（a﹣b）cm B．cm C．（+b）cm D．m48．（2022?龍華區(qū)校級模擬）某商店需要購進甲、乙兩種商品共180件，其進價和售價如表：（注：獲利＝售價﹣進價）甲乙進價（元/件）1435售價（元/件）2043若商店計劃銷售完這批商品后能獲利1240元，問甲、乙兩種商品應(yīng)分別購進多少件．49．（2022?翔安區(qū)模擬）某校計劃采購凳子，商場有A、B兩種型號的凳子出售，并規(guī)定：對于A型凳子，采購數(shù)量若超過250張，則超出部分可在原價基礎(chǔ)上每張優(yōu)惠a元；B型凳子的售價為40元/張．學(xué)校經(jīng)測算，若購買300張A型凳子需要花費14250元；若購買500張A型凳子需要花費21250元．（1）求a的值；（2）學(xué)校要采購A、B兩種型號凳子共900張，且購買A型凳子不少于150張且不超過B型凳子數(shù)量的2倍，請通過計算幫學(xué)校決策如何分配購買數(shù)量可以使得總采購費用最少？最少費用是多少元？50．（2022?泉港區(qū)模擬）為做好疫情防控工作，某單位計劃再購買甲、乙兩種新型額溫槍．若購買1支甲種額溫槍和2支乙種額溫槍共需700元，購買2支甲種額溫槍和3支乙種額溫槍共需1160元．試求出甲、乙兩種額溫槍的單價各多少元．二十一．同解方程組（共1小題）51．（2022?濟南二模）已知方程組和方程組有相同的解，則m的值是．二十二．解三元一次方程組（共4小題）52．（2022?安徽模擬）實數(shù)x、y、z且x+y+z≠0，x＝，z＝，則下列等式成立的是（）A．x2﹣y2＝z2 B．xy＝z C．x2+y2＝z2 D．x+y＝z53．（2021?蘇州一模）閱讀材料：善于思考的小明在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法，解法如下：解：將方程②8x+20y+2y＝10，變形為2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，則y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程組的解為：請你解決以下問題：（1）試用小明的“整體代換”的方法解方程組（2）已知x、y、z，滿足試求z的值．54．（2021?饒平縣校級模擬）已知方程組的解滿足方程x+y＝10，求k．55．（2021?下城區(qū)一模）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中僅有一個為0，解這個方程組．二十三．三元一次方程組的應(yīng)用（共3小題）56．（2022?渝北區(qū)校級模擬）一家水果店購進一批盒裝荔枝、櫻桃和草莓，并全部組合成“天生荔質(zhì)”（內(nèi)裝4盒荔枝）、“櫻有盡有”（內(nèi)裝6盒櫻桃）、“喜上莓梢”（內(nèi)裝8盒草莓）三款禮盒進行銷售，其中“天生荔質(zhì)”與“喜上莓梢”禮盒的數(shù)量之和比“櫻有盡有”禮盒數(shù)量的2倍少30套，且所有禮盒全部賣出，第二次該水果店購進與第一次數(shù)量分別相同的盒裝荔枝、櫻桃和草莓，也是全部組合成禮盒進行銷售．根據(jù)顧客反饋信息，第二次銷售除了第一次的三款禮盒（每款禮盒規(guī)格與第一次相同），還組合成“春遇”、“春見”兩款混合