中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第01講 中考熱點(diǎn)實(shí)數(shù)（知識(shí)精講）（解析版）

第01講中考熱點(diǎn)實(shí)數(shù)（知識(shí)精講）【宋老師溫馨提醒】中考考點(diǎn)第一模塊的“數(shù)”，包括有理數(shù)與實(shí)數(shù)等章節(jié)，但是涉及的知識(shí)點(diǎn)合計(jì)有45個(gè)考點(diǎn)。很多地市中考數(shù)學(xué)試卷的涉及實(shí)數(shù)模塊的考題常常是中考第一題，命制原則以送分送到位為準(zhǔn)。但是也有一些地市的命制以多個(gè)模塊（不僅僅是實(shí)數(shù)）的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合的考核，既可以綜合實(shí)數(shù)模塊的多個(gè)考點(diǎn)，又可以實(shí)數(shù)結(jié)合概率的知識(shí)點(diǎn)，還有需要注意涉及數(shù)軸的知識(shí)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，以及關(guān)注到數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容在考題中的滲透。所以這一部分的中考復(fù)習(xí)要扎實(shí)，要關(guān)注到基礎(chǔ)概念的準(zhǔn)確深入的理解，而不是死記硬背知識(shí)點(diǎn)。【考綱要求】1.了解有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念；借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對(duì)值的概念及意義，會(huì)比較實(shí)數(shù)的大小；2.知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)，會(huì)求近似數(shù)和有效數(shù)字；了解乘方與開方、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，并理解這兩種運(yùn)算之間的關(guān)系，了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；3.掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，并能靈活運(yùn)用.【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的分類1.按定義分類：2.按性質(zhì)符號(hào)分類：有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)或者“形如（m，n是整數(shù)n≠0）”的數(shù)叫有理數(shù)．無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)．實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：常見的無理數(shù)有以下幾種形式：（1）字母型：如π是無理數(shù)，等都是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)；（2）構(gòu)造型：如2.10100100010000…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0）就是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)；（3）根式型：…都是一些開方開不盡的數(shù)；（4）三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.考點(diǎn)二:實(shí)數(shù)的相關(guān)概念1.相反數(shù)（1)代數(shù)意義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)．0的相反數(shù)是0；（2)幾何意義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，與原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；（3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0.a、b互為相反數(shù)a+b=0.2.絕對(duì)值（1)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．可用式子表示為：（2)幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)，所以絕對(duì)值的幾何意義本身就揭示了絕對(duì)值的本質(zhì)，即絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)．用式子表示：若a是實(shí)數(shù)，則|a|≥0．要點(diǎn)詮釋：若則則表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的點(diǎn)之間的距離.3.倒數(shù)（1)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是；0沒有倒數(shù)；（2)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．a(chǎn)、b互為倒數(shù).4.平方根（1)如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個(gè)平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根．a(chǎn)（a≥0）的平方根記作．（2)一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根．a(chǎn)（a≥0）的算術(shù)平方根記作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；0的立方根仍是0．考點(diǎn)三:實(shí)數(shù)與數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺一不可．每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長度.（2）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.考點(diǎn)四:實(shí)數(shù)大小的比較1.對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，靠右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大.2.正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)；絕對(duì)值大的反而小.3.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，若a>b，b>c，則a>c.5.無理數(shù)的比較大?。豪闷椒睫D(zhuǎn)化為有理數(shù)：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒數(shù)轉(zhuǎn)化：如比較與.要點(diǎn)詮釋：實(shí)數(shù)大小的比較方法：（1）直接比較法：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.（2）數(shù)軸法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.考點(diǎn)五；實(shí)數(shù)的運(yùn)算1.加法同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)．滿足運(yùn)算律：加法的交換律a+b=b+a，加法的結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.減法減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．3.乘法兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.幾個(gè)非零實(shí)數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)．幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．乘法運(yùn)算的運(yùn)算律：（1）乘法交換律ab=ba；（2）乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法對(duì)加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一個(gè)數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．（2）兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0．5.乘方與開方（1)求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，a所表示的意義是n個(gè)a相乘.正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．（2)正數(shù)和0可以開平方，負(fù)數(shù)不能開平方；正數(shù)、負(fù)數(shù)和0都可以開立方．（3)零指數(shù)與負(fù)指數(shù)要點(diǎn)詮釋：加和減是一級(jí)運(yùn)算，乘和除是二級(jí)運(yùn)算，乘方和開方是三級(jí)運(yùn)算．這三級(jí)運(yùn)算的順序是三、二、一．如果有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的；如果沒有括號(hào)，同一級(jí)運(yùn)算中要從左至右依次運(yùn)算．考點(diǎn)六：有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位．一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字．精確度的形式有兩種：（1）精確到哪一位；（2）保留幾個(gè)有效數(shù)字.把一個(gè)數(shù)用±a×10（其中1≤＜10，n為整數(shù)）的形式記數(shù)的方法叫科學(xué)記數(shù)法．要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值大于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為正整數(shù)，其值等于原數(shù)中整數(shù)部分的數(shù)位減去1；（2）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為負(fù)整數(shù)，其值等于原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前面所用零的個(gè)數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.【典型例題】題型一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念 【例1-1】（1）a的相反數(shù)是，則a的倒數(shù)是_______．（2）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示:則化簡(jiǎn)=______．（3）去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝，用科學(xué)記數(shù)法表示為約____________．【答案】（1）5；（2）-a-b；（3）1.02×107畝.【解析】（1）注意相反數(shù)和倒數(shù)概念的區(qū)別，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)只有性質(zhì)符號(hào)不同，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)要改變分子分母的位置；或者利用互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和等于0，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)乘積等于1來計(jì)算.（2）此題考查絕對(duì)值的幾何意義，絕對(duì)值和二次根式的化簡(jiǎn).注意要去掉絕對(duì)值符號(hào)，要判別絕對(duì)值內(nèi)的數(shù)的性質(zhì)符號(hào).由圖知：3）考查科學(xué)記數(shù)法的概念.【點(diǎn)評(píng)】本大題旨在通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的填空，讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)實(shí)數(shù)有關(guān)概念的理解．【例1-2】．在實(shí)數(shù)－，0，，－3.14，，，－0.1010010001…（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多1個(gè)0），sin30°這8個(gè)實(shí)數(shù)中，無理數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】C；【解析】在上面所給的實(shí)數(shù)中，只有，，－0.1010010001…這三個(gè)數(shù)是無理數(shù)，其它五個(gè)數(shù)都是有理數(shù)，故選C.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)實(shí)數(shù)分類，不能只為表面形式迷惑，而應(yīng)從最后結(jié)果去判斷．首先明確無理數(shù)的概念，即“無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)”.一般來說，用根號(hào)表示的數(shù)不一定就是無理數(shù)，如=2是有理數(shù)，關(guān)鍵在于這個(gè)形式上帶根號(hào)的數(shù)的最終結(jié)果是不是無限不循環(huán)小數(shù)．同樣，用三角符號(hào)表示的數(shù)也不一定就是無理數(shù)，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…盡管有規(guī)律，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)．是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)．【變式1】據(jù)市旅游局統(tǒng)計(jì)，今年“五·一”小長假期間，我市旅游市場(chǎng)走勢(shì)良好，假期旅游總收入達(dá)到8.55億元，用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）A．8.55×106

B．8.55×107

C．8.55×108

D．8.55×109【答案】C.【變式2】倒數(shù)等于它本身的數(shù)是______，相反數(shù)等于它本身的數(shù)是______，絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是______．【答案】±1；0；非負(fù)數(shù).題型二：實(shí)數(shù)的分類與計(jì)算【例2-1】下列實(shí)數(shù)、sin60°、、、3.14159、-、、中無理數(shù)有（）個(gè)A．1B．2C．3D．4【答案】C.【解析】無理數(shù)有sin60°、、.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類不能只看表面形式，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再根據(jù)結(jié)果去判斷．【變式】在中，哪些是有理數(shù)?哪些是無理數(shù)?【答案】都是有理數(shù)；都是無理數(shù).【例2-2】．計(jì)算：計(jì)算：．【答案與解析】【點(diǎn)評(píng)】該題是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，包括絕對(duì)值，0指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，正整數(shù)指數(shù)冪．只要準(zhǔn)確把握各自的意義，就能正確的進(jìn)行運(yùn)算．【變式1】計(jì)算：【答案】；【變式2】計(jì)算：【答案】設(shè)n=2001，則原式=（把n2+3n看作一個(gè)整體）==n2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005.【例2-3】(1)有一列數(shù)，…，那么依此規(guī)律，第7個(gè)數(shù)是______；（2）已知依據(jù)上述規(guī)律，則．【答案】(1)；（2）.【解析】(1)符號(hào)：?jiǎn)螖?shù)為負(fù)，雙數(shù)為正，所以第7個(gè)為負(fù).分子規(guī)律：第幾個(gè)數(shù)就是幾，即第7個(gè)數(shù)分子就是7，分母規(guī)律：分子的平方加1，第7個(gè)數(shù)分母就是50.所以第7個(gè)數(shù)是.（2）【點(diǎn)評(píng)】(1)規(guī)律：（n為正整數(shù)）；（2）規(guī)律：（n為正整數(shù)）.【變式】a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，依此類推，則．【答案】因?yàn)?，…?.三個(gè)一循環(huán)，因此題型三：實(shí)數(shù)大小的比較【例3-1】比較下列每組數(shù)的大小：（1）與（2）a與（a≠0）【答案與解析】（1），，而與可以很容易進(jìn)行比較得到：，所以；（2）當(dāng)a<-1或O<a<1時(shí)，a<；當(dāng)-1<a<0或a>1時(shí)，a>；當(dāng)a=時(shí)，a=.【點(diǎn)評(píng)】（1）有時(shí)無理數(shù)比較大小，通過平方轉(zhuǎn)化以后也無法進(jìn)行比較，那么我們可以利用倒數(shù)關(guān)系比較；（2）這道題實(shí)際上是互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)之間的比較大小，我們可以利用數(shù)軸進(jìn)行比較，我們知道，0沒有倒數(shù)，±1的倒數(shù)等于它本身，這樣數(shù)軸就被這3個(gè)數(shù)分成了4部分，下面就可以分類討論每種情況.我們還可以利用函數(shù)圖象來解決這個(gè)問題，把的值看成是關(guān)于a的反比例函數(shù)，把a(bǔ)的值看成是關(guān)于a的正比例函數(shù)，在坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，可以很直觀的比較出它們的大小.【變式】比較下列每組數(shù)的大?。海?）和（2）和【答案】（1）將其通分，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)比較大小，，，，所以.（2）因?yàn)?，所?【例3-2】若，，試不用將分?jǐn)?shù)化小數(shù)的方法比較a、b的大?。敬鸢概c解析】a=，b，，∴a<b．【點(diǎn)評(píng)】通過通分進(jìn)行比較.【變式】當(dāng)時(shí)，比較1＋b與1的大小.【答案】（1）∵b≠0時(shí)，∴b＞0或b＜0．當(dāng)b＞0時(shí)，1＋b＞1，當(dāng)b＜0時(shí)，1＋b＜1.題型四：平方根的應(yīng)用【例4-1】已知：x，y是實(shí)數(shù)，，若axy-3x=y，則實(shí)數(shù)a的值是_______.【答案】.【解析】，即兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)必定同時(shí)為0，∴，(y-3)2=0，∴x=，y=3又∵axy-3x=y，∴a=.【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì).【例4-2】已知，求的值.【答案與解析】∵≥0，≥0，≥0，.∴解得則.【點(diǎn)評(píng)】利用≥0，≥0，≥0（為自然數(shù)）等常見的三種非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)，分別令它們?yōu)榱?，得一個(gè)三元一次方程組，解得、、的值，代入后本題得以解決?！咀兪健恳阎獂、y是實(shí)數(shù)，且+（y2－6y+9）=0，若axy－3x=y，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．B．－C．D．－【答案】A.∵+（y－3）2=0，∴3x+4=0，y－3=0，∴x=－，y=3．∵axy－3x=y，∴－×3a－3×（－）=3，∴a=∴答案選A.題型五：實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探索【例6-1】細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題（1）請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2）推算出OA10的長；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值.【答案與解析】（1）由題意可知，圖形滿足勾股定理，（2）因?yàn)镺A1=，OA2=，OA3=…，所以O(shè)A10=（3）S12+S22+S32+…+S102===.【點(diǎn)評(píng)】近幾年各地的中考題中越來越多的出現(xiàn)了一類探究問題規(guī)律的題目，這些問題素材的選擇、文字的表述、題型的設(shè)計(jì)不僅考察了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，更重點(diǎn)考察了創(chuàng)新意識(shí)和能力，還考察了認(rèn)真觀察、分析、歸納、由特殊到一般，由具體到抽象的能力.【變式】圖中是一幅“蘋果圖”，第一行有1個(gè)蘋果，第二行有2個(gè)，第三行有4個(gè)，第四行有8個(gè)，……你是否發(fā)現(xiàn)蘋果的排列規(guī)律？猜猜看，第十行有______個(gè)蘋果．【答案】2（512）.【例6-2】在快速計(jì)算法中，法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”是一樣的，后面的就改用手勢(shì)了．下面兩個(gè)圖框是用法國“小九九”計(jì)算8×9和6×7的兩個(gè)示例．

（1）用法國“小九九”計(jì)算7×8，左、右手依次伸出手指的個(gè)數(shù)是多少？

（2）設(shè)a、b都是大于5且小于10的整數(shù)，請(qǐng)你說明用題中給出的規(guī)則計(jì)算a×b的正確性？【答案與解析】（1）按照題中示例可知：要計(jì)算7×8，左手應(yīng)伸出7-5=2個(gè)手指，右手應(yīng)伸出8-5=3個(gè)手指；

（2）按照題中示例可知：要計(jì)算a×b，左手應(yīng)伸出（a-5）個(gè)手指，未伸出的手指數(shù)為5-（a-5）=10-a；右手應(yīng)伸出（b-5）個(gè)手指，未伸出的手指數(shù)為5-（b-5）=10-b

兩手伸出的手指數(shù)的和為（a-5）+（b-5）=a+b-10，

未伸出的手指數(shù)的積為（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b

根據(jù)題中的規(guī)則，a×b的結(jié)果為10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）

而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b

所以用題中給出的規(guī)則計(jì)算a×b是正確的．【點(diǎn)評(píng)】此題是定義新運(yùn)算題型．通過閱讀規(guī)則，得出一般結(jié)論．解題關(guān)鍵是對(duì)號(hào)入座不要找錯(cuò)對(duì)應(yīng)關(guān)系．【例6-3】探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它的體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到它那里都別想