《工程力學(xué)》課件第7章

項(xiàng)目七圓軸扭轉(zhuǎn)變形的強(qiáng)度和剛度問題7.1任務(wù)引入7.2解決任務(wù)的方法

7.3相關(guān)知識(shí)點(diǎn)介紹7.4知識(shí)拓展——圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力公式推導(dǎo)

【教學(xué)提示】本項(xiàng)目主要解決圓軸扭轉(zhuǎn)變形的強(qiáng)度和剛度問題，要求掌握?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件及其應(yīng)用，了解圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形以及剛度條件。解決問題的方法也是研究材料力學(xué)的基本方法。在教學(xué)過程中，采用啟發(fā)式教學(xué)和問題式教學(xué)相結(jié)合的方法，并結(jié)合實(shí)物錄像、討論課、課外作業(yè)、課外興趣小組以及競賽等環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)。本項(xiàng)目任務(wù)的解決，可以逐步培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，有效地促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握求解應(yīng)力在截面上分布問題的思路及方法。正確理解、熟練掌握扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力、扭轉(zhuǎn)變形、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和扭轉(zhuǎn)剛度的計(jì)算。培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用力學(xué)基本知識(shí)，通過觀察和比較、分析和綜合，對(duì)圓軸扭轉(zhuǎn)變形的剛度和強(qiáng)度作出正確判斷的初步能力；具有對(duì)圓軸扭轉(zhuǎn)變形的受力狀態(tài)和內(nèi)力分布進(jìn)行圖形表達(dá)的能力；初步掌握?qǐng)A軸扭轉(zhuǎn)變形承載能力的計(jì)算方法，具有對(duì)簡單問題進(jìn)行計(jì)算的能力。

在工程實(shí)際中，尤其是在機(jī)械中的許多構(gòu)件，其主要變形是扭轉(zhuǎn)。例如：攻絲時(shí)(見圖7-1)，要在手柄兩端加上大小相等、方向相反的力，這兩個(gè)力在垂直與絲錐軸線的平面內(nèi)構(gòu)成一個(gè)力偶，使絲錐轉(zhuǎn)動(dòng)，下面絲扣的阻力則形成轉(zhuǎn)向相反的力偶，阻礙絲錐的轉(zhuǎn)動(dòng)。絲錐在這一對(duì)力偶的作用下將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。又如：齒輪傳動(dòng)軸(見圖4-3)，當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳動(dòng)軸的A端輪上受到兩個(gè)切向力的作用，這兩個(gè)外力構(gòu)成了一個(gè)垂直于軸向平面的力偶；7.1任務(wù)引入同樣，B端齒輪則受到輸出輪對(duì)它的切向力作用，可以簡化為垂直于AB軸軸線的力偶，見圖7-2。在這一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反的力偶的作用下，傳動(dòng)軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。汽車中的傳動(dòng)軸(見圖4-13)受力后也產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。這些圓軸扭轉(zhuǎn)變形后的強(qiáng)度和剛度問題是工程中必須解決的。

圖7-1攻絲絲錐

圖7-2齒輪傳動(dòng)軸

解決圓軸扭轉(zhuǎn)問題的方法和解決拉(壓)桿問題一樣，即通過認(rèn)識(shí)工程實(shí)例，建立力學(xué)模型。從分析外力入手，然后用截面法求出內(nèi)力，再通過實(shí)驗(yàn)觀察得到的結(jié)論，得出假設(shè)，并根據(jù)變形之間的物理關(guān)系，得到橫截面上各點(diǎn)應(yīng)力的分布規(guī)律，導(dǎo)出應(yīng)力的計(jì)算公式，建立強(qiáng)度和剛度條件，最后應(yīng)用強(qiáng)度和條件，可以解決校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷三種類型的問題。7.2解決任務(wù)的方法

模塊一圓軸扭轉(zhuǎn)的外力和內(nèi)力

(一)計(jì)算簡圖與力學(xué)模型

由以上工程實(shí)例可以將受扭的桿件簡化成以下力學(xué)模型，以便計(jì)算，如圖7-3所示。7.3相關(guān)知識(shí)點(diǎn)介紹

圖7-3圓軸扭轉(zhuǎn)力學(xué)模型根據(jù)以上分析可以得到，桿件受到的集中力偶作用面垂直于其軸線時(shí)，有以下特點(diǎn)：

(1)構(gòu)件特點(diǎn)：構(gòu)件的軸向尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫向尺寸。

(2)受力特點(diǎn)：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對(duì)大小相等且方向相反的外力偶——扭轉(zhuǎn)力偶。

(3)變形特點(diǎn)：桿的任意兩個(gè)橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)變形。這時(shí)任意兩截面間有相對(duì)的角位移，這種角位移稱為扭轉(zhuǎn)角。圖7-3中的

就是截面右端相對(duì)于截面左端的扭轉(zhuǎn)角。

在工程實(shí)際中，還有不少構(gòu)件，如電動(dòng)機(jī)的主軸、鉆機(jī)的鉆桿、鼓風(fēng)機(jī)的主軸等，它們的主要變形是扭轉(zhuǎn)，但同時(shí)還可能伴隨有彎曲、拉壓等變形，不過后者不大時(shí)，往往可以忽略，或者在初步設(shè)計(jì)中，暫不考慮這些因素，將其視為扭轉(zhuǎn)構(gòu)件。常把以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件稱為軸。

(二)圓軸扭轉(zhuǎn)的扭矩和扭矩圖

1.外力偶矩

在工程實(shí)際中，一般不直接給出作用于軸上的外力偶矩的值，而是根據(jù)所給定軸的轉(zhuǎn)速和它所傳遞的功率，通過下列公式確定：

(7-1)

式中，Me為外力偶矩，單位是N·m；P為功率，單位是kW；n為轉(zhuǎn)速，單位是r／min。

在確定外力偶矩的方向時(shí)，應(yīng)注意輸入功率的齒輪、膠帶輪作用的力偶矩為主動(dòng)力矩，方向與軸的轉(zhuǎn)向一致；輸出功率的齒輪、膠帶輪作用的力偶矩為被動(dòng)力矩，方向與軸的轉(zhuǎn)向相反。

2.扭矩

設(shè)某軸的計(jì)算簡圖如圖7-4(a)所示，現(xiàn)用截面法分析軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力。

將軸沿指定截面m—m切成兩段，舍去右段，保留左段。由于作用于軸上的外力只有繞桿軸線的外力偶，所以橫截面上只能有繞x軸的內(nèi)力偶分量，稱為扭矩，并用T來表示，其余的內(nèi)力分量均為零，如圖7-4(b)所示。扭矩的大小仍可依據(jù)保留段的平衡條件確定。

∑Mx＝0,T－Me＝0,T＝Me

圖7-4右手螺旋法則

為了使取左段或取右段求得的同一截面上的扭矩相一致，通常用右手螺旋法則規(guī)定扭矩的正負(fù)：以右手手心對(duì)著軸，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向離開截面，扭矩為正(見圖7-4(c))，反之為負(fù)(見圖7-4(d))。

計(jì)算扭矩的簡便法則是：軸上任一橫截面的扭矩等于該橫截面一側(cè)軸段上所有外力偶矩的代數(shù)和；應(yīng)用右手螺旋法則，左側(cè)拇指指向向左或右側(cè)拇指指向向右的外力偶矩產(chǎn)生正值扭矩，反之為負(fù)。

3.扭矩圖

為了顯示整個(gè)軸上各截面扭矩的變化規(guī)律，以便分析危險(xiǎn)截面，通常橫坐標(biāo)表示軸各截面的位置，縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的扭矩，正扭矩畫在橫坐標(biāo)軸的上面，負(fù)扭矩畫在橫坐標(biāo)軸的下面，這種圖形稱為扭矩圖。

下面舉例說明扭矩的計(jì)算與扭矩圖的繪制方法。

例7-1

如圖7-5所示傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速n＝300r/min，A輪為主動(dòng)輪，輸入功率PA＝10kW，B、C、D為從動(dòng)輪，輸出功率分別為PB＝4.5kW，PC＝3.5kW，PD＝2.0kW。試求各段扭矩。

解

(1)計(jì)算外力偶矩。

(2)分段計(jì)算扭矩，分別為

T1＝MeB＝143.2N·m

T2＝MeB－MeA＝143.2－318.3＝－175.1N·m

T3＝－MeD＝－63.7N·m

(3)繪制扭矩圖(見圖7-5(f))。由圖中可見絕對(duì)值最大的扭矩發(fā)生在AC段，其值為175.1N·m。

圖7-5傳動(dòng)軸受力圖模塊二圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力和變形

(一)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力

1.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力分布規(guī)律

圓軸在發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，如圖7-6所示，橫截面上不存在正應(yīng)力，只存在切應(yīng)力，且橫截面上某點(diǎn)切應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到圓心的距離ρ成正比；切應(yīng)力在圓心處為零，在圓軸表面最大；在半徑為ρ的同一圓周上各點(diǎn)的切應(yīng)力相等，其方向與其半徑相垂直。

圖7-6圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力分布圖

2.切應(yīng)力計(jì)算

等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式為

(7-2)

式中，Tx為橫截面上的扭矩；Ip為該截面的極慣性矩，單位為m4或cm4；ρ為該點(diǎn)到圓心的距離。

由式(7-2)可知，當(dāng)ρ達(dá)到最大值R時(shí)，切應(yīng)力為最大值

式中,R及Ip都是與截面幾何尺寸有關(guān)的量，引入符號(hào)

得

(7-3)

式中，Wp稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)?？梢?，最大切應(yīng)力與橫截面上的扭矩Tx成正比，而與Wp成反比。Wp越大，

max越小，所以Wp是表示圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞能力的幾何參數(shù)，其國標(biāo)單位為m3，常用單位為mm3。對(duì)于直徑為d的圓截面：

(7-4)

對(duì)于內(nèi)徑為d，外徑為D的空心圓截面，

＝d/D,故有

(7-5)

例7-2

軸AB如圖7-7所示，傳遞的功率P＝7.5kW，轉(zhuǎn)速n＝360r/min。軸AC段為實(shí)心圓截面，CB段為空心圓截面。已知D＝3cm，d＝2cm。試計(jì)算AC段橫截面邊緣處的切應(yīng)力以及CB段橫截面上內(nèi)、外邊緣處的切應(yīng)力。

解

(1)計(jì)算扭矩。軸所受的外力偶矩為

由截面法，可知各橫截面上的扭矩均為

T＝M＝199N·m

圖7-7軸AB受力圖

(2)計(jì)算極慣性矩。AC段和CB段軸橫截面的極慣性矩分別為

(3)計(jì)算應(yīng)力。AC段軸在橫截面邊緣處的切應(yīng)力為

CB段軸橫截面內(nèi)、外邊緣處的切應(yīng)力分別為

(二)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形

圓軸的扭轉(zhuǎn)變形用扭轉(zhuǎn)角來衡量。扭轉(zhuǎn)角是指兩個(gè)橫截面繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)角，通常用

表示，如圖7-8所示。

由

可知，相隔長度為l的兩個(gè)橫截面的扭轉(zhuǎn)角為

對(duì)上式積分，便得相距為l的兩個(gè)橫截面間的扭轉(zhuǎn)角為

圖7-8圓軸的扭轉(zhuǎn)變形對(duì)于等直圓軸，GIp為常量。若扭矩Tx也為常量，則上式積分為

(7-6)

這就是扭轉(zhuǎn)角計(jì)算公式，扭轉(zhuǎn)角單位為rad(弧度)。由此式可看出，扭轉(zhuǎn)角

與扭矩Tx和軸長度的積成正比，與GIp成反比。GIp反映了圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為圓軸的抗扭剛度。

如果兩截面之間的扭矩值Tx有變化，或者軸的直徑不同，那么應(yīng)該分段計(jì)算各段的扭轉(zhuǎn)角，然后疊加。

例7-3

如圖7-9(a)所示傳動(dòng)軸，已知M1＝640N·m，M2＝840N·m，M3＝200N·m，D＝40mm,d＝32mm,lAB＝400mm,lBC＝150mm,軸的切變模量G＝80GPa。試求截面C相對(duì)于截面A的扭轉(zhuǎn)角。

解

(1)計(jì)算軸上各段的扭矩，畫出扭矩圖如圖7-9(b)所示。

AB段T1＝－M1＝－640N·m

BC段T2＝－M1＋M2＝－640＋840＝200N·m

圖7-9傳動(dòng)軸扭矩圖

(2)計(jì)算扭轉(zhuǎn)角。由于AC兩截面間的扭矩M和截面Ip不同，故分段計(jì)算各段的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，然后進(jìn)行疊加。

AB段

BC段

故得

AC＝

AB＋

BC＝－0.013＋0.004＝－0.009rad模塊三圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

(一)強(qiáng)度計(jì)算

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件是：危險(xiǎn)截面上的最大切應(yīng)力

max不得超過材料的許用切應(yīng)力［

］，即

(7-7)

式中，T、Wp分別為危險(xiǎn)截面的扭矩與抗扭截面系數(shù)。許用切應(yīng)力［

］由扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，設(shè)計(jì)時(shí)可查閱有關(guān)手冊(cè)。

應(yīng)用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力強(qiáng)度條件，可以解決圓軸強(qiáng)度計(jì)算的三類問題，即剛度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許用載荷。

例7-4

已知某一傳動(dòng)軸所傳遞的功率P＝80kW，其轉(zhuǎn)速n＝582r/min，直徑d＝55mm，材料的許用切應(yīng)力［

］＝50MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。

解

(1)計(jì)算外力偶矩。

(2)計(jì)算扭矩。該軸可認(rèn)為是在其兩端面上受一對(duì)平衡的外力偶矩作用，由截面法得扭矩

T＝M＝1312.7N·m

(3)校核強(qiáng)度。

所以，軸的強(qiáng)度滿足要求。

例7-5

實(shí)心軸與空心軸如圖7-10所示，通過嵌式離合器相聯(lián)接而傳遞轉(zhuǎn)矩，已知軸的轉(zhuǎn)速n＝96r/min，傳遞的功率P＝7.5kW，材料的許用切應(yīng)力［

］＝40MPa，空心軸的

＝d2/D2＝0.5。試設(shè)計(jì)實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外徑D2。

解

(1)計(jì)算外力偶矩及扭矩。

圖7-10嵌式傳動(dòng)軸

(2)設(shè)計(jì)軸的直徑。由

可得

所以，取d1＝46mm，D2＝47mm。

(二)剛度計(jì)算

對(duì)于軸類構(gòu)件，有時(shí)還要求不產(chǎn)生過大的扭轉(zhuǎn)變形，如機(jī)床主軸若產(chǎn)生過大的扭轉(zhuǎn)變形，將引起劇烈的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，影響工件的加工精度和表面光潔度；車床絲桿產(chǎn)生過大的扭轉(zhuǎn)變形，將影響螺紋的加工精度。這類精度要求較高的軸，就需同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度條件。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件是：最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角不得超過許用單位長度扭轉(zhuǎn)角，即

(7-8)式中,

max為單位長度的最大扭角，單位為rad/m。在工程中許用單位長度扭角［

］的單位為°/m，因此

max的單位也應(yīng)換算為°/m，上式改寫成

(7-9)

許用單位長度扭轉(zhuǎn)角［

］的取值，根據(jù)載荷性質(zhì)和工作條件等因素來確定，具體值可以從有關(guān)手冊(cè)中查得。

利用剛度條件也可以求解三類問題。進(jìn)行剛度計(jì)算時(shí)，若軸上各段扭矩不等、截面大小不一或材料不同，則應(yīng)綜合考慮上述因素，判斷

max可能發(fā)生的部位，然后進(jìn)行剛度計(jì)算。

例7-6

已知一傳動(dòng)軸受力如圖7-11所示。若材料為45鋼，G＝80GPa，［

］＝60MPa，［

］＝1°/m，試設(shè)計(jì)軸的直徑。

解

(1)計(jì)算扭矩。由于軸上的外力偶矩多于兩個(gè)，因此應(yīng)分段應(yīng)用截面法或根據(jù)求扭矩的一般規(guī)律，求出各段扭矩，作出扭矩圖如圖7-11所示。

圖7-11傳動(dòng)軸的扭矩圖

(2)強(qiáng)度計(jì)算。軸為等直圓軸，危險(xiǎn)截面應(yīng)在BC段，由強(qiáng)度條件

得

(3)剛度計(jì)算。由剛度條件

得

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，為了同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度條件，取軸的直徑d＝68mm。

例7-7

階梯軸圖如圖7-12(a)所示，直徑分別為d1＝40mm，d2＝55mm。已知C輪輸入轉(zhuǎn)矩MC＝1432.5N·m，A輪輸出轉(zhuǎn)矩MA＝620.8N·m，軸的轉(zhuǎn)速n＝200r/min，軸材料的許用切應(yīng)力［

］＝60MPa，許用單位長度扭角［

］＝2°/m，切變模量G＝80GPa。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。

解作階梯軸受力簡圖如圖7-12(b)所示。

(1)作扭矩圖(見圖7-12(c))得

T1＝MA＝620.8N·m

T2＝MC＝1432.5N·m

由圖7-12(c)可以看出，危險(xiǎn)截面可能發(fā)生在AB段的d1截面處，也可能發(fā)生在BC段。

圖7-12階梯軸的扭矩圖

(2)校核強(qiáng)度。

AB段

BC段

max＝

1＝48.5MPa<［

］

所以，軸的強(qiáng)度滿足要求。

(3)校核剛度。

AB段：

BC段：

所以，軸的剛度也滿足要求。

(三)提高圓軸強(qiáng)度和剛度的措施

在工程中，進(jìn)行構(gòu)件的設(shè)計(jì)時(shí)，常需要解決的問題是如何根據(jù)工程實(shí)際需要，在不增大構(gòu)件成本的情況下，最大限度地提高其承載能力。其實(shí)質(zhì)就是如何提高構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度。

由圓軸的內(nèi)力分析、應(yīng)力分析、強(qiáng)度和剛度的強(qiáng)度條件及材料的力學(xué)性質(zhì)等知識(shí)可知，在工程實(shí)際中，可通過采用合理的材料、合理的加載方式、合理的截面形狀等措施，以達(dá)到提高圓軸強(qiáng)度和剛度的目的。

1.合理的材料

從材料的力學(xué)性能可知：優(yōu)質(zhì)材料的強(qiáng)度指標(biāo)較高，選用優(yōu)質(zhì)材料可有效地提高構(gòu)件的強(qiáng)度；彈性模量E和切變模量G分別反映了材料抵抗拉(壓)或剪切變形的能力，選用E和G較大的材料，通常會(huì)明顯地提高構(gòu)件的剛度。

需要指出的是，各類鋼材的E、G和μ差異不大，對(duì)于由剛度條件控制的設(shè)計(jì)，選用優(yōu)質(zhì)鋼材對(duì)提高構(gòu)件的剛度無明顯的作用。故這類構(gòu)件不宜片面地選用優(yōu)質(zhì)鋼材。

2.合理的加載方式

對(duì)傳動(dòng)軸進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，在結(jié)構(gòu)允許的情況下，應(yīng)盡量避免將最大載荷布置在軸的端部，以降低圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大扭矩值。如圖7-13(b)所示的載荷布置方案就比圖7-13(a)所示的合理，可同時(shí)達(dá)到降低工作應(yīng)力、減小變形和提高傳動(dòng)軸強(qiáng)度和剛度的目的。

圖7-13傳動(dòng)軸的扭矩圖

3.合理的截面形狀

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，圓環(huán)形截面為合理的截面形狀。如汽輪機(jī)大軸、汽車的傳動(dòng)軸、車床主軸等都由空心軸制成。圓軸采用空心軸可以節(jié)省大量材料，減輕自重，提高承載能力，因?yàn)閳A軸扭轉(zhuǎn)時(shí)只有橫截面邊緣各點(diǎn)的切應(yīng)力才可以達(dá)到許可應(yīng)力，其他各點(diǎn)的應(yīng)力均小于許可應(yīng)力。圓心附近的應(yīng)力很小，材料沒有得到充分利用，如果將這部分材料移到離圓心較遠(yuǎn)的位置，使其成為空心軸，既節(jié)省了材料，又提高了抗扭截面系數(shù)和抗扭剛度。