《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)指導(dǎo)及習(xí)題解析》課件第2章

第2章隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)知識梳理

第二節(jié)重點(diǎn)解析

第三節(jié)典型例題

第四節(jié)習(xí)題全解第一節(jié)知識梳理

第二節(jié)重點(diǎn)解析

1.隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

1)隨機(jī)變量

定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S={e},X=X(e)是定義

在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，對于任意實(shí)數(shù)x，集合{e|X(e)≤x}有確定的概率,則稱X=X(e)為隨機(jī)變量。

2)隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)=P{X≤x}（－∞<x<+∞）稱為X的分布函數(shù)，記為

X～F(x)。

性質(zhì)1：F(x)是一個(gè)單調(diào)非減函數(shù)，若x1＜x2，則F(x1)≤F(x2)。

性質(zhì)2：0≤F(x)≤1(－∞<x<+∞)，且，性質(zhì)3：F(x)右連續(xù)，即

2.離散型隨機(jī)變量及其分布律

1)離散型隨機(jī)變量的分布律

定義：設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，X可能的取值為x1，x2，…，則稱

P{X=xi}=pi

（i=1，2，…）

為離散型隨機(jī)變量X的概率分布律或分布律。

由概率定義知，離散型隨機(jī)變量的分布律具有如下性質(zhì)：（1）非負(fù)性：pi≥0（i=1，2，…）；

（2）歸一性：。

2)常用離散型分布

（1）兩點(diǎn)分布（（0-1）分布）：

P{X=1}=p，P{X=0}=1－p

（0<p<1）

（2）二項(xiàng)分布：X～b(n，p)，

P{X=k}=Cknpk(1－p)n－k

(k=0，1，…，n；0＜p＜1;n和p是參數(shù))（3）泊松分布:X~π(λ)，（4）超幾何分布:（5）幾何分布:

P{X=k}=(1－p)k－1p(k=1，2，…；0<p<1)

3.連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

1)密度函數(shù)及其性質(zhì)

定義：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使對任意實(shí)數(shù)x，有

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，并稱X的分布為連續(xù)型分布。密度函數(shù)f(x)具有以下性質(zhì)：

（1）f(x)≥0(－∞＜x＜+∞)；

（2）；

（3）對任意實(shí)數(shù)x1、x2(x1≤x2)，有

（4）若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F′(x)=f(x)。定理：設(shè)X為任意一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)與f(x)分別是它的分布函數(shù)與密度函數(shù)，則

（1）對任意一個(gè)常數(shù)a(－∞<a<+∞)，有P{X=a}=0；

（2）對任意兩個(gè)常數(shù)a、b（－∞<a<b<+∞），有

P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}

=P{a<X≤b}=

2)三種重要的連續(xù)型分布

（1）均勻分布：X～U(a，b)，（2）指數(shù)分布:X～e(λ)，（3）正態(tài)分布:X~N(μ，σ2)，引理1：若X~N(μ，σ2)，則Y=aX+b~N(aμ+b，a2σ2)(a≠0)。引理2：若X~N(μ，σ2)，則~N(0，1)。

4.隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為則隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的分布律可由下表求得,即

2)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fX(x)，則隨機(jī)變量Y=g(X)的分布函數(shù)為其中，{X∈Iy}與{g(X)≤y}是等價(jià)的隨機(jī)事件，而Iy={x|g(x)≤y}是實(shí)數(shù)軸上的某個(gè)集合，隨機(jī)變量Y的概率密度函數(shù)fY(y)可由fY(y)=F′Y(y)得到。定理：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fX(x)

（－∞<x<+∞），設(shè)y=g(x)處可導(dǎo)且恒有g(shù)′(x)>0（或恒有g(shù)′(x)<0），

x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù)，則Y=g(X)的概率密度函數(shù)為其中α=min{g(－∞)，g(+∞)}，β=max{g(－∞)，g(+∞)}。第三節(jié)典型例題

【例2.1】一實(shí)習(xí)生用同一臺機(jī)器制造3個(gè)同種零件，第i個(gè)零件是不合格品的概率為。用X表示3個(gè)零件合格品的個(gè)數(shù)，求X的分布律。

解因?yàn)槔猛慌_機(jī)器制造3個(gè)同種零件，所以可認(rèn)為這3個(gè)零件是否合格是相互獨(dú)立的，以Ai表示第i個(gè)零件是合格的，則。因X表示零件的合格數(shù)，所以X的分布律為

【例2.2】甲、乙兩選手輪流射擊，直到有一個(gè)命中

為止，若甲命中率為0.6，乙命中率為0.7，如果甲首先射擊，求:

（1）兩人射擊總次數(shù)X的分布律；

（2）甲射擊次數(shù)X1的分布律；

（3）乙射擊次數(shù)X2的分布律。

解因?yàn)檩喠魃鋼簦钡接幸粋€(gè)命中為止，且由甲首先射擊，所以可以看出，如果由甲射中，則總的射擊次數(shù)應(yīng)為奇數(shù)，乙比甲少射一次，而由乙射中的話，則甲、乙兩人射擊次數(shù)相同，并且可以知道，乙可能沒有射擊。而由題意可知，每次是否射中是相互獨(dú)立的。令A(yù)i表示甲第i次射擊時(shí)射中，則P(Ai)=0.6(i=1，2，…)；令Bi表示乙第i次射擊時(shí)射中，則P(Bi)=0.7(i=1，2，…)。由此可知（1）（3）（2）

【例2.3】若X的分布函數(shù)為N(60，9)，求分點(diǎn)x1、x2、x3、x4，使得X落在(－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，x3)，(x3，x4)，(x4，+∞)中的概率之比為7∶24∶38∶24∶7。

解由正態(tài)分布對稱性和題目比例知x1、x2分別與x4、

x3關(guān)于x=60對稱，且故

【例2.6】某科統(tǒng)考成績X近似服從正態(tài)分布

N(70，102)，第100名的成績?yōu)?0分，問第20名的成績約

為多少分？解設(shè)第20名的成績?yōu)閤,因?yàn)槎忠驗(yàn)樗?/p>

P{X≥x}=0.2×0.8413=0.16826

即所以，，

【例2.7】設(shè)隨機(jī)變量X服從［a，b］上的均勻分布，令Y=cX+d(c≠0)，試求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)。

解因?yàn)楫?dāng)c>0時(shí)，當(dāng)c<0時(shí)，

【例2.8】設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

求:

（1）Y=2X+3；

（2）Y=X2的密度函數(shù)。解（1）由Y=2X+3有，，所以（2）利用分布函數(shù)法求解，即所以第四節(jié)習(xí)題全解

2.1下列給出的數(shù)列，哪些是隨機(jī)變量分布律，并說明理由。解（1）因?yàn)閜k≥0(k=0，1，2，3，4，5)，且所以滿足概率分布的條件，故該數(shù)列是隨機(jī)變量分布律。（2）因?yàn)樗圆粷M足概率分布的條件，故該數(shù)列不是隨機(jī)變量分布律。（3）因?yàn)?，且所以滿足概率分布的條件，故該數(shù)列是隨機(jī)變量分布律。

2.2

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F(x)=α+βarctanx(－∞<x<+∞)

試求：

（1）常數(shù)α和β；

（2）隨機(jī)變量X落在區(qū)間(－1，1］內(nèi)的概率。解（1）根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)知，解得（2）由（1）知故隨機(jī)變量X落在區(qū)間(－1，1］內(nèi)的概率為

2.3

一個(gè)袋中裝有5個(gè)編號為1、2、3、4、5的乒乓球，從袋中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只乒乓球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律和分布函數(shù)。解事件“X=3，4，5”表示取出的3只乒乓球中的最大號碼，所以X的分布律為或?qū)懗上旅媲骕的分布函數(shù)F(x)。

當(dāng)x<3時(shí)，{X≤x}是不可能事件，因此

F(x)=0

當(dāng)3≤x<4時(shí)，{X≤x}等同于{X=3}，因此當(dāng)4≤x<5時(shí)，{X≤x}等同于{X=3或X=4}，因此當(dāng)x≥5時(shí)，{X≤x}為必然事件，因此

F(x)=1綜上可得，F(xiàn)(x)的分布函數(shù)為

2.4

試確定常數(shù)a，使

成為某個(gè)隨機(jī)變量X的分布律，并求：

（1）P{X≤1}；

（2）解由于，因此。

而因此由等式解得將代入原式得（1）對于該題{X≤1}等價(jià)于{X=0或X=1}，因此（2）對于該題等價(jià)于{X=1或X=2}，因此

2.5從含有10個(gè)黑球及3個(gè)白球的袋中一個(gè)一個(gè)隨機(jī)摸球，在下列三種情形下，分別求出直到摸到黑球?yàn)橹顾璐螖?shù)X的分布律：

（1）每次取出的球，待觀察顏色后，立即放回袋中再取下一個(gè)；

（2）每次取出的球都不放回袋中；

（3）每次取出一個(gè)球后總是放回一個(gè)黑球。解（1）事件“X=1，2，3，…，k”表示摸到黑球所需要的次數(shù)，所以X的分布律為或?qū)懗桑?）作不放回抽取時(shí)，由于白球共3個(gè)，至多到第4次抽取便會抽到黑球，所以X的可能取值為1、2、3、4，故X的分布律為或?qū)懗桑?）由于每次取出一球后總放回一個(gè)黑球，所以至多到第4次抽取時(shí)便可取到黑球，因此X的可能取值為1、2、3、4，故X的分布律為或?qū)懗?/p>

2.6

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為且，試求常數(shù)a、b的值和X的分布律。解

X的分布律為據(jù)題意，故①再利用分布律的歸一性知

a+b=1②將①和②聯(lián)立方程組解得代入X的分布律中有

2.9

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

試求：

（1）常數(shù)a；

（2）X的分布函數(shù)F(x)。解（1）由于，即故

a=2（2）由(1)得X的密度函數(shù)為由定義，得當(dāng)x≤0時(shí)，

F(x)=0當(dāng)0<x<1時(shí)，當(dāng)0<x<1時(shí)，所以X的分布函數(shù)為當(dāng)x≥1時(shí)，

2.10

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

（1）求常數(shù)a；

（2）求X的分布函數(shù)F(x)；

（3）畫出f(x)和F(x)的圖形。解（1）由于，即故

a=2（2）由（1）得X的密度函數(shù)為由定義，得當(dāng)x<0時(shí)，

F(x)=0當(dāng)0≤x<1時(shí)，當(dāng)1≤x<2時(shí)，當(dāng)x≥2時(shí)，所以X的分布函數(shù)為（3）圖2－1所示為f(x)的圖形，圖2－2所示為F(x)的

圖形。圖2-1圖2-2

2.11

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

f(x)=ae－|x|(－∞<x<+∞)

試求：

（1）常數(shù)a；

（2）P{－1<X<2}；

（3）X的分布函數(shù)F(x)。解（1）由于，即故。（2）由（1）得X的密度函數(shù)為由連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)可得（3）由定義，得

當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)x≥0時(shí)，所以X的分布函數(shù)為

2.12

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

試求：

（1）常數(shù)a；

（2）P{X≥4}；

（3）P{3<X<4}；

（4）P{X=2.5}；

（5）X的密度函數(shù)f(x)。解（1）根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)知F(x)是右連續(xù)的，故

即

1－a=0

所以a=1。（2）由（1）知X的分布函數(shù)為

由F(x)的形式知X~e(0.4)，故X為連續(xù)型隨機(jī)變量。

根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)知

P{X=4}=0，

所以

P{X≥4}=1－P{X≤4}=1－F(4)

=1－(1－e－0.4×4)=e－1.6（3）P{3<X<4}=P{3<X≤4}=F(4)－F(3)

=(1－e－0.4×4)－(1－e－0.4×3)=e－1.2－e－1.6

（4）根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)知對于任意一個(gè)常數(shù)x，恒有

P{X=x}=0

所以

P{X=2.5}=0（5）隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)在連續(xù)點(diǎn)x處可由f(x)=F′(x)得到。

當(dāng)x>0時(shí)，

f(x)=F′(x)=(1－e－0.4x)′=0.4e－0.4x

當(dāng)x≤0時(shí)，

f(x)=F′(x)=0

故X的密度函數(shù)為

2.16

設(shè)X~N(3，22)。

（1）求P{2<X≤5}，P{－4<X≤10}，P{|X|>2}，P{X>3}；

（2）確定c，使得P{X>c}=P{X≤c}；

（3）設(shè)d滿足P{X>d}≥0.9015，問d至多為多少？解（1）隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且μ=3，σ=2,

故對于任意區(qū)間(x1，x2］有①②③④

P{X>3}=1－P{X≤3}=1－F(3)

因?yàn)樗裕?）對于X~N(3，22)有μ=3,因?yàn)檎龖B(tài)概率密度曲線關(guān)于直線x=μ對稱,所以有

P{X≤μ}=P{X>μ}

故

c=μ=3（3）由P{X>d}≥0.9015得

1－P{X≤d}≥0.9015

即所以故因?yàn)榉植己瘮?shù)Φ(x)是一個(gè)不減函數(shù)，故解得

2.17

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

（1）求常數(shù)a的值；

（2）X服從什么分布?參數(shù)是多少？解（1）依題意有又于是得到，即（2）由（1）知X的密度函數(shù)為即X服從正態(tài)分布，且，記做X～N(2，2)。

2.18

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為分別求Y=X2，Z=3X+1，W=|X|－1的分布律。解①Y所有可能取值為0、1、4，因?yàn)?/p>

P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=0.4

P{Y=1}=P{X2=1}=P{X=－1}=0.3

P{Y=4}=P{X2=4}=P{X=－2}+P{X=2}=0.2+0.1=0.3

所以Y的分布律為②Z所有可能取值為－5、－2、1、7，因?yàn)?/p>

P{Z=－5}