專題13 矩形的判定與性質 帶解析

2022-2023學年湘教版八年級數學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題13矩形的判定與性質閱卷人一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)得分1．（2分）（2023八上·達州期末）如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后點D恰好落在邊OC上的點F處．若點D的坐標為（10，8），則點E的坐標（）A．（4，10） B．（10，6） C．（10，4） D．（10，3）【答案】D【規(guī)范解答】解：∵矩形AOCD，點D（10，8），

∴OC=AD=8，CD=OA=6，∠AOF=∠ECF=90°，

∵矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后點D恰好落在邊OC上的點F處，

∴AD=AF=10，DE=EF，

∴，

∴CF=OC-OF=10-6=4，

設CE=x，則DE=EF=8-x，

∴EF2=CE2+CF2即（8-x）2=x2+42，

解之：x=CE=3，

∴點E（10，3）.

故答案為：D

【思路點撥】利用矩形的性質可得到OC=AD=8，CD=OA=6，∠AOF=∠ECF=90°，利用折疊的性質可求出AF的長，同時可證得DE=EF，利用勾股定理求出OF的長，由此可求出CF的長；設CE=x，再利用勾股定理可得到關于x的方程，解方程求出x的值，可得到CE的長.2．（2分）（2022八上·樂亭期中）如圖，在長方形中，，點在線段上，且，動點在線段上，從點出發(fā)以的速度向點運動，同時點在線段上．以的速度由點向點運動，當與全等時，的值為（）A．2 B．4 C．4或 D．2或【答案】D【規(guī)范解答】當與全等時，有兩種情況：當時，，，，；動點在線段上，從點出發(fā)以的速度向點運動，點和點的運動時間為：，的值為：；當時，，，，，，．故的值為或．故答案為：D．

【思路點撥】分兩種情況：當時，；當時，，再分別求解即可。3．（2分）（2022八上·鎮(zhèn)海區(qū)期中）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現之一，在我國古算書《周髀算經》中早有記載，如圖以直角三角形的各邊為邊分別向同側作正方形，若知道圖中阻影部分的面積之和，則一定能求出（）A．正方形的面積 B．正方形的面積C．正方形的面積 D．的面積【答案】D【規(guī)范解答】解：如圖，過點N作于點H，則是矩形，則∵，∴，又，∴，∴，同理可得，依題意，，∴，∴，∴，∴，，故答案為：D.

【思路點撥】過點N作于點H，則是矩形，則，證明，可得，同理可得，再證，可得，從而得出.4．（2分）（2022八上·杭州期中）如圖，已知長方形紙片ABCD，點E在邊AB上，且BE＝2，BC＝3，將△CBE沿直線CE翻折，使點B落在點G，延長EG交CD于點F處，則線段FG的長為（）A． B． C． D．1【答案】A【規(guī)范解答】解：∵將△CBE沿直線CE翻折，使點B落在點G，∴∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠BEC＝∠FCE，∴∠GEC＝∠FCE，∴CF＝EF，設FG＝x，則CF＝EF＝x+2，在Rt△CFG中，FG2+CG2＝CF2，∴x2+32＝（x+2）2，解得x＝，∴FG＝.故答案為：A.【思路點撥】根據折疊的性質可得∠BEC＝∠GEC，GE＝BE＝2，CG＝BC＝3，由矩形以及平行線的性質可得∠BEC＝∠FCE，則∠GEC＝∠FCE，推出CF＝EF，設FG＝x，則CF＝EF＝x+2，然后在Rt△CFG中，利用勾股定理計算即可.5．（2分）（2022八上·仙居開學考）如圖所示，長方形ABCD的兩邊BC、CD分別在x軸、y軸上，點C與原點重合，點A（2，3），將長方形ABCD沿x軸無滑動向右翻滾，經過一次翻滾，點A的對應點記為A1；經過第二次翻滾，點A的對應點記為A2；……依次類推，經過第2022次翻滾，點A的對應點A2022的坐標為（）A．（5055，0） B．（5055，3） C．（5057，2） D．（5057，3）【答案】A【規(guī)范解答】解：觀察圖形可得經過4次翻滾后點A對應點一循環(huán)，2022÷4＝505…2，∵點A（2，3），長方形的周長為：2（2+3）＝10，∴經過505次翻滾后點A對應點A2022的坐標為（10×505+3+2，0），即（5055，0）.故答案為：A.【思路點撥】觀察圖形可得經過4次翻滾后點A對應點一循環(huán)，根據點A的坐標結合矩形的性質可得矩形的周長為2(2+3)＝10，據此解答.6．（2分）（2022八下·撫遠期末）如圖所示，是矩形的對角線的中點，為的中點．若，，則的周長為（）A．10 B． C． D．14【答案】C【規(guī)范解答】解：∵點O是矩形ABCD對角線AC的中點，E點為AD中點，∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，在Rt△ABE中，，在Rt△ABC中，，∴，則△BOE的周長為：，故答案為：C．

【思路點撥】根據矩形的性質和三角形中位線的性質可求得OE，AE，勾股定理可得BE、AC的邊長，最后求得△BOE的周長.7．（2分）（2022八上·溫州期中）如圖，在等腰直角三角形中，，為的中點，為邊上一點不與端點重合，過點作于點，作于點，過點作交的延長線于點若，則陰影部分的面積為（）A．12 B．12.5 C．13 D．13.5【答案】D【規(guī)范解答】解：設，，則，為等腰直角三角形，，，，又為的中點，，，，，四邊形DGEH為矩形，，，，，，，，由勾股定理得，，，整理得，，由題意知，，故答案為：D.【思路點撥】設DG＝a，CG＝b，則CD＝a＋b，易得BD=AD=CD=a+b，BC=2BD=2（a+b），易得四邊形DGEH為矩形，根據矩形的性質及等腰直角三角形的性質得DH=EG=CG=b，根據平行線的性質及等腰直角三角形的性質得GF=BG=BD+DG=a+b+a=2a+b，在Rt△ADG中，由勾股定理得出關于a和b的代數式的值，再由即可得出答案.8．（2分）（2022八下·環(huán)翠期末）如圖，在矩形中，點E是的中點，的平分線交于點F將沿折疊，點D恰好落在上M點處，延長交于點N，有下列四個結論：①垂直平分；②是等邊三角形；③；④．其中，正確結論的序號是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】B【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°，由折疊的性質可得：∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF＝MF，∴DF＝CF，在△DFE與△CFN中，∴△DFE≌△CFN，∴EF＝FN，∴△EBN為等腰三角形，無法確定△EBN為等邊三角形，故②不符合題意；由等腰三角形的三線合一得：BF⊥EN，∴BF垂直平分EN，故①符合題意；∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°，∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°，∴∠EFM＝∠EBF，∵∠DFE＝∠EFM，∴∠DFE＝∠FBE，∴；故③符合題意；∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，∴BE＝3EM，∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，故④符合題意．綜上所述：①③④都符合題意，故答案為：B．【思路點撥】由折疊的性質得出∠EMF＝∠D＝90°，DF＝MF，由等腰三角形的性質得出BF垂直平分EN，由兩組角對應相等的兩個三角形相似，可求，由AAS證出△DFE≌△CFN，得出BE＝3EM，則S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF，即可得出結論。9．（2分）（2022八下·內江期末）如圖，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M為線段BD上一動點，MP⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，則PQ的最小值為（）A． B．3 C． D．【答案】A【規(guī)范解答】解：連接CM，如圖所示：∵MP⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，，∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，∴四邊形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，∴當CM最小時，PQ最小，∵點M在BD上運動，∴當CM⊥BD時，CM最小，則PQ最小，由勾股定理得：，∵，∴此時，∴PQ的最小值為，．故答案為：A．【思路點撥】連接CM，可證四邊形PCQM是矩形，得出PQ＝CM，所以可知當CM最小時，PQ最小，由于點M在BD上運動，可得當CM⊥BD時，CM最小，則PQ最小，由勾股定理求出BD的長，再利用求出CM值即可.10．（2分）（2022八下·廣安期末）如圖1，在矩形MNPQ中，動點R從點N出發(fā)，沿N→P→Q→M方向運動至點M處停止．設點R運動的路程為x，△MNR的面積為y．若y關于x的函數圖象如圖2所示，則下列說法不正確的是（）A．當x＝2時，y＝5 B．當y＝5時，x＝2C．當x＝6時，y＝10 D．矩形MNPQ的周長是18【答案】B【規(guī)范解答】解：由圖象可知，四邊形MNPQ的邊長，，，A、時，△MNR的面積＝，正確，不符合題意；B、時，高，則高，點R在PN或QM上，距離QP有2個單位，對應的x值是2或11，錯誤，符合題意；C、時，點R在QP上，△MNR的面積＝，正確，不符合題意；D、矩形周長為，正確，不符合題意.故答案為：B．【思路點撥】由圖2知，，然后結合圖象及三角形的面積公式逐項計算，再判斷即可.閱卷人二、填空題(共10題；每題2分，共20分)得分11．（2分）（2023八上·鄭州期末）如圖，在平面直角坐標系中，將矩形沿直線折疊（點E在邊上），折疊后點恰好落在邊上的點F處.若點D的坐標為，則直線的解析式為.【答案】【規(guī)范解答】解：∵四邊形為矩形，D的坐標為，∴，，∵矩形沿折疊，使D落在上的點F處，∴，，在中，，∴，設，則，在中，，即，解得，即EC的長為，∴點E的坐標為.設直線為：，∴，解得：，∴直線為：，故答案為：.【思路點撥】根據矩形的性質結合點D的坐標可得AD=OC=5，CD=AO=4，根據折疊的性質可得AD=AF=5，DE=EF，利用勾股定理可得OF，然后求出FC，設EC=x，則DE=EF=4-x，然后在Rt△CEF中，根據勾股定理可得x的值，表示出點E的坐標，然后利用待定系數法求解即可.12．（2分）（2022八上·沈陽期中）如圖，長方形ABCD中，，，，點M是射線BD上一點（不與點B，D重合），連接AM，過點M作交直線BC于點N，若是等腰三角形，則．【答案】【規(guī)范解答】解：連接AN，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵是等腰三角形，∴只存在一種情況，在和中，AN=ANBN=MN，∴，∴，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，故答案為：．

【思路點撥】連接AN，先證明，可得，再利用勾股定理可得，將數據代入求出即可。13．（2分）（2022八上·羅湖期中）如圖，已知點是長方形中邊上一點，將四邊形沿直線折疊，折疊后點的對應點為，點的對應點為，若點在上，且，，則．【答案】5【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD為長方形，

∴∠D=∠C=∠DAB=90°，AB=DC=10，AD=BC=8，

根據折疊的性質可得：∠D'=∠D=90°，∠C'=∠C=90°，BC'=BC=8，D'C'=DC=10，

∴，

∴AD'=D'C'-AC'=10-6=4，

設DE=D'E=x，則AE=8-x，

∴；

∴x=3，

∴AE=5，

故答案為：5.

【思路點撥】利用勾股定理先求出AC'=6，再求出AD'的值，最后計算求解即可。14．（2分）（2022八上·蕭山期中）如圖，已知長方形紙片，點在邊上，且，將沿直線翻折，使點B落在點G，延長交于點F處，則線段的長為．【答案】【規(guī)范解答】解：將沿直線翻折，，，長方形紙片，，，，，設，則，在中，，解得即；故答案為：.【思路點撥】根據折疊的性質可得∠BEC=∠FEC，∠CGE=∠B，BE=GE=2，BC=CG=3，根據矩形以及平行線的性質可得∠BEC=∠FCE，推出FE=FC，設FG=x，則FC=x+2，然后在Rt△FGC中，利用勾股定理計算即可.15．（2分）（2023八上·平桂期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，GC＝，AE平分∠BAG交BC于點E，E是BC的中點，則AG的長為.【答案】【規(guī)范解答】解：過E作EH⊥AG于H，連接EG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AE平分∠BAG交BC于點E，∴BE＝EH，在Rt△ABE與Rt△AHE中，BE=EHAE=AE∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴AH＝AB＝8，∵E是BC的中點，∴BE＝CE，∴EH＝CE，在Rt△EHG與Rt△ECG中，EH=ECEG=EG∴Rt△EHG≌Rt△ECG（HL），∴GH＝CG＝，∴AG＝AH+GH＝8+＝，故答案為：.【思路點撥】過E作EH⊥AG于H，連接EG，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等得BE=EH，從而利用HL判斷Rt△ABE≌Rt△AHE，根據全等三角形的對應邊相等得AH=AB=8，進而再利用HL判斷Rt△EHG≌Rt△ECG，根據全等三角形的對應邊相等得GH＝CG＝，最后根據AG=AH+GH即可得出答案.16．（2分）（2022八上·蒼南期中）如圖.已知在長方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E，F分別在邊AD，BC上，連結BD，BE，DF.將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在BD上的G，H處，連結CG，則四邊形CGHF的周長為.【答案】【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠DCB＝90°，AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10，由翻折得GB＝AB＝6，DH＝DC＝6，∠DHF＝∠DCF＝90°，HF＝CF，∴GD＝BD﹣GB＝4，BH＝BD﹣DH＝4，∠BHF＝180°﹣∠DHF＝90°，∵BH2+HF2＝BF2，且BF＝8﹣CF＝8﹣HF，∴42+HF2＝（8﹣HF）2，∴HF＝CF＝3，∵S△BCD＝×6×8＝24，且∴S△GCD＝×24＝，作GL⊥CD于點L，則CD?GL＝S△GCD＝，∴×6GL＝，∴GL＝，∴DL＝∵CL＝DC﹣DL＝6﹣＝，∴CG＝＝，∵GH＝GB﹣BH＝2，∴GH+HF+CF+CG＝2+3+3+＝，∴四邊形CGHF的周長為，故答案為：【思路點撥】由勾股定理求出AB=10，根據矩形的性質及折疊可得GB＝AB＝6，DH＝DC＝6，∠DHF＝∠DCF＝90°，HF＝CF，繼而求出GD＝BD﹣GB＝4，BH＝BD﹣DH＝4，∠BHF＝180°﹣∠DHF＝90°，由勾股定理可得BH2+HF2＝BF2，據此求出HF＝CF＝3，利用三角形的面積可求出S△GCD＝S△BCD=，作GL⊥CD于點L，則CD?GL＝S△GCD＝，求出GL＝，利用勾股定理求出DL，從而求出CL＝DC﹣DL的長，利用勾股定理求出CG，繼而求出四邊形CGHF的周長即可.17．（2分）（2022八下·建昌期末）如圖，在矩形中，為中點，經過點且，交于點，交于點，點為的中點，．則以下結論中：①；②；③是等邊三角形；④，其中正確結論的序號為．【答案】①③④【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴，點是中點，，，，，，在中，點G是中點，且，，，，，設，則，，∴，∴，∴，∴，故①符合題意；，由題意知，點與點不重合，故②不符合題意；，，，∴△AEF是等邊三角形，故③符合題意；，，，∵，，，故④符合題意；故答案為：①③④．

【思路點撥】利用矩形的性質、相似三角形的判定及性質和等邊三角形的判定方法逐項判斷即可。18．（2分）（2022八下·福州期末）如圖，在矩形中，已知，，點，分別是邊，的中點，點是邊上的一個動點，連接，將四邊形沿折疊，得到四邊形，連接，則長度的最小值是．【答案】【規(guī)范解答】解：如圖，連接EO、PO、OC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠OAP=90°，∵點O，P分別是邊AB，AD的中點，∴OB=AO=4，AP=DP=6，在Rt△OBC中，BC=12，OB=4，∴OC=，在Rt△AOP中，OA=4，PA=6，∴OP=，由折疊可得OE=OC=，∵PE≥OE-OP，∴PE最小值=OE-OP=，故答案為：．【思路點撥】連接EO、PO、OC，由矩形的性質可得∠B=∠OAP=90°，在Rt△OBC中，用勾股定理可求得OC的值，在Rt△AOP中，用勾股定理可求得OP的值，由折疊的性質得OE=OC，根據三角形三邊關系定理可得PE≥OE-OP，于是PE最小值=OE-OP可求解.19．（2分）（2022八下·龍口期末）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點F，連接DF，分析下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF=AF；③DF=DC；④，其中正確結論的序號為．【答案】①③④【規(guī)范解答】解：過D作DM∥BE交AC于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于點F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①符合題意；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE=AD=BC，∴，∴CF=2AF，故②不符合題意，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF=DC，故③符合題意；∵△AEF∽△CBF，∴，∴S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD∴S△AEF=S矩形ABCD，又∵S四邊形CDEF=S△ACDS△AEF=S矩形ABCDS矩形ABCD=S矩形ABCD，∴S四邊形CDEF=S△ABF，∴；故④符合題意；故答案為：①③④．

【思路點撥】利用矩形的性質、相似三角形的判定方法及相似三角形的性質逐項判斷即可。20．（2分）（2022八下·長沙競賽）如圖，P為Rt△ABC內一點，其中∠BAC=90°，并且PA=3，PB=7，PC=9，則BC的最大值為.【答案】14【規(guī)范解答】解：如圖，過P點分別作PD⊥AB于D、PF⊥AC于F，再過B作BG⊥PF于G，過C作CE⊥PD于E，交BG于H，連接AH、PH∵∠BAC=90°，∴四邊形ADPF、四邊形ADEC、四邊形ABGF、四邊形PGHE、四邊形ABHC都是矩形∴PD=BG，PF=AD=EC，PG=HE，BC=AH∴∴∵PA=3，PB=7，PC=9∴，解得∵△PAH中，PA=3，∴∵當A、P、H三點共線時∴當A、P、H三點共線時最大故答案為：14.【思路點撥】過P點分別作PD⊥AB于D、PF⊥AC于F，過B作BG⊥PF于G，過C作CE⊥PD于E，交BG于H，連接AH、PH，則四邊形ADPF、ADEC、ABGF、PGHE、ABHC都是矩形，由矩形對邊相等得PD=BG，PF=AD=EC，PG=HE，BC=AH，則PB2+PC2=PA2+PH2=PF2+PE2+PG2+PD2，代入數據可得PH的值，根據兩點之間，線段最短的性質可得：當點P、A、H共線時，AH取得最大值，即BC取得最大值，據此解答.閱卷人三、解答題(共7題；共60分)得分21．（6分）（2022八上·寧波期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=，AC=8，BC＞6，點E，F分別在BC，AC邊上，且AF=CE，求AE+BF的最小值．【答案】解：過點A作AG∥BC，且使得AG=AC，連結FG、BG.∵AG∥BC，∴∠GAF=∠ACE.∵AF=CE，AG=AC，∴△ACE≌△GAF，∴AE=GF，∴AE+BF=GF+BF.當B、F、G三點共線時，BF+GF最小.過點A作AI⊥BC，交BC于點I，過點G作GH⊥BC，交BC延長線于點H.∵∠ABC=45°，∴AI=BI=6.易知四邊形AIHG是矩形，

∴GH=AI=6，IH=AG=8，∴BH=BI+IH=6+8=14.在Rt△BGH中，BG=.∴AE+BF的最小值為.【思路點撥】過點A作AG∥BC，且使得AG=AC，連結FG、BG；由平行線的性質得∠GAF=∠ACE，用SAS判斷出△ACE≌△GAF，根據全等三角形的性質得AE=GF，根據等量代換得AE+BF=GF+BF，當B、F、G三點共線時，BF+GF最小，過點A作AI⊥BC，交BC于點I，過點G作GH⊥BC，交BC延長線于點H，根據等腰直角三角形得AI=BI=6，易得四邊形AIHG是矩形，由矩形性質得GH=AI=6，IH=AG=8，在Rt△BGH中，利用勾股定理算出BG即可得出答案.22．（6分）（2022八下·南康期末）如圖，在矩形中，點E是的中點，交于點F，點M在上，連接，把延翻折．當點A的對應點恰好落在上時，求的度數．【答案】解：如圖，連接，∵點E是的中點，交于點F，∴垂直平分，∴，由翻折的性質可知，∴，∴是等邊三角形，∴，在矩形中，，∴.【思路點撥】連接，根據垂直平分線的性質可得，再證明是等邊三角形，可得，最后利用三角形的內角和求出即可。23．（7分）（2022八上·蓮湖月考）已知，在長方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點E，F分別是邊AB，BC上的點，連接DE，DF，EF．（1）（3分）如圖①，當CF＝2BE＝2時，試說明△DEF是直角三角形；（2）（4分）如圖②，若點E是邊AB的中點，DE平分∠ADF，求BF的長．【答案】（1）證明：，，．四邊形是矩形，，，，在中，，在中，，在中，，，是直角三角形，且；（2）解：作于，則．平分，，在和中，∠A=∠DHE∠ADE=∠HDE，，，，在和中，EF=EFEH=EB，．設，則，，，在中，，，，即．【思路點撥】（1）在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE2=85，在Rt△DCF中，由勾股定理求出DF2=68，在Rt△BEF中，由勾股定理求出EF2=17，從而得出，利用勾股定理的逆定理即得結論；

（2）作于，先證明，可得，，從而得出，再證，可得，設，則，，DF=6+x，在中，利用勾股定理建立關于x方程并解之即可.

24．（12分）（2022八上·岷縣開學考）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在軸上，，，經過點的直線與軸、軸分別交于點、．（1）（4分）求：①點的坐標；②經過點，且與直線平行的直線的函數表達式；（2）（4分）直線上是否存在點，使得為等腰直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）（4分）在平面直角坐標系內確定點，使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標．【答案】（1）解：①設點的坐標為，點在直線上，，，即點的坐標為，四邊形是矩形，，，點的坐標為；②設經過點且與平行的直線函數表達式為，將代入，得，經過點且與平行的直線函數表達式為；（2）解：存在．為等腰直角三角形，，又，，只能是以、為直角頂點的等腰直角三角形，如圖，①當時，延長與直線交于點，點的坐標為，點的橫坐標為，把代入得，，點；②當時，作的垂直平分線與直線的交點即為點，所以，點的橫坐標為，把代入得，，所以，點，綜上所述，符合條件的點的坐標為或；（3）解：點的坐標為，【規(guī)范解答】解：（3）當時，，解得，，以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，若是對角線，則，，此時，點的坐標為，若是對角線，則，，此時，點的坐標為，若是對角線，則平行四邊形的中心坐標為，設點的坐標為，則，，解得，，此時，點的坐標為，綜上所述，點的坐標為，．【思路點撥】（1）①設C（m，2），將其代入y=x-2中可得m的值，進而得到點C的坐標，根據矩形的性質可得AB=CD=3，AD=BC=2，據此可得點D的坐標；

②設經過點D且與FC平行的直線函數表達式為y=x+b，將D（1，2）代入求出b的值，據此可得對應的函數表達式；

（2）根據等腰直角三角形的性質可得∠CEB=∠ECB=45°，根據平行線的性質得∠DCE=∠CEB=45°，則△PDC是以P、D為直角頂點的等腰直角三角形，當∠D=90°時，延長DA與直線y=x-2交于點P1，根據點D的坐標可得點P1的橫坐標為1，代入y=x-2中求出y的值，可得點P1的坐標；當∠DPC=90°時，作DC的垂直平分線與直線y=x-2的交點即為點P2，根據中點坐標公式可得點P2的橫坐標，代入y=x-2中可得y的值，進而可得P2的坐標；

（3）易得OE=2，若DE是對角線，則EM=CD=3，OM=EM-OE=1，據此可得點M的坐標；若CE是對角線，則EM=CD=3，OM=OE+EM=5，據此可得點M的坐標；若CD是對角線，設點，的坐標為（x，y），根據中點坐標公式可得x、y的值，進而可得點M的坐標.25．（9分）（2022八下·盤龍期末）如圖，在菱形中，對角線，交于點，過點作的垂線，垂足為點，延長到點，使，連接．（1）（4分）求證：四邊形是矩形；（2）（5分）若，，求的長．【答案】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴且，∵，∴，即，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，，，，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理可得：∴，∴，∵，∴，∴．∴的長為．【思路點撥】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再結合，即可得到四邊形是矩形；

（2）先利用勾股定理求出BO的長，再利用，將數據代入求出即可。26．（10分）（2022八下·環(huán)翠期末）