【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)】期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之解答壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練30道

第八上數(shù)學(xué)：期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之解答壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）1．（2021?西青區(qū)期末）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個(gè)不同的三角形…（1）完成下表：連接個(gè)數(shù)出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)（2）若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，則共連接了多少個(gè)點(diǎn)？（3）若一直連接到An，則圖中共有個(gè)三角形．2．（2021?太倉(cāng)市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC＝x°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是；②當(dāng)∠BAD＝∠ABD時(shí)，x＝；當(dāng)∠BAD＝∠BDA時(shí)，x＝．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．3．（2021?鎮(zhèn)平縣期末）已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，a＝4，b＝6，設(shè)三角形的周長(zhǎng)是x．（1）直接寫出c及x的取值范圍；（2）若x是小于18的偶數(shù)①求c的長(zhǎng)；②判斷△ABC的形狀．4．（2021?鎮(zhèn)江期末）直線AB、CD為平面內(nèi)兩條直線，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在直線AB、CD上，點(diǎn)P（P不在直線AB、CD上）為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若AB、CD相交于點(diǎn)O，∠MON＝40°；①當(dāng)點(diǎn)P在△OMN內(nèi)部時(shí)，求證：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；②小芳發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP還存在其它數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系是；③探究，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON外部時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP之間的數(shù)量關(guān)系共有種；（2）如圖2，若AB∥CD，請(qǐng)直接寫出∠MPN與∠AMP、∠CNP之間存在的所有數(shù)量關(guān)系是．5．（2021?高明區(qū)校級(jí)期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．6．（2021?甘井子區(qū)期末）如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分別為AB、BD中點(diǎn)．（1）探索CM與EM′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）如圖2，連接MM′并延長(zhǎng)交CE于點(diǎn)K，試判斷CK與EK之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．（2021?泰州期末）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y(tǒng)，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代數(shù)式直接填空）；（2）如圖1，若x＝y(tǒng)＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角．①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，試求x、y．②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請(qǐng)直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．8．（2021?婁底期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？9．（2021?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．10．（2021?婺城區(qū)校級(jí)期末）如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP．（1）示例：在圖1中，通過觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．答：AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是、．（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．請(qǐng)你觀察、測(cè)量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．答：BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是、．（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接AP、BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．11．（2021?香坊區(qū)期末）已知：點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點(diǎn)M、N分別是射線AE、AF上的點(diǎn)，且PM＝PN．（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖1），求證：BM＝CN；（2）在（1）的條件下，AM+AN＝AC；（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四邊形ANPM的面積．12．（2021?常熟市期末）如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，（1）在圖1中，分別畫出點(diǎn)P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余條件都不變，請(qǐng)你判斷并寫出PE與PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)期末）用三角板和直尺作圖．（不寫作法，保留痕跡）如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)．（1）試在直線l上取一點(diǎn)M，使MA+MB的值最?。?）試在直線l上取一點(diǎn)N，使NB﹣NA最大．14．（2021?香洲區(qū)校級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．15．（2021?臨沂期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A2B2C2；（3）如果AC上有一點(diǎn)P（a，b）經(jīng)過上述兩次變換，那么對(duì)應(yīng)A2C2上的點(diǎn)P2的坐標(biāo)是．16．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)期末）如圖（1），方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A1B1C1；（2）寫出AA1的長(zhǎng)度；（3）如圖（2），A、C是直線MN同側(cè)固定的點(diǎn)，B是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線MN上畫出點(diǎn)B，使AB+BC最?。?7．（2021?太原期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點(diǎn)的一條直線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．為此，請(qǐng)你解答問題（1）．（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：下面兩個(gè)等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請(qǐng)你在圖②、圖③中分別畫出一條直線，把它們分成兩個(gè)小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所有等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)；（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個(gè)頂點(diǎn)畫一條直線可以將原三角形分成兩個(gè)小等腰三角形．請(qǐng)你畫出兩個(gè)不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出可能的各內(nèi)角的度數(shù)．（說明：要求畫出的兩個(gè)三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）請(qǐng)你寫出兩個(gè)符合（3）中一般規(guī)律的非等腰三角形的特征．18．（2021?東營(yíng)期末）根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“□2﹣?2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個(gè)的思考過程；（2）將以上10個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n個(gè)乘積，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn為正數(shù)，a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＞b2＞b3＞…＞bn，且a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn，試由（1）、（2）猜測(cè)一個(gè)一般性的結(jié)論．（不要求證明）19．（2021?浙江期末）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？20．（2021?太原期末）閱讀下列材料，解決相應(yīng)問題：“友好數(shù)對(duì)”已知兩個(gè)兩位數(shù)，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后，得到兩個(gè)與原兩個(gè)兩位數(shù)均不同的新數(shù)，若這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積與交換位置后兩個(gè)新兩位數(shù)的乘積相等，則稱這樣的兩個(gè)兩位數(shù)為“友好數(shù)對(duì)”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68與34和86都是“友好數(shù)對(duì)”．（1）36和84“友好數(shù)對(duì)”．（填“是”或“不是”）（2）為探究“友好數(shù)對(duì)”的本質(zhì)，可設(shè)“友好數(shù)對(duì)”中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，且a≠b；另一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，且c≠d，則a，b，c，d之間存在一個(gè)等量關(guān)系，其探究和說理過程如下，請(qǐng)你將其補(bǔ)充完整．解：根據(jù)題意，“友好數(shù)對(duì)”中的兩個(gè)數(shù)分別表示為10a+b和10c+d，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后兩個(gè)數(shù)依次表示為和．因?yàn)樗鼈兪怯押脭?shù)對(duì)，所以（10a+b）（10c+d）＝．即a，b，c，d的等量關(guān)系為：．（3）請(qǐng)從下面A、B兩題中任選一題作答，我選擇題．A．請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粚?duì)“友好數(shù)對(duì)”，與本題已給的“友好數(shù)對(duì)”不同．B．若有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為x+2，個(gè)位數(shù)字為x，另一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為x+2，個(gè)位數(shù)字為x+8．且這兩個(gè)數(shù)為“友好數(shù)對(duì)”，直接寫出這兩個(gè)兩位數(shù)．21．（2021?九龍坡區(qū)期末）甲、乙兩商場(chǎng)自行定價(jià)銷售某一商品．（1）甲商場(chǎng)將該商品提價(jià)15%后的售價(jià)為1.15元，則該商品在甲商場(chǎng)的原價(jià)為元；（2）乙商場(chǎng)將該商品提價(jià)20%后，用6元錢購(gòu)買該商品的件數(shù)比沒提價(jià)前少買1件，求該商品在乙商場(chǎng)的原價(jià)是多少？（3）甲、乙兩商場(chǎng)把該商品均按原價(jià)進(jìn)行了兩次價(jià)格調(diào)整．甲商場(chǎng)：第一次提價(jià)的百分率是a，第二次提價(jià)的百分率是b；乙商場(chǎng)：兩次提價(jià)的百分率都是a+b2請(qǐng)問甲、乙兩商場(chǎng)，哪個(gè)商場(chǎng)的提價(jià)較多？請(qǐng)說明理由．22．（2021?天津期末）某企業(yè)有九個(gè)生產(chǎn)車間，現(xiàn)在每個(gè)車間原有的成品一樣多，每個(gè)車間每天生產(chǎn)的成品也一樣多，有A、B兩組檢驗(yàn)員，其中A組有8名檢驗(yàn)員．他們先用兩天將第一、二兩個(gè)車間的成品檢驗(yàn)完畢后，再去檢驗(yàn)第三、四兩個(gè)車間所有成品，又用去了三天時(shí)間；同時(shí)，用這五天時(shí)間，B組檢驗(yàn)員也檢驗(yàn)完余下的五個(gè)車間的成品，如果每個(gè)檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度一樣快，每個(gè)車間原有的成品為a件，每個(gè)車間每天生產(chǎn)b件成品．（1）用a、b表示B組檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的成品總數(shù)；（2）求B組檢驗(yàn)員的人數(shù)．23．（2021?遂寧期末）如圖，小剛家、王老師家和學(xué)校在一條直路上，小剛與王老師家相距3.5千米，王老師家與學(xué)校相距0.5千米．近來，小剛父母出差，如果王老師騎自行車到小剛家接小剛上學(xué)，就比平時(shí)走路上班多用24分鐘．已知騎自行車的速度是步行速度的3倍．（1）問：王老師騎自行車的速度是多少千米/小時(shí)？（2）為了節(jié)約時(shí)間，王老師與小剛約定每天7：35從家里同時(shí)出發(fā)，小剛走路，王老師騎車，遇到小剛后，立即搭小剛到校．如果小剛和王老師走路的速度一樣，王老師騎車的速度不變，請(qǐng)問他們能否在8：00鐘前趕到學(xué)校？說明理由．24．（2021?泉州期末）周末某班組織登山活動(dòng)，同學(xué)們分甲，乙兩組從山腳下沿著一條道路同時(shí)向山頂進(jìn)發(fā)，設(shè)甲，乙兩組行進(jìn)同一路段所用的時(shí)間之比2：3．（1）直接寫出甲、乙兩組行進(jìn)速度之比；（2）當(dāng)甲組到達(dá)山頂時(shí)，乙組行進(jìn)到山腰A處，且A處離山頂?shù)穆烦躺杏?.2千米，試問山腳離山頂?shù)穆烦逃卸噙h(yuǎn)？（3）在題（2）所述內(nèi)容（除最后的問句處）的基礎(chǔ)上，設(shè)乙組從A處繼續(xù)登山，甲組到達(dá)山頂后休息片刻，再?gòu)脑废律?，并且在山腰B處與乙組相遇，請(qǐng)你先根據(jù)以上情景提出一個(gè)相應(yīng)的問題，再給予解答．（要求：①問題的提出不需再增添其它條件；②問題的解決必須利用上述情景提供的所有書面條件．）25．（2021?河南期末）如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是．（2）猜想論證：當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．26．（2021?昌平區(qū)期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=127．（2021?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠C＝∠E＝90°，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°．如圖2，連接CD，CD平分∠ACB，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記∠ADF為α（0°＜α＜180°）．（1）∠CDA的度數(shù)為85°．（2）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，邊DF，DE分別交BC，AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N．①求α的度數(shù)范圍；②∠1與∠2度數(shù)的和是否變化？若不變，請(qǐng)求出∠1與∠2的度數(shù)和；若變化，請(qǐng)說明理由．28．（2021?玉溪期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．29．（2021?揭陽(yáng)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且∠ADE＝∠AED，連接DE．（1）當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）深入探究：如圖②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他條件不變，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．30．（2021?新華區(qū)校級(jí)期末）直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，①當(dāng)∠ABO＝60°時(shí)，求∠AEB的度數(shù)；②點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明變化的情況：若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大小；（2）如圖2，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)直接寫出∠ABO的度數(shù)．

參考答案及解析1．（2021?西青區(qū)期末）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個(gè)不同的三角形…（1）完成下表：連接個(gè)數(shù)出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)（2）若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，則共連接了多少個(gè)點(diǎn)？（3）若一直連接到An，則圖中共有12（n+1）（n+2）【解題思路】（1）根據(jù)圖形，可以分析：數(shù)三角形的個(gè)數(shù)，其實(shí)就是數(shù)AC上線段的個(gè)數(shù)．所以當(dāng)上面有3個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有6+4＝10；4個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有10+5＝15；5個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有15+6＝21；6個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有21+7＝28；7個(gè)分點(diǎn)時(shí)，有28+8＝36；（2）若出現(xiàn)45個(gè)三角形，根據(jù)上述規(guī)律，則有8個(gè)分點(diǎn)；（3）若有n個(gè)分點(diǎn)，則有1+2+3+…+n+1=1【解答過程】解：（1）連接個(gè)數(shù)123456出現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)3610152128（2）8個(gè)點(diǎn)；（3）1+2+3+…+（n+1）=1=1故答案為122．（2021?太倉(cāng)市期末）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)（A、B、C不與點(diǎn)O重合），連接AC交射線OE于點(diǎn)D．設(shè)∠OAC＝x°．（1）如圖1，若AB∥ON，則①∠ABO的度數(shù)是20°；②當(dāng)∠BAD＝∠ABD時(shí)，x＝120；當(dāng)∠BAD＝∠BDA時(shí)，x＝60．（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．【解題思路】利用角平分線的性質(zhì)求出∠ABO的度數(shù)是關(guān)鍵，分類討論的思想．【解答過程】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝20°，②∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝120°，∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，∴∠BAD＝80°，∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，∴∠OAC＝60°；故答案為：①20°；②120，60；（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時(shí)，∵OE是∠MON的角平分線，∴∠AOB=1∵AB⊥OM，∴∠AOB+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝70°，若∠BAD＝∠ABD＝70°，則x＝20若∠BAD＝∠BDA=1若∠ADB＝∠ABD＝70°，則∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50②當(dāng)點(diǎn)D在射線BE上時(shí)，因?yàn)椤螦BE＝110°，且三角形的內(nèi)角和為180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此時(shí)x＝125．綜上可知，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角，且x＝20、35、50、125．3．（2021?鎮(zhèn)平縣期末）已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，a＝4，b＝6，設(shè)三角形的周長(zhǎng)是x．（1）直接寫出c及x的取值范圍；（2）若x是小于18的偶數(shù)①求c的長(zhǎng)；②判斷△ABC的形狀．【解題思路】（1）利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得出c的取值范圍，進(jìn)而得出答案；（2）①根據(jù)偶數(shù)的定義，以及x的取值范圍即可求解；②利用等腰三角形的判定方法得出即可．【解答過程】解：（1）因?yàn)閍＝4，b＝6，所以2＜c＜10．故周長(zhǎng)x的范圍為12＜x＜20．（2）①因?yàn)橹荛L(zhǎng)為小于18的偶數(shù)，所以x＝16或x＝14．當(dāng)x為16時(shí)，c＝6；當(dāng)x為14時(shí)，c＝4．②當(dāng)c＝6時(shí)，b＝c，△ABC為等腰三角形；當(dāng)c＝4時(shí)，a＝c，△ABC為等腰三角形．綜上，△ABC是等腰三角形．4．（2021?鎮(zhèn)江期末）直線AB、CD為平面內(nèi)兩條直線，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在直線AB、CD上，點(diǎn)P（P不在直線AB、CD上）為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，若AB、CD相交于點(diǎn)O，∠MON＝40°；①當(dāng)點(diǎn)P在△OMN內(nèi)部時(shí)，求證：∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝40°；②小芳發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP還存在其它數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系是∠MPN+∠OMP+∠ONP＝320°；③探究，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON外部時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP之間的數(shù)量關(guān)系共有5種；（2）如圖2，若AB∥CD，請(qǐng)直接寫出∠MPN與∠AMP、∠CNP之間存在的所有數(shù)量關(guān)系是∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+MPN＝360°．【解題思路】（1）①延長(zhǎng)OP至點(diǎn)E，利用三角形的外角性質(zhì)和整體思想求證；②分類討論，點(diǎn)P在△OMN內(nèi)部和外部進(jìn)行討論；③直線MN和直線AB、直線CD將平面分為7個(gè)部分，討論點(diǎn)P在∠MON外部的5個(gè)部分進(jìn)行討論；（3）直線MN和直線AB、直線CD將平面分為6個(gè)部分，討論點(diǎn)P在這6個(gè)部分時(shí)三個(gè)角之間的關(guān)系．【解答過程】（1）①證明：如圖1，延長(zhǎng)OP至點(diǎn)E，∵∠MPE和∠NPE分別是△MOP和△NOP的外角，∴∠MPE＝∠MOP+∠OMP，∠NPE＝∠NOP+∠ONP，∴∠MPE+∠NPE＝∠MOP+∠NOP+∠OMP+∠ONP，即∠MPN＝∠MON+∠OMP+∠ONP，∴∠MPN﹣∠OMP﹣∠ONP＝∠MON＝40°．②解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在∠MON內(nèi)部，且在直線MN右側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)OP至點(diǎn)E，則∠MPO+∠MOP+∠OMP＝180°，∠NPO+∠NOP+∠ONP＝180°，∴∠MPO+∠NPO+∠MOP+∠NOP+∠OMP+∠ONP＝360°，即∠MPN+∠MON+∠OMP+∠ONP＝360°，∴∠MPN+∠OMP+∠ONP＝360°﹣∠MON＝360°﹣40°＝320°．故答案為：∠MPN+∠OMP+∠ONP＝320°．③解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P落在直線MN左側(cè)，且在∠COB內(nèi)部時(shí)，記PN與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)E，∵∠OEP是△MEP和△OEN的外角，∴∠OEP＝∠MPN+∠OMP，∠OEP＝∠MON+∠ONP，∴∠MPN+∠OMP＝∠MON+∠ONP，即∠MPN+∠OMP﹣∠ONP＝∠MON，∴∠MPN+∠OMP﹣∠ONP＝40°；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P落在直線MN的右側(cè)，且在∠COB內(nèi)部時(shí)，記PN與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)E，∵∠OMP是△MEP的外角，∠OEP是△OEN的外角，∴∠OMP＝∠MPN+∠OEP，∠OEP＝∠MON+∠ONP，∴∠OMP＝∠MPN+∠MON+∠ONP，即∠OMP﹣∠ONP﹣∠MPN＝∠MON，∴∠OMP﹣∠ONP﹣∠MPN＝40°；如圖5，當(dāng)點(diǎn)P落在直線MN左側(cè)，且在∠AOD內(nèi)部時(shí)，記PM與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，∵∠OFP是△MOF和△FNP的外角，∴∠OFP＝∠MON+∠OMP，∠OFP＝∠MPN+∠ONP，∴∠MON+∠OMP＝∠MPN+∠ONP，即∠MPN+∠ONP﹣∠OMP＝∠MON，∴∠MPN+∠ONP﹣∠OMP＝40°；如圖6，當(dāng)點(diǎn)P落在直線MN右側(cè)，且在∠AOD內(nèi)部時(shí)，記PM與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，∵∠OFP是△MOF的外角，∠ONP是△FNP的外角，∴∠OFP＝∠MON+∠OMP，∠ONP＝∠MPN+∠OFP，∴∠ONP＝∠MPN+∠MON+∠OMP，∴∠MPN+∠OMP+∠ONP＝∠MON＝40°；如圖7，當(dāng)點(diǎn)P落在∠AOC內(nèi)部時(shí)，延長(zhǎng)PO至點(diǎn)G，∵∠MOG和∠NOG分別是△MOP和△NOP的外角，∴∠MOG＝∠MPO+∠PMO，∠NOG＝∠NPO+∠PNO，∴∠MOG+∠NOG＝∠MPO+∠NPO+∠PMO+∠PNO，即∠MON＝∠MPN+∠PMO+∠PNO，∴∠MPN+∠PMO+∠PNO＝40°，綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在∠MON外部時(shí)，∠MPN、∠OMP、∠ONP之間的數(shù)量關(guān)系共有5種．（2）解：如圖8，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN右側(cè)，且在直線AB上方時(shí)，記PN與直線AB的交點(diǎn)為H，∵AB∥CD，∴∠AHP＝∠CNP，∵∠AMP是△MPH的外角，∴∠AMP＝∠MPN+∠AHP，∴∠AMP＝∠MPN+∠CNP；如圖9，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN的左側(cè)，且在直線AB上方時(shí)，記PN與直線AB的交點(diǎn)為H，∵AB∥CD，∴∠AHP＝∠CNP，∵∠AHP是△MPH的外角，∴∠AHP＝∠MPN+∠AMP，∴∠CNP＝∠MPN+∠AMP；如圖10，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN右側(cè)，且在直線AB和直線CD之間時(shí)，∵AB∥CD，∴∠BMP+∠PMN+∠PNM+∠PND＝180°，∵∠BMP＝180°﹣∠AMP，∠PND＝180°﹣∠PNC，∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠MPN，∴∠AMP+∠CNP+MPN＝360°，如圖11，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN左側(cè)，且在直線AB和直線CD之間時(shí)，∵AB∥CD，∴∠AMP+∠PMN+∠CNP+∠PNM＝180°，∵∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠MPN，∴∠AMP+∠CNP＝∠MPN，如圖12，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN右側(cè)，且在直線CD下方時(shí)，記PN與CD的交點(diǎn)為H，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠CHP，∵∠CNP是△NHP的外角，∴∠CNP＝∠CHP+∠MPN，∴∠CNP＝∠AMP+∠MPN；如圖13，當(dāng)點(diǎn)P在直線MN的左側(cè)，且在直線CD下方時(shí)，記PN與CD的交點(diǎn)為H，∵AB∥CD，∴∠AMP＝∠CHP，∵∠CHP是△PHN的外角，∴∠CHP＝∠MPN+∠CNP，∴∠AMP＝∠MPN+∠CNP，綜上所述，當(dāng)AB∥CD時(shí)，∠MPN與∠AMP、∠CNP之間存在的所有數(shù)量關(guān)系是：∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+MPN＝360°．故答案為：∠AMP＝∠MPN+∠CNP或∠CNP＝∠MPN+∠AMP或∠AMP+∠CNP+MPN＝360°．5．（2021?高明區(qū)校級(jí)期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．【解題思路】（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠1+∠2，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問題；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°?12∠A，求出∠E【解答過程】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，∴∠P＝180°?12（∠ABC+∠ACB）＝180°（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，∴∠QBC+∠QCB=1=1=1＝90°+1∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°（3）延長(zhǎng)BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=1∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ=12∠ABC=1如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：①∠EBQ＝2∠E＝90°，則∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，則∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，則90°?1④∠E＝2∠Q，則12∠A＝2（90°?綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．6．（2021?甘井子區(qū)期末）如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，M、M′分別為AB、BD中點(diǎn)．（1）探索CM與EM′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）如圖2，連接MM′并延長(zhǎng)交CE于點(diǎn)K，試判斷CK與EK之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的概念和已知的AB＝BD，得BM＝DM′；在△BCM與△DEM′中，∠ABC＝∠BDE＝90°，BC＝DE，AB＝BD，可得△BCM≌△DEM′，則CM＝EM′；（2）延長(zhǎng)MK至L，使KL＝MM'，連接LE，先證明△CMK≌△EM′L后即可得出答案；【解答過程】解：（1）CM＝EM′．證明：根據(jù)線段中點(diǎn)的概念和已知的AB＝BD，得BM＝DM′；在△BCM與△DEM′中，BC=DE∠CBM=∠EDM'∴Rt△BCM≌Rt△DEM′（SAS），∴CM＝EM′；（2）CK＝KE．理由如下：如圖2，延長(zhǎng)MK至L，使KL＝MM'，連接LE，則KL+KM′＝MM'+KM′，即KM＝LM′，由（1）可知CM＝EM′，∵BD＝AB，M是AB的中點(diǎn)，M'是BD的中點(diǎn)，∴BM＝BM′，∴∠BMM′＝∠BM′M，由（1）知Rt△BCM≌Rt△DEM′，∴∠BMC＝∠EM′D，∴∠CMK＝∠KM′E，在△CMK和△EM′L中MC=M'E∠CMK=∠LM'E∴△CMK≌△EM′L（SAS），∴CK＝EL，又∵∠CKM＝∠LKE＝∠KLE，∴KE＝LE，∴CK＝KE．7．（2021?泰州期末）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y(tǒng)，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y（用含x、y的代數(shù)式直接填空）；（2）如圖1，若x＝y(tǒng)＝90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角．①若x+y＝120°，∠DFB＝20°，試求x、y．②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請(qǐng)直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．【解題思路】（1）利用四邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，得出答案即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出DE與BF的位置關(guān)系即可；（3）①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出∠DFB=12y【解答過程】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∠A＝x，∠C＝y(tǒng)，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y．故答案為：360°﹣x﹣y．（2）DE⊥BF．理由：如圖1，∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，∴∠CDE＝∠CBF，又∵∠DGC＝∠BGE，∴∠BEG＝∠C＝90°，∴DE⊥BF；（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM＝360°﹣（360°﹣x﹣y）＝x+y，∵BF、DF分別平分∠CBM、∠CDN，∴∠CDF+∠CBF=1如圖2，連接DB，則∠CBD+∠CDB＝180°﹣y，∴∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+12（x+y）＝180°?1∴∠DFB=12y解方程組：x+y=120°1可得：x=40°y=80°②當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，∠FBD+∠FDB＝180°?12y∴∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行，此時(shí)，∠DFB不存在．8．（2021?婁底期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？【解題思路】（1）經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即據(jù)SAS可證得△BPD≌△CQP．（2）可設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts△BPD與△CQP全等，則可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，據(jù)（1）同理可得當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC時(shí)兩三角形全等，求x的解即可．【解答過程】解：（1）經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴在△BPD和△CQP中，BD=PC∠ABC=∠ACB∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts△BPD與△CQP全等；則可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ時(shí)，②當(dāng)BD＝CQ，BP＝PC時(shí)，兩三角形全等；①當(dāng)BD＝PC且BP＝CQ時(shí)，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情況；②BD＝CQ，BP＝PC時(shí)，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x=15故若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為1549．（2021?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【解題思路】（1）延長(zhǎng)BD交CE于F，易證△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根據(jù)∠AEC+∠ACE＝90°，可得∠ABD+∠AEC＝90°，即可解題；（2）延長(zhǎng)BD交CE于F，易證∠BAD＝∠EAC，即可證明△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根據(jù)∠ABC+∠ACB＝90°，可以求得∠CBF+∠BCF＝90°，即可解題．【解答過程】證明：（1）延長(zhǎng)BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，AE=AD∠EAC=∠DAB∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；（2）延長(zhǎng)BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，AD=AE∠BAD=∠EAC∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．10．（2021?婺城區(qū)校級(jí)期末）如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP．（1）示例：在圖1中，通過觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．答：AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是AB＝AP、AB⊥AP．（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．請(qǐng)你觀察、測(cè)量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．答：BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是BQ＝AP、BQ⊥AP．（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接AP、BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【解題思路】（1）由于AC⊥BC，且AC＝BC，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP，則△ABC與△EFP是全等的等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠CAP＝45°，AB＝AP，則∠BAP＝90°，于是AP⊥AB；（2）延長(zhǎng)BQ交AP于H點(diǎn)，可得到△QPC為等腰直角三角形，則有QC＝PC，根據(jù)“SAS”可判斷△ACP≌△BCQ，則AP＝BQ，∠CAP＝∠CBQ，利用三角形內(nèi)角和定理可得到∠AHQ＝∠BCQ＝90°，即AP⊥BQ；（3）BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系為相等，位置關(guān)系為垂直．證明方法與（2）一樣．【解答過程】解：（1）AB＝AP，AB⊥AP；（2）BQ＝AP，BQ⊥AP；（3）成立．證明：如圖，∵∠EPF＝45°，∴∠CPQ＝45°．∵AC⊥BC，∴∠CQP＝∠CPQ，CQ＝CP．在Rt△BCQ和Rt△ACP中，BC=AC∠BCQ=∠ACP∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）∴BQ＝AP；延長(zhǎng)QB交AP于點(diǎn)N，∴∠PBN＝∠CBQ．∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC＝∠APC．在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°，∴∠APC+∠PBN＝90°．∴∠PNB＝90°．∴QB⊥AP．11．（2021?香坊區(qū)期末）已知：點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點(diǎn)M、N分別是射線AE、AF上的點(diǎn)，且PM＝PN．（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖1），求證：BM＝CN；（2）在（1）的條件下，AM+AN＝2AC；（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），若AC：PC＝2：1，PC＝4，求四邊形ANPM的面積．【解題思路】（1）由點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得PB＝PC，又由PM＝PN，利用HL，即可判定Rt△PBM≌Rt△PCN，則可證得結(jié)論；（2）由角平分線的性質(zhì)易證得AB＝AC，又由AM+AN＝AM+CN+AC＝AM+BM+AC＝AB+AC，即可證得結(jié)論；（3）由AC：PC＝2：1，PC＝4，即可求得AC的長(zhǎng)，又由S四邊形ANPM＝S△APN+S△APB+S△PBM＝S△APN+S△APB+S△PCN＝S△APC+S△APB，即可求得四邊形ANPM的面積．【解答過程】解：（1）∵點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE，PC⊥AF，∴PB＝PC，∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，PM=PNPB=PC∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴BM＝CN；（2）∵∠APB＝90°﹣∠PAB，∠APC＝90°﹣∠PAC，∴∠APC＝∠APB，∵PB⊥AE，PC⊥AF，∴PB＝PC，∴AM+AN＝AM+CN+AC＝AM+BM+AC＝AB+AC＝2AC；故答案為：2；（3）∵AC：PC＝2：1，PC＝4，∴AC＝8，∴AB＝AC＝8，PB＝PC＝4，∴S四邊形ANPM＝S△APN+S△APB+S△PBM＝S△APN+S△APB+S△PCN＝S△APC+S△APB=12AC?PC+12AB?PB12．（2021?常熟市期末）如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，（1）在圖1中，分別畫出點(diǎn)P到邊AC、BC、BA的垂線段PF、PG、PH，這3條線段相等嗎？為什么？（2）在圖2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余條件都不變，請(qǐng)你判斷并寫出PE與PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解題思路】（1）PF、PG與PH，3條線段相等，理由為：因?yàn)锳D為∠BAC的平分線，PF垂直于AC，PH垂直于AB，根據(jù)角平分線定理得到PF＝PH，同理BE為∠ABC的平分線，PG垂直于BC，PH垂直于AB，得到PG＝PH，等量代換即可得證；（2）PE＝PD，理由為：過P作PF垂直于AC，PG垂直于BC，由∠PDG為△ADC的一個(gè)外角，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，得到∠PDG＝∠C+∠CAD，又∠CAB＝30°，AD為∠CAB的平分線得到∠CAD=1【解答過程】解：（1）PF＝PH＝PG，理由如下：∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，∴PF＝PH，∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，∴PG＝PH，∴PF＝PH＝PG；（2）PE＝PD．證明：∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，∴∠CAB＝30°，∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠CAD＝∠BAD=12∠CAB＝15°，∠ABE＝∠CBE過點(diǎn)P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分別為F、G，則∠PFE＝∠PGD＝90°，∵∠PDG為△ADC的一個(gè)外角，∴∠PDG＝∠C+∠CAD＝60°+1∵∠PEF是△ABE的一個(gè)外角，∴∠PEF＝∠CAB+∠ABE＝30°+1∴∠PEF＝∠PDG，∵PF⊥AC，PG⊥BC，∴∠PFE＝∠PGD＝90°，由第一問得：PF＝PG，∴△PFE≌△PGD，∴PE＝PD．13．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)期末）用三角板和直尺作圖．（不寫作法，保留痕跡）如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)．（1）試在直線l上取一點(diǎn)M，使MA+MB的值最?。?）試在直線l上取一點(diǎn)N，使NB﹣NA最大．【解題思路】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再連接解答即可；（2）連接BA，延長(zhǎng)BA交直線l于N，當(dāng)N即為所求；【解答過程】解：（1）如圖所示：（2）如圖所示；理由：∵NB﹣NA≤AB，∴當(dāng)A、B、N共線時(shí)，BN﹣NA的值最大．14．（2021?香洲區(qū)校級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．【解題思路】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，所以AP＝BQ．AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，因而運(yùn)用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關(guān)系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數(shù)．（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t．分別就①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)；②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值．（3）首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到∠BPC＝∠MQC．再運(yùn)用三角形角間的關(guān)系求得∠CMQ的度數(shù)．【解答過程】解：（1）∠CMQ＝60°不變．∵等邊三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°又由條件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t=4②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t=8∴當(dāng)?shù)?3秒或第8（3）∠CMQ＝120°不變．∵在等邊三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由條件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°15．（2021?臨沂期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A2B2C2；（3）如果AC上有一點(diǎn)P（a，b）經(jīng)過上述兩次變換，那么對(duì)應(yīng)A2C2上的點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（a﹣3，﹣b）．【解題思路】（1）直接利用關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案；（2）利用軸對(duì)稱求最短路線的方法得出P點(diǎn)位置即可；（3）直接利用平移變換的性質(zhì)得出點(diǎn)P2的坐標(biāo)．【解答過程】解：（1）如圖所示：△A1B1C1就是所要求作的圖形；（2）如圖所示：△A2B2C2就是所要求作的圖形；（3）如果AC上有一點(diǎn)P（a，b）經(jīng)過上述兩次變換，那么對(duì)應(yīng)A2C2上的點(diǎn)P2的坐標(biāo)是：P2（a﹣3，﹣b）．故答案為：（a﹣3，﹣b）．16．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)期末）如圖（1），方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)．（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A1B1C1；（2）寫出AA1的長(zhǎng)度；（3）如圖（2），A、C是直線MN同側(cè)固定的點(diǎn)，B是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線MN上畫出點(diǎn)B，使AB+BC最?。窘忸}思路】（1）直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分別得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）利用網(wǎng)格直接得出AA1的長(zhǎng)度；（3）利用軸對(duì)稱求最短路線的方法得出點(diǎn)B位置．【解答過程】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；（2）AA1的長(zhǎng)度為：10；（3）如圖所示：點(diǎn)B′即為所求，此時(shí)AB′+B′C最?。?7．（2021?太原期末）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點(diǎn)的一條直線可把它分成兩個(gè)小等腰三角形．為此，請(qǐng)你解答問題（1）．（1）已知：如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直線BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．求證：△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：下面兩個(gè)等腰三角形如圖②、③也具有這種特性．請(qǐng)你在圖②、圖③中分別畫出一條直線，把它們分成兩個(gè)小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所有等腰三角形兩個(gè)底角的度數(shù)；（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個(gè)頂點(diǎn)畫一條直線可以將原三角形分成兩個(gè)小等腰三角形．請(qǐng)你畫出兩個(gè)不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中標(biāo)出可能的各內(nèi)角的度數(shù)．（說明：要求畫出的兩個(gè)三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）請(qǐng)你寫出兩個(gè)符合（3）中一般規(guī)律的非等腰三角形的特征．【解題思路】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角，及角平分線定義易得∠1＝∠2＝36°，∠C＝72°，那么∠BDC＝72°則可得AD＝BD＝CB∴△ABD與△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分為兩個(gè)小的等腰直角三角形即可，把108°的角分為36°和72°即可；（3）利用直角三角形的中線等于直角三角形斜邊的一半可得任意直角三角形的中線把直角三角形分為兩個(gè)等腰三角形；由（1），（2）易得所知的兩個(gè)角要么是2倍關(guān)系，要么是3倍關(guān)系，可猜測(cè)只要所給的三個(gè)角中有2個(gè)角是2倍或3倍關(guān)系都可得到上述圖形；（4）按照發(fā)現(xiàn)的（3）的特點(diǎn)來寫，注意去掉特殊三角形的形式．【解答過程】（1）證明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C=1∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝36°∴∠3＝∠1+∠A＝72°，∴∠1＝∠A，∠3＝∠C，∴AD＝BD，BD＝BC，∴△ABD與△BDC都是等腰三角形．（2）解：如下圖所示：（3）解：如圖所示：（4）解：特征一：直角三角形（直角邊不等）；特征二：2倍內(nèi)角關(guān)系，在△ABC中，∠A＝2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°；18．（2021?東營(yíng)期末）根據(jù)以下10個(gè)乘積，回答問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“□2﹣?2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個(gè)的思考過程；（2）將以上10個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n個(gè)乘積，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn為正數(shù)，a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＞b2＞b3＞…＞bn，且a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn，試由（1）、（2）猜測(cè)一個(gè)一般性的結(jié)論．（不要求證明）【解題思路】利用兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差的積，就是它們的平方差．如11×29；可想幾加幾等于29，幾減幾等于11，可得20+9和20﹣9，可得11×29＝202﹣92，同理思考其它的．【解答過程】解：（1）11×29＝202﹣92；12×28＝202﹣82；13×27＝202﹣72；14×26＝202﹣62；15×25＝202﹣52；16×24＝202﹣42；17×23＝202﹣32；18×22＝202﹣22；19×21＝202﹣12；20×20＝202﹣02．例如，11×29；假設(shè)11×29＝□2﹣〇2，因?yàn)椤?﹣〇2＝（□+〇）（□﹣〇）；所以，可以令□﹣〇＝11，□+〇＝29．解得，□＝20，〇＝9．故11×29＝202﹣92．（或11×29＝（20﹣9）（20+9）＝202﹣92．（2）這10個(gè)乘積按照從小到大的順序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（3）①若a+b＝40，a、b是自然數(shù)，則ab≤202＝400．②若a+b＝40，則ab≤202＝400．（8分）③若a+b＝m，a、b是自然數(shù)，則ab≤(④若a+b＝m，則ab≤(⑤若a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝an+bn＝40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|an﹣bn|，則a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．⑥若a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝an+bn＝m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，則a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．說明：給出結(jié)論①或②之一的得；給出結(jié)論③或④之一的得；給出結(jié)論⑤或⑥之一的得．19．（2021?浙江期末）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？【解題思路】（1）試著把28、2012寫成平方差的形式，解方程即可判斷是否是神秘?cái)?shù)；（2）化簡(jiǎn)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k的差，再判斷；（3）設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2k+1和2k﹣1，則（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，即可判斷兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)．【解答過程】解：（1）設(shè)28和2012都是“神秘?cái)?shù)”，設(shè)28是x和x﹣2兩數(shù)的平方差得到，則x2﹣（x﹣2）2＝28，解得：x＝8，∴x﹣2＝6，即28＝82﹣62，設(shè)2012是y和y﹣2兩數(shù)的平方差得到，則y2﹣（y﹣2）2＝2012，解得：y＝504，y﹣2＝502，即2012＝5042﹣5022，所以28，2012都是神秘?cái)?shù)．（2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），∴由2k+2和2k構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍．（3）設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2k+1和2k﹣1，則（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，即：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是4的倍數(shù)，是偶數(shù)倍，不滿足連續(xù)偶數(shù)的神秘?cái)?shù)為4的奇數(shù)倍這一條件．∴兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)．20．（2021?太原期末）閱讀下列材料，解決相應(yīng)問題：“友好數(shù)對(duì)”已知兩個(gè)兩位數(shù)，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后，得到兩個(gè)與原兩個(gè)兩位數(shù)均不同的新數(shù)，若這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積與交換位置后兩個(gè)新兩位數(shù)的乘積相等，則稱這樣的兩個(gè)兩位數(shù)為“友好數(shù)對(duì)”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68與34和86都是“友好數(shù)對(duì)”．（1）36和84是“友好數(shù)對(duì)”．（填“是”或“不是”）（2）為探究“友好數(shù)對(duì)”的本質(zhì)，可設(shè)“友好數(shù)對(duì)”中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，且a≠b；另一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，且c≠d，則a，b，c，d之間存在一個(gè)等量關(guān)系，其探究和說理過程如下，請(qǐng)你將其補(bǔ)充完整．解：根據(jù)題意，“友好數(shù)對(duì)”中的兩個(gè)數(shù)分別表示為10a+b和10c+d，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后兩個(gè)數(shù)依次表示為10b+a和10d+c．因?yàn)樗鼈兪怯押脭?shù)對(duì)，所以（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c）．即a，b，c，d的等量關(guān)系為：ac＝bd．（3）請(qǐng)從下面A、B兩題中任選一題作答，我選擇B題．A．請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粚?duì)“友好數(shù)對(duì)”，與本題已給的“友好數(shù)對(duì)”不同．B．若有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為x+2，個(gè)位數(shù)字為x，另一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字為x+2，個(gè)位數(shù)字為x+8．且這兩個(gè)數(shù)為“友好數(shù)對(duì)”，直接寫出這兩個(gè)兩位數(shù)．【解題思路】（1）計(jì)算36×84和63×48，根據(jù)定義判斷；（2）利用“十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字×1”表達(dá)出交換后的兩位數(shù)，結(jié)合友好數(shù)對(duì)的的定義列出等量關(guān)系，并化簡(jiǎn)；（3）A、結(jié)合（2）中的等量關(guān)系ac＝bd寫出新的“友好數(shù)對(duì)”；B、根據(jù)“ac＝bd”得（x+2）（x+2）＝x（x+8），解方程得到x，寫出兩個(gè)兩位數(shù)．【解答過程】解：（1）∵36×84＝3024，63×48＝3024，∴36×84＝63×48，∴36和84是友好數(shù)對(duì)．故答案為：是．（2）∵一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b；另一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，∴交換后十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為a，另一個(gè)的十位數(shù)字為d，個(gè)位數(shù)字為c，∴兩個(gè)數(shù)依次表示為10b+a，10d+c，∵這兩個(gè)數(shù)是友好數(shù)對(duì)，∴（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），化簡(jiǎn)得：ac＝bd．故答案為：10b+a，10d+c，（10b+a）（10d+c），ac＝bd．（3）選A，根據(jù)ac＝bd，可列舉31和39，13和93，12和42，21和24，???只要滿足十位數(shù)字之積等于個(gè)位數(shù)字之積，且同一個(gè)數(shù)的個(gè)位與十位不同即可，答案不唯一．選B，由（2）得：（x+2）（x+2）＝x（x+8），解得：x＝1，∴兩個(gè)兩位數(shù)為：31和39．選A或選B都可以，只要滿足“友好數(shù)對(duì)”的定義即可．故答案為：A或B．21．（2021?九龍坡區(qū)期末）甲、乙兩商場(chǎng)自行定價(jià)銷售某一商品．（1）甲商場(chǎng)將該商品提價(jià)15%后的售價(jià)為1.15元，則該商品在甲商場(chǎng)的原價(jià)為1元；（2）乙商場(chǎng)將該商品提價(jià)20%后，用6元錢購(gòu)買該商品的件數(shù)比沒提價(jià)前少買1件，求該商品在乙商場(chǎng)的原價(jià)是多少？（3）甲、乙兩商場(chǎng)把該商品均按原價(jià)進(jìn)行了兩次價(jià)格調(diào)整．甲商場(chǎng)：第一次提價(jià)的百分率是a，第二次提價(jià)的百分率是b；乙商場(chǎng)：兩次提價(jià)的百分率都是a+b2請(qǐng)問甲、乙兩商場(chǎng)，哪個(gè)商場(chǎng)的提價(jià)較多？請(qǐng)說明理由．【解題思路】（1）靈活利用利潤(rùn)公式：售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)＝利潤(rùn)，直接填空即可；（2）設(shè)該商品在乙商場(chǎng)的原價(jià)為x元，根據(jù)提價(jià)20%后，用6元錢購(gòu)買該商品的件數(shù)比沒提價(jià)前少買1件，即可列方程求解．（3）假設(shè)原價(jià)均為1元，分別求出甲、乙兩商場(chǎng)提價(jià)后的代數(shù)式，比較大小即可求解．【解答過程】解：（1）1.15÷（1+15%）＝1（元）；（2）設(shè)該商品在乙商場(chǎng)的原價(jià)為x元，則6x解得x＝1．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝1滿足方程，符合實(shí)際．答：該商品在乙商場(chǎng)的原價(jià)為1元．（3）假設(shè)原價(jià)均為1元，則甲商場(chǎng)兩次提價(jià)后的價(jià)格為：（1+a）（1+b）＝1+a+b+ab．乙商場(chǎng)兩次提價(jià)后的價(jià)格為：（1+a+b∵(a+b∴乙商場(chǎng)兩次提價(jià)后價(jià)格較多．22．（2021?天津期末）某企業(yè)有九個(gè)生產(chǎn)車間，現(xiàn)在每個(gè)車間原有的成品一樣多，每個(gè)車間每天生產(chǎn)的成品也一樣多，有A、B兩組檢驗(yàn)員，其中A組有8名檢驗(yàn)員．他們先用兩天將第一、二兩個(gè)車間的成品檢驗(yàn)完畢后，再去檢驗(yàn)第三、四兩個(gè)車間所有成品，又用去了三天時(shí)間；同時(shí)，用這五天時(shí)間，B組檢驗(yàn)員也檢驗(yàn)完余下的五個(gè)車間的成品，如果每個(gè)檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度一樣快，每個(gè)車間原有的成品為a件，每個(gè)車間每天生產(chǎn)b件成品．（1）用a、b表示B組檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的成品總數(shù)；（2）求B組檢驗(yàn)員的人數(shù)．【解題思路】（1）B組檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的成品總數(shù)＝余下五個(gè)車間原有的成品+這5天新生產(chǎn)的成品；（2）工作效率＝工作總量÷檢驗(yàn)的人數(shù)，根據(jù)“每個(gè)檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度一樣快”，可用這個(gè)等量關(guān)系來列方程．【解答過程】解：（1）5a+25b；答：B組檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的成品總數(shù)為5a+25b；（2）∵每個(gè)檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度一樣，∴2a+4b8×2解得a＝4b，即每個(gè)檢驗(yàn)員速度為：2a+4b8×2B組檢驗(yàn)員人數(shù)為：5a+25b3答：B組檢驗(yàn)員的人數(shù)為12人．23．（2021?遂寧期末）如圖，小剛家、王老師家和學(xué)校在一條直路上，小剛與王老師家相距3.5千米，王老師家與學(xué)校相距0.5千米．近來，小剛父母出差，如果王老師騎自行車到小剛家接小剛上學(xué)，就比平時(shí)走路上班多用24分鐘．已知騎自行車的速度是步行速度的3倍．（1）問：王老師騎自行車的速度是多少千米/小時(shí)？（2）為了節(jié)約時(shí)間，王老師與小剛約定每天7：35從家里同時(shí)出發(fā)，小剛走路，王老師騎車，遇到小剛后，立即搭小剛到校．如果小剛和王老師走路的速度一樣，王老師騎車的速度不變，請(qǐng)問他們能否在8：00鐘前趕到學(xué)校？說明理由．【解題思路】（1）等量關(guān)系為：王老師騎車接小剛用的時(shí)間﹣直接騎車用的時(shí)間＝24分鐘；（2）兩個(gè)等量關(guān)系：王老師相遇前走的路程+小剛相遇前走的路程＝3.5千米；（王老師相遇后走的路程+0.5千米）÷騎車的速度＝相遇后到校的時(shí)間，列方程組求解即可．【解答過程】解：（1）設(shè)王老師騎自行車的速度為x千米/時(shí)．由題意得：3.5×2+0.5x解得：x＝15．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝15是原方程的解，且符合題意．（未寫檢驗(yàn)不扣分）∴王老師騎自行車的速度為15千米/小時(shí)；（2）答：能在8：00前趕到學(xué)校．設(shè)王老師與小剛相遇用了y小時(shí)，相遇后接小剛到校用了z小時(shí)．則由題意可得：5y+15y=3.515y+0.5解得：y=752446120∴能在8：00鐘前趕到學(xué)校．答：能在8：00前趕到學(xué)校．24．（2021?泉州期末）周末某班組織登山活動(dòng)，同學(xué)們分甲，乙兩組從山腳下沿著一條道路同時(shí)向山頂進(jìn)發(fā)，設(shè)甲，乙兩組行進(jìn)同一路段所用的時(shí)間之比2：3．（1）直接寫出甲、乙兩組行進(jìn)速度之比；（2）當(dāng)甲組到達(dá)山頂時(shí)，乙組行進(jìn)到山腰A處，且A處離山頂?shù)穆烦躺杏?.2千米，試問山腳離山頂?shù)穆烦逃卸噙h(yuǎn)？（3）在題（2）所述內(nèi)容（除最后的問句處）的基礎(chǔ)上，設(shè)乙組從A處繼續(xù)登山，甲組到達(dá)山頂后休息片刻，再?gòu)脑废律剑⑶以谏窖麭處與乙組相遇，請(qǐng)你先根據(jù)以上情景提出一個(gè)相應(yīng)的問題，再給予解答．（要求：①問題的提出不需再增添其它條件；②問題的解決必須利用上述情景提供的所有書面條件．）【解題思路】（1）當(dāng)路程相等時(shí)，速度與時(shí)間成反比，所以甲，乙兩組行進(jìn)同一路段所用的時(shí)間之比為2：3時(shí)，速度之比為3：2．（2）當(dāng)時(shí)間一定相同時(shí)，路程與速度成正比，所以甲所走路程即全程和全程﹣1.2（乙的路程）之間的比值等于速度之比3：2，所以據(jù)此可列方程．（3）沒有固定答案，但是不論怎樣提問都不能違背題中已知條件．【解答過程】解：（1）當(dāng)路程相等時(shí)，速度與時(shí)間成反比，所以甲、乙速度之比為3：2．（2）當(dāng)時(shí)間一定相同時(shí)，路程與速度成正比；所以設(shè)山腳離山頂?shù)穆烦虨閤千米．根據(jù)題意，得：xx?1.2解得：x＝3.6．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝3.6是原方程的解．答：山腳離山頂?shù)穆烦逃?.6千米．（3）所提問題為：“B處離山頂最遠(yuǎn)為多少千米？”設(shè)B處離山頂?shù)穆烦虨閟千米，則甲組所走的路程為s千米，乙組所走的路程為（1.2﹣s）千米．根據(jù)題意，得：s1.2?s解得：s＝0.72．經(jīng)檢驗(yàn)：s＝0.72是原方程的解，且符合題意．25．（2021?河南期末）如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是DE∥AC；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1＝S2．（2）猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E（如圖4）．若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF＝S△BDE，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)．【解題思路】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD＝60°，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC＝AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=1（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝CE，AC＝CD，再求出∠ACN＝∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN＝DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；【解答過程】解：（1）①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC=1∴BD＝AD＝AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1＝S2；故答案為：DE∥AC；S1＝S2；（2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，∠ACN=∠DCM∠CMD=∠N=90°∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1＝S2；26．（2021?昌平區(qū)期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=1【解題思路】（1）可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換．延長(zhǎng)EB到G，使BG＝DF，連接AG．目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF轉(zhuǎn)換成GE，那么這樣EF＝BE+DF了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵．三角形ABE和AEF中，只有一條公共邊AE，我們就要通過其他的全等三角形來實(shí)現(xiàn)，在三角形ABG和AFD中，已知了一組直角，BG＝DF，AB＝AD，因此兩三角形全等，那么AG＝AF，∠1＝∠2，那么∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF=1（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過證明三角形ABG和ADF全等中，證明∠ABG＝∠ADF時(shí)，用到的等角的補(bǔ)角相等，其他的都一樣．因此與（1）的結(jié)果完全一樣．（3）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．【解答過程】證明：（1）延長(zhǎng)EB到G，使BG＝DF，連接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF=1∴∠GAE＝∠EAF．又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的結(jié)論EF＝BE+FD仍然成立．（3）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE﹣FD．證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．