湖北省宜昌市高三4月調研考試數(shù)學（理）試題

宜昌市2018屆高三4月調研考試數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）第Ⅰ卷選擇題（60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確的答案填涂在答題卡上.1.設全集，集合，，則（）A．B．C．D．2.若復數(shù)是純虛數(shù)，其中是實數(shù)，則（）A．B．C．D．3.下列命題正確的是（）A．命題“”為假命題，則命題與命題都是假命題；B．命題“若，則”的逆否命題為真命題；C．“”是“”成立的必要不充分條件；D．命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”.4.已知隨機變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為（）注：，.A．6038B．6587C．70285.已知數(shù)列滿足，且，則（）A．3B．3C．D．6.《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已知“塹堵”的所有頂點都在球的球面上，且，若球的表面積為，則這個三棱柱的體積是（）A．B．C．D．17.偶函數(shù)和奇函數(shù)的圖象如圖所示，若關于的方程，的實根個數(shù)分別為、，則（）A．16B．14C．12D．108.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果是（）A．14B．15C．16D．179.已知，若，則（）A．5B．-20C．15D．3510.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）A．B．C．D．1211.已知雙曲線：的左、右焦點分別為、，為坐標原點，以為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限的交點分別為、，點為圓與軸正半軸的交點，若，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．12.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非選擇題（90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卷的橫線上.13.平面向量，，若向量與共線，則．14.設橢圓的右焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為．15.已知，滿足不等式組，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．16.設數(shù)列滿足，，若使得，則正整數(shù)．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.已知向量，，若，且函數(shù)的圖象關于直線對稱.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式，并求的單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）在中，角、、的對邊分別為、、，若，且，，求外接圓的面積.18.如圖，在直三棱柱中，，，點為棱的中點，點為線段上一動點.（Ⅰ）求證：當點為線段的中點時，平面；（Ⅱ）設，試問：是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，求出這個實數(shù)；若不存在，請說明理由.19.中的“運動”具有這樣的功能，不僅可以看自己每天的運動步數(shù)，還可以看到朋友圈里好友的步數(shù).小明的朋友圈里有大量好友參與了“運動”，他隨機選取了其中30名，其中男女各15名，記錄了他們某一天的走路步數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：步步數(shù)性別男02472女13731（Ⅰ）以樣本估計總體，視樣本頻率為概率，在小明朋友圈里的男性好友中任意選取3名，其中走路步數(shù)低于7500步的有名，求的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步數(shù)超過7500步，此人將被“運動”評定為“積極型”，否則為“消極型”.根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關？積極型消極型總計男女總計附：.0.100.050.0250.012.7063.8415.0246.63520.已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線：的焦點，與拋物線相交于、兩點，且.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）過點的兩條直線、分別交拋物線于點、和、，線段和的中點分別為、.如果直線與的傾斜角互余，求證：直線經(jīng)過一定點.21.已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）若，求證：.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.[選修44：坐標系與參數(shù)方程]在極坐標系中，已知圓的圓心為，半徑為.以極點為原點，極軸方向為軸正半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）.（Ⅰ）寫出圓的極坐標方程和直線的普通方程；（Ⅱ）若直線與圓交于、兩點，求的最小值.23.[選修45：不等式選講]設不等式的解集為.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

宜昌市2018屆高三4月調研考試數(shù)學（理科）參考答案一、選擇題15:CBBBA610:CDCAC11、12：DC二、填空題13.14.15.16.三、解答題17.解：（Ⅰ），∵函數(shù)的圖象關于直線對稱，∴，，∴，，又，∴.∴.∵函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，.令，∴.∴的單調遞減區(qū)間為，.（Ⅱ）∵，∴.∵，∴，∴，∴.在中，由余弦定理得，∴.由正弦定理得，∴，∴.18.（Ⅰ）證明：法1：連接、，顯然、、三點共線.∵點、分別為和的中點，∴；在直三棱柱中，，∴平面，∴，又，∴四邊形為正方形，∴，∵、平面，∴平面，而，∴平面.法2：（用向量法同等給分）.（Ⅱ）解：以為原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，連接、，設，∵，∴，∴，∴.當點在線段上運動時，∴平面的法向量即為平面的法向量，設平面的法向量為，由得，令得，設平面的法向量為，由得，令得，取，∵，∴，∴或.19.解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意選取1名，其中走路步數(shù)低于7500的概率為.可能取值分別為0，1，2，3，∴，，，，積極型消極型總計男9615女41115總計131730的分布列為0123則.（Ⅱ）完成列聯(lián)表的觀測值.據(jù)此判斷沒有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關.20.解：（Ⅰ）由題意可設直線的方程為，令，.聯(lián)立得，∴，根據(jù)拋物線的定義得，又，又，∴，∴.則此拋物線的方程為.（Ⅱ）設直線、的傾斜角分別為、，直線的斜率為，則.由于直線與的傾斜角互余，則，則直線的斜率為.于是直線的方程為，即，聯(lián)立得，∴，則，∴，同理將換成得：，∴.則直線的方程為，即，顯然當，.所以直線經(jīng)過定點.21.解：（Ⅰ），∵，在上恒成立，即在上單調遞減.當時，由，得；由，得；綜上：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（Ⅱ）令，則，由于，設，，由，所以在上單調遞增；由，所以在上單調遞減.∴（因為），從而.則在上單調遞減；在上單調遞增，∴，設，，，在上遞減，∴；∴，故.說明：判斷的符號時，還可以用以下方法判斷：由得到，設，，當時，；當時，.從而在上遞減，在上遞