2024-2025學(xué)年貴州省六盤水市高三上冊(cè)第二次診斷性監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年貴州省六盤水市高三上學(xué)期第二次診斷性監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1，答題前，務(wù)必在答題卡上填寫姓名和考號(hào)等相關(guān)信息并貼好條形碼.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知全集，則（）A.2 B.C. D.【正確答案】D【分析】用列舉法表示集合，再利用補(bǔ)集、交集的定義求出.【詳解】依題意，，而，則，所以.故選：D2.聲強(qiáng)級(jí)（單位：）由公式給出，其中I為聲強(qiáng)（單位：），若某人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)為，則其聲強(qiáng)約為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用給定的公式代入計(jì)算即得.【詳解】由，，得，所以.故選：C3.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，逆用差角的正弦公式求出，再利用二倍角公式計(jì)算即得.【詳解】由，得，則，即，，解得，所以.故選：C4.定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】利用的奇偶性與單調(diào)性求得的解集，從而利用充分必要條件的判定方法即可得解.【詳解】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，又，則，故對(duì)于，有或，所以或，則“”推不出“”，而“”推得出“”，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知數(shù)列首項(xiàng)，且，則（）A.810 B.820 C.830 D.840【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用累加法、結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列中，，，則.故選：B6.若是兩個(gè)相互垂直的單位向量，，則在上的投影向量為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】借助投影向量公式結(jié)合數(shù)量積公式與模長公式計(jì)算即可得.【詳解】，即在上的投影向量為.故選：C.7.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，，，則（）A.0 B.2 C.4 D.6【正確答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與、、的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算可得.【詳解】由題設(shè)，，，，所以問題可轉(zhuǎn)化為與、、的交點(diǎn)問題，函數(shù)圖象如下：因?yàn)榕c關(guān)于對(duì)稱，而與互相垂直，所以，，則.故選：A8.已知三點(diǎn)，點(diǎn)P為內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用兩點(diǎn)距離公式判斷得，進(jìn)而利用三角形等面積法求得內(nèi)切圓的半徑，再利用直線與圓相切的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求得內(nèi)切圓的圓心，從而利用點(diǎn)線距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，則，故，所以，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，解得，又由可知軸，故，則，由可知軸，故，則，所以內(nèi)切圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線的最小距離為.故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用兩點(diǎn)距離公式發(fā)現(xiàn)是直角三角形，進(jìn)而求得內(nèi)切圓的半徑，從而得解.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，則（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】作差判斷A；舉例說明判斷BD；利用不等式的性質(zhì)判斷C.【詳解】，對(duì)于A，，則，A正確；對(duì)于B，取，滿足，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因此，C正確；對(duì)于D，，取，滿足，而，D錯(cuò)誤.故選：AC10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則（）A.為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5【正確答案】ACD【分析】利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，進(jìn)而利用三角函數(shù)的對(duì)稱性判斷A，同時(shí)判斷B，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與整體法判斷C，利用三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合判斷D，從而得解.【詳解】對(duì)于A，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象，則，所以為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，對(duì)于，其周期為，最大值為，令，則，令，則，且，因?yàn)榈亩x域?yàn)?,+∞，且，作出與在上的大致圖象，如圖，結(jié)合圖象可知，的與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，故D正確.故選：ACD.11.正方體的棱長為1，平面截此正方體，且正方體每條棱所在直線與平面所成角相等，則（）A.正方體每條棱與平面所成角余弦值為B.平面截此正方體所得截面的最大面積為C.平面截此正方體所得截面可能為五邊形D.過頂點(diǎn)A作直線l，使得l與直線所成角相等，這樣的直線l有4條【正確答案】ABD【分析】利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，確定平面?的位置情況，求解判斷AB；借助圖形變換說明判斷C；利用空間向量線線角的求法求解判斷D.【詳解】正方體12條棱，共3組平行的棱，由相互平行的直線與平面所成的角是相等的，得平面只需與共點(diǎn)的3條棱所成的角都相等即可，不妨取共點(diǎn)的3條棱，連接，在正方體中，三棱錐是正三棱錐，側(cè)棱與平面所成的角都相等，則平面與平面平行或重合，對(duì)于A，令正的中心為，連接，則平面，是棱與平面所成的角，，，A正確；對(duì)于B，連接，則，由平面，平面，得，而平面，則平面，又平面，于，同理，而平面，因此平面，即，同理平面，令平面，當(dāng)線段與平面的交點(diǎn)在線段上（不含點(diǎn)），平面與正方體的6個(gè)面都相交，則平面截此正方體所得截面為六邊形，由正方體的對(duì)稱性知，當(dāng)平面過該正方體的中心，即線段的中點(diǎn)時(shí)，所得截面面積最大，此截面為正六邊形，邊長，因此平面截此正方體所得截面的最大面積為，B正確；對(duì)于C，當(dāng)線段與平面的交點(diǎn)在線段或（不含點(diǎn)）上時(shí)，平面只與正方體共點(diǎn)或的3個(gè)面都相交，平面截此正方體所得截面為三角形，結(jié)合選項(xiàng)B，知平面截此正方體所得截面為三角形或六邊形，不可能為五邊形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，由l與直線所成角相等，知不可能垂直于，設(shè)直線的方向向量為，而，則，于是，即，因此或或或，直線l有4條，D正確.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于選項(xiàng)D，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角的向量求法求解是解題的關(guān)鍵.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，則_________．【正確答案】【分析】計(jì)算出后，借助復(fù)數(shù)模長公式計(jì)算即可得解.【詳解】，則.故答案為.13.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)去三個(gè)不同的地方參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)地方至少有一名同學(xué)參與，且每人只能去一個(gè)地方，則一共有_________種不同的分配方案（用數(shù)字作答）【正確答案】【分析】先分成三組，再對(duì)三組進(jìn)行分配即可得.【詳解】先將四名同學(xué)分成人、人、人三組，則有種分法，再將三組人隨機(jī)分配至三個(gè)不同的地方有種分法，故共有種不同分配方案.故答案為.14.已知函數(shù)，若恒成立，則mn的最大值為_________．【正確答案】【分析】將不等式等價(jià)變形為恒成立，構(gòu)造函數(shù)可得，再按分類探討，借助導(dǎo)數(shù)求出最小值可得，然后構(gòu)造函數(shù)求出最大值.【詳解】函數(shù)的定義域都為R，不等式，依題意，對(duì)任意，成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值域?yàn)镽，不符合題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則，；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，因此，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以mn的最大值為.故方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立與有解問題的求解策略：①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）當(dāng)時(shí)，求外接圓的面積；（2）求的最小值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理的推論求得，進(jìn)而求得，再利用正弦定理求得外接圓的半徑，從而得解；（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式并檢驗(yàn)即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，，則，所以，又，所以，設(shè)外接圓的半徑為，則，故，所以外接圓的面積為.【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，滿足，即為直角三角形，所以的最小值為.16.如圖甲，在梯形中，，為AB中點(diǎn)．將沿DE折起到位置，連接，，得到如圖乙所示的四棱錐．（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定推理得證.（2）由（1）結(jié)合二面角大小可得正，取的中點(diǎn)，利用線面垂直的判定性質(zhì)、面面垂直的判定性質(zhì)求出點(diǎn)到平面的距離即可.【小問1詳解】在梯形中，，則四邊形為平行四邊形，而，則是矩形，即，在四棱錐中，，而平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，是二面角的平面角，即，又，則是正三角形，取的中點(diǎn)，連接，，則有，又平面，于是平面，而，則平面，又平面，則平面平面，在平面內(nèi)過作于，而平面平面，因此平面，又，平面，平面，所以平面，于是點(diǎn)到平面的距離等于，而，由（1）知，平面，則平面，又平面，則，而，則，，所以點(diǎn)到平面的距離為.17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類求出單調(diào)區(qū)間.（2）將不等式恒成立作等價(jià)變形，在時(shí)分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，再對(duì)討論即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.【小問2詳解】不等式，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即；依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，于是，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18.已知雙曲線的虛軸長為，離心率為，分別為的左、右頂點(diǎn)，直線交的左、右兩支分別于，兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）記斜率分別為，若，求的值．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可求得C的方程.（2）設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式及建立方程即可求出值.【小問1詳解】依題意，，由雙曲線的離心率為，得，即，解得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】由（1）知，，設(shè)點(diǎn)，，由消去得，由已知，，且，所以，所以，，而，由，得，即，整理得，即，則，即，于是，要恒成立，則，解得，滿足，所以.思路點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線結(jié)合問題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再根據(jù)題目條件列出方程，或得到弦長或面積，本題中已經(jīng)給出等量關(guān)系，只需代入化簡整理即可.19.中國涼都·六盤水，是全國唯一用氣候特征命名的城市，其轄區(qū)內(nèi)有牂牁江及烏蒙大草原等景區(qū)，每年暑假都有大量游客來參觀旅游．為了合理配置旅游資源，文旅部門對(duì)來牂牁江景區(qū)游覽的游客進(jìn)行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中的人選擇只游覽牂牁江，另外的人選擇既游覽牂牁江又游覽烏蒙大草原．每位游客若選擇只游覽群牁江，則記1分；若選擇既游覽牂阿江又游覽烏蒙大草原，則記2分．假設(shè)游客之間的旅游選擇意愿相互獨(dú)立，視頻率為概率．（1）從游客中隨機(jī)抽取2人，記這2人的合計(jì)得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）從游客中隨機(jī)抽取n個(gè)人，記這n個(gè)人的合計(jì)得分恰為分的概率為，求；（3）從游客中隨機(jī)抽取若干人，記這些人的合計(jì)得分恰為n分的概率為，隨著抽取人數(shù)的無限增加，是否趨近于某個(gè)常數(shù)？若是，求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由．【正確答案】（1）分布列見解析，（2）（3）趨近于常數(shù).【分析】（1）根據(jù)題意得到變量的可能取值為，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望.（2）由這人的合計(jì)得分為分，得到，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減法求和，即可求解.（3）記“合計(jì)得分”為事件，“合計(jì)得分”為事件，得到，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到答案.【小問1詳解】依題意，隨機(jī)變量的可能取值為，則，，所以的分布列如下表所示：234數(shù)學(xué)期望為.【小問2詳解