2024-2025學年安徽省合肥市高三上冊第五次限時作業(yè)數(shù)學質量檢測試題（含解析）

2024-2025學年安徽省合肥市高三上學期第五次限時作業(yè)數(shù)學質量檢測試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知，則“冪函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)”是“指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則不可能滿足的關系是A． B． C． D．4．已知，則的值是（

）A． B． C． D．5．常用放射性物質質量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做半衰期，記為（單位：天）．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質，其半衰期分別為．開始記錄時，這兩種物質的質量相等，512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質量為甲的質量的，則滿足的關系式為（

）A． B．C． D．6．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．若關于的方程恰有4個不相等實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．若正實數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9．若，則的可能值為（

）A． B．C． D．10．若正整數(shù)，只有1為公約數(shù)，則稱，互質.對于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)以其首位研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．，11．已知定義域為的函數(shù)滿足，f′x為的導函數(shù)，且，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．C．D．對，，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．化簡求值：.13．設函數(shù)的最大值為M，最小值為m，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為.14．設三次函數(shù)，若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線重合，則．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．求下列各式的值：(1)；(2).(3)已知，且，求的最小值.16．如圖，設與為兩個正三棱錐，底面的邊長為，且平面.(1)當多面體體積最小時，求棱的長；(2)若平面與平面的夾角為，求的最大值.17．已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)討論零點的個數(shù)．18．已知函數(shù)，.(1)討論的單調性；(2)若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.19．定理

如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，那么在開區(qū)間內至少存在一點，使得，這個定理稱為微分中值定理，也稱為拉格朗日中值定理.定理表明，如果函數(shù)的圖象是閉區(qū)間上的一條連續(xù)曲線，且當時，曲線上的每點都存在切線，那么，在曲線上至少存在一點，使得該曲線在這一點處的切線平行于曲線兩個端點的連線，如圖所示.(1)已知，為函數(shù)圖象位于之間的部分上的一點，其中為坐標原點，求點到直線的距離的最大值；(2)如果，證明.(3)如果函數(shù)在內可導，且對于任意的，都有f′x<0，證明：函數(shù)在內單調遞減.1．D【分析】解不等式化簡集合，求出函數(shù)的定義域化簡集合，再利用補集、交集的定義求解.【詳解】解不等式，得或，則或，，函數(shù)有意義，則，即，所以.故選：D2．B【分析】利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性，再結合必要不充分條件的定義即可得到答案.【詳解】若冪函數(shù)在0,+∞上是增函數(shù)，則，，若指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，則，因為“”是“”的必要不充分條件，則“冪函數(shù)在0,+∞上是增函數(shù)”是“指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.3．D【分析】由可得，從而可得，故，然后對給出的四個選項分別進行判斷即可得到結論．【詳解】∵，∴，∴，整理得．對于A，由于，解得，所以A成立．對于B，由于，解得，所以B成立．對于C，，所以C成立．對于D，由于，所以，因此D不成立．故選D．本題考查對數(shù)、指數(shù)的轉化及基本不定式的變形及其應用，解題時注意不等式的應用，同時也要注意不等式所需的條件，即“一正、二定、三相等”．4．D【分析】先由求得，再利用正弦倍角公式及齊次分式求解即可.【詳解】，即，整理得，..故選：D.5．B【分析】設開始記錄時，甲乙兩種物質的質量均為1，可得512天后甲，乙的質量，根據(jù)題意列出等式即可得答案．【詳解】設開始記錄時，甲乙兩種物質的質量均為1，則512天后，甲的質量為：，乙的質量為：，由題意可得，所以．故選：B．6．B【分析】對，，取對數(shù)，探求它們的結構特征，構造函數(shù)()，借助導數(shù)判斷單調性即可作答.【詳解】對，，取對數(shù)得：，，，令()，，令，，即在上單調遞增，由得，，于是得，又，因此，，即在上單調遞增，從而得，即，，所以.故選：B思路點睛：某些數(shù)或式大小關系問題，看似與函數(shù)的單調性無關，細心挖掘問題的內在聯(lián)系，抓住其本質，構造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.7．B【分析】由題意首先將所給的方程進行恒等變形，然后換元之后將其轉化為二次函數(shù)根的分布的問題，最后求解關于實數(shù)a的不等式組即可確定實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題可轉化為，令，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，當時，，做出函數(shù)的圖象如圖所示，結合題意可知：要使原方程恰有4個不相等的實數(shù)根，則，且關于的方程在有兩個不相等的實數(shù)根，即在有兩個不同的零點，則∴，解得，表示為區(qū)間形式即.故選：B.本題主要考查導數(shù)研究函數(shù)的單調性，導數(shù)研究函數(shù)零點個數(shù)問題等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.8．D【分析】根據(jù)函數(shù)單調性及得到或，分別討論兩種情況下四個選項是否正確，A選項可以用對數(shù)函數(shù)單調性得到，B選項可以用作差法，C選項用作差法及指數(shù)函數(shù)單調性進行求解，D選項，需要構造函數(shù)進行求解.【詳解】因為，為單調遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當時，，此時；，故；，；當時，，此時，，故；，；故ABC均錯誤；D選項，，兩邊取自然對數(shù)，，因為不管，還是，均有，所以，故只需證即可，設（且），則，令（且），則，當時，，當時，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調遞減，因為，所以，結論得證，D正確故選：D9．ACD【分析】先證明，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質即可得到答案.【詳解】由，知.所以的可能值為或，從而選項A，C，D正確，選項B錯誤.故選：ACD.10．AC【分析】對于AC：利用歐拉函數(shù)定義求解判斷；對于BD：舉反例說明即可.【詳解】對于選項A：小于或等于的正整數(shù)中與互質的正整數(shù)為，，，，小于或等于的正整數(shù)中與互質的正整數(shù)為，，，，因為，故A正確；對于選項B：因為當時，，故B錯誤；對于選項C：小于或等于的正整數(shù)中與互質的正整數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，共有個，所以，故C正確；對于選項D：當時，因為，故D不正確；故選：AC11．ABC【分析】利用賦值法可判斷A；利用賦值法并對函數(shù)求導，可判斷B；將變形為形式，利用柯西方程可求得，代入求值，即可判斷C；結合，利用作差法可判斷D.【詳解】由題意定義域為的函數(shù)滿足令，則，令，則，即，故為奇函數(shù)，A正確；由于f?x=?fx，故，即則f′x為偶函數(shù)，由可得，由，令得，故，令，則，B正確；又，則，令，則，由柯西方程知，，故，則，由于，故，即，則，C正確；對,故，D錯誤，故選：ABC.12．【分析】直接利用二倍角公式、降冪公式和誘導公式化簡求解即可【詳解】解：，故13．1函數(shù)，然后根據(jù)奇偶性的性質可求解，然后得出的值.【詳解】函數(shù)，令，則，即為奇函數(shù)，故所以，所以.故答案為.本題考查函數(shù)的奇偶性及應用，難度一般，靈活轉化是關鍵.14．【分析】根據(jù)條件，由兩條切線重合解得的解析式，進而得到的值.【詳解】由題知：，∴，在處的切線為，即，∵，，∴在處的切線方程為：又因為兩條切線重合，∴，∴，又∵，∴，∴解得∴，，∴.故答案為.15．(1)(2)(3)【分析】（1）利用分數(shù)指數(shù)冪計算即可.（2）利用對數(shù)的運算法則與換底公式計算即可.（3）化解，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】（1）原式.（2）原式.（3）由題意，，則，當且僅當，即取等號.所以的最小值為.16．(1)(2)【分析】（1）利用平面平面得，在中，由射影定理可得，設，則，利用基本不等式求最小值即可；（2）建立空間直角坐標系，由（1）知是平面的一個法向量，設平面的法向量n=a,b,c，利用面面角的向量坐標公式，結合基本不等式可求最大值.【詳解】（1）如圖所示，連接交平面于點，取的中點，連接，在正三棱錐和中，和是等腰三角形，所以，，因為平面平面，平面平面，所以，在直角中，由射影定理可得，由等邊的邊長為，易得，設，則，所以，當且僅當時，等號成立；此時多面體體積最小，在直角中，解得.（2）以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，過點作平面的垂線記為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系；則，，，所以，，由（1）可知平面，則是平面的一個法向量，設平面的法向量n=a,b,c則，即，取，則，，則，所以，當且僅當，即時，等號成立；所以的最大值為.17．(1)答案見解析；(2)答案見解析；【分析】（1）討論、，結合導數(shù)研究的單調性.（2）由（1）所得的單調區(qū)間，討論m，結合零點存在性定理判斷的零點個數(shù).【詳解】（1）由，∴當時，，即在定義域上遞增；當時，上，上，∴在上遞減，上遞增.（2）當時，在定義域上遞增，又，趨于負無窮，∴此時，只有一個零點；當時，，此時無零點；當時，在上遞減，上遞增，∴的極小值為，又，趨向正無窮時趨于正無窮大，令且，則，即遞減，又，∴時，有兩個零點.若，即時，有一個零點.若，即時，無零點.綜上，或時有一個零點，或時無零點，時有兩個零點.關鍵點點睛：第二問，討論參數(shù)，并結合其單調性、極值判斷的零點情況.18．(1)在上單調遞增，在上單調遞減(2)【分析】（1）求出導函數(shù)，利用的范圍，判斷導函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調區(qū)間即可.（2）不等式等價于在上恒成立，構造函數(shù)，通過函數(shù)的導數(shù)，利用二次函數(shù)的性質，說明極值點一正一負，設函數(shù)，利用導函數(shù)，結合函數(shù)的單調性，轉化求解的范圍即可.【詳解】（1）解：（1）因為的定義域為，且.①若，則，所以在上單調遞增.②若，令，得.當時，；當時，.所以在上單調遞增，在上單調遞減.（2）（2）不等式在上恒成立等價于在上恒成立，令，則.對于函數(shù)，，所以其必有兩個零點.又兩個零點之積為-1，所以兩個零點一正一負，設其中一個零點，則，即.此時在上單調遞增，在上單調遞減，故，即.設函數(shù)，則.當時，；當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增.又，所以.由在上單調遞增，得.故的取值范圍為.19．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）先證明點到直線的距離不超過，再給出點到直線的