對圓錐曲線教學(xué)的研究

[13]。4.4射影幾何中的圓錐曲線射影幾何中橢圓、雙曲線、拋物線本質(zhì)上是一個東西。那么我們在學(xué)習(xí)時，只知道拋物線有準線，但實際上橢圓和雙曲線也有準線，那么我們根據(jù)射影幾何中的對圓錐曲線的理解就可得到橢圓長軸的兩邊和雙曲線實軸的里邊存在著準線。平面幾何中，點與直線的地位不平等；在射影幾何中點與直線的地位是平等的，并且任意點和直線之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，即極點極線，為圓錐曲線性質(zhì)的研究尤其是定值定點問題的研究提供了強大的幾何背景。圓錐曲線的一個焦點與相應(yīng)準線就是該圓錐曲線下的一個極點與極線的對應(yīng)；圓錐曲線上一點和該點處的切線也是在該圓錐曲線下的一個極點與極線的對應(yīng)。4.5光學(xué)中的圓錐曲線圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)可以用物理的方法來證明。觀察圖像不管P在哪，兩條線與切線的夾角剛好一樣。已知PF1+PF2=2a距離之和固定，也就是說P點隨便動一動，L1變長多少，L2圖4.5.15圓錐曲線與方程單元的教材內(nèi)容分析5.1教材內(nèi)容分析以2019版人教A版為基礎(chǔ)進行分析。（1）橢圓的定義及方程：利用兩釘一線畫法引入橢圓，進而得到控制橢圓具體形狀的兩個定值長軸2a和焦距2c。根據(jù)這兩個定值和橢圓的形狀特點建系坐標系，采用二次平方法得到橢圓的標準方程。緊接著介紹圓與橢圓之間的拉伸壓縮關(guān)系（仿射變換）和橢圓的第三定義（頂點與斜率定義）。（2）橢圓的幾何性質(zhì)：教材從范圍、對稱性、頂點、離心率介紹橢圓的簡單幾何性質(zhì)，然后再介紹橢圓的光學(xué)性質(zhì)、橢圓的第二定義、直線與橢圓的位置關(guān)系以及圓與橢圓的離心率的幾何關(guān)系。（3）雙曲線的定義及方程：利用信息技術(shù)通過兩圓相交的軌跡分別畫出橢圓和雙曲線。類比于橢圓建系的方法得到雙曲線的標準方程。緊接著探究雙曲線的第三定義并與橢圓的第三定義尋找相同點與不同點。（4）雙曲線的幾何性質(zhì)：教材從范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率介紹雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，然后再介紹雙曲線的第二定義、直線與雙曲線的位置關(guān)系以及圓與雙曲線的離心率的幾何關(guān)系。（5）拋物線的定義及方程：類比橢圓與雙曲線的第二定義（統(tǒng)一定義），得到拋物線的定義。然后介紹拋物線的光學(xué)性質(zhì)。最后對拋物線和二次函數(shù)的聯(lián)系進行探究。（6）拋物線的幾何性質(zhì)：類比橢圓與雙曲線的簡單幾何性質(zhì)介紹，而后介紹焦點弦與交點坐標的關(guān)系。5.2教材分析結(jié)果教材注重學(xué)生對圓錐曲線基本知識的掌握，設(shè)置的問題趨近知識點的本質(zhì)和最基本的性質(zhì)。意味著很多二級結(jié)論與基本知識相關(guān)，教師可以從中進行挖掘。當然教師還需要通過學(xué)習(xí)文獻和相關(guān)高等數(shù)學(xué)資料，或者擴充與其他學(xué)科有關(guān)的知識內(nèi)容，來進行多元教學(xué)，幫助學(xué)生建立立體的圓錐曲線記憶體系。教材就很少涉及考試經(jīng)常會用來解題目的二級結(jié)論，導(dǎo)致學(xué)生在認識基本知識和二級結(jié)論時割裂開來，難以聯(lián)系起來記憶。教材中沒有把橢圓和雙曲線的三種定義推導(dǎo)方程的過程聯(lián)系起來。在介紹離心率時可重點把橢圓、雙曲線與圓的離心率的幾何表現(xiàn)（與圓的關(guān)系）和代數(shù)表現(xiàn)體現(xiàn)出來。根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一性，利用拋物線的焦半徑公式的特殊性去探索橢圓與雙曲線的焦半徑的表達式。6圓錐曲線與方程單元的教學(xué)重構(gòu)以下從離心率、方程、焦半徑進行教學(xué)重構(gòu)。6.1離心率從前面對圓錐曲線的研究表明，圓錐曲線的引入離不開圓。而且通過對圓進行折紙得到橢圓和雙曲線是最經(jīng)典的做法（如圖6.1.1、6.1.2）。而該原理中的F點在費曼失傳的演講中被描述為離心點。通過圓得到的橢圓和雙曲線我們可以發(fā)現(xiàn)橢圓的離心點在圓的里面，雙曲線的離心點在圓的外面。由于數(shù)軸上，0到1之間可以表示1后邊的無窮多個倒數(shù)，1這個數(shù)字很重要。所以類比于數(shù)字的特點，以圓的邊界做單位1，大膽猜測離心點在圓里面說明離心率小于1，離心點在圓的外面，說明離心率大于1。事實證實確是如此。這樣引入的好處可以給學(xué)生對后續(xù)離心率的概念有更深的理解。在教學(xué)橢圓的圓扁程度時，也可以利用數(shù)字的形狀，0這個數(shù)字相對于1這個數(shù)字是圓的，1這個形狀扁的不能再扁，所以離心率越趨于0，圖形越圓，離心率越趨于1，圖形越扁。圖6.1.1圖6.1.26.2方程在講授方程時，可以聯(lián)想截距式方程?？梢园l(fā)現(xiàn)標準方程的參數(shù)與圖形和坐標軸的交點（頂點）有關(guān)。并且在利用二次平方法推導(dǎo)橢圓的標準方程時，轉(zhuǎn)化一下中間的步驟可以得到橢圓的第二定義（統(tǒng)一定義）和第三定義（頂點與斜率定義）。而頂點與斜率定義在圓錐曲線中涉及垂徑定理，是重要的解題技巧。垂徑定理也可以從圓到橢圓的仿射規(guī)律中得來。這樣多種角度介紹可以讓學(xué)生對知識點的思考面拓寬，更有利于學(xué)生對知識點的記憶。例如，從圖中可以發(fā)現(xiàn)在圓中過圓心的直線l1引出的斜率為k1,k2的直線的乘積必等于-1，而橢圓中也必然只需l2過橢圓中心即可（圖6.2.1）。通過仿射幾何推導(dǎo)，已知圓的方程為x2+y2=1，點Px,y是圓上任意一點，作坐標變換圖6.2.1圖6.2.2圖6.2.3由于大部分時候先對圓錐曲線的標準方程進行教學(xué)，再進行參數(shù)方程的教學(xué)時沒有與標準方程進行很好的聯(lián)系，那么會導(dǎo)致學(xué)生思考路徑的斷裂，無法把參數(shù)方程和標準方程放在同等認知地位。但是通過觀察標準方程等式右邊等于1，我們會思考為什么等于1？例如x2a2+y2b2=m,表示橢圓離心率不變，6.3焦半徑根據(jù)教材中內(nèi)容的編排可以發(fā)現(xiàn)在拋物線中焦半徑公式是最特殊的。那么由于拋物線只有第二定義（統(tǒng)一定義），那么我們可以聯(lián)想，能否利用第二定義來推導(dǎo)橢圓和雙曲線的焦半徑公式，答案顯而易見，利用第二定義能更快推導(dǎo)出焦半徑公式（坐標型）|PF|=a±?x07研究的結(jié)論與展望學(xué)習(xí)知識時，是努力找到知識背后的原理，讓定理、概念闡述的東西符合自己的直覺、理解，并建立知識之間的聯(lián)系，而解題是反過來，理解題目在描繪什么情形，什么感覺，根據(jù)理解到的感覺，用學(xué)過的知識進行解釋，證明。通過研究，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)合數(shù)學(xué)史，可以幫我們建立對知識的感性認識；結(jié)合考試中的二級結(jié)論，可以達到擴充知識面，增加知識之間的聯(lián)系，這種多角度教學(xué)，可以使學(xué)生對知識的記憶立體化，利于學(xué)生在解題時更容易找到感覺去證明，利于學(xué)生在面對圓錐曲線題目時得到學(xué)習(xí)結(jié)果的正反饋，更利于刺激學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維去思考題目。數(shù)學(xué)的觸角幾乎遍及人類社會的每一個角落，以及歷史和生命的每一個瞬間。對知識同時具有感性和理性認識，感性認識讓我們在理性的思考下能夠保有創(chuàng)造力思考，而理性認識能夠證實感性認識的合理性，二者相輔相成，能夠讓我們對知識的記憶更加牢固。我們利用每一個能與所學(xué)知識搭上聯(lián)系的舊知識，建立它們之間的聯(lián)系，幫助我們更有效率的成長。參考文獻王海青.問題驅(qū)動理論下“圓錐曲線與方程”教學(xué)重構(gòu)[D].廣州大學(xué),2019.李紅春.仿射變換下一類橢圓問題的簡單解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2012,(12):40-42+49.王雅琪.仿射幾何與北京高考解析幾何試題——2016高考北京卷第19題的背景和拓展[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2017(15):2-5.陳紹綱.論射影幾何對中學(xué)解析幾何教學(xué)的指導(dǎo)意義[J].聊城師院學(xué)報(自然科學(xué)版),1999(03):76-78.DOI:10.19728/j.issn1672-6634.1999.03.023.成海濤.射影幾何的產(chǎn)生和發(fā)展[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)(高中版上旬),2020(05):58-60.韋少強.基于教材提煉方法靈活應(yīng)用——曲線系法在求解圓錐曲線問題的應(yīng)用[J].教學(xué)考試,2024,(11):51-54.楊玲.立足教材培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——以“圓錐曲線案例教學(xué)設(shè)計”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2023,(17):11-12+23.陳霞.高中數(shù)學(xué)人教A版教材中圓錐曲線內(nèi)容的比較研究[J].數(shù)理天地(高中版),2023(13):74-76.顧維維.突破圓錐曲線中三角形面積問題的教學(xué)設(shè)計與思考[J].理科愛好者,2023,(01):113-115.曹軍,郭天印.HPM視角下培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計探究——以新人教版選擇性必修第一冊（A版）“拋物線