對(duì)圓錐曲線教學(xué)的研究

[13]。4.4射影幾何中的圓錐曲線射影幾何中橢圓、雙曲線、拋物線本質(zhì)上是一個(gè)東西。那么我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，只知道拋物線有準(zhǔn)線，但實(shí)際上橢圓和雙曲線也有準(zhǔn)線，那么我們根據(jù)射影幾何中的對(duì)圓錐曲線的理解就可得到橢圓長(zhǎng)軸的兩邊和雙曲線實(shí)軸的里邊存在著準(zhǔn)線。平面幾何中，點(diǎn)與直線的地位不平等；在射影幾何中點(diǎn)與直線的地位是平等的，并且任意點(diǎn)和直線之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即極點(diǎn)極線，為圓錐曲線性質(zhì)的研究尤其是定值定點(diǎn)問(wèn)題的研究提供了強(qiáng)大的幾何背景。圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線就是該圓錐曲線下的一個(gè)極點(diǎn)與極線的對(duì)應(yīng)；圓錐曲線上一點(diǎn)和該點(diǎn)處的切線也是在該圓錐曲線下的一個(gè)極點(diǎn)與極線的對(duì)應(yīng)。4.5光學(xué)中的圓錐曲線圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)可以用物理的方法來(lái)證明。觀察圖像不管P在哪，兩條線與切線的夾角剛好一樣。已知PF1+PF2=2a距離之和固定，也就是說(shuō)P點(diǎn)隨便動(dòng)一動(dòng)，L1變長(zhǎng)多少，L2圖4.5.15圓錐曲線與方程單元的教材內(nèi)容分析5.1教材內(nèi)容分析以2019版人教A版為基礎(chǔ)進(jìn)行分析。（1）橢圓的定義及方程：利用兩釘一線畫法引入橢圓，進(jìn)而得到控制橢圓具體形狀的兩個(gè)定值長(zhǎng)軸2a和焦距2c。根據(jù)這兩個(gè)定值和橢圓的形狀特點(diǎn)建系坐標(biāo)系，采用二次平方法得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。緊接著介紹圓與橢圓之間的拉伸壓縮關(guān)系（仿射變換）和橢圓的第三定義（頂點(diǎn)與斜率定義）。（2）橢圓的幾何性質(zhì)：教材從范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率介紹橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，然后再介紹橢圓的光學(xué)性質(zhì)、橢圓的第二定義、直線與橢圓的位置關(guān)系以及圓與橢圓的離心率的幾何關(guān)系。（3）雙曲線的定義及方程：利用信息技術(shù)通過(guò)兩圓相交的軌跡分別畫出橢圓和雙曲線。類比于橢圓建系的方法得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。緊接著探究雙曲線的第三定義并與橢圓的第三定義尋找相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。（4）雙曲線的幾何性質(zhì)：教材從范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率介紹雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，然后再介紹雙曲線的第二定義、直線與雙曲線的位置關(guān)系以及圓與雙曲線的離心率的幾何關(guān)系。（5）拋物線的定義及方程：類比橢圓與雙曲線的第二定義（統(tǒng)一定義），得到拋物線的定義。然后介紹拋物線的光學(xué)性質(zhì)。最后對(duì)拋物線和二次函數(shù)的聯(lián)系進(jìn)行探究。（6）拋物線的幾何性質(zhì)：類比橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)介紹，而后介紹焦點(diǎn)弦與交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系。5.2教材分析結(jié)果教材注重學(xué)生對(duì)圓錐曲線基本知識(shí)的掌握，設(shè)置的問(wèn)題趨近知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)和最基本的性質(zhì)。意味著很多二級(jí)結(jié)論與基本知識(shí)相關(guān)，教師可以從中進(jìn)行挖掘。當(dāng)然教師還需要通過(guò)學(xué)習(xí)文獻(xiàn)和相關(guān)高等數(shù)學(xué)資料，或者擴(kuò)充與其他學(xué)科有關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，來(lái)進(jìn)行多元教學(xué)，幫助學(xué)生建立立體的圓錐曲線記憶體系。教材就很少涉及考試經(jīng)常會(huì)用來(lái)解題目的二級(jí)結(jié)論，導(dǎo)致學(xué)生在認(rèn)識(shí)基本知識(shí)和二級(jí)結(jié)論時(shí)割裂開來(lái)，難以聯(lián)系起來(lái)記憶。教材中沒有把橢圓和雙曲線的三種定義推導(dǎo)方程的過(guò)程聯(lián)系起來(lái)。在介紹離心率時(shí)可重點(diǎn)把橢圓、雙曲線與圓的離心率的幾何表現(xiàn)（與圓的關(guān)系）和代數(shù)表現(xiàn)體現(xiàn)出來(lái)。根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一性，利用拋物線的焦半徑公式的特殊性去探索橢圓與雙曲線的焦半徑的表達(dá)式。6圓錐曲線與方程單元的教學(xué)重構(gòu)以下從離心率、方程、焦半徑進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)。6.1離心率從前面對(duì)圓錐曲線的研究表明，圓錐曲線的引入離不開圓。而且通過(guò)對(duì)圓進(jìn)行折紙得到橢圓和雙曲線是最經(jīng)典的做法（如圖6.1.1、6.1.2）。而該原理中的F點(diǎn)在費(fèi)曼失傳的演講中被描述為離心點(diǎn)。通過(guò)圓得到的橢圓和雙曲線我們可以發(fā)現(xiàn)橢圓的離心點(diǎn)在圓的里面，雙曲線的離心點(diǎn)在圓的外面。由于數(shù)軸上，0到1之間可以表示1后邊的無(wú)窮多個(gè)倒數(shù)，1這個(gè)數(shù)字很重要。所以類比于數(shù)字的特點(diǎn)，以圓的邊界做單位1，大膽猜測(cè)離心點(diǎn)在圓里面說(shuō)明離心率小于1，離心點(diǎn)在圓的外面，說(shuō)明離心率大于1。事實(shí)證實(shí)確是如此。這樣引入的好處可以給學(xué)生對(duì)后續(xù)離心率的概念有更深的理解。在教學(xué)橢圓的圓扁程度時(shí)，也可以利用數(shù)字的形狀，0這個(gè)數(shù)字相對(duì)于1這個(gè)數(shù)字是圓的，1這個(gè)形狀扁的不能再扁，所以離心率越趨于0，圖形越圓，離心率越趨于1，圖形越扁。圖6.1.1圖6.1.26.2方程在講授方程時(shí)，可以聯(lián)想截距式方程?？梢园l(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的參數(shù)與圖形和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（頂點(diǎn)）有關(guān)。并且在利用二次平方法推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，轉(zhuǎn)化一下中間的步驟可以得到橢圓的第二定義（統(tǒng)一定義）和第三定義（頂點(diǎn)與斜率定義）。而頂點(diǎn)與斜率定義在圓錐曲線中涉及垂徑定理，是重要的解題技巧。垂徑定理也可以從圓到橢圓的仿射規(guī)律中得來(lái)。這樣多種角度介紹可以讓學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的思考面拓寬，更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶。例如，從圖中可以發(fā)現(xiàn)在圓中過(guò)圓心的直線l1引出的斜率為k1,k2的直線的乘積必等于-1，而橢圓中也必然只需l2過(guò)橢圓中心即可（圖6.2.1）。通過(guò)仿射幾何推導(dǎo)，已知圓的方程為x2+y2=1，點(diǎn)Px,y是圓上任意一點(diǎn)，作坐標(biāo)變換圖6.2.1圖6.2.2圖6.2.3由于大部分時(shí)候先對(duì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行教學(xué)，再進(jìn)行參數(shù)方程的教學(xué)時(shí)沒有與標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行很好的聯(lián)系，那么會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思考路徑的斷裂，無(wú)法把參數(shù)方程和標(biāo)準(zhǔn)方程放在同等認(rèn)知地位。但是通過(guò)觀察標(biāo)準(zhǔn)方程等式右邊等于1，我們會(huì)思考為什么等于1？例如x2a2+y2b2=m,表示橢圓離心率不變，6.3焦半徑根據(jù)教材中內(nèi)容的編排可以發(fā)現(xiàn)在拋物線中焦半徑公式是最特殊的。那么由于拋物線只有第二定義（統(tǒng)一定義），那么我們可以聯(lián)想，能否利用第二定義來(lái)推導(dǎo)橢圓和雙曲線的焦半徑公式，答案顯而易見，利用第二定義能更快推導(dǎo)出焦半徑公式（坐標(biāo)型）|PF|=a±?x07研究的結(jié)論與展望學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)，是努力找到知識(shí)背后的原理，讓定理、概念闡述的東西符合自己的直覺、理解，并建立知識(shí)之間的聯(lián)系，而解題是反過(guò)來(lái)，理解題目在描繪什么情形，什么感覺，根據(jù)理解到的感覺，用學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行解釋，證明。通過(guò)研究，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)合數(shù)學(xué)史，可以幫我們建立對(duì)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)；結(jié)合考試中的二級(jí)結(jié)論，可以達(dá)到擴(kuò)充知識(shí)面，增加知識(shí)之間的聯(lián)系，這種多角度教學(xué)，可以使學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶立體化，利于學(xué)生在解題時(shí)更容易找到感覺去證明，利于學(xué)生在面對(duì)圓錐曲線題目時(shí)得到學(xué)習(xí)結(jié)果的正反饋，更利于刺激學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維去思考題目。數(shù)學(xué)的觸角幾乎遍及人類社會(huì)的每一個(gè)角落，以及歷史和生命的每一個(gè)瞬間。對(duì)知識(shí)同時(shí)具有感性和理性認(rèn)識(shí)，感性認(rèn)識(shí)讓我們?cè)诶硇缘乃伎枷履軌虮Ｓ袆?chuàng)造力思考，而理性認(rèn)識(shí)能夠證實(shí)感性認(rèn)識(shí)的合理性，二者相輔相成，能夠讓我們對(duì)知識(shí)的記憶更加牢固。我們利用每一個(gè)能與所學(xué)知識(shí)搭上聯(lián)系的舊知識(shí)，建立它們之間的聯(lián)系，幫助我們更有效率的成長(zhǎng)。參考文獻(xiàn)王海青.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)理論下“圓錐曲線與方程”教學(xué)重構(gòu)[D].廣州大學(xué),2019.李紅春.仿射變換下一類橢圓問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2012,(12):40-42+49.王雅琪.仿射幾何與北京高考解析幾何試題——2016高考北京卷第19題的背景和拓展[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2017(15):2-5.陳紹綱.論射影幾何對(duì)中學(xué)解析幾何教學(xué)的指導(dǎo)意義[J].聊城師院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1999(03):76-78.DOI:10.19728/j.issn1672-6634.1999.03.023.成海濤.射影幾何的產(chǎn)生和發(fā)展[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)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