2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試解答

PAGEPAGE1說明：

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試（B卷）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)80分兩檔；其他各題的評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分，不得增加其他中間檔次.9410、11小題5分為一個檔次，不得增加其他中間檔次．一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分．已知實數(shù)集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，則x的值為 ．答案：-3．解：條件等價于1,2,3,x中除最大數(shù)以外的另三個數(shù)之和為0．顯然x<0，從而1+2+x=0，得x=-3． 若平面向量a(2m-1與b(2m-1,2m+1ma的模為 ．答案：10．解：令2m=t，則t>0．條件等價于t?(t-1)+(-1)?2t=0，解得t=3．因此a的模為32+(-1)2=10．設(shè),b?(,p)s,sb是方程5x2-3x1=0的兩根則nanb的值為 ．答案： 7．5解：由條件知cosa+cosb=3,cosacosb=-1，從而5 5(sinasinb)2=(1-cos2a)(1-cos2b)=1-cos2a-cos2b+cos2acos2b?42?32 7=cosab)2-(cosa+cosb)2=?÷-?÷= ．è5? è5? 5又由,b?(,p)知nanb>0，從而nasnb= 7．5PABC,2，則該三棱錐的體積的最大值為 ．答案：26．3解：設(shè)三棱錐P-ABC的高為h．取M為棱AB的中點，則32-12h￡P(guān)M= =32-12當(dāng)平面PAB垂直于平面ABC時，h取到最大值22．此時三棱錐P-ABC的體積取到最大值1S3

DABC?2

=1?3?2 = ．22263 32226將5個數(shù)按任意次序排成一行，拼成一個8位數(shù)（首位不為0，則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個數(shù)為 ．答案：95．解：易知2,0,1,9,2019的所有不以0為開頭的排列共有4′4!=96個．其中，除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)這兩種排列對應(yīng)同一個數(shù)20192019，其余的數(shù)互不相等．因此滿足條件的8位數(shù)的個數(shù)為96-1=95．6.設(shè)整數(shù)n4，x2的值為 ．答案：51．

y-1)n的展開式中xn-4與xy兩項的系數(shù)相等，則nnn解：注意到(x+2y)n=?Crxr(2y)r．nr=0n其中xn-4項僅出現(xiàn)在求和指標(biāo)r=4時的展開式C4xn-4(2n

y-1)4中，其xn-4項系數(shù)為(-1)4C4=n(n-1)(n-2)(n-3)．n n而xy項僅出現(xiàn)在求和指標(biāo)r=n-1時的展開式Cn-1x?(2y-1)n-1中，其xynn 項系數(shù)為Cn-1C24?(-1)n-3=(-1)n-32n(n-1)(n 因此有n(n-1)(n-2)(n-3)=(-1)n-32n(n-1)(n-2)．注意到n>4，化簡得24n-3，故只能是n為奇數(shù)且n348．解得n51．在平面直角坐標(biāo)系中，若以(r0為圓心、r為半徑的圓上存在一點(a,b)滿足b234a，則r的最小值為 ．答案：4．解：由條件知(a-r-1)2+b2=r2，故4a￡b2r2-(ar2r(a-(a．即a22(r2r+1￡0．上述關(guān)于a的一元二次不等式有解，故判別式(2(r-4(2r=4r(r-4)30，解得r34．經(jīng)檢驗，當(dāng)r=4時，(a,b)=(3,23)滿足條件．因此r的最小值為4．設(shè)等差數(shù)列{an}的各項均為整數(shù)首項=2019且對任意正整數(shù)n存在正整數(shù)m，使得a1+a2++an=am．這樣的數(shù)列{an}的個數(shù)為 ．答案：5．解：設(shè)n}的公差為d．由條件知1+2=k（k是某個正整數(shù)，則2a1+d=a1+(k-1)d，即(k2)d，因此必有k12，且d=

a1k-2

．這樣就有a=a+(n-1)d=a+n-1a，n 1 1k-21而此時對任意正整數(shù)n，a+a++a=an+n(nd=a+(n+n(nd1 2 n 1 2 1 1 2=a+?(n(k-)+n(n)?d，確實為{an}中的一項．

1

2 k2|成立的正整數(shù)k2019為兩個素數(shù)3與673之積，易知k2可取這5個值，對應(yīng)得到5個滿足條件的等差數(shù)列．356分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．9.（本題滿分16分）在橢圓GFB為兩個頂點．若FA=3,FB=2，求AB的所有可能值．G

x2y2解：不妨設(shè)平面直角坐標(biāo)系中橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程為a2+b2=1(a>b>0)，a2-b2并記c= ．由對稱性，可設(shè)Fa2-b2易知F到G的左頂點的距離為a+c，到右頂點的距離為a-c，到上、下頂點的距離均為a．分以下情況討論：(1)

Baca-c2

AB=2a=5（相b2

=(a+c)(a-c)=6，G

的方程為

4x2

y2+ =14分25 6a2+b2A為左頂點，B為上頂點或下頂點．此時aca2，故ca2+b22 2 2

x2y2而ba-c

3AB=

= 相應(yīng)的G的方程為

+ =1．4 3…8分a2+b2AB為右頂點．此時aa-c2，故c1a2+b22 2 2

x2y2而ba-c

8AB=

=17（相應(yīng)的G的方程為

+ =1．9 8綜上可知，AB的所有可能值為7,

…12分． …16分（20分）設(shè)ac1，滿足lga+lgbc=,gb+gac=4.求lga?lgc的最大值．解：設(shè)lga=x,lgb=y,lgc=z，由a,b,c>1可知x,y,z>0．xz,yz=y x

4，即xy+z=3y=4x．…5分xy4t(t0z4xxy12t-12t2z0可知t?(0． …10分因此，結(jié)合三元平均值不等式得gagc=z=t?1t1-t)=18?t2(2-t)?t+t+(2-t)3 ?23 6￡18?? ÷=18??÷= ．3 2

è3? 38 8當(dāng)t=2-2t，即t= （相應(yīng)的a,c分別為103,103）時，ac取到3最大值16． …20分3（20分設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列{zn1，且對任意正整數(shù)n，均有4

+2znzn+1

+z2=0．證明：對任意正整數(shù)m，均有nz+zn

++

<23．1 2 m 3n證明z10n?N*．由條件得n?z ?z ?4?n+1÷

+2?n1÷+1=0(n?N*)，zz

n n3i(n?N*． …5分zn 4zn+1znzn+1zn-zn+1znzn+1zn-1+3i42zn+1znzn+1zn

zn=

?

1

=1(n?N*)． ①2n-1zn+zn+1=

zn?1+ =

1? =33i42n33i4

3(n?N*)． ②2n…10分當(dāng)m為偶數(shù)時，設(shè)m2s(s?N*．利用②可得323s ￥ ￥323+z2++zm￡?k=1

z2k-1+z2k

<?k=1

z2k-1+z2k

=?2k-1= ．23k=123…15分當(dāng)m為奇數(shù)時，設(shè)m