吉林省白城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

白城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年度高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.直線－＝1在y軸上的截距為()A.|b|B.－bC.bD.±b2.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于()A.120°B.30°C.60°D.60°或30°3.產(chǎn)品質(zhì)檢實(shí)驗(yàn)室有5件樣品，其中只有2件檢測(cè)過(guò)某成分含量，若從這5件樣品中隨機(jī)取出3件，則恰有2件檢測(cè)過(guò)該成分含量的概率為()A.B.C.D.4.某銀行為客戶定制了A，B，C，D，E共5個(gè)理財(cái)產(chǎn)品，并對(duì)5個(gè)理財(cái)產(chǎn)品的持有客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：用該樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.44~56周歲人群理財(cái)人數(shù)最多B.18~30周歲人群理財(cái)總費(fèi)用最少C.B理財(cái)產(chǎn)品更受理財(cái)人青睞D.年齡越大的年齡段的人均理財(cái)費(fèi)用越高5.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－1,2)，且傾斜角為135°，則直線l的一般式方程為()A.x＋y－3＝0B.x＋y－1＝0C.x－y＋1＝0D.x－y＋3＝06.下列選項(xiàng)中的曲線與－＝1共焦點(diǎn)的雙曲線是()A.－＝2B.－＝1C.－＝1D.－＝17.已知直線5x＋12y－3＝0與直線10x＋my＋20＝0平行，則它們之間的距離是()A.1B.2C.D.48.設(shè)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2(c,0)作x軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A.已知Q，|F2Q|>|F2A|，點(diǎn)P是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，且|PF1|＋|PQ|>|F1F2|恒成立，則雙曲線離心率的取值范圍是()A.B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題.每題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）9.下列說(shuō)法正確的有（

）A.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2B.直線在軸的截距為1C.過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為D.若直線沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)的位置，則該直線的斜率為10.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若點(diǎn)F是側(cè)面CDD1C1的中心，且AF→＝AD→＋mAB→－nAA1A.m＝12B.m＝－12C.n＝12D.n11.在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1)．()A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為(1－α)(1－β)2B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1－β)2C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D.當(dāng)0<α<0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率12.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是()A.兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，則l1∥l2B.直線l的方向向量a＝(1，－1,2)，平面α的法向量是u＝(6,4，－1)，則l⊥αC.兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，則α⊥βD.直線l的方向向量a＝(0,3,0)，平面α的法向量是u＝(0，－5,0)，則l∥α三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.兩直線2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為________，經(jīng)過(guò)此交點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為________.14.甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為________；將三個(gè)盒子中的球混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為________．15.已知直線l：被動(dòng)圓C：截得的弦長(zhǎng)為定值，則直線l的方程為

．16.已知橢圓C：＋＝1與動(dòng)直線l：y＝32x＋m相交于A，B兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________；設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M(x，y)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為________．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)相同，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的左、右焦點(diǎn)，M為C上任意一點(diǎn)，最大值為1.(1)求橢圓C的方程；(2)不過(guò)點(diǎn)F2的直線l：y＝kx＋m(m≠0)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．①若k2＝，且S△AOB＝，求m的值；②若x軸上任意一點(diǎn)到直線AF2與BF2距離相等，求證直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．18.一名大學(xué)生嘗試開家小網(wǎng)店銷售一種學(xué)習(xí)用品，經(jīng)計(jì)算每售出1盒產(chǎn)品可獲利30元，未售出的商品每盒虧損10元．根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，得到該商品的月需求量的頻率分布直方圖(如圖)．該同學(xué)為此購(gòu)進(jìn)180盒該產(chǎn)品，以x(單位：盒，100≤x≤200，x∈Z)表示一個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)需求量，y(單位：元)表示一個(gè)月內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤(rùn)．(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這個(gè)月內(nèi)市場(chǎng)需求量x的平均數(shù)；(2)將y表示為x的函數(shù)；(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這個(gè)月利潤(rùn)不少于3800元的概率．(用頻率近似代替概率)<19.在路邊安裝路燈，路寬23m，燈桿長(zhǎng)2.5m，且與燈柱成120°角，路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線與燈桿垂直，當(dāng)燈柱高h(yuǎn)約為多少時(shí)，燈罩軸線正好與道路路面的中線相交？(精確到0.01m)20.已知以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求證：的面積為定值．(2)設(shè)直線與圓交于點(diǎn)，，若，求圓的方程．(3)在(2)的條件下，設(shè)，分別是直線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).21.已知點(diǎn)在雙曲線上．(1)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積是定值；(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)?，在線段上取異于點(diǎn)?的點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)恒在一條定直線上．22.設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|＝2|MA|，直線OM的斜率為.(1)求E的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－b)，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求E的方程．參考答案1.【答案】B【解析】直線－＝1，令x＝0，解得y＝－b，∴直線－＝1在y軸上的截距為－b.故選B.2.【答案】B【解析】設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，則θ＝120°－90°＝30°.3.【答案】B【解析】不妨設(shè)5件樣品為A1，A2，A3，B1，B2，其中B1，B2為檢測(cè)過(guò)某成分含量的2件樣品．故從5件樣品中抽取3件樣品的所有可能有如下10種：A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B2，A3B1B2，其中滿足題意的可能有如下3種：A1B1B2，A2B1B2，A3B1B2.故滿足題意的概率為.4.【答案】B【解析】A.44~56周歲人群理財(cái)人數(shù)所占比例是37%，是最多的，故正確；B.設(shè)總?cè)藬?shù)為a，則18~30周歲人群的人均理財(cái)費(fèi)用約為，31~43周歲人群的人均理財(cái)費(fèi)用約為，44~56周歲人群的人均理財(cái)費(fèi)用約為，57周歲人群的人均理財(cái)費(fèi)用約為，所以57周歲及以上人群的人均理財(cái)費(fèi)用最少，故錯(cuò)誤；C.由條形圖可知：B理財(cái)產(chǎn)品更受理財(cái)人青睞，故正確；D.由折線圖知：年齡越大的年齡段的人均理財(cái)費(fèi)用越高，故正確，故選：B.5.【答案】B【解析】∵直線l的傾斜角為135°，∴斜率為tan135°＝－1，又直線l過(guò)點(diǎn)(－1,2)，∴直線的點(diǎn)斜式方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.6.【答案】D【解析】與－＝1共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為－＝1(－12＜λ＜24)，對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)，只有D符合條件(此時(shí)λ＝－2)．7.【答案】A【解析】由兩條直線平行可得＝，解得m＝24.則直線10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，由兩條平行直線間的距離公式得d＝＝1.8.【答案】A【解析】易知A，由|F2Q|>|F2A|，得>，即b2a2則離心率e＝<＝.∵|PF1|＋|PQ|>|F1F2|恒成立，∴(|PF1|＋|PQ|)min>3c.又|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋2a＋|PQ|≥|F2Q|＋2a＝，∴>3c，∴e<.又∵e>1，∴e∈.9.【答案】AD【解析】對(duì)于A，直線與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，故與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2，故A正確，對(duì)于B，直線過(guò)，在軸的截距為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)或時(shí)不適用，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由題意得直線的方向向量為，故直線的斜率為，故D正確，故選：AD.10.【答案】AD【解析】根據(jù)空間向量基本定理，有AF→＝AD→＋12DC→＋12DD1→＝AD→＋12AB→＋12AA111.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1這3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，故A正確；對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到1，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1這3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正確；對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1這4個(gè)事件的和，它們互斥，所求的概率為Cβ(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5，因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′，故D正確．12.【答案】AC【解析】對(duì)于A，由a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，得a＝－b，所以a∥b，所以l1∥l2，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)a∥u，則存在唯一得實(shí)數(shù)λ，使得a＝λu，即(1，－1,2)＝(6λ，4λ，－λ)，所以無(wú)解，所以a，u不共線，所以l，α不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閡·v＝－6＋8－2＝0，所以u(píng)⊥v，所以α⊥β，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閍·u＝－15，所以a，u不垂直，所以l，α不平行，故D錯(cuò)誤．故選A、C．13.【答案】(3，－2)2x＋3y＝0或x＋y－1＝0【解析】聯(lián)立解得所以兩直線2x－3y－12＝0和x＋y－1＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，－2)；當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y＝－x，即2x＋3y＝0，當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為x＋y＝a，則3－2＝a，即a＝1.所以直線方程為x＋y－1＝0.所以經(jīng)過(guò)此交點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為2x＋3y＝0或x＋y－1＝0.14.【答案】【解析】方法一設(shè)A＝“從甲盒子中取一個(gè)球，是黑球”，B＝“從乙盒子中取一個(gè)球，是黑球”，C＝“從丙盒子中取一個(gè)球，是黑球”，由題意可知P(A)＝40%＝，P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝，現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.設(shè)D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由題意可知P(D1)＝＝，P(D2)＝＝，P(D3)＝＝，P(E|D1)＝1－＝，P(E|D2)＝1－＝，P(E|D3)＝1－＝，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)·P(E|D3)＝×＋×＋×＝.方法二設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為5，4，6，其中甲盒子中黑球的個(gè)數(shù)為2，白球的個(gè)數(shù)為3；乙盒子中黑球的個(gè)數(shù)為1，白球的個(gè)數(shù)為3；丙盒子中黑球的個(gè)數(shù)為3，白球的個(gè)數(shù)為3.則從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，共有5×4×6種結(jié)果，其中取到的三個(gè)球都是黑球有2×1×3種結(jié)果，所以取到的三個(gè)球都是黑球的概率為＝.將三個(gè)盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15(個(gè))球，其中白球共有3＋3＋3＝9(個(gè))，所以混合后任取一個(gè)球，共有15種結(jié)果，其中取到白球有9種結(jié)果，所以混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為＝.15.【答案】【解析】根據(jù)題意，l：，由，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)圓C：，圓心，半徑為，動(dòng)圓圓心C在定直線：上動(dòng)，半徑為定值，要使直線l被截得的弦長(zhǎng)為定值，則動(dòng)點(diǎn)C到l的距離為定值，則，故l的斜率也為2，則，故直線l的方程為．故答案為：.16.【答案】(－3，3)3x＋2y＝0，x∈(－，)【解析】由得18x2＋12mx＋4m2－36＝0，Δ＝144m2－4×18(4m2－36)＞0，解得－3＜m＜3.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則可得3x＋2y＝0，x∈(－，).17.【答案】解(1)由拋物線的方程y2＝4x得其焦點(diǎn)為(1,0)，則c＝1，當(dāng)點(diǎn)M為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，△MF1F2的面積最大，此時(shí)＝×2c×b＝1，則b＝1，∴a＝，故橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)聯(lián)立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)·(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)>0，即1＋2k2>m2，(*)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝.①∵m≠0且k2＝，代入(*)式得0<m2<2，|AB|＝|x1－x2|＝1+12?(設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，則由點(diǎn)到直線距離公式得d＝＝，∴S△AOB＝|AB|·d＝·＝，∴m2＝1∈(0,2)，則m＝±1.②＝＝，＝＝，由題意知＋＝0，∴＋＝0，即2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，∴2k·＋(m－k)－2m＝0，解得m＝－2k，∴直線l的方程為y＝k(x－2)，故直線l恒過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)．18.【答案】解(1)由頻率分布直方圖得，需求量在[100,120)內(nèi)的頻率為0.0050×20＝0.1；需求量在[120,140)內(nèi)的頻率為0.0100×20＝0.2；需求量在[140,160)內(nèi)的頻率為0.0150×20＝0.3；需求量在[160,180)內(nèi)的頻率為0.0125×20＝0.25；需求量在[180,200)內(nèi)的頻率為0.0075×20＝0.15.∴根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這個(gè)月內(nèi)市場(chǎng)需求量x的平均數(shù)＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．(2)∵每售出1盒產(chǎn)品，可獲利30元，未售出的商品每盒虧損10元，∴當(dāng)100≤x≤180時(shí)，y＝30x－10(180－x)＝40x－1800，當(dāng)180<x≤200時(shí)，y＝30×180＝5400，∴y＝(3)∵利潤(rùn)不少于3800元，∴40x－1800≥3800，解得x≥140，又100≤x≤200，∴140≤x≤200，∴由(1)知利潤(rùn)不少于3800元的概率為1－0.1－0.2＝0.7.19.【答案】解記燈柱頂端為點(diǎn)B，燈罩處為點(diǎn)A，燈桿為AB，燈罩軸線與道路路面的中線交于點(diǎn)C.以燈柱底端O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，燈柱OB所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，h)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(11.5,0)．因?yàn)椤螼BA＝120°，所以直線BA的傾斜角為120°－90°＝30°，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2.5cos30°，h＋2.5sin30°)，即.因?yàn)镃A⊥BA，所以kCA＝－＝－＝－.由點(diǎn)斜式，得直線CA的方程是y－(h＋1.25)＝－.因?yàn)闊粽州S線CA過(guò)點(diǎn)C(11.5,0)，所以－(h＋1.25)＝－×，解得h≈14.92m.故燈柱高約為