集合與常用邏輯用語-2024年高考數(shù)學(xué)考試易錯題及解析

專題01集合與常用邏輯用語

題型一：集合運算問題包易諳點：對笑合表示方法^理解存在點差

題型二：集合中的含參問遜一、易楂點：忽視（泯）空空導(dǎo)致錯誤

遜三：利用集合元素三性解決

又易錯點：忽娓合元素的互異性

元素與集合關(guān)系問題

題型四：判斷充分性必要者入易錯點：判斷充分性必要性位置顛例

題型五：由含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題

易錯點：額分類討論

的真假求參數(shù)的取值范圍Q5

易錯點一：對集合表示方法的理解存在偏差（集合運算問題兩種

解題方法）

方法一：列舉法

列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據(jù)集合基本運算的定義求解的方法。

其解題具體步驟如下：

第一步定元素：確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數(shù)軸寫出所有元素或范闈；

第二步定運算：利用常見不等式或等式解未知集合；

第三步：定結(jié)果。

方法二：賦值法

高考對集合的基本運算的考查以選擇題為主，所以我們可以利用特值法解題,即根據(jù)選項之

間的明顯差異，選擇一些特殊元素進行檢驗排除，從而得到正確選項.

其解題具體步驟如下：

第一步：辨差異:分析各選項，辨別各選項的差異；

第二步：定特殊:根據(jù)選項的差異，選定一些特殊的元素：

第三步：驗排除:將特殊的元素代入進行驗證，排除干擾項：

第四步：定結(jié)果:根據(jù)排除的結(jié)果確定正確的選項。

易錯提醒：對集合表示法的理解先觀察研究對象（I前），研究對象是點集還是數(shù)集，故要

對本質(zhì)進行剖析，需要明確集合中的代表元素類型及代表元素的含義.

三蘭

例已知集合人=次卜<%},B={(x,y)|y>2},則集合413=()

A.0B.(2,乃)C.(-<o,2)D.(y,不)

2

變式1:已知集合人={%卜-1)(工-4)<0}B={y\y=2-x}f則()

A.0B.{x|l<.r<4}

C.{x\\<x<2}D.1x|2<x<4|

變式2：已知集合4=卜工,)，)|/+)，2=l,x,ywR},3={x|x+y=l,x,yeR},則()

A.A”8={0,l}B.Ac8={(0,1),(1,。)}

C.A=BD.AcB=0

變式3：已知集合人=卜|1082(工-1)<。}，B={x\\x-2\<2},()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<^<4}

C.{x|0<x<4}D.{A|X<4}

1.集合A={(x,y)|y=3x-2},5={(x,y)|y=x+4},則Afl8=()

A.{3,7}B.{(3,7)}C.{7,3}D.{x=3,y=7}

2.已知集合八=卜|V-2x<0},集合8={)，|產(chǎn)1082(2——)},則()

A.(0,1]B.(-oo,l)C.(f2)D.(0,2)

3.設(shè)全集U=R,集合尸={y|)，=3x,-l<x<0},C=p|-^>oj,則Pc4,。等于()

A.(—2,0)B.[-2,0)C.(—3,—2)D.(—3,—2]

4.已知集合4=卜￡用-1"<4},B={x|y=lg(-x2+2x+3)},則A04=()

A.{1,2}B.{0,1,2)

C.[-1,3)D.(-1,3)

5.已知集合加={x|-lWxW2},N={x|)，=】nx},則McN=()

A.{x|-l^x<2}B.{x|-l<x<2}C.(x|0<x<2)D.{x[x<-l或xN2}

6.己知集合M={x[T<x<2},N={xeZ卜2Vx<3},則A/cN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{0,1,2)

7.下列表示正確的個數(shù)是()

..L|(2x+y=10](、

(1)0史0；(2)0={l,2}；(3"(x,yx)\“<={3,4}；(4)若4勺6,則408=4.(5)

I3x-y=5

0e{0}

A.4B.3C.2D.1

易錯點二：忽視（漏）空集導(dǎo)致錯誤（集合中的含參問題）

L利用兩個集合之間的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍解題時務(wù)必注意:由于0是任意集合的子集,

若已知非空集合B,集合A滿足AqB或AuB,則對集合A分兩種情中的含參問題

況討論：

⑴當A=0時,若集合A是以不等式為我體的集合，則該不等式無解;（2）當AH0時,要利用于集的

概念把子集關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合對應(yīng)區(qū)間的端點值的大小關(guān)系，從而構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式

（組）求解.

2,利用兩集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍解決此類問題的步驟一般為：

第一步：化簡所給集合；

第二步：用數(shù)軸表示所給集合；

第三步：根據(jù)集合端點間關(guān)系列出不等式（組）;（4）解不等式（組）；

第四步：檢驗，通過返回代入驗證端點是否能夠取到.

第五步：解決此類問題多利用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合數(shù)軸或Venn圖進行求解.

易錯提醒：勿忘空集和集合本身.由于0是任意集合的子真，是任何集合的真子集，任何集合

的本身是該集合的子集，所以在進行列舉時千萬不要忘記。

4.設(shè)集合A={刈1〈*工3},8={x|xv〃}）,若則”的取值范圍是（）

A.{ala31}B.{a\a^\}

C.{。|。之3}D.{a\a>3]

5.設(shè)集合A={xk(4—x"3},8={x|x>a},若Ar8=A,則。的取值范圍是()

A.(-oo,l]B.(r,l)C.(-<?,3]D.(-<?,3)

6.已知集合人={小2-1=()},8={可辦=1},若則實數(shù)a取值集合為()

A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1)

7.已知集合4={#工>。},3={2“<"),且他4)。8=8,則實數(shù)a的取值范圍為()

A.[0,1]B.[0J)

C.(0,1)D.(-oo,0]

8.已知集合例={x|-l<jr<3},N={x|xNa,aeR},若McN=M,則實數(shù)a的取值范圍

是()

A.[-!,+<?)B.(YO,T]

C.[-1,3]D.(-1,3)

9.已知集合A={x|avx〈/+l,aeZ},B={x|2<x<6|,若A4=A，則。=()

A.1B.2C.3D.4

10.已知集合人=卜,2一2工一3<()},B={x|-l<x<-/n),若"8=4,則實數(shù)機的取值范

圍為()

A.(—3,+oo)B.(TO,-3]C.[3,+oojD.(—1,3]

11.已知集合4={力，=111(3》-/+4)}1={)，|)，=/+4,若人。8=4則實數(shù)/的取值范

圍是()

A.B.(-oo,U

C.S-I)D.(-oo,l)

易錯點三：忽視集合元素的互異性(利用集合元素三性解決元素

與集合關(guān)系問題）

類型1有限集中元素與集合間關(guān)系的判斷

（1）待確定元素與已知集合無關(guān):如果待確定元素的值只與自身有關(guān)，只需將元素化簡、求值，

再與該有限集內(nèi)的元素進行逐個對照，確定是否存在與其相等的元素.若存在,則屬于（￡）；若

不存在，則不屬于a

（2）待確定元素與已知集合有關(guān):當一個待定集合中的元素與一個已知集合有關(guān)，確定元素與

待定集合的關(guān)系（或待定集合中元素個數(shù)）時，應(yīng)先將待定集合中的元素根據(jù)題中限定條件求

出（常會用到列舉法和分類討論思想），然后根據(jù)題目信息進行分析判斷（常依據(jù)集合中元素的

互異性進行檢驗）.

類型2無限集中兀素與集合間關(guān)系的判斷

⑴將待確定元素進行變形，看能否表示成無限集合中元素的形式，如果可以，則屬于;否則不屬

于.

⑵假設(shè)法:假設(shè)該對象是集合中的元素，代人看是否與集合限定條件相矛盾，若不矛盾，則屬于;

否則不屬于.

易錯提醒：利用集合元素的“三性”尤其是互異性是解題的關(guān)鍵，求解過程中務(wù)必注意:用描述

法表示的集合，要先認清代表元素的含義和集合的類型，是數(shù)集、點集，還是其他類型的集合,

如{），Iy=2x1{xI），=2'},{（x,），）|），=2'}表示不同的集合.如果是根據(jù)已知列方程求參數(shù)

值，一定要將參數(shù)值代入集合中檢驗是否滿足元素的互異性.

例已知集合〃=徊〃=2k-lMeN*??10},Q={2.3.5},則集合T={對e。}中元

素的個數(shù)為（）

A.30B.28C.26D.24

變式1：設(shè)集合用={2〃?-1,/〃-3},若-3wM,則實數(shù)〃『（）

A.0B.-IC.0或一ID.0或1

變式2：已知集合人={1,23},B={a-b\aeA,beA}f則集合3中元素個數(shù)為（）

A.5B.6C.8D.9

變式3：若至?1,3,。2},則。的可能取值有()

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

三

1.對于復(fù)數(shù)若集合S={a/Cd}具有性質(zhì)”對任意x，)，eS,必有qwS”，則當

a=1

g2=1時，力+c+d等于（）

c2=b

A.1B.-1C.0D.i

2.已知集合A={1,24—1）,6={0,3,/+1},若A18={2},則實數(shù)〃的值為

A.±1B.-1C.1D.0

3.已知集合4={0,2a+l,/—2},若一則實數(shù)a=（）

A.1B.-1C.0D.±1

4.已知集合人={4/,2），},B={-Zx2A-y},若A=3,則實數(shù)x的取值集合為（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2）

5.已知awR,此R,若集合卜，=貝h產(chǎn)9+產(chǎn)°的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

6.已知集合A={a+l,/+4a—9,2021},若TcA,則實數(shù)”的值為（）.

A.-5B.1C.5或TD.-5或1

7.已知X為實數(shù)，A={2,x,x2）,集合A中有一個元素恰為另一個元素的2倍，則實數(shù)x的

個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

8.已知集合人={12,/+4%。+10},5e4,貝［〃=（）

A.-5B.-5或1C.1D.5

易錯點四：判斷充分性必要性位置顛倒

1.充分條件與必要條件的相關(guān)概念

⑴如果p=>q,則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；

⑵如果p=>q,但q4p,則p是q的充分不必要條件；

⑶如果p=>q,且q=>p,則p是q的充要條件；

(4)如果q=p,且p?q,則p是q的必要不充分條件；

(5)如果p力q,且q4p,則p是q的既不充分又不必要條件

2.從集合角度理解充分條件與必要條件

若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn)，即A={p(x)},B={q(x)卜則關(guān)于充分條件、

必要條件又可以敘述為：

(1)若AqB,則p是q的充分條件；

⑵若BqA,則p是q的必要條件；

⑶若A=B.則p是q的充要條件；

⑷若A$B,則p是q的充分不必要條件；

⑸若RB,則p是q的必要不充分條件；

(6)若A@B且A。B,則p是q的既不充分又不必要條件.

易錯提醒：(1)A是B的充分不必要條件是指:A=>B且B#A;

(2)A的充分不必要條件是B是指:B=A且A#B,在解題中要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯誤.

例命題為真命題的一個充分不必要條件是()

A.?<4B.?>4C.a<5D.a>5

變式1：已知命題〃：VXE[-4,2],^x2-?>0,則〃為真命題的一個充分不必要條件是()

A.a<-2B.a<0C.a<SD.a<!6

變式2：記方程①：x2-\-ax-\-1=0,方程②：X2+/>x+2=0?方程③：,v2+av+4=0>其中

。力,C是正實數(shù).若4b,c成等比數(shù)列，則”方程③無實根”的一個充分條件是（）

A.方程①有實根，旦②有實根B.方程①有實根，且②無實根

C.方程①無實根，且②有實根D.方程①無實根，且②無實根

變式3：若xywR,則的一個充分不必要條件可以是（）

A.H>|y|B.x2>y:

C.D.2—>2

1.設(shè)。泊為實數(shù)，則“a>b>0”的一個充分非必要條件是()

A.x/tf—1>y/b—\B.a~>/?■

C.!>—D.a—b>b—a

ba

2.使“a成立的一個充分不必要條件是()

A.Vxe(0,l],aWb+xB.Vxe(0,l],a+x<h

C.1VG[0J],a<b+xD.3XG[0,l],a+x^h

3.若不等式-a+l<x<a+l的一個充分條件為0<xvl,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.?>0B.a>0C.a>1D.?>1

4.命題“WxeR,2履2+立一<o"為真命題的一個充分不必要條件是（）

8

A.&w（-3,0）B.Ae（-3,0]C.Zw（-3,1）D.kw（-3,+a?）

1Q

5.如果不等式k一。|<1成立的充分不必要條件是:<x<]；則實數(shù)。的取值范圍是（）

（\3）「13]（3}13

一8,一kJ-,+8

[22）[22]I2；12JI2」|_2

6.命題”土€（1,2）1082/-。<0”為真命題的一個充分不必要條件是（)

A.?>0B.6/>2C.a>\D.a<4

7.函數(shù)/5）=,/一如+。一1有兩個零點的一個充分不必要條件是（）

A.a=3B.a=2C.a=\D.a=()

8.己知a,beR,則“力HO”的一個必要條件是（）

A.4+〃工0B.ci2+b2C.a'+Z/wOD.

易錯點五：由含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍

根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍的方法步驟：

第一步：求出當命題p,q為真命題時所含參數(shù)的取值范圍；

第二步：根據(jù)愛合命題的真假判斷命題p.q的真假性；

第三步：根據(jù)命題p,q的真假情況，利用集合的交集和補集的運算，求解參數(shù)的取值范圍.

易錯提醒：此類題目一般會出現(xiàn)％或q”為真,“p或q”為假,“p且q”為真,“p且q”為假等條

件，解題時應(yīng)先將這些條件轉(zhuǎn)化為p,q的真假.p,q的真假有時是不確定的，需要討論,但無論

哪種情況，一般都是先假設(shè)p,q為真，求出參數(shù)的取值范圍,當它們?yōu)榧贂r取補集即可。

2

例已知P：Dxe[l,2],x-a"）,c/:3xoeRt^+2^（+2-?=0,若“p且q”是真命題，則

實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<-2B.6/<1C.。<-2或a=lD.〃>一2且〃工1

變式1：若命題“DxeR,aF+]之0，，為真命題，則實數(shù)”的取值范圍為（）

A.?>0B.?>0C.a<0D.a<\

變式2：己知命題〃:3%wR,x；+2xo+aWO,命題夕：Vx>0,x+，>。，若〃假q真，則實數(shù)

x

a的取值范圍為（）

A.（1,+co）B.y,2]

C.（L2）D.（-1,21

變式3：命題“也6艮（4-2）/+2（〃-2）工一420”為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.{a\a<-2^a>2}B.{4-2<〃<2}

C.{a\-2<a<2\D.R

1.己知命題〃：VxeR,x2-x+2a>0^則“aW0”是“"是真命題”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知命題〃:土￡[0,1],--2刀-2+。>0：命題中,€R,x2-2.r-“*0,若命題P，夕均為

假命題，則實數(shù)”的取值他圍為()

A.[-1,3]B.[-L2]C.[0,2]D.(F-1]

3.若命題"VxeR,fr-aNO”是真命題，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.18,B.(-oo,l]C.[l,+oo)D.

4.若命題“VxeR,f—以+。工0”為假命題，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-8,4]B.(YO,4)C.(y°T)D.[-4,+CO)

5.若f一2依+9>0”是假命題，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-oo,3]B.[3,-KO)C.(3,-KC)D.[5,-KC)

2

6.已知p:*eR,"V+2K0,q：VxwR,X-2//L￥+1>0,若〃”為假命題，則實數(shù)加

的取值范圍是()

A.{/n|w>1}B.C.{"6"4-2}D.pn|-l

7.己知命題“WxeR,a*+4JV-1v0”是假命題，則實數(shù)”的取值范圍是()

A.(f-4)B.(-co,4)C.[-4,+<x))D.[4,+a>)

8.已知命題p：VreR,mx2+2>0;命題q：3XGR,?-2/nv+1^0?若p、g都為真命題，

則實數(shù)，〃的取值范圍是()

A.[1,-Kc)B.(-00,-1]C.(-00,-2]D.[-U]

9.若命題“Vxe[l,2],/-2m+1>0”是真命題，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.-B.仔一)C.S，DD.

10.已知命題，命題p:VxeR,ax?-CVC+1>0;</:3,￥eR、x，-x+?=0.若〃人“是真命題，則a

的取值范圍是().

A.(F4)B.[0,4)C.(0,1D.[0小

參考答案與試題解析

專題01集合與常用邏輯用語

易錯點一：對集合表示方法的理解存在偏差（集合運算問題兩種

解題方法）

方法一：列舉法

列舉法就是通過枚舉集合中的所有元素，然后根據(jù)集合基本運算的定義求解的方法。

其解題具體步驟如下：

第一步定元素：確定已知集合中的所有元素，利用列舉法或畫數(shù)軸寫出所有元素或范圍；

第一步定運算：利用常見不等式或等式解未知集合；

第三步：定結(jié)果。

方法二：賦值法

高考對集合的基本運算的考查以選擇題為主，所以我們可以利用特值法解題,即根據(jù)選項之

間的明顯差異，選擇一些特殊元素進行檢驗排除，從而得到正確選項.

其解題具體步驟如下：

第步：辨差異:分析各選項，辨別各選項的差異；

第二步：定特殊:根據(jù)選項的差異，選定一些特殊的元素；

第三步：驗排除:將特殊的元素代入進行驗證，排除干擾項；

第四步：定結(jié)果:根據(jù)排除的結(jié)果確定正確的選項。

易錯提醒：對集合表示法的理解先觀察研究對象（I前），研究對象是點集還是數(shù)集，故要

對本質(zhì)進行剖析，需要明確集合中的代表元素類型及代表元素的含義.

三

例已知集合A={上<不},B={(x,y)[.y>2},則集合AB=()

A.0B.(2,乃)C.(TO,2)D.(YO,I)

破解：根據(jù)交集定義計算，可以認為A是數(shù)集，B是點集,AcB=0故選：A

2

變式1:已知集合人=卜卜一1)紅-4)<()},B={y\y=2-x}t則A[6=()

A.0B.{x|l<x<4)

C.{x|l<x<2}D.1x|2<x<4}

破解：???A=(1,4),5=(y,2],Ac8=(l,2],故選：C

注意一個研究對象為數(shù)集一個為點集

變式2:已知集合4={(蒼加1爐+/=1,乂)￡時,B=a|x+y=l,%,yeR},貝IJ()

A.人。8={0,1}B.Ac8={(0,1),(1,。)}

C.A=BD.AnB=0

破解：由題意可知集合8={x|x+y=l,x,)，€R}為數(shù)集，

集合A={(X,)，)|f+y2=],x,ycR}表示點集，故選D

變式3：已知集合丹={川1。82(/-1)<0},B={x||x-2K2},則AQ5=()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<4}

C.{x|0<x<4}D.{X|X<4}

破解：因為A={x|l。&(x-l)v0}={x|l<x<2}

B={x||x-2|<2)={x|0<x<4)

所以Al8={x[l<x<2}n{x[0<x<4}={x[l<x<2],故選：A

三9

1.集合A={(x,y)|y=3x-2},B={(x,y)|y=x+4},則“B=()

A.{3,7}B.{(3,7)}C.{7,3}D.{x=3,y=7}

【答案】B

【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.

y=3x-2x=3-

【詳解】因為.7，所以44={(3,7)}.

y=x+4Iy=7

故選：B

2.已知集合4=k|d-2x<。},集合#=卜，及=lc&(2一爐)},則4B=()

A.(0,1]B.(-oo,l)C.(TO⑵D.(0,2)

【答案】A

【分析】解一元二次不等式可得集合A,根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可求得集合B,根據(jù)集合的交集

運算即得答案.

【詳解】由題意4=卜|/一21<0}=(0,2),

由于Ov2T2?2,故Iog2(2r2)?i,

故8=b|)，=1082(2-/)}=(-00,1],

所以A3=(05，

故選：A

3.設(shè)全集U=R,集合?={y|y=3x,T〈x<0},2=p|-^>oj,則2c4。等于()

A.(-2,0)B.[—2,0)C.(-3,-2)D.(-3,-2]

【答案】B

【分析】化簡集合4,B,根據(jù)集合的交集、補集運算.

【詳解】全集U=R,集合P={yly=3x,—l<x<0}=(-3,0),

。=卜|"^20>={%*0+2注0(工工-2}二(郎壯0或％<—2},

所以Q,Q={x|-2Kxv()},

則PcQ,Q={x|-2Kx<0}.

故選：B.

4.已知集合人={]￡用一l?x<4},By=Ig(-x2+2x+3)|,則B=()

A.{1,2}B.{0,1,2)

C.[-1,3)D.(-1,3)

【答案】B

【分析】先化簡集合4,B,再利用集合的交集運算求解.

【詳解】解：集合A={XGN|T"<4}={0,1,2,3},

由「？+2犬+3>0,得J2-2X-3<0,解得-l<x<3,

所以B={x\-\<x<3}t

所以A^={0,1,2),

故選：B

5.已知集合加={工|一1工工《2}川="|)，=111工},則McN=()

A.{x|-l<x<2}B.{A|-1<x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|xv-l或x之2}

【答案】C

【分析】先化簡集合N,再求McN即可解決.

【詳解】N={x\y=\nx}={x\x>0],

則M?/={x|-l<x<2}{x|x>0}={x|0<x<2}.

故選：C.

6.已知集合M={x|-4vx<2},N={xeZ卜2Vx<3},則McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{0,1,2)

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的交運算即可求解.

【詳解】N={xwZ卜2</<3}={-1,0,1,2},所以McN={-1,0,1},

故選：B

7.下列表示正確的個數(shù)是()

.、f,xI[2x+y=10],、

(l)O^0；(2)0c{l,2};(3)j(x,y)^_^=5『{3,4}；(4)若4?8,則4「山=4(5)

0e{0}

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系、交集、子集等知識進行分析，從而確

定正確答案.

【詳解】空集沒有元素，所以0/0正確，也即（1）正確；

空集是任何集合的子集，所以0a{1,2}正確，也即（2）正確；

由《2x一+y尸=510解[得x=3所以卜叫x|[2nx+一y；==1501）伸⑷}，所以⑶錯誤;

若A=即A是6的子集，所以A3=A,所以（4）正確；

根據(jù)元素與集合的關(guān)系可知0e{0}正確，也即（5）正確.

所以正確的個數(shù)是4.

故選：A

易錯點二：忽視（漏）空集導(dǎo)致錯誤（集合中的含參問題）

1.利用兩個集合之間的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍解題時務(wù)必注意:由于0是任意集合的子集,

若己知非空集合B,集合A滿足AqB或AUB,則對集合A分兩種情中的含參問題

況討論：

（I）當A=0時,若集合A是以不等式為載體的集合，則該不等式無解;（2）當A,0時,要利用子集的

概念把子集關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合對應(yīng)區(qū)間的端點值的大小關(guān)系，從而構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式

（組）求解.

2.利用兩集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍解決此類問題的步驟一般為：

第一步：化簡所給集合；

第二步：用數(shù)軸表示所給集合；

第三步：根據(jù)集合端點間關(guān)系列出不等式（組）;（4）解不等式（組）；

第四步：檢驗，通過返呵I代入驗證端點是否能夠取到.

第五步：解決此類問題多利用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合數(shù)軸或Venn圖進行求解.

易錯提醒：勿忘空集和集合本身.由于0是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合

的本身是該集合的子集，所以在進行列舉時千萬不要忘記。

例己知集合A={x|U<5},4=何一々<X。+3}.若8U（A"）,則。的取值范圍為（：）

A.-?-1B.1]

33

C.—co,-----D.，-

22°°

破解：根據(jù)集合的關(guān)系分類討論求參數(shù)即可，由"口&B),可得

3

當8=0時，-aNa+3,滿足題設(shè)

3-a>\,3

當8工0時，一。<。+3,即—，且，〃+3<5'可得一萬―

2

綜上，〃的取值范圍為(-8,7],故選：B

變式1：集合A={H2Y_5X+2=0},8={乂火一2=0},若4=人4,則實數(shù)〃的取值集

合為()

A.[1,4}B.{0,1,4}C.{1,4}D.{0,1,4}

破解：首先求出集合A,依題意可得40人再分8=0、8={2}、B={；}三種情況討論

因為人={中/-5x+2=。}=(2,g?,B=AB,所以BqA,又8=何0￥-2=0}

當8=0,則a=0,當8={2},即勿—2=0,解得〃=1,當4={g},即/「2=0,解

得a=4,綜上可得實數(shù)a的取值集合為{0,1,4},故選：D

變式2：設(shè)集合U=R,集合A={4-2KxK5},〃={x|m-6Wx<2加一1},若Ac8=0,則

實數(shù)機的取值范圍為()

A.1一;B.(Il,+oo)C.一;[1)D.(□,一；U(ih+<?)

破解：結(jié)合8是否為空集進行分類討論可求小的范圍

當"=0時，Ac8=0,則加一6之2〃?一1,即〃三一5

/〃-6<2m-1tn-6<2in-]

當8H0時，若Ac3=0,貝小或I

2m-1^-2m-6>5

解得-5<〃區(qū)-;或〃?>11,綜上，實數(shù)加的取值范圍為U("，+8)

2IZ.

故選：D

變式3：已知集合4=卜￡2,2<3},4=+5,若AcB有兩個元素，則實數(shù)。的

取值范圍是（）

A.a--<a<0

22

-?；?/p>

~<fl<—1或——<6?<0-D.a<a<0a>I?

2

破解：先解出集合A,結(jié)合Ac8有兩個元素求解即可

因為A={xwZ,<3}={-1,。,1},B=-xa<x<a+^[f由于有兩個元素

a<-\-1￡。<0

31

則?3八或13?解得——<。<一1或——va<0

0<47+—<1a+—>122

22

所以實數(shù)”的取值范圍是或彳<"。卜故選：c

1.已知集合人={加工犬<5},4=何―YXKO+4},若8c4）,則。的取值范圍為（）

A.{4-2〈4〈-1}B.?<-2}

C.?￡-1}D.{a\a>-2}

【答案】C

【分析】由4口（4為可以得到8=從而對集合8分類討論即可求解參數(shù)。的范圍.

【詳解】???已知B土（AflB）,又因為（Ac8）qB,

Z.AB=B,即BqA,

①當5=0時，'滿足笈白4,此時一〃之〃+4,解得a?—2；

-a<a+4

②當8H0時，由8qA,得?一。21,解得一2<〃4一1：

a+4<5

綜上所述，a<-\.

故選：C.

2.設(shè)集合A={x|2a+l<K<3a_5},^={x|x2-21.v+80<0},若Afl3=A.貝ij()

A.1a|2<a<7）B.{?|6<a<7|C.<7}D.{*<6}

【答案】C

【分析】解不等式化簡集合區(qū)再利用集合的包含關(guān)系求解即得.

【詳解】顯然5=卜任一2立+80式0}=閨5"小6},由AB=At得Ag3,

當A=0時，即2〃+1>%—5,解得。<6,滿足則。<6；

當AH0時，則5W2a+lW3a-5W16,解得6W〃W7；

所以a47.

故選：C

3.已知集合時=卜|/=1},N={x\ax=\},若McN=N,則實數(shù)。的取值集合為（）

A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1-1,0}

【答案】D

【分析】分。=0和4K0討論，根據(jù)集合關(guān)系可解.

【詳解】McN=NoNuM,

當。=0時，N=0,滿足NuM；

當〃工0時，N='—■,M={1,-1},由NuM可知』=1或,=-1,得白=1或〃=一1.

aa

綜上，實數(shù)。的取值集合為{I1，。}.

故選：D

4.設(shè)集合A={x|lvx<3},8={x|xva}）,若則”的取值范圍是（）

A.{al41}B.{?1?<1}

C.{a\a>3}D.{a\a>3]

【答案】D

【分析】根據(jù)ADK8得到兩集合間的關(guān)系，再由集合間的關(guān)系，求得〃的取值范圍.

【詳解】由ADQB得已知A={x[l<xW3},Q{x|xv0,

從而得a>3.

故選:D.

5.設(shè)集合4=卜,（4一人-”3},8=卜k>力，若A[8=A,則。的取值范圍是（）

A.y,1]B.（F1）C.~,3]D.（f3）

【答案】B

【分析】求出集合A,分析可知AuB,由集合的包含關(guān)系可得出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】解不等式“（4一力23,BPX2-4X+3<0,解得1G43,即4={刈343},

因為AB=At且8={不上>〃},則AqB,所以，a<1.

故選：B.

6.己知集合八=付/一1=。},4=可以=1},若AC8=8,則實數(shù)a取值集合為（）

A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【答案】D

【分析】由題意知分別討論8=0和8H0兩種情況，即可得出結(jié)果.

【詳解】由AB=B,知Bql,因為A={x|fT=0}={T,l},5={x|at=l）,

若8=0,則方程以=1無解，所以。=0；

若8x0,。工0,則3={x|ax=l}=，xx=：.，

因為BuA,所以'=±1,則。=±1；

a

故實數(shù)a取值集合為{7,0,1}.

故選：D.

7.已知集合人="|1>。},8={川]</},且他力B=B,則實數(shù)〃的取值范圍為（）

A.[0,1]B.[0J）

C.（0,1）D.（-co,0]

【答案】A

【分析】求出QA,依題意可得可得關(guān)于。的不等式，即可得解.

【詳解】因為A={x|x>a},所以々4={x|xWa},

又（《力B=B,所以BqaA,

又8={巾<〃2},所以/W,，解得04心1,

即實數(shù)〃的取值范圍為[0』.

故選：A.

8.已知集合”={乂-1<二<3},2={/,之〃間￡1<},若McN=M,則實數(shù)〃的取值范圍

是()

A.[-l,+oo)B.(-oo,-l]

C.D.(-1,3)

【答案】B

【分析】根據(jù)加門7=加得知=汽可得答案.

【詳解】因為McN=M,所以M=N,所以。W-1.

故選：B.

9.己知集合4={x[a<x</+],a￡z},8={x\2<x<6],若A13=A,則。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】有集合間的關(guān)系建立不等式組求出即可.

【詳解】由人。8=人，得易知集合A非空，

a>2，之2

則，a?+1W6=<a<>/5,

aeZaeZ

解得。=2.

故選:B.

10.已知集合4=卜產(chǎn)—2X—3V。},B={x|-l<x<-m},若A「八A’則實數(shù)，〃的取值范

國為()

A.(—3,-Ko)B.3]C.[3,+co)D.(—1,3]

【答案】B

【分析】解一元二次不等式化簡集合4再利用集合的包含關(guān)系求解作答.

【詳解】解不等式％2-2X-3V0,得-1<X<3,于是A=(-l,3),而8=(-l,-m),

因為=則4=8,因此一切23,解得〃區(qū)-3,

所以實數(shù)〃?的取值范圍為

故選：B

11.已知集合4=Wy=ln（3x—f+4）｝,4=｛），|），=/+4，若=則實數(shù)/的取值范

圍是（）

A.（—I]B.

C.S，-1）D.（-00,1;

【答案】A

【分析】首先分別求兩個集合，再根據(jù)包含關(guān)系，求參數(shù)/的取值范圍.

【詳解】由己知得人=｛疝%―/+4>0｝=（7,4）1=兒內(nèi)），

由AB=At得4=8,所以Y一1.

故選：A.

易錯點三：忽視集合元素的互異性（利用集合元素三性解決元素

與集合關(guān)系問題）

類型1有限集中元素與集合間關(guān)系的判斷

（I）待確定元素與已知集合無關(guān):如果待確定元素的值只與自身有關(guān)，只需將元素化簡、求值，

再與該有限集內(nèi)的元素進行逐個對照，確定是否存在與其相等的元素.若存在,則屬于（￡）;若

不存在，則不屬于

（2）待確定元素與已知集合有關(guān):當一個待定集合中的元素與?個已知集合有關(guān)，確定元素與

待定集合的關(guān)系（或待定集合中元素個數(shù)）時，應(yīng)先將待定集合中的元素根據(jù)題中限定條件求

出（常會用到列舉法和分類討論思想），然后根據(jù)題目信息進行分析判斷（常依據(jù)集合中元素的

互異性進行檢驗）.

類型2無限集中元素與集合間關(guān)系的判斷

⑴將待確定元素進行變形，看能否表示成無限集合中元素的形式，如果可以，則屬于;否則不屬

于.

（2）假設(shè)法:假設(shè)該對象是集合中的元素,代人看是否與集合限定條件相矛盾，若不矛盾，則屬于;

否則不屬于.

易錯提醒：利用集合元素的“三性”尤其是互異性是解題的關(guān)鍵，求解過程中務(wù)必注意:用描述

法表示的集合，要先認清代表元素的含義和集合的類型，是數(shù)集、點集，還是其他類型的集合,

如{yIy=2x\{xI），=2'},{（x,），）|），=2'}表示不同的集合.如果是根據(jù)已知列方程求參數(shù)

值，一定要將參數(shù)值代入集合中檢驗是否滿足元素的互異性.

例已知集合2=徊〃=2%-1?￡1\1*,々工10},Q={2,3,5},則集合7={"X￡P(guān),），CQ}中元

素的個數(shù)為（）

A.30B.28C.26D.24

破解：P=M〃=2k-lMwN*,kG0}={l,3,5,79U,13/5,17,19},2={2,3,5}

因為丁={町|xwP,ycQ},當xcP,y=2時，P為偶數(shù)，共有10個元素

當xwP,y=3時，一為奇數(shù),此時中=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,共有10個元素

當xe匕y=5時，個為奇數(shù)，此時個=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重復(fù)數(shù)字15,45,

去掉，共有8個元素.

綜上丁={WxeP,ye。}中元素的個數(shù)為10+10+8=28個，故選：B

變式1：設(shè)集合”={2〃?-1,〃?-3},若則實數(shù)m=（）

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

破解：根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論2〃?-1=-3和巾-3=-3兩種情況，求解，〃并噎臉

集合的互異性

設(shè)集合M={2〃?-1,〃?一3},若一3eM,.-3eM,=-3或，〃-3=-3。

當2〃?一1=一3時，此時M={-3,T},當〃?一3=-3時，/〃=0,此時/={-3,-1}

所以機=-1或0,故選：C

變式2：已知集合4={1.23}.B={a-b\aeA.bEA},則集合R中元素個數(shù)為（）

A.5B.6C.8D.9

破解：集合4={123},8=則當〃=力時，有〃一人=0,當時，a-b=\

或。一。=2,當〃</?時，。一〃二一1或。一〃二一2,所以8=[-2,-1,0,1,2},集合6有中5個

元素，故選：A

變式3：若。€{1,3,1},則。的可能取值有（）

A.0B.0,IC.0,3D.0,I,3

破解：根據(jù)元素與集合的關(guān)系及集合中元素的性質(zhì)，即可判斷。的可能取值

a=0,則符合題設(shè)，。=1時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè),

〃=3時，符合題設(shè)，???。=0或。=3均可以.故選：C

1.對于復(fù)數(shù)。也C,d,若集合s={〃也c,d}具有性質(zhì)”對任意x,yeS,必有q，cS”，則當

{6=1時，〃+c+d等于()

c2=b

A.1B,-1C.0D.i

【答案】B

【詳解】試題分析：集合S={a,〃,c,c/}中a,〃,c,d各不相同

22

a=Lb=1.*./?=-1.-.c=-i..c