專題2.1 有理數(shù)的加法【八大題型】（舉一反三）（人教版2024）（解析版）

專題2.1有理數(shù)的加法【八大題型】

【人教版2024】

【題型1有理數(shù)的加法概念理解】........................................................................................................................1

【題型2有理數(shù)的加法運(yùn)算】................................................................................................................................3

【題型3有理數(shù)的加法運(yùn)算律】............................................................................................................................5

【題型4巧用拆項法進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算】....................................................................................................6

【題型5有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】....................................................................................................................9

【題型6有理數(shù)加法的實際應(yīng)用】......................................................................................................................11

【題型7利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】......................................................................................................13

【題型8有理數(shù)加法中的新定義問題】..............................................................................................................17

知識點1：有理數(shù)的加法

1.定義：把兩個（或多個）有理數(shù)相加的過程叫有理數(shù)的加法。（兩個有理數(shù)相加，和是一個有理數(shù)）。

2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數(shù)的絕對值的和；（2）絕對值不相等

的異號兩數(shù)相加，和取絕對值較大的加數(shù)的符號，且和的絕對值等于加數(shù)中絕對值較大者與較小者的差；

互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．

注意：1）有理數(shù)的運(yùn)算分兩步走，第一步，確定符號，第二步，確定絕對值；2）計算的時候要看清符號，

同時要熟練掌握計算法則.

【題型1有理數(shù)的加法概念理解】

【例1】（23-24七年級·河南周口·階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（）

A．兩數(shù)之和可能小于其中的一個加數(shù)B．兩數(shù)相加就是它們的絕對值相加

C．兩個負(fù)數(shù)相加，和取負(fù)號，絕對值相加D．兩個數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則，相反數(shù)的定義，逐一進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：A、兩數(shù)之和可能小于其中的一個加數(shù)，異號相加，和小于原來的正數(shù)，選項正確，不符合題

意；

B、兩數(shù)相加就是它們的絕對值相加，異號相加，取絕對值大的符號，再用大絕對值減去小絕對值，選項錯

第1頁共19頁.

誤，符合題意；

C、兩個負(fù)數(shù)相加，和取負(fù)號，絕對值相加，選項正確，不符合題意；

D、互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，所以兩個數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零，選項正確，不符合題意；

故選B．

【點睛】本題考查有理數(shù)的加法法則．熟練掌握有理數(shù)的加法法則：“同號相加，取相同符號，再把絕對值

相加；異號相加，取絕對值大的符號，再用大絕對值減去小絕對值．”是解題的關(guān)鍵．

【變式1-1】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（）

A．兩數(shù)之和必大于任何一個加數(shù)

B．同號兩數(shù)相加，符號不變，并把絕對值相加

C．兩負(fù)數(shù)相加和為負(fù)數(shù)，并把絕對值相減

D．異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并把絕對值相加

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算法則，有理數(shù)的加法運(yùn)算法則對各選項分析判斷即可得解．

【詳解】A．兩數(shù)之和必大于任何一個加數(shù)，錯誤，故本選項錯誤；

B．同號兩數(shù)相加，符號不變，并把絕對值相加，正確，故本選項正確；

C．應(yīng)為兩負(fù)數(shù)相加和為負(fù)數(shù)，并把絕對值相加，故本選項錯誤；

D．應(yīng)為異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并把用較大的絕對值減去較小的絕對值，故本選項錯

誤．故選：B．

【點睛】本題主要考查有理數(shù)的減法、有理數(shù)的加法以及絕對值的概念，掌握有理數(shù)的加減運(yùn)算法則是解

題關(guān)鍵．

【變式1-2】（23-24七年級·山東德州·階段練習(xí)）若有理數(shù)?+?+?<0，則（）

A．三個數(shù)中至少有兩個負(fù)數(shù)B．三個數(shù)中有且只有一個負(fù)數(shù)

C．三個數(shù)中至少有一個負(fù)數(shù)D．三個數(shù)中有兩個是正數(shù)或兩個是負(fù)數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則，即可求解．

【詳解】解：∵?+?+?<0，

∴?<?(?+?)，

?+?則有大于等于0和小于0兩種情況：

當(dāng)?+?≥0時，則?<0，且b和c當(dāng)中至少有一個正數(shù)，

第2頁共19頁.

當(dāng)?+?<0時，則?<??，此時b和c至少有一個負(fù)數(shù)，

綜上所述，三個數(shù)中至少有一個負(fù)數(shù)．

故答案為：C

【點睛】此題考查的是有理數(shù)的加法問題．有理數(shù)的加法法則：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并

把絕對值相加；（2）絕對值不等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的

絕對值；（3）互為相反的兩個數(shù)相加得0；（4）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．

【變式1-3】（23-24七年級·湖北宜昌·期中）如果?+?+?=0，且|?|>|?|>|?|．則下列說法中可能成立

的是（）

A．?、?為正數(shù)，?為負(fù)數(shù)B．?、?為正數(shù)，?為負(fù)數(shù)C．?、?為正數(shù)，?為負(fù)數(shù)D．?、

?為正數(shù)，?為0

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法，一對相反數(shù)的和為0，可得?、?、?中至少有一個為正數(shù)，至少有一個為負(fù)數(shù)，

又|?|>|?|>|?|，那么|?|=|?|+|?|，進(jìn)而得出可能存在的情況．

【詳解】解：∵?+?+?=0，

∴?、?、?中至少有一個為正數(shù)，至少有一個為負(fù)數(shù)，

∵|?|>|?|>|?|，

∴|?|=|?|+|?|，

∴可能?、?為正數(shù)，?為負(fù)數(shù)；也可能?、?為負(fù)數(shù)，?為正數(shù)．

故選：A．

【點睛】本題主要考查的是有理數(shù)的加法，絕對值的意義，掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．

【題型2有理數(shù)的加法運(yùn)算】

【例2】（23-24七年級·河北廊坊·階段練習(xí)）要使等式3○(+5)=?2成立，“○”中應(yīng)填的運(yùn)算符號為（）

A．+B．?C．×D．÷

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)減法運(yùn)算，能根據(jù)結(jié)果判斷出是減法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：3?(+5)=?2，

故選：B．

【變式2-1】（23-24七年級·吉林·期末）比?5大8的數(shù)是．

【答案】3

第3頁共19頁.

【分析】本題考查了有理數(shù)加法運(yùn)算，計算?5+8即可求解．

【詳解】解：比?5大8的數(shù)是：?5+8=3，

故答案為：3．

【變式2-2】（23-24七年級·山西臨汾·階段練習(xí)）下面是小亮同學(xué)做的4道題，①(?100)+(?8)=?2；

②0+(?20)=?20；③+(?2023)+2023=?4046；④?2023+(+23)=?2000；其中答對的有（）

A．1道B．2道C．3道D．4道

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)加法運(yùn)算法則進(jìn)行解答即可．

【詳解】解：①(?100)+(?8)=?108，故原算式計算錯誤；

②0+(?20)=?20，計算正確；

③+(?2023)+2023=0，故原算式計算錯誤；

④?2023+(+23)=?2000計算正確．

所以，答對的有2道．

故選：B．

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)加法運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

【變式2-3】（23-24七年級·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）中國人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”

的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)，如圖，根據(jù)劉徽的這種

表示法，圖1可列式計算為(+1)+(?1)=0，由此可推算圖2中計算所得的結(jié)果為（）

A．+1B．+7C．?1D．?7

【答案】C

【分析】根據(jù)圖示得出兩個數(shù)，然后再進(jìn)行求和得出答案．本題主要考查的是有理數(shù)的加法與閱讀理解型，

屬于基礎(chǔ)題型．理解題意是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：由題意得：(+4)+(?5)=?1，

故選：C．

知識點2：運(yùn)算律

第4頁共19頁.

1）加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；即a+b＝b+a。

2）加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變；即(a+b)+c＝a+(b+c)。

注意：1）利用加法交換律、結(jié)合律，可以使運(yùn)算簡化，認(rèn)識運(yùn)算律對于理解運(yùn)算有很重要的意義。

2）注意兩種運(yùn)算律的正用和反用，以及混合運(yùn)用。

【題型3有理數(shù)的加法運(yùn)算律】

【例3】（23-24七年級·廣東中山·期中）下列變形，運(yùn)用加法運(yùn)算律正確的是（）

A．3+(?2)=2+3B．4+(?6)+3=(?6)+4+3

C．[5+(?2)]+4=[5+(?4)]+2D．16+(?1)+(+56)=(16+56)+(+1)

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律逐項判斷即可得．

【詳解】解：A．3+(?2)=(?2)+3，則此項錯誤，不符合題意；

B．4+(?6)+3=(?6)+4+3，則此項正確，符合題意；

C．[5+(?2)]+4=(5+4)+(?2)，則此項錯誤，不符合題意；

D．16+(?1)+(+56)=(16+56)+(?1)，則此項錯誤，不符合題意；

故選：B．

【點睛】本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算律，熟練掌握有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律是解題關(guān)鍵．

【變式3-1】（23-24七年級·江西南昌·期中）計算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)時，運(yùn)用了加

法（）

A．交換律B．結(jié)合律C．分配律D．交換律與結(jié)合律

【答案】D

【分析】計算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)，先運(yùn)用加法交換律把6和10的位置-4和-8與交

換，然后根據(jù)加法結(jié)合律把正數(shù)和負(fù)數(shù)分別結(jié)合在一起．

【詳解】解：2?4+6?8+10

=2+6+10?4?8（加法交換律）

=(2+6+10)+(?4?8)（加法結(jié)合律）

故選：D．

【點睛】本題是考查加法交換律與結(jié)合律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識，要掌握．

【變式3-2】（23-24七年級·全國·課堂例題）計算：1+2+3+?+2023+(?1)+(?2)+(?3)+?+

(?2024)．

第5頁共19頁.

【答案】?2024

【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計算即可得．

【詳解】解：原式=[1+(?1)]+[2+(?2)]+[3+(?3)]+?+[2023+(?2023)]+(?2024)

=0+0+0+?+0+(?2024)

=?2024．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律是解題關(guān)鍵．

【變式3-3】（23-24七年級·全國·課堂例題）計算(?5.13)?(?4.62)+(?8.47)?(?2.38)時，先把減法轉(zhuǎn)化

為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運(yùn)算律將算式轉(zhuǎn)化為=

+=．

【答案】(?5.13)+(+4.62)+(?8.47)+(+2.38)[(?5.13)+(?8.47)]+[(+4.62)+(+2.38)]

(?13.6)7?6.6

【分析】先把有理數(shù)加減混合運(yùn)算統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算，再利用有理數(shù)加法運(yùn)算律進(jìn)行計算．

【詳解】解：計算(?5.13)?(?4.62)+(?8.47)?(?2.38)時，

先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得(?5.13)+(+4.62)+(?8.47)+(+2.38)，

觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運(yùn)算律將算式轉(zhuǎn)化為

[(?5.13)+(?8.47)]+[(+4.62)+(+2.38)]=(?13.6)+7=?6.6．

故答案為：①(?5.13)+(+4.62)+(?8.47)+(+2.38)，②[(?5.13)+(?8.47)]+[(+4.62)+(+2.38)]，

③(?13.6)，④7，⑤?6.6．

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)加法運(yùn)算以及加法運(yùn)算律的知識，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題

關(guān)鍵．

【題型4巧用拆項法進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算】

【例4】（23-24七年級·河南鄭州·期中）閱讀下面文字：

31

對于?33+?11+2+2可以如下計算：

10252

原式=?3+?3+?1+?1+2+3+2+1

10252

=[(?3)+(?1)+2+2]+______

=0+______

=______．

上面這種方法叫拆項法．

第6頁共19頁.

(1)請補(bǔ)全以上計算過程；

31

(2)類比上面的方法計算：?20242+2023+?20225+2021．

3467

3

【答案】(1)?3+?1+3+1；?3+3；

1025210510

17

?2，過程見詳解。

(2)28

【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算法則．

（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算；

（2）參照（1）的解題思路解題即可．

31

【詳解】（1）解：?33+?11+2+2可以如下計算：

10252

原式=?3+?3+?1+?1+2+3+2+1，

10252

3131

=[(?3)+(?1)+2+2]+?+?++

10252

33

=0+?+

105

3

=.

10

3

故答案為：?3+?1+3+1；?3+3；

1025210510

31

（2）解：?20242+2023+?20225+2021

3467

2351

=?2024+?+2023++?2022+?+2021+

3467

2351

=[?2024+2023+(?2022)+2021]+?++?+

3467

17

=?2+?

28

17

=?2.

28

【變式4-1】計算：

5221

?2019+?2018+4036+?1

6332

1

【答案】?3，計算過程見解析

3

【分析】將各帶分?jǐn)?shù)依據(jù)已知題的拆分方法分別拆分，再將整數(shù)部分、分?jǐn)?shù)部分分別相加，根據(jù)有理數(shù)的

加法法則進(jìn)行計算即可得到答案.

第7頁共19頁.

2

【詳解】解：原式＝(?2019)+(?5)+(?2018)+(?2)+(4036+)+(?1)+(?1)

6332

＝[(－2019)＋(－2018)＋4036＋(－1)]＋(?5)+(?2)+2+(?1)

6332

4

＝－＋(?)

(2)3

1

＝?3

3.

【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法法則，利用拆分法進(jìn)行計算，正確理解已知中的解題方法并正確解題是

關(guān)鍵.

31

【變式4-2】（23-24七年級·四川成都·階段練習(xí)）(1)計算：?172+16+?151?2；

3432

2

(2)計算?20005+?19992+4000+?11．

6332

3

【答案】(1)?18；

4

4

?．

(2)3

【分析】（1）先將各帶分?jǐn)?shù)拆分成一個整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和，再利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計算

即可得；

（2）先將各帶分?jǐn)?shù)拆分成一個整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和，再利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計算即可得；

本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．

31

【詳解】（1）解：?172+16+?151?2

3432

2311

=[(?17)+16+(?15)+(?2)]+?++?+?

3432

=?18+?3，

4

3

=?18；

4

2

（2）解：?20005+?19992+4000+?11

6332

5221

=[(?2000)+(?1999)+4000+(?1)]+?+?++?

6332

=0+?4，

3

4

=?．

3

第8頁共19頁.

【變式4-3】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）計算：?20227+?20215+?11+4044．

2486

1

【答案】?1

12

【分析】此題考查了有理數(shù)的加法計算，先將帶分?jǐn)?shù)拆分，利用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行計算即可，熟練

掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：?20227+?20215+?11+4044

2486

751

=(?2022)+?+(?2021)+?+(?1)+?+4044

2486

751

=[(?2022)+(?2021)+(?1)+4044]+?+?+?

2486

13

=0+?

12

1

=?1．

12

【題型5有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】

【例5】（23-24七年級·江西上饒·期中）把所有正整數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：

（1），(2，3，4)，(5，6，7，8，9)，(10，11，12，13，14，15，16)，…，現(xiàn)用等式AM=(i，j)表

示正整數(shù)M是第i組第j個數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3，4)，則A2020=()

A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)

【答案】D

【分析】根據(jù)排列規(guī)律，先判斷2020在第幾組，再判斷是這一組的第幾個數(shù)即可求解；

【詳解】設(shè)2020在第n組，組與組之間的數(shù)字個數(shù)規(guī)律可以表示為：2n-1

1

則1+3+5+7+???+(2n-1)=×2n×n=?2，

2

當(dāng)n=44時，?2=1936，

當(dāng)n=45時，?2=2025，

∴2020在第45組，且2020-1936=84，即2020為第45組的第84個數(shù)；

故選：D．

【點睛】本題考查數(shù)字類的規(guī)律探究、有理數(shù)的加法運(yùn)算，善用聯(lián)想探究數(shù)字規(guī)律是解決此類問題的常用

方法.

【變式5-1】（23-24七年級·全國·專題練習(xí)）小明同學(xué)在上樓梯時發(fā)現(xiàn)，若只有一個臺階時，有一種走法；

若有兩個臺階時，可以一階一階地上，或者一步上兩個臺階，共有2種走法；如果他一步只能上一個或者

第9頁共19頁.

兩個臺階，根據(jù)上述規(guī)律，有三個臺階時，他有3種走法，那么有四個臺階時，共有走法（）

A．3種B．4種C．5種D．6種

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知：當(dāng)有四個臺階時，可分情況討論：①逐級上，那么有一種走法；②上一個臺階和

上二個臺階合用，那么有共三種走法；③一步走兩個臺階，只有一種走法；所以可求得有五種走法．注意

分類討論思想的應(yīng)用．

【詳解】當(dāng)有四個臺階時，可分情況討論：

①逐級上，那么有一種走法；

②上一個臺階和上二個臺階合用，那么有：

1、1、2；1、2、1；2、1、1；

共三種走法；

③一步走兩個臺階，只有一種走法：2、2；

綜上可知：共5種走法．

故選C．

【點睛】本題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件，列舉出可能走的方法解答．

【變式5-2】（23-24七年級·山東日照·階段練習(xí)）一跳蚤在一直線上從O點開始，第1次向右跳1個單位，

緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位…，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)

它跳第2000次落下時，落點處位于O點的（）

A．右側(cè)500個單位B．左側(cè)500個單位

C．右側(cè)1000個單位D．左側(cè)1000個單位

【答案】D

【分析】設(shè)從點O向右為正，向左為負(fù)．根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義列出式子計算即可．

【詳解】解：設(shè)從點O向右為正，向左為負(fù)，

由題意得最后的位置標(biāo)示的數(shù)即為：1+(?2)+3+(?4)+…+(?2000)，

觀察可以發(fā)現(xiàn)，1+(?2)=?1，3+(?4)=?1，5+(?6)=?1，

2000

1++3++…+(?2000)=×=?1000，

∴(?2)(?4)(?1)2

∴此時跳蚤在原點左側(cè)1000個單位，

故選D．

【點睛】此題主要考查有理數(shù)加法在實際生活中的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是會用正負(fù)數(shù)來表示一對具有相

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反意義的量．同時在計算的過程中，能正確找到規(guī)律．

【變式5-3】（23-24七年級·浙江臺州·階段練習(xí)）觀察下面的幾個算式：

1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5．

根據(jù)上面幾道題的規(guī)律，計算下面的題：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值為

【答案】81

【分析】先找題上幾個算式的規(guī)律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加數(shù)最中間是2，則答案是2×2；

1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加數(shù)最中間是3，則答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加

數(shù)最中間是4，則答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加數(shù)最中間是5，則答案

是5×5；由此推出規(guī)律計算即可.

【詳解】先找題上幾個算式的規(guī)律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加數(shù)最中間是2，則答案是2×2；

1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加數(shù)最中間是3，則答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加

數(shù)最中間是4，則答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加數(shù)最中間是5，則答案

是5×5；則1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，最中間加數(shù)是9，則答案是9×9=81，

故答案為81.

【點睛】本題主要是對有理數(shù)規(guī)律問題的考查，準(zhǔn)確找到規(guī)律并計算是解決本題的關(guān)鍵.

【題型6有理數(shù)加法的實際應(yīng)用】

【例6】（23-24七年級·北京·期中）德勝中學(xué)在勞動節(jié)中組織學(xué)生進(jìn)行農(nóng)作物種植實踐活動．已知某種農(nóng)

作物種植完成共需A、B、C、D、E、F、G七個步驟，種植要求如下：

①步驟C、D須在步驟A完成后進(jìn)行，步驟E須在步驟B、D都完成后進(jìn)行，步驟F須在步驟C、D都完

成后進(jìn)行；

②一個步驟只能由一名學(xué)生完成，此步驟完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他步驟；

③各個步驟所需時間如下表所示：

步驟ABCDEFG

所需時間t分鐘10108108114

在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨完成此種農(nóng)作物種植，則需要分鐘；若由兩名學(xué)生

合作完成此種農(nóng)作物種植，則最少需要分鐘．

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【答案】6131

【分析】本題考查了邏輯推理與時間統(tǒng)籌，根據(jù)種植要求得出種植步驟是解題的關(guān)鍵．

將所有步驟需要的時間相加即可得出由一名學(xué)生單獨完成需要的時間；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，根據(jù)加

工要求可知甲學(xué)生做步驟A，乙學(xué)生同時做步驟B；然后甲學(xué)生做步驟D，乙學(xué)生同時做步驟C，乙學(xué)生步

驟C完成后接著做步驟G；最后甲學(xué)生做步驟F，乙學(xué)生同時做步驟E，然后可得答案．

【詳解】解：由題意，得：10+10+8+10+8+11+4=61(分鐘)，

即：一名學(xué)生單獨完成需要61分鐘，

假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，

∵步驟C，D須在步驟A完成后進(jìn)行，步驟E須在步驟B，D都完成后進(jìn)行，且步驟A，B都需要10分鐘完

成，

∴甲學(xué)生做步驟A，乙學(xué)生同時做步驟B，需要10分鐘，然后甲學(xué)生做步驟D，乙學(xué)生同時做步驟C，乙學(xué)

生步驟C完成后接著做步驟G，需要12分鐘，但此時甲同學(xué)后面多兩分鐘剩余，最后甲學(xué)生做步驟F，乙

學(xué)生同時做步驟E，還需要9分鐘(減去前面剩余2分鐘)，

如下圖所示：

∴若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要10+12+9=31(分鐘)，

故答案為：61，31．

【變式6-1】（23-24七年級·貴州貴陽·期末）張燁同學(xué)每天從家到學(xué)校要走1.5km，他的家與學(xué)校、超市在

一條東西走向的大街上，且張燁家在學(xué)校和超市的正中間．若把張燁家、學(xué)校、超市分別看成一個點，大

街看成一條直線．一天早上，張燁從家出發(fā)，先去超市買筆記本，再到學(xué)校，他一共走的路程為（）

A．1.5kmB．3kmC．4.5kmD．6km

【答案】C

【分析】此題考查了有理數(shù)加法運(yùn)算的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式求解即可．

【詳解】根據(jù)題意得，1.5+1.5+1.5=4.5(km)．

∴他一共走的路程為4.5km．

故選：C．

【變式6-2】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）一個實驗室里有10個柜子．分別用10把不同的鎖鎖著，但

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10把鑰匙很相像，管理員又忘了鑰匙編號（1把鑰匙只能開1把鎖，不能混用）．從最壞的情況考慮，至

多要試開幾次才能把10把鎖都打開？

【答案】55

【分析】本題考查有理數(shù)加法的實際應(yīng)用，最多試幾次，就是要從最壞的情況來考慮，開第一把鎖，從最

壞的情況考慮，試了9次還沒成功，第10次一定能打開這把鎖，要開10把不同的鎖的嘗試的次數(shù)相加即

可．

【詳解】解：第1把鎖最多試開10次一定能打開，第2把鎖最多試開9次一定能打開……第10把鎖只要

試開1次就能打開．所以只需試開1+2+3+???+9+10=55（次）．

答：至多要試開55次才能把10把鎖都打開．

【變式6-3】（23-24七年級·全國·競賽）希希、望望、貝貝三個人在火車上斗地主，地主贏一局積2分，輸

一局積負(fù)2分，農(nóng)民贏一局積1分，輸一局積負(fù)1分．10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和

為．（提示：地主贏則兩個農(nóng)民都輸；農(nóng)民贏則兩個農(nóng)民都贏，地主輸．）

【答案】0/0分

【分析】本題考查數(shù)的運(yùn)算，計算出每一局的積分和，從而求得10局積分總和．

【詳解】解：由題意，

每一局地主贏則兩個農(nóng)民都輸，此時三人得分總和為2+(?1)+(?1)=0分；

每一局農(nóng)民贏則兩個農(nóng)民都贏，地主輸，此時三人得分總和為2+(?1)+(?1)=0分；

∴10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和為0分，

故答案為：0．

【題型7利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】

【例7】（23-24七年級·遼寧阜新·期末）把夏禹時代的“洛書”用數(shù)學(xué)符號翻譯出來就是一個三階幻方，它的

每行、每列、每條對角線上三個數(shù)之和均相等，則幻方中???的值是．

【答案】?3

【分析】

本題主要考查了有理數(shù)的加法，解決此題的關(guān)鍵利用中心數(shù)求幻和，再由幻和與已知數(shù)求得?、?，最后是

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有理數(shù)的加法．

根據(jù)三階幻方的特點，三階幻方的中心數(shù)，可得三階幻方的和，根據(jù)三階幻方的和，可得?、?的值，根據(jù)

有理數(shù)的減法，可得答案．

【詳解】

解：根據(jù)幻方的性質(zhì)，

則?+9=8+5，

所以?=4，

而?+8=5+?，

則?=7，

故???=4?7=?3，

故答案為：?3．

【變式7-1】（23-24七年級·山東青島·期中）如圖是根據(jù)幻方改編的“幻圓”游戲，將?3，2，?1，0，1，

?2，3，?4分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫行、豎列以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等．已知圖中?，?，

?，?分別表示一個數(shù)，則?+?的值是（）

A．?4B．1C．?2或3D．?2

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)的加法，根據(jù)題意利用有理數(shù)的加法法則進(jìn)行計算即可．掌握有理數(shù)的加法法則

是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：?3+2?1+0+1?2+3?4=?4，

所以內(nèi)外兩圈上以及橫、豎上的4個數(shù)字之和都為?2，

所以?=?2?(3?2?4)=1，

所以?=?2?(?2+0+1)=?1，

故?=?3或2，

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所以?+?=?2或3．

故選：C．

【變式7-2】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國古代夏禹時期的“洛書”（圖1

所示），是世界上最早的矩陣，又稱“幻方”，用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來，“洛書”就是一個三階“幻方”（圖

2所示）．

【規(guī)律總結(jié)】觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件

是；

若圖3是一個“幻方”，則?=．

【答案】每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等0

【分析】計算每橫行、每豎行、每條對角線上的三數(shù)和，便可回答結(jié)果；根據(jù)題意確定出“幻方”需要的條件，

即可確定出b的值．

【詳解】解：觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件

是：每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等；

因為(?1)+1+3=3，所以?+5+(?2)=3，所以?=0．

故答案為：每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等，0

【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．

【變式7-3】（23-24七年級·江蘇無錫·期中）中國古代數(shù)學(xué)書《數(shù)術(shù)拾遺》是最早記載有關(guān)幻方的文字．如

圖是一個簡單的幻方模型，將?1，?2，?3，1，2，3，4，5分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使得每個三角形的三

個頂點上的數(shù)之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)之和相等，若已經(jīng)把?1、?3這兩個數(shù)填入了圓圈，則

??+??的值為．

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【答案】2

【分析】先設(shè)d左邊的圓圈內(nèi)數(shù)字為e，另一個圓圈內(nèi)數(shù)字為f，根據(jù)每個三角形的三個頂點上的數(shù)字之和

都與中間正方形四個頂點上的數(shù)字之和相等，可先求出b，再根據(jù)?+??1=?+?+2=?+??3=??1，

求出d和e，最后求出a和c，即可求出??+??的值．

【詳解】解：設(shè)d左邊的圓圈內(nèi)數(shù)字為e，另一個圓圈內(nèi)數(shù)字為f，

根據(jù)題意可知，?+?+??3=?+??1，

∴??6=?1，

∴?=2，

∵?+??1=?+?+2，?+??1=?+??3，?+??1=??1，

∴3(?+??1)=?+?+2+?+??3+??1=(?1)+(?2)+(?3)+1+2+3+4+5=9，

∴(?+??1)=3，?=?+3，?=??2，

∴?+?=4，?=?+3，?=??2，

∵已填?1、?3，而且?=2，

∴e、d只能從?2，1，3，4，5中選，

∴?=1，?=3或?=3，?=1，

當(dāng)?=1，?=3時，?=4，?=?2符合題意；

當(dāng)?=3，?=1時，?=0不符合題意，舍去；

∴?=4，?=?2，

∴??+??=2，

故答案為：2．

【點睛】此題主要考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算方法，以及幻方的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．

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【題型8有理數(shù)加法中的新定義問題】

【例8】（23-24七年級·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）定義一種新運(yùn)算“△”滿足：8△3=8+9+10=27，

7△4=7+8+9+10=34，6△5=6+7+8+9+10=40，求1△10．

【答案】55

【分析】根據(jù)新的運(yùn)算，從“△”前面的數(shù)開始進(jìn)行連續(xù)自然相加，“△”后面的數(shù)連續(xù)相加的個數(shù)，利用規(guī)

律即可求解．

【詳解】由8△3=8+9+10=27，7△4=7+8+9+10=34，6△5=6+7+8+9+10=40，可得：

1△10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．

【點睛】此題考查定義新運(yùn)算，解此題的關(guān)鍵是觀察規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算．

【變式8-1】（23-24七年級·山東青島·期中）定義一種運(yùn)算，設(shè)[?]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2.25]=2

，[?1.5]=?2，據(jù)此規(guī)定計算[?