第08講 有理數(shù)的乘方（5個知識點+7個考點+易錯分析）原卷版

第08講有理數(shù)的乘方

（5個知識點+7個考點+易錯分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.理解有理數(shù)的乘方的意義,并能進(jìn)行乘方運(yùn)算

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）2.掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序,并能熟練、正確地進(jìn)行計算

模塊三核心考點舉一反三3.借助生活進(jìn)一步感受較大的數(shù),并能用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大

模塊四小試牛刀過關(guān)測于10的數(shù)

4.了解近似數(shù)的意義,能按要求取近似數(shù)

知識點1.有理數(shù)乘方的意義（重點）

1、求n個相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪。a叫底數(shù)，n叫指數(shù)，an讀作：a的n次冪(a

的n次方)。

2、乘方的意義：an表示n個a相乘。

n個a

n

aaaaa

3、寫法的注意：

當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時，底數(shù)一定要打括號，不然意義就全變了．

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2222

如：()2＝()×()，表示兩個相乘．

3333

2222

而＝，表示2個2相乘的積除以3的相反數(shù)．

33

4、an與－an的區(qū)別．

(1)an表示n個a相乘，底數(shù)是a，指數(shù)是n，讀作：a的n次方．

(2)－an表示n個a乘積的相反數(shù)，底數(shù)是a，指數(shù)是n，讀作：a的n次方的相反數(shù)．

如：(2)3底數(shù)是2，指數(shù)是3，讀作(－2)的3次方，表示3個(－2)相乘．

(2)3＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．

23底數(shù)是2，指數(shù)是3，讀作2的3次方的相反數(shù)．23＝－(2×2×2)＝－8．

注：(2)3與23的結(jié)果雖然都是－8，但表示的含義并不同。

【例1】把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數(shù)和指數(shù)各是什么．

(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；

222222

(2)×××××；

555555

【變式1-1】（1）根據(jù)有理數(shù)乘方的意義，算式55555可表示為．

4

（2）在3中指數(shù)是，底數(shù)是．

5

【變式1-2】（2022秋·浙江金華·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）2表示（）

A．2乘5B．5個2相加C．5個2相乘D．2個5相加

【變式1-3】（2022秋?黃山期末）﹣25表示的意義是（）

A．5個﹣2相乘B．5個2相乘的相反數(shù)

C．2個﹣5相乘D．2個5相乘的相反數(shù)

知識點2.有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號規(guī)律（重點）

乘方運(yùn)算的符號規(guī)律．

(1)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)．

(2)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．

(3)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)．

(4)0的奇數(shù)次冪，偶次冪都是0．

所以，任何數(shù)的偶次冪都是正數(shù)或0。

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32

【例2】計算：(1)－(－3)3;(2)(－)2；(3)(－)3;(4)(－1)2015.

43

4

【變式2-1】計算：1，14．

33

?2??2?23

【變式2-2】計算：?÷；?÷；．

è3?è3?3

【變式2-3】計算：

323

?1?2?1?2

(1)?÷；(2)3；(3)?1÷；(4)．

è2?è2?3

知識點3.有理數(shù)的混合運(yùn)算（難點）

1、有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，先算括號里面的，再算括號

外面的。

2、括號前帶負(fù)號，去掉括號后括號內(nèi)各項要變號，即

(ab)ab，(ab)ab

11

【例3】計算：(1)(－5)－(－5)×÷×(－5)；

1010

21

(2)－1－{(－3)3－[3＋×(－1)]÷(－2)}．

32

【變式3-1】計算：973422．

12

【變式3-2】計算：141262

4

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【變式3-3】計算：

4

101

é?1?ù21?1?5

(1)1ê1?10.5÷6ú；(2)8?(2)|6|?÷(2)．

?è3??2è2?

知識點4.科學(xué)記數(shù)法（重點）

（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，

這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此

規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是

前面多一個負(fù)號．

【例4】我區(qū)深入實施環(huán)境污染整治，關(guān)停和整改了一些化工企業(yè)，使得每年排放的污水減少了167000噸，

將167000用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A．167×103B．16.7×104C．1.67×105D．1.6710×106

【變式4-1】2022年12月28日，臺州市域鐵路S1線開通運(yùn)營，標(biāo)志著臺州城市發(fā)展邁入軌道時代臺州市

域鐵路S1線全長約52.4公里，總投資約228.19億元，是連接椒江區(qū)、路橋區(qū)及溫嶺市之間重要的城市

快速通道．其中數(shù)據(jù)228.19億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．0.22819×1010B．0.22819×1011

C．2.2819×1010D．2.2819×1011

【變式4-2】用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)為4.315×103，這個數(shù)原來是（）

A．4315B．431.5C．43.15D．4.315

【變式4-3】已知下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，寫出原來的數(shù)：

(1)2.01×104；(2)6.070×105；(3)－3×103.

知識點5.近似數(shù)（難點）

（1）有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．

（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．

（3）規(guī)律方法總結(jié)：

“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前

者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些．

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【例5.1】下列數(shù)據(jù)中，不是近似數(shù)的是()

A．某次地震中，傷亡10萬人B．吐魯番盆地低于海平面155m

C．小明班上有45人D．小紅測得數(shù)學(xué)書的長度為21.0cm

【例5.2】用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯誤的是（）

A．0.1（精確到0.1）B．0.05（精確到千分位）

C．0.05（精確到百分位）D．0.0502（精確到0.0001）

【例5.3】近似數(shù)1.70所表示的準(zhǔn)確值a的范圍是()

A．1.700＜a≤1.705B．1.60≤a＜1.80

C．1.64＜a≤1.705D．1.695≤a＜1.705

【變式5-1】下列由四舍五入得到的近似數(shù)，各精確到哪一位？

(1)25.7;(2)0.407；(3)4000萬；(4)4.4千萬．

【變式5-2】下列說法正確的是()

A．近似數(shù)4.60與4.6的精確度相同B．近似數(shù)5千萬與近似數(shù)5000萬的精確度相同

C．近似數(shù)4.31萬精確到0.01D．1.45×104精確到百位

【變式5-3】用四舍五入法將下列各數(shù)按括號中的要求取近似數(shù)．

(1)0.6328(精確到0.01)；(2)7.9122(精確到個位)；

(3)47155(精確到百位)；(4)130.06(精確到0.1)；

(5)4602.15(精確到千位)．

易錯點：含乘方運(yùn)算時符號考慮不全產(chǎn)生漏解

11

【例6】（23-24七年級上·貴州銅仁·階段練習(xí)）小明同學(xué)在計算：(1)2023(2)36?()時，步驟如下：

23

11

解：原式2023(6)6?6???（1）

23

202361218??（2）

2023??（3）

(1)小明的計算過程中開始出現(xiàn)錯誤的步驟是________；（填序號）

(2)請給出正確的解題過程．

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考點1：有理數(shù)的混合運(yùn)算

22?11??1?

1.計算：432?÷??1÷．

è32?è3?

342

2.計算：2?312．

5

42?3?

3.計算：1[43)?ù3??÷2．

è4?

2

4.計算：(1)2022(18)4?(2)．

9

考點2：用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)

5．“神威·太湖之光”超級計算機(jī)運(yùn)算速度達(dá)每秒9.31016次，它工作1h可進(jìn)行多少次運(yùn)算？（結(jié)果用科學(xué)記

數(shù)法表示）

6.在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以達(dá)到3×108m/s，如果我們用光速行駛3.6×103s，請問

我們行駛的路程為多少m？

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7.已知一個U盤的名義內(nèi)存為10GB，平均每個視頻的內(nèi)存為512MB，平均每首音樂的內(nèi)存為10.24MB，平

均每篇文章的內(nèi)存為10.24KB．現(xiàn)該U盤已存16個視頻，50首音樂．若該U盤的內(nèi)存的實際利用率為

90%，求還可以存文章的最多篇數(shù)（用科學(xué)記數(shù)法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）

考點3：按要求取近似值

8.由四舍五入法得到的近似數(shù)8.8×103，下列說法中正確的是（）

A．精確到十分位B．精確到個位

C．精確到百位D．精確到千位

9．小明的身高為1.68m，表示他實際身高a的范圍為（）

A．1.675≤a＜1.685B．1.675＜a≤1.685

C．1.675≤a≤1.685D．1.675＜a＜1.685

10.數(shù)3.303105精確到位．

11.下列問題中出現(xiàn)的數(shù)，哪些是精確值?哪些是近似值?

(1)某院校的某專業(yè)計劃招生200人；

(2)小明的立定跳遠(yuǎn)成績是2.31m；

(3)若塵的這次數(shù)學(xué)考試成績是96分；

(4)據(jù)統(tǒng)計，公園門口每月的車流量大約是30000輛．

考點4:有理數(shù)乘方與其他知識的綜合應(yīng)用

2

?1?2023

12．（23-24七年級上·重慶江津·期中）若a2?b÷0，則ab．

è2?

2

13．（22-23七年級上·廣東湛江·期末）若x6y20，則xy．

22023

14．（23-24七年級上·河北石家莊·期中）若x3y20，則xy的值為．

考點5：有關(guān)乘方的規(guī)律探究問題

15．觀察下列等式：212，224，238，2416，…．通過觀察，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定22023的個位數(shù)

字是（）

A．2B．4C．8D．6

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16．觀察下列等式：313，329，3327，3481，35243，36729，解答下列問題：33233××××××32022

的末尾數(shù)字是

17．觀察下列算式：

①313，②329，③3327，④3481，⑤35243，⑥36729，⑦372187，⑧386561，…那

么32023的個位數(shù)字是．

18．如圖是某種細(xì)胞分裂示意圖，這種細(xì)胞每過30分鐘便由1個分裂成2個．根據(jù)此規(guī)律可得：

(1)這樣的一個細(xì)胞經(jīng)過2小時后可分裂成多少個細(xì)胞？

(2)這樣的一個細(xì)胞經(jīng)過多少小時后可分裂成64個細(xì)胞？

考點6：利用有理數(shù)乘方解決實際問題

19．（22-23七年級上·浙江溫州·期中）小明的Word文檔中有一個如圖1的實驗中學(xué)Logo，他想在這個Word

文檔中用1000個這種Logo，設(shè)計出一幅如圖2樣式的圖案．他使用“復(fù)制粘貼”（用鼠標(biāo)選中Logo，右

鍵點擊“復(fù)制”，然后在本W(wǎng)ord文檔中“粘貼”)的方式完成，則他需要使用“復(fù)制粘貼”的次數(shù)至少為（）

A．9次B．10次C．11次D．12次

20．（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）如圖，將面積為1的長方形紙片分割成8個部分，部分①的面積

是原長方形紙片面積的一半，部分②的面積是部分①面積的一半，部分③的面積是部分②面積的一半，依

次類推，陰影部分的面積為（）

1111

A．1B．1C．D．

27282728

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21．（22-23七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知第一個正方體紙盒的棱長為6cm，第二個正方體紙盒的體積比

第一個正方體紙盒的體積大127cm3．

(1)求第二個正方體紙盒的棱長；

(2)第二個正方體紙盒的表面積比第一個正方體紙盒的表面積多多少？

考點7：有關(guān)乘方的拓展創(chuàng)新題

22．小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，

根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每張牌上的數(shù)字只能用一次，

并使得運(yùn)算結(jié)果等于24．

（1）小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個結(jié)果等于24的算式；

（2）請你抽取任意數(shù)字不相同的4張撲克牌，并列出一個結(jié)果等于24的算式．

23．閱讀下面的材料：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過“乘方”和“開方”運(yùn)算，下面給同學(xué)們介紹一種新的運(yùn)算，即對數(shù)運(yùn)

算．

b

定義：如果aN（a>0，a11，N>0），則b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaNb．

32

例如：因為5125，所以log51253；因為11121，所以log111212．

(1)填空：log66，log381

(2)如果log3m23，求m的值．

(3)對于“對數(shù)”運(yùn)算，小明同學(xué)認(rèn)為有“l(fā)ogaMNlogaM×logaN（a>0，a11，M>0，N>0）”，他的說法

正確嗎？如果正確，請給出證明過程；如果不正確，請說明理由，并加以改正．

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24.概念學(xué)習(xí)：

現(xiàn)規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運(yùn)算叫做除方，比如2?2?2，3?3?3?3

等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2?2?2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，3?3?3?3寫作

3④，讀作“3的圈4次方”，一般地把a(bǔ)14444444244444443?a?a?......?aa10寫作a?，讀作“a的圈n次方”．

n個a

初步探究：

③

②?1?

(1)直接寫出計算結(jié)果：3=；?÷；

è3?

(2)下列關(guān)于除方說法中，錯誤的有；（在橫線上填寫序號即可）

A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1

B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)

C．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)

D．圈n次方等于它本身的數(shù)是1或-1．

深入思考：

我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)

算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？

(3)歸納：請把有理數(shù)aa10的圈nn33次方寫成冪的形式為：a?=；

⑩⑩

(4)比較：24；（填“＞”“＜”或“=”）

①④

③2?1?⑥?1?

(5)計算：114??÷748??÷．

è2?è7?

25．（本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了“有理數(shù)乘方”運(yùn)算，知道乘方的結(jié)果叫做“冪”，下面介紹一種有關(guān)“冪”的新運(yùn)算．

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定義：am與an（a10，m，n都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作am?an．

運(yùn)算法則如下：

ì

?當(dāng)m>n時，am?anamn

mn?mn

a?aí當(dāng)mn時，a?a1

?1

?當(dāng)m<n時，am?an

?anm

3

?1??1?25

(1)填空：?÷??÷______，5?5______；

è3?è3?

1

(2)如果x>0，且2x4?22x5，求出x的值；

8

2x2x7

(3)如果x2?x21，請直接寫出x的值______．

一、單選題

1．（23-24七年級上·福建南平·期末）2023年“亞運(yùn)＋雙節(jié)”讓杭州火出圈，相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，國慶期間杭州共

接待游客約13000000人次，將數(shù)據(jù)13000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．1.3106B．1.3107C．0.13108D．13106

2．（23-24七年級上·重慶長壽·期中）下列各組數(shù)中，其值相等的是（）

232

A．32和23B．2和22C．3和33D．32和3222

3．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）用四舍五入法對2.06032分別取近似值，其中錯誤的是（）

A．2.1（精確到0.1)B．2.06（精確到百分位）

C．2.0（精確到十分位）D．2.0603（精確到0.0001)

4．（23-24七年級上·湖北武漢·期中）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來

記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，采取滿七進(jìn)一的方式，用來記錄孩

子自出生后的天數(shù)．例如圖1表示的是孩子出生后30天時打繩結(jié)的情況（因為：47127030），那

么由圖2可知，孩子出生后的天數(shù)是（）天

A．510B．511C．513D．520

5．（23-24七年級上·福建泉州·期中）為了紀(jì)念著名的數(shù)學(xué)家蘇步青及其卓越貢獻(xiàn)，國際上將一顆距地球約

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218000000公里的行星命名為“蘇步青星”，數(shù)據(jù)218000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．0.218109B．2.18109C．2.18108D．218106

二、填空題

4

?3?

6．（23-24七年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）在?÷中底數(shù)是，指數(shù)是．

è2?

7．（23-24七年級上·天津?qū)幒印て谥校┯盟纳嵛迦敕▽?0.1755精確到百分位約為．

8．（22-23七年級上·江西宜春·期中）3.14（精確到十分位）?．

2

222

9．（23-24七年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）計算：2，2，．

3

10．（23-24七年級上·重慶黔江·期中）下列說法正確的有

①倒數(shù)為本身的數(shù)是0，±1；②絕對值為它的相反數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)；

③若a2b2，則ab；④任何一個有理數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)．

11．（23-24七年級上·安徽黃山·期中）觀察算式：313，329，3327，3481，35243，36729，

372187，386561，…，通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定20232023的個位數(shù)字是．

12．（23-24七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖（單位：個），甲、乙、丙三只袋中裝有球29個、74個、38

個，先從甲袋中取出3x個球放入乙袋，再從乙袋中取出(3x3y)個球放入丙袋，最后從丙袋中取出3y個球放

入甲袋，此時三只袋中球的個數(shù)都相同，則xy的值等于．

a×a......a

13．（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）一般地，n個相同因數(shù)a相乘：123記為an，如238，此時，

n個

21

3叫做以2為底的8的對數(shù)，記為log8（即log83），那么log81log64．

22332

14．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭

捏合在一起拉伸，再拉伸，反復(fù)幾次，如草圖所示．這樣捏合到第8次后可拉出根細(xì)面條．

15．（21-22七年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）數(shù)a乘60，積是一個完全平方數(shù)，則a的最小值為．

16．（23-24七年級上·四川成都·期末）《莊子》中記載：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭．”這句話的意

思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠(yuǎn)也截不完．若按此方式截一根長為1的木棍，第6天截取后

第12頁共14頁.

木棍剩余的長度是．

三、解答題

12

17．（23-24七年級上·湖南岳陽·期末）計算：227?73．

9

34?1?

18．（23-24七年級上·廣東珠?！るA段練習(xí)）計算：2