第06講 有理數(shù)的乘法（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+4個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）解析版

第06講有理數(shù)的乘法（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+4個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.了解有理數(shù)乘法的意義,掌握有理數(shù)的乘法法則及多

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)法則,會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算.

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.理解有理數(shù)的乘法運(yùn)算律,并會(huì)運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算

模塊四小試牛刀過關(guān)測3.理解有理數(shù)的倒數(shù)的意義,會(huì)求一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)

4.能利用有理數(shù)的乘法解決實(shí)際問題

知識(shí)點(diǎn)1.有理數(shù)的乘法法則（重點(diǎn)）

有理數(shù)的乘法

（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對值相乘．

（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．

【例1】計(jì)算：

(1)5×(－9);(2)(－5)×(－9)；

(3)(－6)×(－9);(4)(－6)×0；

11

(5)(－)×.

34

解析：(1)(5)小題是異號(hào)兩數(shù)相乘，先確定積的符號(hào)為“－”，再把絕對值相乘；(2)(3)小題是同號(hào)兩數(shù)

相乘，先確定積的符號(hào)為“＋”，再把絕對值相乘；(4)小題是任何數(shù)同0相乘，都得0.

解：(1)5×(－9)＝－(5×9)＝－45；

(2)(－5)×(－9)＝5×9＝45；

(3)(－6)×(－9)＝6×9＝54；

第1頁共30頁.

(4)(－6)×0＝0；

11111

(5)(－)×＝－(×)＝－.

343412

方法總結(jié)：兩數(shù)相乘，積的符號(hào)是由兩個(gè)乘數(shù)的符號(hào)決定：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，任何數(shù)乘以0，結(jié)果為0.

1

【變式1-1】計(jì)算：-′5等于．

5

【答案】-1

1

【詳解】解：-′5=-1，

5

故答案為：-1．

2?3?

【變式1-2】′?-÷=___________；

5è4?

3

【答案】-

10

2′333

【詳解】解：原式=﹣=﹣=﹣，

5′45′210

3?2?

【變式1-3】計(jì)算：2′?-÷=_________．

8è19?

1

【答案】-

4

3?2?19?2?1

【詳解】2′?-÷=′?-÷=-

8è19?8è19?4

知識(shí)點(diǎn)2.倒數(shù)的概念

（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．

11

一般地，a?=1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是．

??

（2）方法指引：

①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重

要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．

②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．

【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法

求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可

求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一

求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置

注意：0沒有倒數(shù)．

【例2】求下列各數(shù)的倒數(shù)．

第2頁共30頁.

32

(1)－；(2)2；(3)－1.25；(4)5.

43

解析：根據(jù)倒數(shù)的定義依次解答．

34

解：(1)－的倒數(shù)是－；

43

2823

(2)2＝，故2的倒數(shù)是；

3338

54

(3)－1.25＝－，故－1.25的倒數(shù)是－；

45

1

(4)5的倒數(shù)是.

5

方法總結(jié)：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，一般在求小數(shù)的倒數(shù)時(shí)，先把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)再求解．當(dāng)一個(gè)算式中

既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)時(shí)，一般要統(tǒng)一，具體是統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，要看哪一種計(jì)算簡便．

【變式2-1】．（23-24七年級(jí)上·廣東江門·期中）若一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是-0.25，則這個(gè)數(shù)是（）

A．-4B．4C．-0.25D．0.25

【答案】A

【分析】本題考查了倒數(shù)，掌握互為倒數(shù)兩個(gè)數(shù)乘積為1是解決此題的關(guān)鍵．

1

【詳解】解：∵一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是-0.25=-，

4

∴這個(gè)數(shù)是-4，

故選：A．

【變式2-2】2024春·廣東珠?！て吣昙?jí)開學(xué)考試）一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是它本身，那么這個(gè)數(shù)是（）

A．0B．0或1C．1或-1D．0或±1

【答案】C

【詳解】解：∵1′1=1，

∴1的倒數(shù)是1，

∵-1′(-1)=1，

∴-1的倒數(shù)是-1，

∵0沒有倒數(shù)，

∴這個(gè)數(shù)是1或-1．

【變式2-3】（23-24七年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是-0.1，則這個(gè)數(shù)的倒數(shù)

是．

【答案】10

【分析】本題考查了相反數(shù)和倒數(shù)，熟記定義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)相反數(shù)的定義（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)

互為相反數(shù)）可得這個(gè)數(shù)為0.1，再根據(jù)倒數(shù)的定義（乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)）即可得．

【詳解】解：∵一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是-0.1，

第3頁共30頁.

∴這個(gè)數(shù)是0.1，

∵0.1′10=1，

∴0.1的倒數(shù)是10，

故答案為：10．

知識(shí)點(diǎn)3.多個(gè)有理數(shù)相乘（難點(diǎn)）

多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：

①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶

數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．

②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．

（4）方法指引：

①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對值相乘．

②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡單．

【例3】計(jì)算：

(1)－2×3×(－4)；

(2)－6×(－5)×(－7)；

(3)0.1×(－0.001)×(－1)；

(4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)；

(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.

解析：先確定結(jié)果的符號(hào)，然后再將它們的絕對值相乘即可．

解：(1)原式＝－6×(－4)＝24；

(2)原式＝30×(－7)＝－210；

(3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001；

(4)原式＝100×(－3)×(－0.5)＝－300×(－0.5)＝150；

(5)原式＝0.

方法總結(jié)：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)

因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0.

【變式3-1】（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：

?1?

(1)-2′-7′+5′?-÷；

è7?

?7?

(2)-0.25′?-÷′4′-18．

è9?

【答案】(1)-10

(2)-14

?1?

【詳解】（1）解：原式=-2′+5′-7′?-÷

è7?

第4頁共30頁.

é?1?ù

=?é-2′+5?ù′ê-7′?-÷ú

?è7??

=-10′1

=-10；

?7?

（2）解：原式=-0.25′4′?-÷′-18

è9?

é?7?ù

=?é-0.25′4?ù′ê?-÷′-18ú

?è9??

=-1′14

=-14．

【變式3-2】（23-24七年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）計(jì)算：

5?1?

(1)′-1.2′?-÷；

4è9?

?3??1??8?

(2)?-÷′?-÷′?-÷；

è7?è2?è15?

【分析】（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法計(jì)算法則求解即可；

（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法計(jì)算法則求解即可；

5?1?

【詳解】（2）解：′-1.2′?-÷

4è9?

5?6??1?

=′?-÷′?-÷

4è5?è9?

1

=；

6

?3??1??8?

（3）解：?-÷′?-÷′?-÷

è7?è2?è15?

4

=-；

35

知識(shí)點(diǎn)4.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律（難點(diǎn)）

乘法結(jié)合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；

乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.

【例4】計(jì)算：

53

(1)(－＋)×(－24)；

68

45

(2)(－7)×(－)×.

314

解析：第(1)題，按運(yùn)算順序應(yīng)先算括號(hào)內(nèi)的再算括號(hào)外的，顯然括號(hào)內(nèi)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，通分較麻煩，而括

第5頁共30頁.

號(hào)外面的因數(shù)－24與括號(hào)內(nèi)每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母均有公因數(shù)，若相乘可以約去分母，使運(yùn)算簡便．因此，可利

5

用乘法分配律進(jìn)行簡便運(yùn)算．第(2)題，仔細(xì)觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)第1個(gè)因數(shù)－7與第3個(gè)因數(shù)的分母可以約分，

14

因此可利用乘法的交換律把它們先結(jié)合運(yùn)算．

5353

解：(1)(－＋)×(－24)＝(－)×(－24)＋×(－24)＝20＋(－9)＝11；

6868

45545410

(2)(－7)×(－)×＝(－7)××(－)＝(－)×(－)＝.

314143233

方法總結(jié)：當(dāng)一道題按照常規(guī)運(yùn)算順序去運(yùn)算較復(fù)雜，而利用運(yùn)算律改變運(yùn)算順序卻能使運(yùn)算變得簡單些，

這時(shí)可用運(yùn)算律進(jìn)行簡化運(yùn)算．

?111?

【變式4-1】（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算?1-++÷′-12，運(yùn)用哪種運(yùn)算律可避免通分

è234?

（）

A．加法交換律和加法結(jié)合律B．乘法結(jié)合律C．乘法交換律D．分配律

【答案】D

【分析】根據(jù)乘法分配律解答即可.

?111?

【詳解】因?yàn)?1-++÷′-12=-12+6-4-3=-13，

è234?

?111?

所以計(jì)算?1-++÷′-12時(shí)，運(yùn)用乘法分配律可避免通分，

è234?

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算律，正確理解題意、熟知乘法分配律是解題的關(guān)鍵.

?13?

【變式4-2】計(jì)算：-6′?-÷=．

è62?

【答案】8

【分析】利用有理數(shù)的乘法分配律計(jì)算，即可求解．

?13?

【詳解】解：-6′?-÷

è62?

13

=-6′--6′

62

=-1+9

=8

故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘法運(yùn)算律，熟練掌握有理數(shù)的乘法分配律是解題的關(guān)鍵．

?131?

【變式4-3】計(jì)算：?-+÷′-12

è2412?

【答案】2

第6頁共30頁.

【分析】根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可求解．

?131?

【詳解】解：?-+÷′-12

è2412?

131

=′-12-′-12+′-12

2412

=-6+9-1

=2

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，熟練掌握分配律是解題的關(guān)鍵．

鍵是掌握有理數(shù)的運(yùn)算律和相關(guān)運(yùn)算法則．

222

【例5】計(jì)算：－32×＋(－11)×(－)－(－21)×.

333

22

解析：根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算可先把－提出，可得－×(32－11－21)，再計(jì)算括號(hào)里面的減法，后計(jì)

33

算乘法即可．

2

解：原式＝－×(32－11－21)＝0.

3

方法總結(jié)：如果按照先算乘法，再算加減，則運(yùn)算比較繁瑣，且符號(hào)容易出現(xiàn)問題，但如果逆用乘法的分配

律，則可以使運(yùn)算簡便．

【變式5-1】（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行簡便的計(jì)算：

31?1?

54′--54′+54′?-÷

42è4?

31?1?

【詳解】54′--54′+54′?-÷

42è4?

31?1?

=54′+54′+54′?-÷

42è4?

?311?

=54′?+-÷

è424?

=54′1

=54．

【變式5-2】簡便運(yùn)算

1?1??1?

-5′+7′?-÷+-12′?-÷

32è32?è32?

1?1??1?

【詳解】解：-5′+7′?-÷+-12′?-÷

32è32?è32?

?1??1??1?

=5′?-÷+7′?-÷+-12′?-÷

è32?è32?è32?

第7頁共30頁.

?1?

=?-÷′5+7-12

è32?

=0；

【變式5-3】（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）簡便計(jì)算

15

-48′0.125+48′+-48′

84

15

【詳解】-48′0.125+48′+-48′

84

?15?

=-48′?0.125-+÷

è84?

5

=-48′

4

=-60；

易錯(cuò)點(diǎn)利用分配律時(shí)出錯(cuò)

【例6】．（23-24七年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）閱讀下面題目的運(yùn)算過程，并解決下列問題．

17′25-6′25+7′(-2)-13′25

解：原式=17′25-6′25-13′25+7′(-2)①

=(17-6-13)′25+7′(-2)②

=(-2)′25+7′(-2)③

=-50-14④

=-36⑤

(1)上述計(jì)算過程，在第步出現(xiàn)錯(cuò)誤，本題運(yùn)算的正確結(jié)果是．

?3??2?4

(2)結(jié)合上述解法給你的啟發(fā)，計(jì)算：5′?-÷--9′?-÷+-5′．

è7?è3?7

【答案】(1)⑤，-64

(2)-11

【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)乘法運(yùn)算的結(jié)合律進(jìn)行判定即可；

（2）結(jié)合材料提示，運(yùn)用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解．

【詳解】（1）解：第⑤的計(jì)算是-50-14=-64，

∴在第⑤步出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確結(jié)果是-64，

故答案為：⑤，-64．

?3??2?4

（2）解：5′?-÷--9′?-÷+-5′

è7?è3?7

?3??4??2?

=5′?-÷+5′?-÷--9′?-÷

è7?è7?è3?

第8頁共30頁.

?34??2?

=5′?--÷--9′?-÷

è77?è3?

=-5-6

=-11．

【變式6-1】．（22-23七年級(jí)上·廣西南寧·期中）運(yùn)算律是解決許多數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，在運(yùn)算中有重要的作

用，充分運(yùn)用運(yùn)算律能使計(jì)算簡便高效．

?5?

例如：?-125÷?-5．

è7?

?5?51?5?115111

解：?-125÷?-5=125′=?125+÷′=125′+′=25+=25．

è7?75è7?557577

?32?1

(1)計(jì)算：?--÷?，A同學(xué)的計(jì)算過程如下：

è23?6

?32??3?2

原式=?--÷′6=?-÷′6+′6=-9+4=-5．

è23?è2?3

請你判斷A同學(xué)的計(jì)算過程是否正確，若不正確，請你寫出正確的計(jì)算過程．

4?3?3

(2)請你參考例題，用運(yùn)算律簡便計(jì)算（請寫出具體的解題過程）：999′118+333′?-÷-999′118．

5è5?5

【答案】(1)A同學(xué)的計(jì)算是錯(cuò)誤的，過程見解析

(2)0

【分析】（1）先說明A同學(xué)的錯(cuò)誤，再把除法變?yōu)槌朔?，最后運(yùn)用運(yùn)算律去括號(hào)計(jì)算即可；

（2）先根據(jù)積不變規(guī)律變形，再根據(jù)乘法運(yùn)算律可以解答本題．

【詳解】（1）解：∵A同學(xué)運(yùn)用乘法分配律時(shí)第二個(gè)數(shù)的符號(hào)處理錯(cuò)誤，

∴A同學(xué)的計(jì)算是錯(cuò)誤的，

?32??3??2?

原式=?--÷′6=?-÷′6+?-÷′6=-9-4=-13．

è23?è2?è3?

4?3?3

（2）解：999′118+333′?-÷-999′118

5è5?5

4?1?3

=999′118+999′?-÷-999′118

5è5?5

?413?

=999′?118--118÷

è555?

=999′0

=0．

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法分配律，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)的乘法分配律的計(jì)算方法．

【變式6-2】（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法后，老師給同學(xué)們一道這樣的題目：計(jì)算

第9頁共30頁.

24

39′-5，看誰算的又快又對．

25

9999994

小瑞很快給出了他的解法：原式=-′5=-=-199．

2555

小晨經(jīng)過思考后也給出了他的解法：

?24?

原式=?39+÷′-5

è25?

=39′-5+（）

=-195+

=．

(1)請補(bǔ)全小晨的解題過程，并在括號(hào)里寫出他用了什么運(yùn)算原理?

(2)你還有不同于小瑞、小晨的解法嗎?

15

(3)用你認(rèn)為最合適的方法計(jì)算：29′-8

16

【答案】(1)見解析

(2)有，具體見解析

1

(3)-239

2

【分析】（1）根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可補(bǔ)全；

24?1?

（2）將39′-5改為?40-÷′-5，再根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可；

25è25?

（3）根據(jù)（2）的計(jì)算方法同理計(jì)算即可．

?24?

【詳解】（1）原式=?39+÷′-5

è25?

24

=39′-5+′-5（乘法分配律）

25

24

=-195+(-)

5

4

=-199．

5

24244

故答案為：′-5，乘法分配律，(-)，-199；

2555

（2）有，如下：

?1?

原式=?40-÷′-5

è25?

1

=40′-5-′-5（乘法分配律）

25

第10頁共30頁.

1

=-200+

5

4

=-199；

5

15

（3）29′-8

16

1

=(30-)′-8

16

1

=30′-8-′-8

16

1

=-240+

2

1

=-239．

2

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘法．掌握乘法分配律是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)1：相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的綜合應(yīng)用

a＋b

1.已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對值為6，求－cd＋|m|的值．

m

解析：根據(jù)相反數(shù)的概念和倒數(shù)概念，可得a、b；c、d的等量關(guān)系，再由m的絕對值為6，可求m的值，

把所得的等量關(guān)系整體代入可求出代數(shù)式的值．

0

解：由題意得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝6，m＝±6；∴①當(dāng)m＝6時(shí)，原式＝－1＋6＝5；②當(dāng)m＝－6時(shí)，

6

0a＋b

原式＝－1＋6＝5.故－cd＋|m|的值為5.

－6m

方法總結(jié)：解答此題的關(guān)鍵是先根據(jù)題意得出a＋b＝0，cd＝1及m＝±6，再代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算．

2．（23-24七年級(jí)上·陜西西安·期末）已知a的倒數(shù)是-3，b的絕對值是最小的正整數(shù)，且a>b，求a-b

的相反數(shù)．

2

【答案】a-b的相反數(shù)是-

3

1

【分析】本題主要考查了倒數(shù)、絕對值的意義、相反數(shù)，先根據(jù)倒數(shù)的定義和絕對值的意義得出a=-，b=±1，

3

再結(jié)合a>b得出b=-1，從而求得a-b的值，最后根據(jù)相反數(shù)的定義即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)

并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．

【詳解】解：Qa的倒數(shù)是-3，b的絕對值是最小的正整數(shù)，

1

\a=-，b=±1，

3

Qa>b，

第11頁共30頁.

\b=-1，

12

\a-b=---1=，

33

2

\a-b的相反數(shù)是-．

3

a+b

3．（23-24七年級(jí)上·云南昆明·期中）若a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m=1，求+2m2-3cd

4m

的值．

【答案】-1

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，相反數(shù)，倒數(shù)和絕對值的意義，根據(jù)a、b互為相反數(shù)，c、d互

為倒數(shù)，m=1，求出a+b=0，cd=1，m=±1，利用整體代入的思想解答是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m=1，

∴a+b=0，cd=1，m=±1，

a+b

∴+2m2-3cd，

4m

02

=+2′±1-3，

4

=0+2-3，

=-1．

4．（23-24七年級(jí)上·新疆克孜勒蘇·階段練習(xí)）請根據(jù)圖示的對話解答下列問題．

已知a與2互為相反數(shù)

1

b與-互為倒數(shù)

3

(1)a=______，b=______．

(2)已知m-a+b+n=0，求mn的值．

【答案】(1)-2；-3；

(2)-6

第12頁共30頁.

【分析】本題主要考查相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的非負(fù)性；

（1）根據(jù)相反數(shù)及倒數(shù)可直接進(jìn)行求解a、b的值，

（2）根據(jù)（1）及絕對值的非負(fù)性可得m、n的值，然后代入求解即可．

1

【詳解】（1）解：∵a與2互為相反數(shù)，b與-互為倒數(shù)，

3

∴a=-2,b=-3，

故答案為-2；-3；

（2）由題意，得|m-(-2)|+|-3+n|=0，

所以m=-2,n=3，

所以mn=-2′3=-6．

5．（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·期末）（1）如果a，b互為相反數(shù)（a，b均不為0），c，d互為倒數(shù)，

ba+bb

m=4，則=______，求-cd+′m的值；

a2024a

1

（2）若實(shí)數(shù)a，b滿足a=3，b=5，且a<b，求a+b的值．

3

1144

【答案】（1）-1，-5或3；（2）a+b的值是或-

333

【分析】本題考查代數(shù)式求值，倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值的意義，熟練理解相關(guān)定義，能據(jù)此得出式子的值

是解題關(guān)鍵．

（1）利用相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值的代數(shù)意義求出各式的值，代入原式計(jì)算即可求出值．

（2））利用相絕對值的代數(shù)意義求出各數(shù)的值，代入原式計(jì)算即可求出值．

b

【詳解】解：（1）由題意得：=-1，

a

故答案為-1，

Qa+b=0，cd=1，m=4，即m=±4，

0

當(dāng)m=4時(shí)，原式=-1+-1′4=-5；

2024

0

當(dāng)m=-4時(shí)，原式=-1+-1′-4=3；

2024

綜上所述，原式的值是-5或3．

（2）Qa=3，b=5，

\a=±3，b=±5

Qa<b，

\a=±3，b=5．

第13頁共30頁.

1114

當(dāng)a=3，b=5時(shí)，a+b=3+′5=；

333

114

當(dāng)a=-3，b=5時(shí)，a+b=-3+′5=-；

333

1144

綜上所述，a+b的值是或-．

333

6．（23-24七年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m的絕對值等于4，

p是數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)．

(1)分別直接寫出a+b，cd，m，p的值；

a+b

(2)p-cd++m的值是多少？

cd

【答案】(1)a+b=0，cd=1，m=±4，P=0；

(2)3或-5

【分析】（1）本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、數(shù)軸，a，b互為相反數(shù)，得到a+b=0，根據(jù)c，d互

為倒數(shù)，得到cd=1，根據(jù)m的絕對值等于4，所以m=±4，p是數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)，所以p=0；

（2）本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、數(shù)軸，將a+b、cd、m、p代入求解即可得到答案；

【詳解】（1）解：∵a，b互為相反數(shù)，

\a+b=0，

Qc，d互為倒數(shù)，

\cd=1，

Qm的絕對值等于4，

\m=±4，

Qp是數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)，

\p=0；

（2）解：①當(dāng)m=4時(shí)，

a+b

∴p-cd++m=0-1+0+4=3，

cd

②當(dāng)m=-4時(shí)，

a+b

∴p-cd++m=0-1+0-4=-5，

cd

a+b

\p-cd++m的值為3或-5．

cd

考點(diǎn)2：有理數(shù)乘法的新定義問題

7.若定義一種新的運(yùn)算“*”，規(guī)定a*b＝ab－3a.求3*(－4)的值．

第14頁共30頁.

解析：解答此類新定義問題時(shí)要根據(jù)題設(shè)先確定運(yùn)算順序，再根據(jù)有理數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算．

解：3*(－4)＝3×(－4)－3×3＝－21.

方法總結(jié)：解題時(shí)要正確理解題設(shè)中新運(yùn)算的運(yùn)算方法．

8．（22-23七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）已知x，y為有理數(shù)，如果規(guī)定一種運(yùn)算“*”，x*y=xy+1，則2*5*-3

的值是（）

A．-30B．-29C．-33D．-32

【答案】D

【分析】

此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握新定義的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．原式利用題中的新定義先計(jì)

算括號(hào)里面的，再計(jì)算括號(hào)外面的即可得到結(jié)果．

【詳解】解：2*5*-3

=2′5+1*-3

=11*-3

=11′-3+1

=-32

故選：D．

100!

9.若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且1!=1，2!=2′1=2，3!=3′2′1=6?則=．

99!

【答案】100

【分析】根據(jù)1!=1，2!=2′1=2，3!=3′2′1=6?可得出n!=n′n-1′n-2′?′2′1，從而表示出

100!=100′99′…′2′1，99!=99′98′…′2′1，代入進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．

?

【詳解】解：Q1!=1，2!=2′1=2，3!=3′2′1=6，

\n!=n′n-1′n-2′…′2′1，

\100!=100′99′…′2′1，99!=99′98′…′2′1，

100!100′99′…′2′1

\==100，

99!99′98′…′2′1

故答案為：100．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，理解題意，通過題意得出規(guī)律n!=n′n-1′n-2′?′2′1是解

題的關(guān)鍵．

?3??4?

10．（23-24七年級(jí)上·河南周口·期中）若“※”是新規(guī)定的某種運(yùn)算符號(hào)，設(shè)a※b=2a-3b，則?-÷※?-÷

è4?è3?

的值為．

5

【答案】

2

第15頁共30頁.

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計(jì)算，新定義，根據(jù)新定義得到

?3??4??3??4?

?-÷※?-÷=2′?-÷-3′?-÷，據(jù)此計(jì)算求解即可．

è4?è3?è4?è3?

?3??4?

【詳解】解：?-÷※?-÷

è4?è3?

?3??4?

=2′?-÷-3′?-÷

è4?è3?

3

=-+4

2

5

=，

2

5

故答案為：．

2

11．（22-23七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）七年級(jí)小梅同學(xué)在學(xué)習(xí)完第二章《有理數(shù)》后，對運(yùn)算產(chǎn)生了

濃厚的興趣，她借助有理數(shù)的運(yùn)算，定義了一種新運(yùn)算“?”，規(guī)則如下：a?b=a′b+2′a-b．

(1)求-1?-3的值；

(2)求-4??é2?-5?ù-3的值．

【答案】(1)4

(2)-3

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，涉及新定義，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

（1）按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

（2）按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

【詳解】（1）解：-1?-3

=-1′-3+2′-1--3

=3+-2+3

=1+3

=4；

（2）-4??é2?-5?ù

=﹣4??é2′-5+2′2--5?ù

=-4?-10+4+5

=-4?-1

=-4′-1+2′-4--1

=4+-8+1

第16頁共30頁.

=-4+1

=-3．

考點(diǎn)3:運(yùn)用有理數(shù)的乘法運(yùn)算解決實(shí)際問題

12.我市旅游局發(fā)布統(tǒng)計(jì)報(bào)告：國慶期間，溱湖風(fēng)景區(qū)在7天假期中每天接待游客的人數(shù)變化如下表(正數(shù)

表示比前一天多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù)).

10月10月10月10月10月10月10月

日期

1日2日3日4日5日6日7日

人數(shù)變化

單位：萬＋1.2＋0.8＋0.2－0.2－0.6＋0.2－1

人

若9月30日的游客人數(shù)為0.6萬人，10月1日～10月3日門票為每人150元，10月4日～10月5日

門票為每人120元，10月6日～10月7日門票為每人100元，問國慶期間溱湖風(fēng)景區(qū)門票收入是多少元？

解：10月1日的游客人數(shù)為0.6＋1.2＝1.8(萬人)；10月2日的游客人數(shù)為1.8＋0.8＝2.6(萬人)；

10月3日的游客人數(shù)為2.6＋0.2＝2.8(萬人)；10月4日的游客人數(shù)為2.8－0.2＝2.6(萬人)；10月5日

的游客人數(shù)為2.6－0.6＝2(萬人)；10月6日的游客人數(shù)為2＋0.2＝2.2(萬人)；10月7日的游客人數(shù)為

2.1－1＝1.1(萬人)．則該風(fēng)景區(qū)國慶期間的門票收入為[150×(1.8＋2.6＋2.8)＋120×(2.6＋2)＋

100×(2.2＋1.2)]×10000＝19720000(元)．

13.某果農(nóng)把自家果園的草莓包裝后再進(jìn)行銷售，原計(jì)劃每天賣10箱，但由種種原因，實(shí)際每天的銷售量與

計(jì)劃量相比有所增減，下表是某個(gè)星期的銷售情況（超額記為正，不足額記為負(fù)，單位：箱）

星期一二三四五六日

與計(jì)劃量的差值+4-3-2+7-6+18-5

(1)根據(jù)表格可知，銷售量最多的一天比最少的一天多賣出__________箱；

(2)本周實(shí)際銷售總量超過或不足計(jì)劃數(shù)量多少箱？請通過計(jì)算說明理由；

(3)若每箱草莓的售價(jià)為65元，已知果園有3個(gè)工人，每人每天的開支為80元，賣出每箱草莓需支出包裝

費(fèi)5元，那么該果農(nóng)本周共獲利多少元？

【答案】(1)24；

(2)超過13箱；理由見解析

(3)1059元．

【詳解】（1）解：+18--6=18+6=24（箱），

即銷售量最多的一天比最少的一天多賣出24箱，

故答案為：24；

（2）4-3-2+7-6+18-5=13>0，

答：本周實(shí)際銷售總量超過13箱；

第17頁共30頁.

（3）10′7+13′60-5-80′3′7

=83′33-1680

=2739-1680

=1059（元），

答：該果農(nóng)本周共獲利1059元．

14．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)700輛自行車，平均每天生產(chǎn)100輛，由于

各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）：

星期一二三四五六日

增減+5-2-4+13-10+16-9

(1)根據(jù)記錄可知前四天共生產(chǎn)輛；

(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)輛；

(3)該廠實(shí)行計(jì)件工資制，每周生產(chǎn)一輛自行車給工人60元，超額完成任務(wù)超額部分每輛再獎(jiǎng)15元，少生

產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？

【答案】(1)412

(2)26

(3)42675

【詳解】（1）解：100′4+5-2-4+13=412（輛）；

故答案為：412；

（2）解：產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)16--10=26（輛），

故答案為：26．

（3）解：根據(jù)圖表信息，本周生產(chǎn)的車輛共計(jì)：100′7+5-2-4+13-10+16-9=709．

709′60+709-700′15=42675（元）．

答：該廠工人這一周的工資總額是42675元．

考點(diǎn)4：有理數(shù)乘法的規(guī)律探究

15．（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）【閱讀】我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法法則與有理數(shù)的乘法法

則．在學(xué)習(xí)此內(nèi)容時(shí)，掌握了法則，同時(shí)也學(xué)會(huì)了分類思考．

【探索】

（1）若ab=8，則a+b的值為：①正數(shù)，②負(fù)數(shù)，③0．你認(rèn)為結(jié)果可能是；（填序號(hào)）

（2）若a+b=-6，且a、b為整數(shù)，則ab的最大值為；

【拓展】

（3）數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對應(yīng)有理數(shù)a、b，若ab<0，試比較a+b與0的大?。?/p>

【答案】（1）①②

第18頁共30頁.

（2）9

（3）a>0，b<0時(shí)，若a>b，則a+b>0，若a=b，則a+b=0，若a<b，則a+b<0；a<0，b>0

時(shí)，若a>b，則a+b<0，若a=b，則a+b=0，若a<b，則a+b>0．

【分析】本題考查了有理數(shù)加法和乘法法則及分類討論的應(yīng)用：

（1）根據(jù)a、b同號(hào)，可能同為正數(shù)，也可能同為負(fù)數(shù)即可得到答案；

（2）ab最大，需a、b同號(hào)，而a+b=-6知a、b均為負(fù)整數(shù)，分類討論即可得答案；

（3）根據(jù)a、b異號(hào)，分類討論a+b與0的大小．

【詳解】（1）解：Qab=8，

\a、b同號(hào)，

\a、b同為正數(shù)時(shí)，a+b>0；

a、b同為負(fù)數(shù)時(shí)，a+b<0；

故答案為：①②；

（2）解：Qa+b=-6，ab最大，

\a、b同號(hào)，

Qa+b=-6，

\a、b同為負(fù)數(shù)，

Qa、b為整數(shù)，

\a、b分別為-1和-5，此時(shí)ab=5；或a、b分別為-2和-4，此時(shí)ab=8；或a、b分別為-3和-3，此時(shí)

ab=9，

故答案為：9；

（3）解：Qab<0，

\a、b異號(hào)，

①設(shè)a>0，則b<0，

若a>b，則a+b>0，

若a=b，則a+b=0，

若a<b，則a+b<0，

②設(shè)a<0，則b>0，

若a>b，則a+b<0，

若a=b，則a+b=0，

若a<b，則a+b>0，

綜上所述，a>0，b<0時(shí)，若a>b，則a+b>0，若a=b，則a+b=0，若a<b，則a+b<0；

a<0，b>0時(shí)，若a>b，則a+b<0，若a=b，則a+b=0，若a<b，則a+b>0．

第19頁共30頁.

16．（23-24七年級(jí)上·湖南岳陽·期中）觀察下列各式：

11111111

第1個(gè)等式：-1′=-1+=-；第2個(gè)等式：-′=-+=-；

22223236

11111

第3個(gè)等式：-′=-+=-；……

343412

(1)根據(jù)上述規(guī)律寫出第5個(gè)等式：；

(2)第n個(gè)等式：；（用含n的式子表示）

?1??11??11??11?

(3)計(jì)算：?-1′÷+?-′÷+?-′÷+××××××+?-′÷．

è2?è23?è34?è20222023?

11111

【答案】(1)-′=-+=-

565630

11111

(2)-′=-+=-

nn+1nn+1nn+1

2022

(3)-

2023

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，

（1）根據(jù)題干，模仿寫出第5個(gè)等式，即可作答；

11111

（2）由（1）以及題干條件，即得第n個(gè)等式：-′=-+=-；

nn+1nn+1nn+1

（3）由（2）的結(jié)論，先化簡再運(yùn)算，即可作答，

11111

掌握第n個(gè)等式：-′=-+=-是解題的關(guān)鍵．

nn+1nn+1nn+1

11111

【詳解】（1）解：依題意，第5個(gè)等式：-′=-+=-；

565630

111

（2）解：第1個(gè)等式：-1′=-1+=-；

222

11111

第2個(gè)等式：-′=-+=-；

23236

11111

第3個(gè)等式：-′=-+=-；

343412

11111

第4個(gè)等式：-′=-+=-；

454520

11111

第5個(gè)等式