【章末復(fù)習(xí)+測試】第2章 有理數(shù)的運(yùn)算全章復(fù)習(xí)與測試（解析版）

第2章有理數(shù)的運(yùn)算全章復(fù)習(xí)與測試

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.理解有理數(shù)及其運(yùn)算的意義，提高運(yùn)算能力．

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）2.體會轉(zhuǎn)化、歸納等思想；掌握有理數(shù)的加、減、乘、

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三除、乘方及混合運(yùn)算并能解決簡單的實(shí)際問題．

模塊四小試牛刀過關(guān)測3．會用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)．

第1頁共27頁.

知識點(diǎn)1.有理數(shù)運(yùn)算法則

（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，

取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．

（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．

（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．

1

（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．

b

（5）乘方運(yùn)算的符號法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，

0的任何非零次冪都是0．

(6)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

③如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．

要點(diǎn)歸納：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：

（1）多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．

（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：

（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．

（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為

正，例如：(-3)2=9，(-3)3=-27．

知識點(diǎn)2.有理數(shù)運(yùn)算律

（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；

（2）結(jié)合律:①加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc)

（3）分配律：a(b+c)=ab+ac

知識點(diǎn)3.科學(xué)記數(shù)法

把一個大于10的數(shù)表示成a′10n的形式（其中1≤a<10，n是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)

法．例如：200000=2′105．

一．倒數(shù)（共2小題）

1

1．（2024?東昌府區(qū)校級模擬）-(-)的倒數(shù)是()

3

11

A．B．-C．-3D．3

33

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．據(jù)此進(jìn)行解題即可．

第2頁共27頁.

11

【解答】解：-(-)=，

33

1

故-(-)的倒數(shù)是3．

3

故選：D．

【點(diǎn)評】本題主要考查的是倒數(shù)的定義，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

2．（2024?河口區(qū)校級模擬）一個數(shù)的倒數(shù)是它本身，則該數(shù)是()

A．1B．-1C．±1D．不存在

【分析】乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，由此即可得到答案．

【解答】解：一個數(shù)的倒數(shù)是它本身，則該數(shù)是±1．

故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查倒數(shù)，關(guān)鍵是掌握倒數(shù)的定義．

二．有理數(shù)的加法（共5小題）

3．（2024?朔州模擬）比-3大1的數(shù)是()

A．2B．-2C．4D．-4

【分析】用-3加上1，求出比-3大1的數(shù)是多少即可．

【解答】解：Q(-3)+1=-2，

\比-3大1的數(shù)是-2．

故選：B．

【點(diǎn)評】此題主要考查了有理數(shù)的加法的運(yùn)算方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：求比一個數(shù)

多幾的數(shù)是多少，用加法解答．

4．（2024春?香坊區(qū)校級期中）已知|a|=15，|b|=14，且a>b，則a+b的值等于()

A．29或1B．-29或1C．-29或-1D．29或-1

【分析】根據(jù)題意，利用絕對值的代數(shù)意義確定出a與b的值，即可求出a+b的值．

【解答】解：Q|a|=15，|b|=14，且a>b，

\a=15，b=14；a=15，b=-14，

則a+b=29或1．

故選：A．

【點(diǎn)評】此題考查了有理數(shù)的加法，以及絕對值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

5．（2023秋?臨海市期末）將2，-4，6，-8，10，-12，14，-16分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使每個正方

形頂點(diǎn)處4個數(shù)字之和與每條斜線上4個數(shù)字之和都相等，則x+y的值為()

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A．-2B．-4C．-6D．-8

【分析】根據(jù)每個正方形頂點(diǎn)處4個數(shù)字之和與每條斜線上4個數(shù)字之和都相等可得

-16+10+14=x+y+10，據(jù)此可得答案．

【解答】解：由題意得，-16+10+14=x+y+10，

\x+y=-2，

故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的加法，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．

6．（2024?陜西）小華探究“幻方”時(shí)，提出了一個問題：如圖，將0，-2，-1，1，2這五個數(shù)分別填在

五個小正方形內(nèi)，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是0

.（寫出一個符合題意的數(shù)即可）

【分析】根據(jù)題意，填寫數(shù)字即可．

【解答】解：由題意，填寫如下：

1+0+(-1)=0，2+0+(-2)=0，滿足題意，

故答案為：0．

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，進(jìn)行填寫即可得出結(jié)果．

7．（2023秋?長春期末）2021年9月28日，第十三屆中國航展在廣東珠海舉行，中國空軍航空大學(xué)“紅

鷹”飛行表演隊(duì)在航展上表演特技飛行，如圖所示，表演從空中某一位置開始，上升的高度記作正數(shù)，下

降的高度記作負(fù)數(shù)，五次特技飛行高度記錄如下：+2.5，-1.2，+1.1，-1.5，+0.8．（單位：千米）

（1）求飛機(jī)最后所在的位置比開始位置高還是低？高了或低了多少千米？

（2）若飛機(jī)平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，則飛機(jī)在這5次特技飛行

中，一共消耗多少升燃油？

第4頁共27頁.

【分析】（1）直接把各數(shù)相加即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．

【解答】解：（1）+2.5-1.2+1.1-1.5+0.8=1.7（千米）．

答：此時(shí)飛機(jī)比起飛點(diǎn)高了1.7千米；

（2）(2.5+1.1+0.8)′6+(1.2+1.5)′4

=4.4′6+2.7′4

=26.4+10.8

=37.2（升)．

答：一共消耗37.2升燃油．

【點(diǎn)評】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，熟知有理數(shù)混合運(yùn)算的法則是

解題關(guān)鍵．

三．有理數(shù)的減法（共3小題）

8．（2024?西安校級模擬）計(jì)算3-5的結(jié)果是()

A．-2B．2C．-8D．8

【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則直接得出結(jié)果．

【解答】解：3-5=3+(-5)=-2．

故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，起點(diǎn)較低．有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個

數(shù)的相反數(shù)．

9．（2024?雁塔區(qū)校級四模）計(jì)算：-2-(-3)的值是()

A．-5B．5C．1D．-1

【分析】根據(jù)有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可．

【解答】解：原式=-2+3=1，

故選：C．

【點(diǎn)評】此題主要考查了有理數(shù)的減法，關(guān)鍵是掌握計(jì)算法則．

10．（2024?沅江市三模）已知|x|=5，|y|=2，且|x+y|=-x-y，則x-y的值為()

A．±3B．±3或±7C．-3或7D．-3或-7

【分析】根據(jù)|x|=5，|y|=2，求出x=±5，y=±2，然后根據(jù)|x+y|=-x-y，可得x+y?0，然后分情況

求出x-y的值．

第5頁共27頁.

【解答】解：Q|x|=5，|y|=2，

\x=±5、y=±2，

又|x+y|=-x-y，

\x+y<0，

則x=-5、y=2或x=-5、y=-2，

所以x-y=-7或-3，

故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查了絕對值以及有理數(shù)的加減法，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的條件求出x和y的值．

四．有理數(shù)的加減混合運(yùn)算（共3小題）

11．（2024?羅湖區(qū)校級三模）一天早晨的氣溫是-7°C，中午上升了10°C，半夜又下降了8°C，半夜的氣

溫是()

A．-9°CB．-5°CC．5°CD．11°C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算的運(yùn)算方法，用某地一天早晨的氣溫加上中午上升的溫度，再減去半

夜又下降的溫度，求出半夜的氣溫是多少即可．

【解答】解：(-7)+10-8

=3-8

=-5(°C)

答：半夜的氣溫是-5°C．

故選：B．

【點(diǎn)評】此題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，要熟練掌握有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則，注意運(yùn)算順序．

12．（2024?西城區(qū)校級一模）小明近期幾次數(shù)學(xué)測試成績?nèi)缦拢旱谝淮?5分，第二次比第一次高6分，

第三次比第二次低10分，第四次又比第三次高12分．那么這四次測驗(yàn)的平均成績是()

A．90分B．85分C．87.5分D．81分

【分析】分別計(jì)算得到每次測驗(yàn)的成績，再計(jì)算四次測驗(yàn)的平均成績即可．

【解答】解：第一次8（5分），

第二次85+6=91（分)，

第三次91-10=81（分)，

第四次81+12=93（分)，

1

這四次測驗(yàn)的平均成績是(85+91+81+93)=87.5（分)．

4

故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的加減的應(yīng)用，能根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵．

13．（2023秋?唐縣期末）把-(-3)-4+(-5)寫成省略括號的代數(shù)和的形式，正確的是()

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A．3-4-5B．-3-4-5C．3-4+5D．-3-4+5

【分析】括號前面是加號時(shí)，去掉括號，括號內(nèi)的算式不變．括號前面是減號時(shí)，去掉括號，括號內(nèi)加號

變減號，減號變加號．

【解答】解：根據(jù)去括號的原則可知：-(-3)-4+(-5)=3-4-5．

故答案為：A．

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，主要考查去括號運(yùn)算，掌握去括號的方法便可解決問題．

五．有理數(shù)的乘法（共3小題）

14．（2024?定州市三模）計(jì)算(-3)′4的結(jié)果等于()

A．-12B．-1C．12D．1

【分析】根據(jù)兩個有理數(shù)相乘的乘法法則進(jìn)行計(jì)算求解即可．

【解答】解：(-3)′4=-12．

故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的乘法，掌握兩個有理數(shù)相乘的計(jì)算法則是本題的解題關(guān)鍵．

15．（2023秋?金東區(qū)期末）如果4個數(shù)的乘積為負(fù)數(shù)，那么這4個數(shù)中正數(shù)有()

A．1個或2個B．1個或3個C．2個或4個D．3個或4個

【分析】根據(jù)同號得正，異號得負(fù)，結(jié)合4個數(shù)的乘積為負(fù)數(shù)，則有奇數(shù)個負(fù)數(shù)，據(jù)此即可作答．

【解答】解：Q同號得正，異號得負(fù)，結(jié)合4個數(shù)的乘積為負(fù)數(shù)，

則這4個數(shù)中負(fù)數(shù)有1個或3個，

\這4個數(shù)中正數(shù)有3個或1個．

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的乘法，熟練掌握相關(guān)的知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

1

16．（2024?河?xùn)|區(qū)校級三模）計(jì)算(-6)′(-)的結(jié)果是()

3

A．2B．-2C．-18D．18

【分析】根據(jù)兩個數(shù)相乘法則：同號相乘得正，并把絕對值相乘，進(jìn)行計(jì)算即可．

1

【解答】解：原式=6′

3

=2，

故選：A．

【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，解題關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的乘法法則．

六．有理數(shù)的除法（共2小題）

17．（2023秋?衢江區(qū)期末）下列運(yùn)算，結(jié)果正確的是()

11

A．-7?7=1B．7?(-)=-

749

第7頁共27頁.

33

C．-36?(-9)=4D．(-)?(-)=2

105

【分析】根據(jù)有理數(shù)的兩個除法法則進(jìn)行計(jì)算即可作出判斷．

【解答】解：A、-7?7=-111，故計(jì)算錯誤；

11

B、7?(-)=-491-，故計(jì)算錯誤；

749

C、-36?(-9)=4，故計(jì)算正確；

33351

D、(-)?(-)=′=12，故計(jì)算錯誤；

1051032

故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的除法運(yùn)算，熟悉兩個除法法則是關(guān)鍵．

18．（2024?河?xùn)|區(qū)模擬）計(jì)算(-40)?5的結(jié)果等于()

A．8B．-8C．35D．-35

【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則除以一個不等于零的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)計(jì)算即可．

1

【解答】解：(-40)?5=-40′=-8，

5

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

七．有理數(shù)的乘方（共7小題）

19．（2024?禹城市模擬）在(-2)3，-22，-(-2)，-|-2|，(-2)2中負(fù)數(shù)有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義判斷即可，注意：0既不是負(fù)數(shù)也不是正數(shù)．

【解答】解：(-2)3=-8<0，是負(fù)數(shù)；

-22=-4<0，是負(fù)數(shù)；

-(-2)=2>0，是正數(shù)；

-|-2|=-2<0，是負(fù)數(shù)；

(-2)2=4>0，是正數(shù)；

\負(fù)數(shù)有(-2)3，-22，-|-2|，共3個．

故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查了對正數(shù)和負(fù)數(shù)定義的理解，難度不大，注意0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．

20．（2024?江西）計(jì)算：(-1)2=1．

【分析】利用有理數(shù)的乘方法則計(jì)算即可．

【解答】解：(-1)2=(-1)′(-1)=1，

故答案為：1．

第8頁共27頁.

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

21．（2024?姜堰區(qū)一模）若a2=(-3)2，則a=3或-3．

【分析】求出a2=9，兩邊開方即可得出答案．

【解答】解：a2=(-3)2=9，

a=±3，

故答案為：3或-3．

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的乘方的應(yīng)用，注意：3和-3的平方都等于9．

22．（2024春?寶山區(qū)期末）計(jì)算：-(-5)2=-25．

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則進(jìn)行解題即可．

【解答】解：-(-5)2=-25．

故答案為：-25．

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

23．（2024?永川區(qū)校級模擬）若x、y互為倒數(shù)，則(-xy)2018=1．

【分析】根據(jù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，可得xy=1，根據(jù)-1的偶次冪，可得(-xy)2018．

【解答】解：Qx、y互為倒數(shù)，

\(-xy)2018=(-1)2018=1，

故答案為：1．

【點(diǎn)評】本題考查了倒數(shù)，注意-1的2018次冪是正數(shù)．

24．（2024春?高港區(qū)校級月考）閱讀理解：①根據(jù)冪的意義，an表示n個a相乘；則am+n=am×an；②

an=m，知道a和n可以求m，我們不妨思考；如果知道a，m，能否求n呢？對于an=m，規(guī)定[a，

m]=n，例如：62=36，所以[6，36]=2．記[3，x]=5m，[3，y+1]=5m+1；y與x之間的關(guān)系式為

y=3x-1．

【分析】根據(jù)題目中規(guī)定和所舉的例子列等式計(jì)算即可

【解答】解：由題意可得：x=35m，y+1=35m+1，

即y+1=35m′3=x′3，

即y=3x-1．

故答案為：y=3x-1．

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的乘方，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．

1

25．（2023秋?臺州期末）小明與小紅兩位同學(xué)計(jì)算42?(-2)3′(-)的過程如下：

8

小明：小紅：

第9頁共27頁.

11

原式=8?(-6)′(-)（第一步）原式=16?(-8)′(-)（第一步）

88

411

=(-)′(-)（第二步）=16?[(-8)′(-)]（第二步）

388

1=16?1（第三步）

=-（第三步）

6

=16（第四步）

（1）小明與小紅在計(jì)算中均出現(xiàn)了錯誤，請分別指出他們開始出錯的步驟；

（2）寫出正確的解答過程．

【分析】（1）小明的第一步計(jì)算(-2)3出現(xiàn)錯誤，小紅的第二步運(yùn)算順序出現(xiàn)錯誤；

（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可．

【解答】（1）解：小明第一步計(jì)算(-2)3出現(xiàn)錯誤，小紅的第二步運(yùn)算順序出現(xiàn)錯誤；

111

（2）原式=16?(-8)′(-)=-2′(-)=．

884

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的乘除法、有理數(shù)的乘方，掌握運(yùn)算法則，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．

八．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共4小題）

26．（2023秋?亳州期末）若|m-3|+(n+4)2=0，則(m+n)2023的值是()

A．-1B．1C．-2023D．2023

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m、n的值，然后根據(jù)有理數(shù)的乘方法則計(jì)算即可．

2

【解答】解：Q|m-3|+(n+4)=0，

2

又Q|m-3|…0，(n+4)…0，

\m-3=0，n+4=0，

\m=3，n=-4，

\(m+n)2023=(3-4)2023=-1，

故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，有理數(shù)的乘方，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

27．（2023秋?平橋區(qū)期末）已知|x-5|+(y+4)2=0，則xy的值為()

A．9B．-9C．20D．-20

【分析】根據(jù)絕對值與偶次冪的非負(fù)性求得x，y的值，代入式子，即可求解．

2

【解答】解：Q|x-5|+(y+4)=0，

\x=5，y=-4

\xy=-20，

故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查了絕對值與偶次冪的非負(fù)性，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，求得x，y的值是解題的關(guān)鍵．

第10頁共27頁.

28．（2023秋?龍馬潭區(qū)期末）已知：(b+3)2與|a-2|互為相反數(shù)，則ba=()

A．-9B．9C．-6D．6

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義可得|b+3|+|a-2|=0，再根據(jù)絕對值和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，代入計(jì)

算即可．

2

【解答】解：Q(b+3)與|a-2|互為相反數(shù)，

\|b+3|+|a-2|=0，

又Q|b+3|…0，|a-2|…0，

\b+3=0，a-2=0，

解得a=2，b=-3，

\ba=(-3)2=9．

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個非負(fù)數(shù)都為0．

29．（2023秋?衡東縣期末）若(3-m)2+|n+2|=0，則m+n的值為()

A．1B．-1C．5D．不確定

【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m，n的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

2

【解答】解：Q(3-m)+|n+2|=0，

\3-m=0，n+2=0，

解得m=3，n=-2，

\m+n=3-2=1．

故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟知幾個非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，每一項(xiàng)都等于0是解題的關(guān)鍵．

九．有理數(shù)的混合運(yùn)算（共8小題）

30．（2024?梅州一模）計(jì)算-3′2-8?(-2)的結(jié)果是()

A．2B．-2C．-10D．7

【分析】先算乘除，后算加減，即可解答．

【解答】解：-3′2-8?(-2)

=-6+4

=-2，

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

31．（2024?城關(guān)區(qū)校級一模）小明與小剛規(guī)定了一種新運(yùn)算*：若a、b是有理數(shù)，則a*b=3a-2b．小

明計(jì)算出2*5=-4，請你幫小剛計(jì)算2*(-5)=16．

【分析】根據(jù)題中的新定義a*b=3a-2b，將a=2，b=-5代入計(jì)算，即可求出2*(-5)的值．

第11頁共27頁.

【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：2*(-5)=3′2-2′(-5)=6+10=16．

故答案為：16．

【點(diǎn)評】此題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，屬于新定義題型，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．

32．（2023秋?武昌區(qū)期末）計(jì)算：

（1）(-20)+(+3)-(-5)-(+7)；

3

（2）|-3|?(3-)+(-2)2′(-12)．

2

【分析】（1）先去括號，再從左到右依次計(jì)算即可；

（2）先算括號里面的，再算乘方，乘除，最后算加減即可．

【解答】解：（1）(-20)+(+3)-(-5)-(+7)

=-20+3+5-7

=-17+5-7

=-12-7

=-19；

3

（2）|-3|?(3-)+(-2)2′(-12)

2

3

=3?+4′(-1)

2

2

=3′-4

3

=2-4

=-2．

【點(diǎn)評】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟知有理數(shù)混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．

33．（2023秋?高港區(qū)期末）計(jì)算：

11

（1）-22-12′(-)；

23

16

（2）用簡便方法計(jì)算：-99′34．

17

【分析】（1）根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算即可．

11

【解答】解：（1）-22-12′(-)

23

11

=-4-12′+12′

23

=-4-6+4

=-6；

第12頁共27頁.

16

（2）-99′34

17

1

=(-100+)′34

17

1

=-100′34+′34

17

=-3400+2

=-3398．

【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則，“先算乘方，再

算乘除，最后算加減，有小括號的先算小括號里面的”．

34．（2023秋?東陽市期末）計(jì)算：

1121

（1）3-(-)+2+(-)；

2332

115

（2）(-3)2-(-66)′(-′)．

2311

【分析】（1）先將有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法，再根據(jù)有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律簡便計(jì)算即可；

（2）先算乘方，運(yùn)用乘法分配律計(jì)算括號內(nèi)，然后根據(jù)有理數(shù)的加減法計(jì)算即可．

1121

【解答】解：（1）3-(-)+2+(-)

2332

1121

=3++2-

2332

1112

=(3-)+(+2)

2233

=3+3

=6；

115

（2）(-3)2-(-66)′(-′)

2311

15

=9-[(-66)′-(-66)′]

233

=9-(-33+10)

=32．

【點(diǎn)評】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

35．（2023秋?管城區(qū)期末）小明家買了一輛轎車，他連續(xù)10天記錄了他家轎車每天行駛的路程，以20km

為標(biāo)準(zhǔn)，超過或不足部分分別用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示，得到的數(shù)據(jù)分別如下（單位：km):

+3，+1，-2，+9，-8，+2，-4，+5，-3，+2．

（1）請計(jì)算小明家這10天轎車行駛的路程；

（2）若該轎車每行駛100km耗用汽油7L，且汽油的價(jià)格為每升8元，請估計(jì)小明家一個月（按30天算）

第13頁共27頁.

的汽油費(fèi)用．

【分析】（1）記錄數(shù)字的和再加上10個20即可得到結(jié)果；

（2）用（1）的結(jié)論乘以3即可得到總路程，再根據(jù)“該轎車每行駛100km耗用汽油7L，且汽油的價(jià)格為

每升8元”列式解答即可．

【解答】解：（1）3+1-2+9-8+2-4+5-3+2=5(km)

20′10+5=205(km)，

答：小明家這10天轎車行駛的路程為205km．

（2）205′3?100′7′8=344.4（元)，

答：估計(jì)小明家一個月（按30天算）的汽油費(fèi)用為344.4元．

【點(diǎn)評】本題考查正數(shù)與負(fù)數(shù)以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確列出算式并掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)

鍵．

36．（2023秋?德清縣期末）對于有理數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“*”，規(guī)定a*b=|a+2b|+|a-b|．

（1）計(jì)算2*(-3)的值；

（2）已知a>0且a*(a*a)=8+a，求a的值．

【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算的法則，列出算式進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)新運(yùn)算的法則，列出方程進(jìn)行計(jì)算即可．

【解答】解：（1）原式=|2-6|+|2+3|

=4+5

=9；

（2）Qa>0，

\a*a=|a+2a|+|a-a|=3a，

Qa*(a*a)=8+a，

\a*3a=8+a，

\9a=8+a，

解得：a=1．

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次方程．掌握新運(yùn)算的法則，是解題的關(guān)鍵．

2023

37．（2024春?上海期中）材料一：對任意有理數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”．a(chǎn)?b=a+b-．

2

202320232023

如：1?2=1+2-，1?2?3=(1+2-)+3-=-2017．

222

材料二：規(guī)定[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[3.1]=3，[-2]=-2，[-1.3]=-2．

（1）2?6=-1003.5，[-p][p]=；

（2）求1?2?3?4????2022?2023的值；

第14頁共27頁.

（3）若有理數(shù)m，n滿足m=2[n]=3[n+1]，請直接寫出m?[m+n]的結(jié)果．

【分析】（1）根據(jù)新定義把新運(yùn)算的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為常規(guī)代數(shù)式進(jìn)行解答便可；

2023

（2）根據(jù)新定義把原式轉(zhuǎn)化為1+2+3+4+??+2022+2023-′2022進(jìn)行計(jì)算便可；

2

（3）設(shè)k?n<k+1，k為整數(shù)，由已知條件m=2[n]=3[n+1]，列出k的方程求得k與m的值，進(jìn)而求得[m+n]

的值，再代入代數(shù)式，根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算便可．

2023

【解答】解：（1）2?6=2+6-=-1003.5，

2

[-p][p]=(-4)3=-64，

故答案為：-1003.5；-64；

（2）l?2?3?4????2022?2023

2023

=1+2+3+4+??+2022+2023-′2022

2

2023′20242022′2023

=-

22

=2023；

（3）設(shè)k?n<k+1，k為整數(shù)，則[n]=k，[n+1]=k+1，

Qm=2[n]=3[n+1]，

\m=2k=3(k+1)，

解得k=-3，m=-6，

\[m+n]=[-6+n]=-9，

2023

\m?[m+n]=(-6)?(-9)=-6-9-=-1026.5．

2

【點(diǎn)評】本題考查了新定義，列代數(shù)式，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次方程，關(guān)鍵是理解和應(yīng)用新定義

解題．

一十．近似數(shù)和有效數(shù)字（共2小題）

38．（2023秋?靖江市期末）由四舍五入法得到的近似數(shù)8.01′104，精確到()

A．萬位B．百分位C．百位D．萬分位

【分析】由于8.01′104=80100，數(shù)字1在百位上，則近似數(shù)8.01′104精確到百位．

4

【解答】解：Q8.01′10=80100，

\近似數(shù)8.01′104精確到百位．

故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)叫近似數(shù)；從一個近似數(shù)左邊第一個不為0

的數(shù)數(shù)起，到這個數(shù)完為止，所有這些數(shù)字叫這個數(shù)的有效數(shù)字．

第15頁共27頁.

39．（2023秋?溧陽市期末）由四舍五入得到的近似數(shù)8.01′104，精確到()

A．10000B．100C．0.01D．0.0001

【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度求解．

【解答】解：近似數(shù)8.01′104精確到百位．

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確

到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法；從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)

字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．

一十一．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（共3小題）

40．（2024?湖南）據(jù)《光明日報(bào)》2024年3月14日報(bào)道：截至2023年末，我國境內(nèi)有效發(fā)明專利量達(dá)到

401.5萬件，高價(jià)值發(fā)明專利占比超過四成，成為世界上首個境內(nèi)有效發(fā)明專利數(shù)量突破400萬件的國

家．將4015000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為()

A．0.4015′107B．4.015′106C．40.15′105D．4.015′107

【分析】把一個大于10的數(shù)表示成a′10n的形式(a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)）；n的值為小數(shù)

點(diǎn)向左移動的位數(shù)．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義，即可得到答案．

【解答】解：4015000=4.015′106．

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)，掌握把一個大于10的數(shù)表示成a′10n的形式(a大于或等

于1且小于10，n是正整數(shù)）是關(guān)鍵．

41．（2024?道里區(qū)校級一模）杭州亞運(yùn)會開幕式上，約105800000名“數(shù)字火炬人”和現(xiàn)場火炬手共同點(diǎn)

燃了主火炬塔，實(shí)現(xiàn)了首個“數(shù)實(shí)融合”的點(diǎn)火儀式，將數(shù)據(jù)105800000用科學(xué)記數(shù)法表示為

1.058′108．

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，將原數(shù)化為a′10n的形式，其中1?|a|<10，n為整數(shù)，n

的值等于把原數(shù)變?yōu)閍時(shí)小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)．

【解答】解：105800000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.058′108．

故答案為：1.058′108．

【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a′10n的形式，其中1?|a|<10，n為

整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．

42．（2024?沛縣校級一模）習(xí)近平總書記指出“善于學(xué)習(xí)，就是善于進(jìn)步”．“國家中小學(xué)智慧云平臺”

上線的某天，全國大約有5450000人在平臺上學(xué)習(xí)，將這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為5.45′106．

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a′10n的形式，其中1?|a|<10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)

變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值…10時(shí)，n是正數(shù)；

第16頁共27頁.

當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．

【解答】解：5450000=5.45′106．

故答案為：5.45′106．

【點(diǎn)評】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，掌握形式為a′10n的形式，其中1?|a|<10，n為整數(shù)是關(guān)鍵．

一十二．科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)（共2小題）

43．（2024?鳳臺縣二模）習(xí)近平總書記指出“善于學(xué)習(xí)，就是善于進(jìn)步．”“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”平臺上線的某天，

全國大約有1.263′108人在此平臺上學(xué)習(xí)，用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)1.263′108的原數(shù)為()

A．126300000B．12630000C．1263000000D．1263000

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a′10n，其中1?|a|<10，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)

移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同，由此解答即可．

【解答】解：用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)1.263′108的原數(shù)為126300000，

故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟知科學(xué)記數(shù)法的定義是解題的關(guān)鍵．

44．（2024?濟(jì)寧一模）長城的總長用科學(xué)記數(shù)法表示約為6.7′106米，則它的原數(shù)為()

A．670000米B．6700000米C．67000000米D．670000000米

【分析】根據(jù)已知科學(xué)記數(shù)法的結(jié)果再判斷原數(shù)，先確定原數(shù)的整數(shù)數(shù)位即可．

【解答】解：6.7′106米對應(yīng)的原數(shù)為6700000米．

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a′10n的形式，

其中1?|a|<10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．

一．選擇題（共10小題）

1．-2的倒數(shù)是()

11

A．-2B．-C．D．2

22

【分析】根據(jù)倒數(shù)的意義，乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)，據(jù)此解答．

1

【解答】解：-2′(-)=1．

Q2

1

\-2的倒數(shù)是-，

2

故選：B．

【點(diǎn)評】本題主要考查倒數(shù)的意義，解決本題的關(guān)鍵是熟記乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)．

2．經(jīng)專家估算，我國南海的油氣資源約合15000億美元，開采前景甚至要超過英國的北海油田，用科學(xué)記

數(shù)法表示15000億美元是()美元．

第17頁共27頁.

A．1.5′1012B．1.5′1013C．15′105D．1.5′104

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a′10n的形式，其中1?|a|<10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯點(diǎn)，由于

15000億有13位，所以可以確定n=13-1=12．

【解答】解：15000億=1500000000000=1.5′1012．

故選：A．

【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法，準(zhǔn)確確定n的值是關(guān)鍵．

3．溫度由-4°C上升7°C是()

A．3°CB．-3°CC．11°CD．-11°C

【分析】根據(jù)題意列出算式，再利用加法法則計(jì)算可得．

【解答】解：溫度由-4°C上升7°C是-4+7=3(°C)，

故選：A．

【點(diǎn)評】本題主要考查有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法法則．

4．下列計(jì)算正確的是()

A．(-3)-(-5)=-8B．(-3)+(-5)=+8C．(-3)3=-9D．-32=-9

【分析】A、根據(jù)有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；

B、根據(jù)有理數(shù)加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

C、D根據(jù)有理數(shù)乘方含義．

【解答】解：A、(-3)-(-5)=(-3)+(+5)=2，故本選項(xiàng)錯誤；

B、(-3)+(-5)=-(3+5)=-8，故本選項(xiàng)錯誤；

C、(-3)3=(-3)′(-3)′(-3)=-27，故本選項(xiàng)錯誤；

D、-32=-3′3=-9，正確．

故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，同學(xué)們一定要理解有理數(shù)加減、乘方的含義，才能根據(jù)含義靈活解

題．不致出現(xiàn)(-3)-(-5)=-8，(-3)+(-5)=+8，(-3)3=-9這樣的錯誤．

5．計(jì)算6′(-2)-12?(-4)的結(jié)果是()

A．10B．0C．-3D．-9

【分析】原式先計(jì)算乘除運(yùn)算，再計(jì)算加減運(yùn)算即可得到結(jié)果．

【解答】解：原式=-12+3=-9，

故選：D．

【點(diǎn)評】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

6．計(jì)算：(-1)2013′(-2)2正確的結(jié)果為()

A．8052B．-8052C．4D．-4

第18頁共27頁.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的乘法解決本題．

【解答】解：(-1)2013′(-2)2

=-1′4

=-4．

故選：D．

【點(diǎn)評】本題主要考查有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的乘法，熟練掌握有理數(shù)的乘方是解決本題的關(guān)鍵．

7．日常生活中，我們用十進(jìn)制來表示數(shù)，如3516=3′103+5′102+1′101+6′1．計(jì)算機(jī)中采用的是二進(jìn)制，

即只需要0和1兩個數(shù)字就可以表示數(shù)．如二進(jìn)制中的1010=1′23+0′22+1′21+0′1，可以表示十進(jìn)制

中的10．那么，二進(jìn)制中的110101表示的是十進(jìn)制中的()

A．25B．23C．55D．53

【分析】根據(jù)十進(jìn)制中的數(shù)與二進(jìn)制中的數(shù)的相互轉(zhuǎn)化的方法計(jì)算．

【解答】解：110101=1′25+1′24+0′23+1′22+0′2+1′1=53．

\二進(jìn)制中的數(shù)110101表示的是十進(jìn)制中的53．

故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查十進(jìn)制中的數(shù)二進(jìn)制、十進(jìn)制中的數(shù)的相互轉(zhuǎn)化的方法：二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制，從最后一位

開始算，依次列為第0、1、2?位，第n位的數(shù)(0或1)乘以2的n次方．得到的結(jié)果相加就是答案．

8．下列各組的兩個數(shù)中，運(yùn)算后的結(jié)果相等的是()

A．23和32B．-33和(-3)3C．-22和(-2)2D．-|-2|和|-2|

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，絕對值的意義分別計(jì)算，然后作出判斷．

【解答】解：A．23=8，32=9，

\23132，故此選項(xiàng)不符合題意；

B．-33=-27，(-3)3=-27，

\-33=(-3)3，故此選項(xiàng)符合題意；

C．-22=-4，(-2)2=4，

\-221(-2)2，故此選項(xiàng)不符合題意；

D．-|-2|=-2，|-2|=2，

\-|-2|1|-2|，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的乘方，絕對值的化簡，掌握有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則和絕對值的意義是解題基礎(chǔ)．

9．下列各組數(shù)中，①-(-2)和-|-2|；②(-1)2和-12；③32和23；④(-2)3和-23，互為相反數(shù)的有()

A．④B．①②C．①③D．②④

【分析】各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，利用相反數(shù)定義判斷即可．

第19頁共27頁.

【解答】解：①-(-2)=2，-|-2|=-2，互為相反數(shù)；②(-1)2=1，-12=-1，互為相反數(shù)；③32=9，

23=8；④(-2)3=-23=-8，

互為相反數(shù)的為①②，

故選：B．

【點(diǎn)評】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．

10．求1+2+22+23+?+22016的值，可令S=1+2+22+23+?+22016，則2S=2+22+23+?+22016+22017，

因此2S-S=22017-1，S=22017-1．參照以上推理，計(jì)算4+42+43+?+42018+42019的值為()

42020-442020-1

A．42020-1B．42020-4C．D．

33

【分析】設(shè)S=4+42+43+?+42018+42019，然后可以得到4S，再作差變形，即可求得所求式子的值．

【解答】解：設(shè)S=4+42+43+?+42018+42019，

則4S=42+43+?+42019+42020，

\4S-S=42020-4，

\3S=42020-4，

42020-4

\S=，

3

42020-4

即4+42+43+?+42018+42019的值為．

3

故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是找出其中規(guī)律，利用錯位相減求解．

二．填空題（共8小題）

71

11．比較大?。?>-2．

44

79

【分析】先比較與的大小，再根據(jù)比較兩個負(fù)數(shù)大小的方法確定最后答案．

4