高考數(shù)學(xué)真題分類練習(xí)專題18 等差數(shù)列與等比數(shù)列（解析版）

專題18等差數(shù)列與等比數(shù)列

十年大數(shù)據(jù)*全景展示

年份題號(hào)考點(diǎn)考查內(nèi)容

等差數(shù)列與等比數(shù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，

2011文17

列綜合問題邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力

理5等比數(shù)列問題等比數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)

2012

文14等比數(shù)列問題等比數(shù)列八項(xiàng)和公式

卷2文17等差數(shù)列問題等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前幾項(xiàng)和公式、性質(zhì)，方程思想

2013住2理3等比數(shù)列問題等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式及方程思想

卷1文6等比數(shù)列問題等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式

卷2文5等差數(shù)列問題等比中項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式

2014等比數(shù)列概念、通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式及數(shù)列不等式證明，放縮

住2理17等比數(shù)列問題

思想

等比數(shù)列問題

卷2文5等比數(shù)列通項(xiàng)公式及方程思想

卷2文5等差數(shù)列問題等差通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前幾項(xiàng)和公式

卷2理16等差數(shù)列問題數(shù)列前〃項(xiàng)和S”與小關(guān)系、等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式

2015等比數(shù)列問題

卷2理4等比數(shù)列通項(xiàng)公式及方程思想

等比數(shù)列問題

卷1文13等比數(shù)列定義及前〃項(xiàng)和公式

卷1文7等差數(shù)列問題等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前F項(xiàng)和公式，方.程思想

卷2文17等差數(shù)列問題等差數(shù)列通項(xiàng)公式及對(duì)新概念的理解與應(yīng)用，運(yùn)算求解能力

等差數(shù)列與等比數(shù)

卷1文17等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列定義、前〃項(xiàng)和公式，運(yùn)算求解能力

列綜合問題

2016

卷1理3等差數(shù)列問題等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式、性質(zhì)

等差數(shù)列與等比數(shù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式及二次函數(shù)最值問題，

卷1理15

列綜合問題函數(shù)與方程思想

等比數(shù)列問題

卷3理14等比數(shù)列通項(xiàng)公式及方程思想

卷3理9等差數(shù)列問題等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式、等比數(shù)列概念，方程思想

等差數(shù)列與等比數(shù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和

卷2文17

2017列的綜合問題公式，方程思想

卷2理3等比數(shù)列問題等比數(shù)列定義及前〃項(xiàng)和公式及傳統(tǒng)文化

等差數(shù)列與等比數(shù)

卷1文17等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式及等差數(shù)列定義，方程思想

列的綜合問題

卷1理4等差數(shù)列問題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)，方程思想

卷3理文17等比數(shù)列問題等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式，方程思想與運(yùn)算求解能力

卷2理文17等差數(shù)列問題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式及前〃項(xiàng)和的最值，方程思想

2018

卷1文17等比數(shù)列問題等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式，運(yùn)算求解能力

卷1理4等差數(shù)列問題等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，方程思想

等差數(shù)列問題

卷3文14等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，方程思想

2019卷3理5等比數(shù)列問題等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前F項(xiàng)和公式，方程思想

等差數(shù)列與等比數(shù)

卷2文18等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列定義及前〃項(xiàng)和公式，方程思想

列綜合問題

等差數(shù)列與等比數(shù)等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式，運(yùn)算求解

卷2理19

列的綜合問題能力

卷1文14等比數(shù)問題等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，方程思想

等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前F項(xiàng)和公式及數(shù)列數(shù)列不等式問題，方程思

卷1文18等差數(shù)列問題

想

卷1理14等比數(shù)列問題等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，方程思想

卷1理9等差數(shù)列問題等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，方程思想

理

卷1

文10等比數(shù)列問題等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列基本量的計(jì)算，方程思想

2020理4等差數(shù)列問題等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式，方程思想，數(shù)學(xué)文化

卷2理6等比數(shù)列問題等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式，方程思想

文6等比數(shù)列問題等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，方程思想

大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測(cè)高考

考點(diǎn)出現(xiàn)頻率2021年預(yù)測(cè)

考點(diǎn)58等差數(shù)列問題15/37

2021年高考仍將考查等差數(shù)列與等比數(shù)列定義、性質(zhì)、

考點(diǎn)59等比數(shù)列問題13/37前〃項(xiàng)和公式，題型為選擇填空題或解答題的第1小

題，難度為基礎(chǔ)題或中檔題.

考點(diǎn)60等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題967

十年試題分類*探求規(guī)律

考點(diǎn)58等差數(shù)列問題

1.（2020全國n理4）北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石

板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比

上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層

共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

【答案】C

【思路導(dǎo)引】第〃環(huán)天石心塊數(shù)為劣,第一層共有〃環(huán)，則｛%｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，

設(shè)S“為｛4｝的前〃項(xiàng)和，由題意可得S3〃—S2“=S2“—S“+729,解方程即可得到小進(jìn)一步得到S3”.

【解析】設(shè)第〃環(huán)天石心塊數(shù)為外，第一層共有〃環(huán)，則｛〃〃｝是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，

勺=9+（〃-1>9=9〃，設(shè)S”為｛%｝的前〃項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為

SnMn-SnHn-S*,因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以邑〃-=S?”一S〃+729，即

燮產(chǎn)一吟幽=網(wǎng)等一喈*729,即9/=729,解得"9.所以

§3“=%=27。+；*27）=3402,故選C-

2.（2020浙江7）已知等差數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和S”，公差d。0,：1.記a=S2,%=Srt+2-S2/J

下列等式不可能成立的是（）

A.2a4=a2+a6B.2b4=h2+b6C.a\-?2a8D.b：=b2b&

【答案】B

【解析】A.由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2%=%+4,成立；

B.b4=S5-S6=-a6,&=53-52=6，〃6=57-品=一（4+佝+40）=-3%，

若2%=與+4,貝ij一入=q-3%O2（為—4）二/一%，

即6d=-6dod=0,這與已知矛盾，故B不成立;

C.=出4O（4+3d）2=（4+d）（〃]+7d）,整理為：a、=d,故C成立;

D.々=S9-S[4=-（4（）+41+%+4+44）=一542,當(dāng)〃；二&4時(shí),即心2=4,（一5%）,整理為

（4+5d）2=—5（4+2J）（4+lld）,即242+25qd+45d2=0,,△＞（）,方程有解，故D成立.綜上

可知，等式不可能成立的是B,故選B.

3.（2019?新課標(biāo)I,理9）記S”為等差數(shù)列伍“｝的前〃項(xiàng)和.已知$4=0,%=5,則（）

-]、

22

A.an=2n-5B.an=3n-\0C.Sn=2n-SnD.Sn=^n-2n

【答案】A

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由§4=0,6=5,得

2

:.an=2n-5?Sn-n-4n,故選A.

4.（2018?新課標(biāo)I,理4）記S,為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.若3S3=S2+W，q=2,則6=（）

A.-12B.-10C.10D.12

【答案】B

3x74x?

【解析lvSn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，3s3=S2+S4,q=2,二3x（3q+—^―d）=4+4+d+4q+—^―d,

把用=2,代入得d=-3，?,.%=2+4x（—3）=70,故選B.

5.（2017?新課標(biāo)I,理4）記S“為等差數(shù)列甩｝的前〃項(xiàng)和.若能+%=24,$6=48,則｛可｝的公差為（）

A.IB.2C.4D.8

【答案】C

q+3d+4+4d=24

【解析】由題知，:.I6x5，解得q=-2,d=4,故選C.

6a,+2d=48

6.（2017?新課標(biāo)HI,理9）等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,公差不為0.若出,%，4成等比數(shù)列，則｛七｝前6

項(xiàng)的和為（）

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【解析】?.?等差數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為1,公差不為0.%，%，4成等比數(shù)列，???〃；=%4，

.?.(q-2d)2=(4+d)(4+5d),且4=1,"=0,解得t/=-2,前6項(xiàng)的和為

56=^+—tZ=6xl+—x(-2)=-24,故選A.

7.(2016?新課標(biāo)I,理3)已知等差數(shù)列｛%｝前9項(xiàng)的和為27,?10=8,則%0=()

A.100B.99C.98D.97

【答案】C

【解析】由題知，§9=2歿④=史華=9%=27,...6=3,又?.?%=8=%+5d=3+5d,.?.4=1,

/.a100=a5+95d=98，故選C

8.(2015新課標(biāo)I,文7)已知｛%｝是公差為1的等差數(shù)列，S“為｛%｝的前〃項(xiàng)和，若58=4見，則4。=

()

1719

(A)—(B)—(C)10(D)12

22

【答窠】B

【解析】???公差d=l,S8=4S4,J84+gx8x7=4(44+gx4x3),解得卬=；,/.

119

4o=q+9d=萬+9=耳，故選B.

9.（2015新課標(biāo)II,文5）設(shè)S”是等差數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和，若4+。3+%=3,則S$=（）

A.5B.7c.9D.11

【答案】A

5（a.+a.）

【解析】4+%=3q=3=%=1,S5=--------=5a3=5.故選A.

10.（2014新課標(biāo)II,文5）等差數(shù)列｛%｝的公差是2,若%,（，%成等比數(shù)洌，則｛凡｝的前〃項(xiàng)和S,t=（）

〃5-1）

A.n（n+1）B.〃（〃一1）Lnx?

29

【答案】A

622

（解析】???4，①，4成等比數(shù)列，.==a2a8，即（4+）=（4+2）（4+14）,解得a,=2,Sn=n+n,

故選A.

11.（2017浙江）已知等差數(shù)列｛q｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為S“，則“d>0”是

M

S4+S6>255"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】???（56-55）-（1-54）=4-6=（當(dāng)4>0,可得54+56>2%當(dāng)54+56>255，可得4>0.所

以“d>0”是“S,+S6>2s$”充分必要條件，選C.

12.（2015重慶）在等差數(shù)列｛《,｝中，若4=4,q=2,則〃6=<）

A.-1B.0C.1D.6

【答案】B

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得%=2%—的=2x2—4=。，選B%=2.

13.（2015浙江）已知｛%｝是等差數(shù)列，公差d不為零，前〃項(xiàng)和是S”.若外,%，6成等比數(shù)列，則（）

A.a｝d>0,dS4>0B.a/v0,dS4<0

C.a｝d>0,JS4<0D.a]d<0,dS4>0

【答窠】B

【解析】由。3，4,%成等比數(shù)列可得：（4+3d）2=（4+2d）?（47d）,即3q+5d=0,所以q=-|d,

所以qdvO,又dS&=（4+：）?44=2（2q+3d）d=-|d2Vo.

14.（2014遼寧）設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,若數(shù)列｛2%%｝為遞減數(shù)列，則（）

A.d<0B.d>0C.ayd<0D.axd>0

【答案】C

【解析】???數(shù)列｛2“0｝為遞減數(shù)列，a,an=a.[a]+（n-1）J]=a.dn+a,（a1-d）,等式右邊為關(guān)于〃的一次

函數(shù)，???〃0<0.

15.（2014福建）等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和S“，若4=2~3=12,則必=（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛?！埃墓顬椤?，貝!53=34+3〃，所以12=3乂2+3小解得d=2,所以％=12.

16.（2014重慶）在等差數(shù)列｛%｝中，q=2,4+%=1°，則的=（）

A.5B.8c.ioD.14

【答案】B

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得4+%=4+%，因?yàn)?=2,43+%=1°，所以。7=8，選B.

17.：2013遼寧）下面是關(guān)于.公差d>0的等差數(shù)列｛〃“｝的四個(gè)命題:

P：數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列;〃2：數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列;

P3：數(shù)列｛腎｝是遞增數(shù)列;

小：數(shù)列的+3〃d｝是遞增數(shù)列;

其中的真命題為

%,Pa

A.p,,p2B.p3,p4C.〃2，P3D.

【答案】D

2

【解析】設(shè)4=4+（〃一l）d=dn+m,所以p｝正確：如果。“二3〃一12則滿足已知，但〃=3n-\2n

并非遞增所以P2錯(cuò)；如果若+則滿足已知，但?=1+;，是遞減數(shù)列，所以P3錯(cuò)；

an+3nd=4dn+m,所以是遞增數(shù)列，正確.

18.（2012福建）等差數(shù)列｛4｝中，a,+a5=10,%=7，則數(shù)列｛4｝的公差為（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由題意有4+%=2%=10，6=5，又:包=7，?'?4一%=2，d=2.

19.（2012遼寧）在等差數(shù)列｛q｝中，已知處+為=脩，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S“=（）

A.58B.88C.143D.176

【答案】B

【解析】a4+a8=2a6=16?.tz6=8,而S"=)=11《=88,故選B.

20.(2011江西)設(shè)｛q｝為等差數(shù)列，公差1二-2,S〃為其前幾項(xiàng)和，若5o=S”，

則.二()

A.18B.20C.22D.24

【答案】B

【解析】由5o=S”，得《|=5”一￡0=0,a[=?II+(l-ll)J=0+(-10ix(-2)=20.

21.(2011天津)已知｛%｝為等差數(shù)列，其公差為-2,且%是。3與%的等比中項(xiàng)，S“為｛6｝的前〃項(xiàng)和，

neN*,則So的值為

A.-110B.-90C.90D.110

【答案】D

【解析】因?yàn)?是由與。9的等比中項(xiàng)，所以，又?jǐn)?shù)列M的公差為一2,所以

(4-12)2=(4-4)(4-16),解得4=20,故an=20+(n-V)x(-2)=22-2n,所以

5lo=12^d^!o)=5x(20+2)=110.

22.(2020北京8)在等差數(shù)列｛%｝中，，4=一9,^5=-1,記7；=。冏？…45=1，2,…)，則數(shù)列｛，｝

()

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

【答案】A

【解析】設(shè)公差為d,a5-ai=4d,即d=2,an=2n-ll,lWnW5使，an<0,n26時(shí)，an>0,所以n=4時(shí)，Tn

>0,并且取最大值：n=5時(shí)，Tn<0：n，6時(shí).Tn<0,并且當(dāng)n越來越大時(shí),Tn越來越小，所以Tn無最小

項(xiàng).故選A.

23.（2020上海7）已知等差數(shù)列｛凡｝的首項(xiàng)q工0,且滿足％+《0=%，則"…+…'的=

。10

27

【答案】—

8

-rA,…f…+4。9q9（4+4d）27d27

［解析］由條件可知2。］+9d=4+8d=>q=-d，—~—---------=--=--------------=-------=—

%/q+9d8d8

27

故答案為：11.

8

24.（2019?新課標(biāo)HI,理14）記S”為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若。戶0,&=3q,則&=—.

S$

【答案】4

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則由qwO,凡=3/可得，d=2a｝,...1」。（4+4。）

S$5（q+&）

_2（2%+94）_2（24+18q）_4

2q+4d2a｝+84

25.（2015?新課標(biāo)H,理16）設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且q=T,%尸S.R,則S.=.

【答案】」

n

【解析】???％川='+5,.?.5..「斗=5〃,瓦，］-白=1,又?.?％=-1，即1=一1，

，“+I5

...數(shù)列｛_!_）是以首項(xiàng)是-1、公差為T的等差數(shù)列，，_L=一〃，...5.=」.

s“snn

26.（2015安徽）已知數(shù)列｛/｝中，4=1,?！?。2+,（〃22）,則數(shù)列｛4｝的前9項(xiàng)和等于______

2

【答案】27

【解析】???q=l,q=41+5(/222),所以數(shù)列｛〃“｝是首項(xiàng)為1,公差為5的等差數(shù)列，所以前9項(xiàng)

和2=9+等4=27.

27.(2019江蘇8)已知數(shù)列｛4｝(〃￡N")是等差數(shù)列，S”是其前〃項(xiàng)和.若生織+4=0，§9=27,則Sg

的值是.

【答案】16

(4+d)(a+4d)+q+7d=0

｝q=-5

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛2｝的首項(xiàng)為％,公差為"，則?c9x8,?，解得，

9a+——J=27d=2

.2

8x7/7

所以Sg=84+—-—=6x(—5)+15x2=16.

28.(2019北京理10)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若〃2=-3,Ss=-10,則g=.Sn

的最小值為.

【答案】0,-10

ao=a.+d=—3",所以％=4+4d=0.

【解析】由題意得，《c…八，解得4

S5=ax?5+10t/=-10d=1

因?yàn)椋鹮｝是一個(gè)遞增數(shù)列，且6=0,所以S”的最小值為邑或S5,54=S5=(-4)x4+-y^xl=-10.

29.(2018北京)設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，且4=3,/+4=36,則｛6｝的通項(xiàng)公式為一.

【答案】14

q+2d=()

【解析】解法?設(shè)｛/｝的公差為d,首項(xiàng)為6,則《一，，

q+5d+q+6d=14

解得l4"-4,所以與=7X(-4)+23X2=14.

d=22

解法二2%+7d=14,所以d=2.故%=6+d=2,故S7=74=7x2=14.

30.（2018上海）記等差數(shù)列｛q｝的前兒項(xiàng)和為5“，若％=0，4+/=14,則S?=.

【答案】an=6n-3

【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,。2+6=4+4+4+4〃=6+51=36,/.d=6,/.

=3+（〃-1）?6=6〃-3.

31.（2015廣東）在等差數(shù)列｛4｝中，若“3+。4+G+。6+%=25,則。2+。8=.

【答案】10

【解析】由6+%+%+。6+%=25得56=25,所以〃5=5,故％+網(wǎng)=2%=1。.

32.（2014北京）若等差數(shù)列｛為｝滿足生+6+%>。，%+4o<。，則當(dāng)〃=_時(shí)

｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和最大.

【答案】8

【解析】???數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且%+%+為;延>0,0s>0.又％+40=6+。9<0，???49<0.當(dāng)

〃=8時(shí)，其前〃項(xiàng)和最大.

33.（2014江西）在等差數(shù)列｛七｝中，4=7,公差為d,前〃項(xiàng)和為S.，當(dāng)且僅當(dāng)〃=8時(shí)S”取最大值，

則d的取值范圍.

【答案】

8

d<0

7

【解析】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)〃=8時(shí)鼠取最大值，可得｛6>0,解得T<d<一-.

8

〃9<0

34.（2013廣東）在等差數(shù)列｛""｝中，已知“3+4=1°,則應(yīng)+生=.

【答案】20

【解析】依題意2a［十94=1。，所以34十勺=3（4十4〃）十/十64二4%+184=20.

35.（2012北京）已知｛〃“｝為等差數(shù)列，S”為其前〃項(xiàng)和.若6=；，$2=〃3，

則a2=；Sn=.

【答案】1,幽出

4

【解析】設(shè)公差為d，貝i」24+d=q+2d,把4=1代入得d=.?.生=1,=-?（/?+1）

224

36.（2012江西）設(shè)數(shù)列｛《｝,｛〃』都是等差數(shù)列，若4+伉=7,6+4=21,則為+4=.

【答案】35

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛%｝,｛包｝都是等差數(shù)列，所以數(shù)列｛4+2｝也是等差數(shù)列.故由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，得

（%+么）+（4+4）=2（4+4），即（%+仇）+7=2x21,解得々5+4=35.

37.（2012廣東）已知遞增的等差數(shù)列｛《｝滿足q=1,%=嬉一4,則〃“=—.

【答案】an=2n-｛

［解析］4=1,%=出-4o1+2d=（1+d）z—4od=2=。”=2n-l

38.（2011廣東）等差數(shù)列｛4｝前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若q=l,4+%=。，

貝必二.

【答案】10

9x84x31

【解析】設(shè)｛〃“｝的公差為d，由S9=S4及4=1,得9x1+——d=4xl+--d,所以d=--.又

226

4+%=0,所以［1+（攵_1）X（_，）］+［1+（4_1）X（_L）］=0,即％=10.

39.（2019?新課標(biāo)I,文18）記S”為等差數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和，已知Sg=-q.

（1）若％=4，求｛《｝的通項(xiàng)公式；

（2）若4>0,求使得5”之見的〃的取值范圍.

【解析】（1）根據(jù)題意，等差數(shù)列｛4｝中，設(shè)其公差為d,

若Sg=—&,則s9=（4+?）x9=9a5=_/,變形可得4=0,即q+4d=0,

若4=4,則"=^^=-2,

則an=a3+（n-3）d=-2n+10,

〃（〃一1）八/八」

c+----Ld>a.+（n-Y）d

⑵若S〃2,則2,

當(dāng)〃=1時(shí)，不等式成立，

^>d-a

當(dāng)"22時(shí)，有2,變形可得（，L2）dN-2q,

(n-2)(—^)>-2?(

又由$=-4，即S9=（q+yx9=%=_5,則有火=°，即4+4d=0,則有4

又由q>0,則有〃《10,

則有24〃410,

綜合可得：2OW10,〃GN.

40.（2018?新課標(biāo)H,理（文）17）記S“為等差數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和，已知4=-7,S3=-15.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）求S”，并求S”的最小值.

【解析】（1）???等差數(shù)列｛q｝中，q=—7,S3=-15,

:.a.=-7,3a.+3J=-15,解得q=-7,4=2,

/.an=-l+2（n-1）=2〃-9；

（2）d=2,4=2〃-9,

/.Stl=]（4+q）=5（2〃2-16〃）=〃2-8〃=（〃-4）2-16?

.?.當(dāng)〃=4時(shí)，前八項(xiàng)的和S”取得最小值為-16.

41.（2016?新課標(biāo)H,文17）等差數(shù)列｛qj中，q+q=4,A+%=6.

（I）求｛七｝的通項(xiàng)公式；

（11）設(shè)d=[《]，求數(shù)列｛4｝的前10項(xiàng)和，其中[幻表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2.

【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,

,/ciy+a4=4,4+%=6.

J2q+5d=4

一+10d=6'

4=]

解得：\2，

d=—

5

23

:.a=-n+-：

"n55

（II）-：bn=[an]f

b、=b?=a=1,

b4=b$=2,

=b<=4=3,

4=Ao=4.

故數(shù)列｛么｝的前10項(xiàng)和So=3x1+2x2+3x3+2x4=24.

42.(2013新課標(biāo)U,文17)已知等差數(shù)列｛〃”｝的公差不為零，4=25,且4,?！?，。門成等比數(shù)列?

(I)求｛?！埃耐?xiàng)公式；

(II)求4+/+%+…+；

【解析】(I)設(shè)｛%｝的公差為d,

由題意，"11="1013'

即回+101)2=%(4+12"),

??,q=25,

，d=0(舍去)或d=-2,

cin—In+27；

(II)令S*=4+%+%+…+a3n-2

由(I)知，a3n_2=-6n+3i,

???｛6皿｝是首項(xiàng)為25,公差為-6的等差數(shù)列，

**?S“=耳(q+。3”-2)二耳(一6〃+56)=-3〃~+28〃.

43.(2014浙江)已知等差數(shù)列｛q｝的公差d>0,設(shè)｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=1,

52-S3=36.

(I)求d及S”；

(II)求見A(，n,keN")的值，使得am+am+l+am+2+…+am+t=65.

【解析】(I)由題意，(2q+d)(3q+&/)=36,

將4=1代入上式得d=2或d=—5,

因?yàn)閐〉0,所以d=2,從而〃“二2〃-1,S”=*(neN*).

(II)由(1)知，+。“+]+…+=(2機(jī)+2—1)(左+1),

所以(2m+A—1)/+1)=65,

由m,kwN.知，(2〃7+2—1)(%+1)>1,

一2tn+Z:-1=13?[m=5

所以《，所以4

44.(2013福建)已知等差數(shù)列｛凡｝的公差d=l,前〃項(xiàng)和為S..

:I)若I,4,4成等比數(shù)列，求6；

[II)若§5>4%，求〃1的取值范圍.

【解析】(I)因?yàn)閿?shù)列｛%｝的公差d=l，且1,%,七成等比數(shù)列，

所以4：=1x(4+2),

即q2—4—2=0,解得4=-1或4=2.

(H)因?yàn)閿?shù)列｛《｝的公差d=l,且Ss〉4%,

所以5q+10>4；+8%.

即q2+3q-10<0,解得一5<“<2

45.(2011福建),已知等差數(shù)列｛%｝中，生=-3.

(I)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(H)若數(shù)列｛4｝的前2項(xiàng)和&=-35,求A的值.

【解析】(I)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"，則4=4+5—1)”.

由4=1,%=-3可得1+2d=-3.

解得d=-2.

從而，=1+(1)x(—2)=3—2幾

(II)由⑴可知勺=3-2〃，

叩+(3-2〃)]

所以=-------------=2n-n2.

〃2

進(jìn)而由￡=一35可得24-k2=-35,

即左2—24—35=0,解得％=7或1=一5.

又々wN*,故％=7為所求.

46.(2013江蘇)設(shè)｛4｝是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d工0),S”是其前〃項(xiàng)和.

記,=〃，/?GN*,其中。為實(shí)數(shù).

n+c

(I)若c=0,且“，b『打成等比數(shù)列，證明：S欣=/s4化〃￡N*)；

(II)若圾｝是等差數(shù)列，證明：c=0.

【證明】（I）若c=0,則2=a,neN\又由題S”=〃。+生上㈣，

n2

,Sn-\1,

??2=——n=a+^~Jd，：也t+1-L>=小，

n22

.?.｛〃』是等差數(shù)列，首項(xiàng)為。，公差為（dwO）,又用bv4成等比數(shù)列，

22

:.b；=帥4,(a+y)=a(a+^-)?，ad+?=。(弓)，?.?〃力(),:.d=2a,Sn=na.

22222X

Snk=(nk)a=nka,nSk=rrk~a,Snk=nSk(k,nGN).

(ID由題勿=乎」，〃wN”，或J''T)d],若gj是等差數(shù)歹九

n+c2(n+<?)

則可設(shè)4=x+y〃，％,y是常數(shù)，"[2"+,(〃"'1=/+/關(guān)于〃€N*恒成立.

2(/r+c)

整理得：(d-2y)/+(2Q-d-2x)ir-2cyn-2cx=0,

關(guān)于力wN*恒成立.2y=0,2。一/一24=0,2。，=0,2以=0,

:.d=2y^0,2a-2x=d,cy=Qiex=0,.\c=0..

考點(diǎn)59等比數(shù)列問題

1.（2020全國I文10）設(shè)｛%｝是等比數(shù)列，且4+外+4=1,%+生+包=2,則。6+%+仰=（）

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【思路導(dǎo)引】根據(jù)已知條件求得9的值，再由％+%+仆=爐（4+/+%）可求得結(jié)果.

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為g,則4+/+q=q（i+q+q2）=i，

%+%+%=44+4屋+4/=qq(l+q+q2)=q=2,

「.4-%+%=a"+a/+調(diào)=0十夕+/)=g=32,故選D.

2.(2020全國II文6)記S〃為等比數(shù)列｛4｝的前八項(xiàng)和.若%-%=12,%-4=24,則」

%

:)

A.2fl-lB.2-2~C.2-2〃TD.2l-n-l

【答案】B

【思路導(dǎo)引】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列

的通項(xiàng)公式和的〃項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.

s?，的4一%/=12[q=2

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,由%-%=12,%-%=24可得：\\'=>｛,

4g5fq3=%3=11

.??4==2"T,S“二4QT)二上二二2“-1,因此2=三==2-2『”，故選B.

\-q1-2atl2

3.(2020全國II理6)數(shù)列｛。“｝中，at=2fam+n=a,flan,若%M+4+2+…+%HO=2"一25,則&=

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【思路導(dǎo)引】取用二1，可得出數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，求得數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式

可得出關(guān)于2的等式，由ATEN*可求得上的值.

(解析]在等式4"+"=4M,中，令m=1,可得/+i=〃M=2a”，「?=2,

所以，數(shù)列應(yīng)｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則4A=2X2"T=2',

^.(1-210)2A+1-(1-210)

=2*+,(2,0-1)=25(2,0-1)?

???4+|+4+2+一.+%+101-2-1-2

/.2"+,=25>則女+1=5,解得々=4.故選：C.

4.（2019?新課標(biāo)【II,理5）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛七｝的前4項(xiàng)和為15,且4=3/+%，則。3=（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為,3>0）,則由前4項(xiàng)和為15,且q=3%+4區(qū)，有

4甘小八用』5,生*=4,故選C.

5.（2017?新課標(biāo)H,理3）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍

加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下

一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

【答案】B

【解析】設(shè)塔頂?shù)?盞燈，由題意｛為｝是公比為2的等比數(shù)列，.?.$=軍12=381,

解得4=3,故選5.

6.（2015?新課標(biāo)H,理4）已知等比數(shù)列｛%｝滿足q=3,4+%+%=21,則/+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

【解析】?/?）=3>a[+/+%=21,q（l+q2+4，）=21,夕4+如+1=7,..q4+爐一6=0,

:.q1=2,/./+G+。7=4(/+g4+</6)=3x(2+4+8)=42,故選8.

7.（2015新課標(biāo)II,文9）已知等比數(shù)列｛〃“｝滿足4="心火=4（包一1），則。2=（）

A.2B.1C.-D.L

28

【答案】C

［解析］由題意可得=4（q_1）=。4=2,所以4q,故a=aQ=L，選

2-因一2

C.

2

8.（2013新課標(biāo)I,文6）設(shè)首項(xiàng)為1,公比為:的等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S“，則

A.Sn-2an—1B.Sn-3an-2C.Sn-4-3anD.S“一3-2a,t

【答案】D

i2

1—cin

【解析】S『—好=3—2%,故選。

1--

3

9.（2013新課標(biāo)II,理3）等比數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和為S”，已知S3=〃2+l°q，6=9，