高考數學真題分類練習專題18 等差數列與等比數列（解析版）

專題18等差數列與等比數列

十年大數據*全景展示

年份題號考點考查內容

等差數列與等比數等比數列的通項公式、前〃項和公式及等差數列的前〃項和公式，

2011文17

列綜合問題邏輯思維能力、運算求解能力

理5等比數列問題等比數列通項公式及性質

2012

文14等比數列問題等比數列八項和公式

卷2文17等差數列問題等差數列通項公式、前幾項和公式、性質，方程思想

2013住2理3等比數列問題等比數列的通項公式與前〃項和公式及方程思想

卷1文6等比數列問題等比數列前〃項和公式

卷2文5等差數列問題等比中項、等差數列通項公式及前〃項和公式

2014等比數列概念、通項公式、前〃項和公式及數列不等式證明，放縮

住2理17等比數列問題

思想

等比數列問題

卷2文5等比數列通項公式及方程思想

卷2文5等差數列問題等差通項公式、性質及前幾項和公式

卷2理16等差數列問題數列前〃項和S”與小關系、等差數列定義及通項公式

2015等比數列問題

卷2理4等比數列通項公式及方程思想

等比數列問題

卷1文13等比數列定義及前〃項和公式

卷1文7等差數列問題等差數列通項公式、前F項和公式，方.程思想

卷2文17等差數列問題等差數列通項公式及對新概念的理解與應用，運算求解能力

等差數列與等比數

卷1文17等差數列通項公式、等比數列定義、前〃項和公式，運算求解能力

列綜合問題

2016

卷1理3等差數列問題等差數列通項公式、前〃項和公式、性質

等差數列與等比數等比數列通項公式、等差數列前〃項和公式及二次函數最值問題，

卷1理15

列綜合問題函數與方程思想

等比數列問題

卷3理14等比數列通項公式及方程思想

卷3理9等差數列問題等差數列通項公式及前〃項和公式、等比數列概念，方程思想

等差數列與等比數等差數列通項公式及前〃項和公式、等比數列通項公式及前〃項和

卷2文17

2017列的綜合問題公式，方程思想

卷2理3等比數列問題等比數列定義及前〃項和公式及傳統(tǒng)文化

等差數列與等比數

卷1文17等比數列通項公式、前〃項和公式及等差數列定義，方程思想

列的綜合問題

卷1理4等差數列問題等差數列的通項公式及前〃項，方程思想

卷3理文17等比數列問題等比數列通項公式、前〃項和公式，方程思想與運算求解能力

卷2理文17等差數列問題等差數列的通項公式及前〃項和公式及前〃項和的最值，方程思想

2018

卷1文17等比數列問題等比數列定義、通項公式，運算求解能力

卷1理4等差數列問題等差數列通項公式與前〃項和公式，方程思想

等差數列問題

卷3文14等差數列通項公式與前〃項和公式，方程思想

2019卷3理5等比數列問題等比數列通項公式與前F項和公式，方程思想

等差數列與等比數

卷2文18等比數列的通項公式、等差數列定義及前〃項和公式，方程思想

列綜合問題

等差數列與等比數等比數列的定義及通項公式、等差數列定義與通項公式，運算求解

卷2理19

列的綜合問題能力

卷1文14等比數問題等比數列通項公式與前〃項和公式，方程思想

等差數列通項公式與前F項和公式及數列數列不等式問題，方程思

卷1文18等差數列問題

想

卷1理14等比數列問題等比數列通項公式與前〃項和公式，方程思想

卷1理9等差數列問題等差數列通項公式與前〃項和公式，方程思想

理

卷1

文10等比數列問題等比數列的性質，等比數列基本量的計算，方程思想

2020理4等差數列問題等差數列通項公式、前〃項和公式，方程思想，數學文化

卷2理6等比數列問題等比數列通項公式、前〃項和公式，方程思想

文6等比數列問題等比數列通項公式與前〃項和公式，方程思想

大數據分析*預測高考

考點出現頻率2021年預測

考點58等差數列問題15/37

2021年高考仍將考查等差數列與等比數列定義、性質、

考點59等比數列問題13/37前〃項和公式，題型為選擇填空題或解答題的第1小

題，難度為基礎題或中檔題.

考點60等差數列與等比數列的綜合問題967

十年試題分類*探求規(guī)律

考點58等差數列問題

1.（2020全國n理4）北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石

板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比

上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數相同，且下層比中層多729塊，則三層

共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

【答案】C

【思路導引】第〃環(huán)天石心塊數為劣,第一層共有〃環(huán)，則｛%｝是以9為首項，9為公差的等差數列，

設S“為｛4｝的前〃項和，由題意可得S3〃—S2“=S2“—S“+729,解方程即可得到小進一步得到S3”.

【解析】設第〃環(huán)天石心塊數為外，第一層共有〃環(huán)，則｛〃〃｝是以9為首項，9為公差的等差數列，

勺=9+（〃-1>9=9〃，設S”為｛%｝的前〃項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分別為

SnMn-SnHn-S*,因為下層比中層多729塊，所以邑〃-=S?”一S〃+729，即

燮產一吟幽=網等一喈*729,即9/=729,解得"9.所以

§3“=%=27。+；*27）=3402,故選C-

2.（2020浙江7）已知等差數列｛an｝的前〃項和S”，公差d。0,：1.記a=S2,%=Srt+2-S2/J

下列等式不可能成立的是（）

A.2a4=a2+a6B.2b4=h2+b6C.a\-?2a8D.b：=b2b&

【答案】B

【解析】A.由等差數列的性質可知2%=%+4,成立；

B.b4=S5-S6=-a6,&=53-52=6，〃6=57-品=一（4+佝+40）=-3%，

若2%=與+4,貝ij一入=q-3%O2（為—4）二/一%，

即6d=-6dod=0,這與已知矛盾，故B不成立;

C.=出4O（4+3d）2=（4+d）（〃]+7d）,整理為：a、=d,故C成立;

D.々=S9-S[4=-（4（）+41+%+4+44）=一542,當〃；二&4時,即心2=4,（一5%）,整理為

（4+5d）2=—5（4+2J）（4+lld）,即242+25qd+45d2=0,,△＞（）,方程有解，故D成立.綜上

可知，等式不可能成立的是B,故選B.

3.（2019?新課標I,理9）記S”為等差數列伍“｝的前〃項和.已知$4=0,%=5,則（）

-]、

22

A.an=2n-5B.an=3n-\0C.Sn=2n-SnD.Sn=^n-2n

【答案】A

【解析】設等差數列｛%｝的公差為d,由§4=0,6=5,得

2

:.an=2n-5?Sn-n-4n,故選A.

4.（2018?新課標I,理4）記S,為等差數列｛q｝的前〃項和.若3S3=S2+W，q=2,則6=（）

A.-12B.-10C.10D.12

【答案】B

3x74x?

【解析lvSn為等差數列｛an｝的前n項和，3s3=S2+S4,q=2,二3x（3q+—^―d）=4+4+d+4q+—^―d,

把用=2,代入得d=-3，?,.%=2+4x（—3）=70,故選B.

5.（2017?新課標I,理4）記S“為等差數列甩｝的前〃項和.若能+%=24,$6=48,則｛可｝的公差為（）

A.IB.2C.4D.8

【答案】C

q+3d+4+4d=24

【解析】由題知，:.I6x5，解得q=-2,d=4,故選C.

6a,+2d=48

6.（2017?新課標HI,理9）等差數列｛4｝的首項為1,公差不為0.若出,%，4成等比數列，則｛七｝前6

項的和為（）

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【解析】?.?等差數列｛q｝的首項為1,公差不為0.%，%，4成等比數列，???〃；=%4，

.?.(q-2d)2=(4+d)(4+5d),且4=1,"=0,解得t/=-2,前6項的和為

56=^+—tZ=6xl+—x(-2)=-24,故選A.

7.(2016?新課標I,理3)已知等差數列｛%｝前9項的和為27,?10=8,則%0=()

A.100B.99C.98D.97

【答案】C

【解析】由題知，§9=2歿④=史華=9%=27,...6=3,又?.?%=8=%+5d=3+5d,.?.4=1,

/.a100=a5+95d=98，故選C

8.(2015新課標I,文7)已知｛%｝是公差為1的等差數列，S“為｛%｝的前〃項和，若58=4見，則4。=

()

1719

(A)—(B)—(C)10(D)12

22

【答窠】B

【解析】???公差d=l,S8=4S4,J84+gx8x7=4(44+gx4x3),解得卬=；,/.

119

4o=q+9d=萬+9=耳，故選B.

9.（2015新課標II,文5）設S”是等差數列｛2｝的前〃項和，若4+。3+%=3,則S$=（）

A.5B.7c.9D.11

【答案】A

5（a.+a.）

【解析】4+%=3q=3=%=1,S5=--------=5a3=5.故選A.

10.（2014新課標II,文5）等差數列｛%｝的公差是2,若%,（，%成等比數洌，則｛凡｝的前〃項和S,t=（）

〃5-1）

A.n（n+1）B.〃（〃一1）Lnx?

29

【答案】A

622

（解析】???4，①，4成等比數列，.==a2a8，即（4+）=（4+2）（4+14）,解得a,=2,Sn=n+n,

故選A.

11.（2017浙江）已知等差數列｛q｝的公差為d,前〃項和為S“，則“d>0”是

M

S4+S6>255"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】???（56-55）-（1-54）=4-6=（當4>0,可得54+56>2%當54+56>255，可得4>0.所

以“d>0”是“S,+S6>2s$”充分必要條件，選C.

12.（2015重慶）在等差數列｛《,｝中，若4=4,q=2,則〃6=<）

A.-1B.0C.1D.6

【答案】B

【解析】由等差數列的性質得%=2%—的=2x2—4=。，選B%=2.

13.（2015浙江）已知｛%｝是等差數列，公差d不為零，前〃項和是S”.若外,%，6成等比數列，則（）

A.a｝d>0,dS4>0B.a/v0,dS4<0

C.a｝d>0,JS4<0D.a]d<0,dS4>0

【答窠】B

【解析】由。3，4,%成等比數列可得：（4+3d）2=（4+2d）?（47d）,即3q+5d=0,所以q=-|d,

所以qdvO,又dS&=（4+：）?44=2（2q+3d）d=-|d2Vo.

14.（2014遼寧）設等差數列｛〃”｝的公差為d,若數列｛2%%｝為遞減數列，則（）

A.d<0B.d>0C.ayd<0D.axd>0

【答案】C

【解析】???數列｛2“0｝為遞減數列，a,an=a.[a]+（n-1）J]=a.dn+a,（a1-d）,等式右邊為關于〃的一次

函數，???〃0<0.

15.（2014福建）等差數列｛〃”｝的前〃項和S“，若4=2~3=12,則必=（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【解析】設等差數列｛。“｝的公差為〃，貝!53=34+3〃，所以12=3乂2+3小解得d=2,所以％=12.

16.（2014重慶）在等差數列｛%｝中，q=2,4+%=1°，則的=（）

A.5B.8c.ioD.14

【答案】B

【解析】由等差數列的性質得4+%=4+%，因為4=2,43+%=1°，所以。7=8，選B.

17.：2013遼寧）下面是關于.公差d>0的等差數列｛〃“｝的四個命題:

P：數列｛4｝是遞增數列;〃2：數列｛%｝是遞增數列;

P3：數列｛腎｝是遞增數列;

?。簲盗械?3〃d｝是遞增數列;

其中的真命題為

%,Pa

A.p,,p2B.p3,p4C.〃2，P3D.

【答案】D

2

【解析】設4=4+（〃一l）d=dn+m,所以p｝正確：如果?！岸?〃一12則滿足已知，但〃=3n-\2n

并非遞增所以P2錯；如果若+則滿足已知，但?=1+;，是遞減數列，所以P3錯；

an+3nd=4dn+m,所以是遞增數列，正確.

18.（2012福建）等差數列｛4｝中，a,+a5=10,%=7，則數列｛4｝的公差為（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由題意有4+%=2%=10，6=5，又:包=7，?'?4一%=2，d=2.

19.（2012遼寧）在等差數列｛q｝中，已知處+為=脩，則該數列前11項和S“=（）

A.58B.88C.143D.176

【答案】B

【解析】a4+a8=2a6=16?.tz6=8,而S"=)=11《=88,故選B.

20.(2011江西)設｛q｝為等差數列，公差1二-2,S〃為其前幾項和，若5o=S”，

則.二()

A.18B.20C.22D.24

【答案】B

【解析】由5o=S”，得《|=5”一￡0=0,a[=?II+(l-ll)J=0+(-10ix(-2)=20.

21.(2011天津)已知｛%｝為等差數列，其公差為-2,且%是。3與%的等比中項，S“為｛6｝的前〃項和，

neN*,則So的值為

A.-110B.-90C.90D.110

【答案】D

【解析】因為%是由與。9的等比中項，所以，又數列M的公差為一2,所以

(4-12)2=(4-4)(4-16),解得4=20,故an=20+(n-V)x(-2)=22-2n,所以

5lo=12^d^!o)=5x(20+2)=110.

22.(2020北京8)在等差數列｛%｝中，，4=一9,^5=-1,記7；=。冏？…45=1，2,…)，則數列｛，｝

()

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【答案】A

【解析】設公差為d,a5-ai=4d,即d=2,an=2n-ll,lWnW5使，an<0,n26時，an>0,所以n=4時，Tn

>0,并且取最大值：n=5時，Tn<0：n，6時.Tn<0,并且當n越來越大時,Tn越來越小，所以Tn無最小

項.故選A.

23.（2020上海7）已知等差數列｛凡｝的首項q工0,且滿足％+《0=%，則"…+…'的=

。10

27

【答案】—

8

-rA,…f…+4。9q9（4+4d）27d27

［解析］由條件可知2。］+9d=4+8d=>q=-d，—~—---------=--=--------------=-------=—

%/q+9d8d8

27

故答案為：11.

8

24.（2019?新課標HI,理14）記S”為等差數列｛4｝的前〃項和，若。戶0,&=3q,則&=—.

S$

【答案】4

【解析】設等差數列｛%｝的公差為d,則由qwO,凡=3/可得，d=2a｝,...1」。（4+4。）

S$5（q+&）

_2（2%+94）_2（24+18q）_4

2q+4d2a｝+84

25.（2015?新課標H,理16）設數列｛q｝的前〃項和為S“，且q=T,%尸S.R,則S.=.

【答案】」

n

【解析】???％川='+5,.?.5..「斗=5〃,瓦，］-白=1,又?.?％=-1，即1=一1，

，“+I5

...數列｛_!_）是以首項是-1、公差為T的等差數列，，_L=一〃，...5.=」.

s“snn

26.（2015安徽）已知數列｛/｝中，4=1,?！?。2+,（〃22）,則數列｛4｝的前9項和等于______

2

【答案】27

【解析】???q=l,q=41+5(/222),所以數列｛〃“｝是首項為1,公差為5的等差數列，所以前9項

和2=9+等4=27.

27.(2019江蘇8)已知數列｛4｝(〃￡N")是等差數列，S”是其前〃項和.若生織+4=0，§9=27,則Sg

的值是.

【答案】16

(4+d)(a+4d)+q+7d=0

｝q=-5

【解析】設等差數列｛2｝的首項為％,公差為"，則?c9x8,?，解得，

9a+——J=27d=2

.2

8x7/7

所以Sg=84+—-—=6x(—5)+15x2=16.

28.(2019北京理10)設等差數列｛%｝的前〃項和為S“，若〃2=-3,Ss=-10,則g=.Sn

的最小值為.

【答案】0,-10

ao=a.+d=—3",所以％=4+4d=0.

【解析】由題意得，《c…八，解得4

S5=ax?5+10t/=-10d=1

因為｛q｝是一個遞增數列，且6=0,所以S”的最小值為邑或S5,54=S5=(-4)x4+-y^xl=-10.

29.(2018北京)設｛%｝是等差數列，且4=3,/+4=36,則｛6｝的通項公式為一.

【答案】14

q+2d=()

【解析】解法?設｛/｝的公差為d,首項為6,則《一，，

q+5d+q+6d=14

解得l4"-4,所以與=7X(-4)+23X2=14.

d=22

解法二2%+7d=14,所以d=2.故%=6+d=2,故S7=74=7x2=14.

30.（2018上海）記等差數列｛q｝的前兒項和為5“，若％=0，4+/=14,則S?=.

【答案】an=6n-3

【解析】設等差數列的公差為d,。2+6=4+4+4+4〃=6+51=36,/.d=6,/.

=3+（〃-1）?6=6〃-3.

31.（2015廣東）在等差數列｛4｝中，若“3+。4+G+。6+%=25,則。2+。8=.

【答案】10

【解析】由6+%+%+。6+%=25得56=25,所以〃5=5,故％+網=2%=1。.

32.（2014北京）若等差數列｛為｝滿足生+6+%>。，%+4o<。，則當〃=_時

｛〃〃｝的前〃項和最大.

【答案】8

【解析】???數列｛4｝是等差數列，且%+%+為;延>0,0s>0.又％+40=6+。9<0，???49<0.當

〃=8時，其前〃項和最大.

33.（2014江西）在等差數列｛七｝中，4=7,公差為d,前〃項和為S.，當且僅當〃=8時S”取最大值，

則d的取值范圍.

【答案】

8

d<0

7

【解析】由題意可知，當且僅當〃=8時鼠取最大值，可得｛6>0,解得T<d<一-.

8

〃9<0

34.（2013廣東）在等差數列｛""｝中，已知“3+4=1°,則應+生=.

【答案】20

【解析】依題意2a［十94=1。，所以34十勺=3（4十4〃）十/十64二4%+184=20.

35.（2012北京）已知｛〃“｝為等差數列，S”為其前〃項和.若6=；，$2=〃3，

則a2=；Sn=.

【答案】1,幽出

4

【解析】設公差為d，貝i」24+d=q+2d,把4=1代入得d=.?.生=1,=-?（/?+1）

224

36.（2012江西）設數列｛《｝,｛〃』都是等差數列，若4+伉=7,6+4=21,則為+4=.

【答案】35

【解析】因為數列｛%｝,｛包｝都是等差數列，所以數列｛4+2｝也是等差數列.故由等差中項的性質，得

（%+么）+（4+4）=2（4+4），即（%+仇）+7=2x21,解得々5+4=35.

37.（2012廣東）已知遞增的等差數列｛《｝滿足q=1,%=嬉一4,則〃“=—.

【答案】an=2n-｛

［解析］4=1,%=出-4o1+2d=（1+d）z—4od=2=?！?2n-l

38.（2011廣東）等差數列｛4｝前9項的和等于前4項的和.若q=l,4+%=。，

貝必二.

【答案】10

9x84x31

【解析】設｛〃“｝的公差為d，由S9=S4及4=1,得9x1+——d=4xl+--d,所以d=--.又

226

4+%=0,所以［1+（攵_1）X（_，）］+［1+（4_1）X（_L）］=0,即％=10.

39.（2019?新課標I,文18）記S”為等差數列｛/｝的前〃項和，已知Sg=-q.

（1）若％=4，求｛《｝的通項公式；

（2）若4>0,求使得5”之見的〃的取值范圍.

【解析】（1）根據題意，等差數列｛4｝中，設其公差為d,

若Sg=—&,則s9=（4+?）x9=9a5=_/,變形可得4=0,即q+4d=0,

若4=4,則"=^^=-2,

則an=a3+（n-3）d=-2n+10,

〃（〃一1）八/八」

c+----Ld>a.+（n-Y）d

⑵若S〃2,則2,

當〃=1時，不等式成立，

^>d-a

當"22時，有2,變形可得（，L2）dN-2q,

(n-2)(—^)>-2?(

又由$=-4，即S9=（q+yx9=%=_5,則有火=°，即4+4d=0,則有4

又由q>0,則有〃《10,

則有24〃410,

綜合可得：2OW10,〃GN.

40.（2018?新課標H,理（文）17）記S“為等差數列｛/｝的前〃項和，已知4=-7,S3=-15.

（1）求｛4｝的通項公式;

（2）求S”，并求S”的最小值.

【解析】（1）???等差數列｛q｝中，q=—7,S3=-15,

:.a.=-7,3a.+3J=-15,解得q=-7,4=2,

/.an=-l+2（n-1）=2〃-9；

（2）d=2,4=2〃-9,

/.Stl=]（4+q）=5（2〃2-16〃）=〃2-8〃=（〃-4）2-16?

.?.當〃=4時，前八項的和S”取得最小值為-16.

41.（2016?新課標H,文17）等差數列｛qj中，q+q=4,A+%=6.

（I）求｛七｝的通項公式；

（11）設d=[《]，求數列｛4｝的前10項和，其中[幻表示不超過x的最大整數,如[0.9]=0,[2.6]=2.

【解析】（I）設等差數列｛為｝的公差為d,

,/ciy+a4=4,4+%=6.

J2q+5d=4

一+10d=6'

4=]

解得：\2，

d=—

5

23

:.a=-n+-：

"n55

（II）-：bn=[an]f

b、=b?=a=1,

b4=b$=2,

=b<=4=3,

4=Ao=4.

故數列｛么｝的前10項和So=3x1+2x2+3x3+2x4=24.

42.(2013新課標U,文17)已知等差數列｛〃”｝的公差不為零，4=25,且4,?！?，。門成等比數列?

(I)求｛。“｝的通項公式；

(II)求4+/+%+…+；

【解析】(I)設｛%｝的公差為d,

由題意，"11="1013'

即回+101)2=%(4+12"),

??,q=25,

，d=0(舍去)或d=-2,

cin—In+27；

(II)令S*=4+%+%+…+a3n-2

由(I)知，a3n_2=-6n+3i,

???｛6皿｝是首項為25,公差為-6的等差數列，

**?S“=耳(q+。3”-2)二耳(一6〃+56)=-3〃~+28〃.

43.(2014浙江)已知等差數列｛q｝的公差d>0,設｛4｝的前〃項和為S“，4=1,

52-S3=36.

(I)求d及S”；

(II)求見A(，n,keN")的值，使得am+am+l+am+2+…+am+t=65.

【解析】(I)由題意，(2q+d)(3q+&/)=36,

將4=1代入上式得d=2或d=—5,

因為d〉0,所以d=2,從而〃“二2〃-1,S”=*(neN*).

(II)由(1)知，+?！?]+…+=(2機+2—1)(左+1),

所以(2m+A—1)/+1)=65,

由m,kwN.知，(2〃7+2—1)(%+1)>1,

一2tn+Z:-1=13?[m=5

所以《，所以4

44.(2013福建)已知等差數列｛凡｝的公差d=l,前〃項和為S..

:I)若I,4,4成等比數列，求6；

[II)若§5>4%，求〃1的取值范圍.

【解析】(I)因為數列｛%｝的公差d=l，且1,%,七成等比數列，

所以4：=1x(4+2),

即q2—4—2=0,解得4=-1或4=2.

(H)因為數列｛《｝的公差d=l,且Ss〉4%,

所以5q+10>4；+8%.

即q2+3q-10<0,解得一5<“<2

45.(2011福建),已知等差數列｛%｝中，生=-3.

(I)求數列｛為｝的通項公式；

(H)若數列｛4｝的前2項和&=-35,求A的值.

【解析】(I)設等差數列｛%｝的公差為"，則4=4+5—1)”.

由4=1,%=-3可得1+2d=-3.

解得d=-2.

從而，=1+(1)x(—2)=3—2幾

(II)由⑴可知勺=3-2〃，

叩+(3-2〃)]

所以=-------------=2n-n2.

〃2

進而由￡=一35可得24-k2=-35,

即左2—24—35=0,解得％=7或1=一5.

又々wN*,故％=7為所求.

46.(2013江蘇)設｛4｝是首項為a,公差為d的等差數列(d工0),S”是其前〃項和.

記,=〃，/?GN*,其中。為實數.

n+c

(I)若c=0,且“，b『打成等比數列，證明：S欣=/s4化〃￡N*)；

(II)若圾｝是等差數列，證明：c=0.

【證明】（I）若c=0,則2=a,neN\又由題S”=〃。+生上㈣，

n2

,Sn-\1,

??2=——n=a+^~Jd，：也t+1-L>=小，

n22

.?.｛〃』是等差數列，首項為。，公差為（dwO）,又用bv4成等比數列，

22

:.b；=帥4,(a+y)=a(a+^-)?，ad+?=。(弓)，?.?〃力(),:.d=2a,Sn=na.

22222X

Snk=(nk)a=nka,nSk=rrk~a,Snk=nSk(k,nGN).

(ID由題勿=乎」，〃wN”，或J''T)d],若gj是等差數歹九

n+c2(n+<?)

則可設4=x+y〃，％,y是常數，"[2"+,(〃"'1=/+/關于〃€N*恒成立.

2(/r+c)

整理得：(d-2y)/+(2Q-d-2x)ir-2cyn-2cx=0,

關于力wN*恒成立.2y=0,2。一/一24=0,2。，=0,2以=0,

:.d=2y^0,2a-2x=d,cy=Qiex=0,.\c=0..

考點59等比數列問題

1.（2020全國I文10）設｛%｝是等比數列，且4+外+4=1,%+生+包=2,則。6+%+仰=（）

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【思路導引】根據已知條件求得9的值，再由％+%+仆=爐（4+/+%）可求得結果.

【解析】設等比數列｛為｝的公比為g,則4+/+q=q（i+q+q2）=i，

%+%+%=44+4屋+4/=qq(l+q+q2)=q=2,

「.4-%+%=a"+a/+調=0十夕+/)=g=32,故選D.

2.(2020全國II文6)記S〃為等比數列｛4｝的前八項和.若%-%=12,%-4=24,則」

%

:)

A.2fl-lB.2-2~C.2-2〃TD.2l-n-l

【答案】B

【思路導引】根據等比數列的通項公式，可以得到方程組，解方程組求出首項和公比，最后利用等比數列

的通項公式和的〃項和公式進行求解即可.

s?，的4一%/=12[q=2

【解析】設等比數列的公比為4,由%-%=12,%-%=24可得：\\'=>｛,

4g5fq3=%3=11

.??4==2"T,S“二4QT)二上二二2“-1,因此2=三==2-2『”，故選B.

\-q1-2atl2

3.(2020全國II理6)數列｛?！埃?，at=2fam+n=a,flan,若%M+4+2+…+%HO=2"一25,則&=

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【思路導引】取用二1，可得出數列｛4｝是等比數列，求得數列｛q｝的通項公式，利用等比數列求和公式

可得出關于2的等式，由ATEN*可求得上的值.

(解析]在等式4"+"=4M,中，令m=1,可得/+i=〃M=2a”，「?=2,

所以，數列應｝是以2為首項，以2為公比的等比數列，則4A=2X2"T=2',

^.(1-210)2A+1-(1-210)

=2*+,(2,0-1)=25(2,0-1)?

???4+|+4+2+一.+%+101-2-1-2

/.2"+,=25>則女+1=5,解得々=4.故選：C.

4.（2019?新課標【II,理5）已知各項均為正數的等比數列｛七｝的前4項和為15,且4=3/+%，則。3=（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

【解析】設等比數列｛〃“｝的公比為,3>0）,則由前4項和為15,且q=3%+4區(qū)，有

4甘小八用』5,生*=4,故選C.

5.（2017?新課標H,理3）我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍

加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下

一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

【答案】B

【解析】設塔頂的4盞燈，由題意｛為｝是公比為2的等比數列，.?.$=軍12=381,

解得4=3,故選5.

6.（2015?新課標H,理4）已知等比數列｛%｝滿足q=3,4+%+%=21,則/+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

【解析】?/?）=3>a[+/+%=21,q（l+q2+4，）=21,夕4+如+1=7,..q4+爐一6=0,

:.q1=2,/./+G+。7=4(/+g4+</6)=3x(2+4+8)=42,故選8.

7.（2015新課標II,文9）已知等比數列｛〃“｝滿足4="心火=4（包一1），則。2=（）

A.2B.1C.-D.L

28

【答案】C

［解析］由題意可得=4（q_1）=。4=2,所以4q,故a=aQ=L，選

2-因一2

C.

2

8.（2013新課標I,文6）設首項為1,公比為:的等比數列｛%｝的前n項和為S“，則

A.Sn-2an—1B.Sn-3an-2C.Sn-4-3anD.S“一3-2a,t

【答案】D

i2

1—cin

【解析】S『—好=3—2%,故選。

1--

3

9.（2013新課標II,理3）等比數列｛凡｝的前n項和為S”，已知S3=〃2+l°q，6=9，