高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全版復(fù)習(xí)資料

高中數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié)

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個(gè)模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念及根本初等函數(shù)（指、對(duì)、騫函數(shù)）

必修2:立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3:算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。

必修4:根本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面對(duì)量、三角恒等變換。

必修5:解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必需學(xué)習(xí)的。

上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)根底學(xué)問(wèn)和根本技能的主要局部，其中包括集合、

函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證

打好根底的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些學(xué)問(wèn)的發(fā)生、開(kāi)展過(guò)程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧及難

度上做過(guò)高的要求。

此外，根底內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。

選修課程有4個(gè)系列：

系列1:由2個(gè)模塊組成。

選修1—1：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線(xiàn)及方程、導(dǎo)數(shù)和其應(yīng)用。

選修1—2:統(tǒng)計(jì)案例、推理及證明、數(shù)系的擴(kuò)大及復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個(gè)模塊組成。

選修2—1:常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線(xiàn)及方程、

空間向量及立體幾何。

選修2—2:導(dǎo)數(shù)和其應(yīng)用，推理及證明、數(shù)系的擴(kuò)大及復(fù)數(shù)

選修2—3:計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量和其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。

系列3:由6個(gè)專(zhuān)題組成。

選修3—1:數(shù)學(xué)史選講。

選修3—2:信息平安及密碼。

選修3—3:球面上的幾何。

選修3—4：對(duì)稱(chēng)及群。

選修3—5：歐拉公式及閉曲面分類(lèi)。

選修3—6:三等分角及數(shù)域擴(kuò)大。

系列4:由10個(gè)專(zhuān)題組成。

選修4—1:幾何證明選講。

選修4—2:矩陣及變換。

選修4—3:數(shù)列及差分。

選修4-4:坐標(biāo)系及參數(shù)方程。

選修4一5:不等式選講。

選修4一6:初等數(shù)論初步。

選修4—7：優(yōu)選法及試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。

選修4—8:統(tǒng)籌法及圖論初步。

選修4一9:風(fēng)險(xiǎn)及決策。

選修4—10:開(kāi)關(guān)電路及布爾代數(shù)c

2.重難點(diǎn)和考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面對(duì)量，圓錐曲線(xiàn)，立體幾何，導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線(xiàn)

高考相關(guān)考點(diǎn)：

⑴集合及簡(jiǎn)易邏輯:集合的概念及運(yùn)算、簡(jiǎn)易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射及函數(shù)、函數(shù)解析式及定義域、值域及最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、

指數(shù)及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡(jiǎn)、證明、

三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面對(duì)量：有關(guān)概念及初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積和其應(yīng)用

⑹不等式：概念及性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、肯定值不等式、不

等式的應(yīng)用

⑺直線(xiàn)和圓的方程：直線(xiàn)的方程、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系、線(xiàn)性規(guī)劃、圓、直線(xiàn)及圓的位置關(guān)

系

⑻圓錐曲線(xiàn)方程：橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、直線(xiàn)及圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題、圓錐

曲線(xiàn)的應(yīng)用

⑼直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)潔幾何體：空間直線(xiàn)、直線(xiàn)及平面、平面及平面、棱柱、棱錐、球、空

間向量

⑩排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理和其應(yīng)用

(11)概率及統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

?導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

?復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算

高中數(shù)學(xué)必修1學(xué)問(wèn)點(diǎn)

第一章集合及函數(shù)概念

[[1.13集合

[1.1.1]集合的含義及表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.

(2)常用數(shù)集和其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N.表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，R表示實(shí)

數(shù)集.

(3)集合及元素間的關(guān)系

對(duì)象。及集合M的關(guān)系是awM,或者。史M,兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描繪集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合.

③描繪法：｛x|x具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.

(5)集合的分類(lèi)

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.③不含有

任何元素的集合叫做空集(0).

[1.1.2]集合間的根本關(guān)系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(l)AeA

A^B

A中的任一元⑵0”一(g)

子集(或

素都屬于B(3)若A=3且8口。，則4qC或

B^A)

(4)若AqB且則A=3

AcB(1)0u4(A為非空子集)

真子*Aq3,且B中@

集(2)若AuB且8uC,則AuC

(或至少有一元素**H

Bz)A)

*不屬于A(yíng)

A中的任一元

集合素都屬于B,B(1)AOB

A=B

中的任一元素(2)BeA0

相等

都屬于A(yíng)

(7)已知集合4有〃5N1)個(gè)元素，則它有2”個(gè)子集，它有2〃-1個(gè)真子集，它有2"-1個(gè)非空

子集，它有2〃-2非空真子集.

[1.1.3]集合的根本運(yùn)算

(8)交集、井集、補(bǔ)集

名記

意義性質(zhì)示意圖

稱(chēng)號(hào)

⑴4M=4

交ADBA,且(2)Xp0=0GD

集xeB}

(3)

(1)A(JA=A

GD

并AUBA或(2)A\J0=A

集xeB]

(3)4U82A

期(人。砌=(")u(”)1An@A)=°

補(bǔ){x\xA]U(A)

6A

旗AUB=(uA)n(%8)c

集2AU@A)=U

【補(bǔ)充學(xué)問(wèn)】含肯定值的不等式及一元二次不等式的解法

(1)含肯定值的不等式的解法

不等式解集

|x\<a(a>0){x\-a<x<a]

|x|>a(a>0)x\x<-a^x>a]

把赤+Z?看成一個(gè)整體，化成|x|<〃,

|ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|>a(a>0)型不等式來(lái)求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

△>0L\=0A<0

A=Z?2-4ac

二次函數(shù)\\\J￥

y=ax2+bx+c(a>0]

0工產(chǎn)2

的圖象

一元二次方程

-b±\Jb2-4ac

2，2ab

ax+bx+c=0(a>0)J=----無(wú)實(shí)根

2a

(其中須</)

的根

ax2+Z>x+c>0(?>0)

{x|x<x)或X>w}R

的解集

蘇+bx+c<0(〃>0)

{x\x[<X<x2}00

的解集

n.23函數(shù)和其表示

［1.2.1］函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)A、3是兩個(gè)非空的數(shù)集，假如根據(jù)某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)一

在集合3中都有唯一確定的數(shù)/(刈和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,8以和A到

3的對(duì)應(yīng)法則/)叫做集合4到B的一個(gè)函數(shù)，記作

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

③只有定義域一樣，且對(duì)應(yīng)法則也一樣的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念和表示法

①設(shè)凡〃是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)意力的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做乩句；滿(mǎn)

意《<%<人的實(shí)數(shù)工的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做(a,b);滿(mǎn)意或的實(shí)數(shù)工的

集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做口⑼，3勿；滿(mǎn)意的實(shí)數(shù)工的集

合分別記做［a,-Ko),(a,+oo),(TO,例,(-oo,b).

留意：對(duì)于集合｛%|a<xv。｝及區(qū)間(。/)，前者〃可以大于或等于6,而后者必需

a<b,(前者可以不成立，為空集；而后者必需成立).

(3)求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則:

①/。）是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

②“X）是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一實(shí)在數(shù).

③/（X）是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等

于L

⑤產(chǎn)tanx中，x于k加士—（kwZ）.

⑥零（負(fù)）指數(shù)塞的底數(shù)不能為零.

⑦若/"）是由有限個(gè)根本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各根

本初等函數(shù)的定義域的交集.

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知/*）的定義域?yàn)樾【?，其?fù)合函數(shù)

/舊（切的定義域應(yīng)由不等式人解出.

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題詳細(xì)狀況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)展分類(lèi)探討.

⑩由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義.

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法根本上是一樣的.事實(shí)上，假如在函數(shù)的值

域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值.因此求函數(shù)的最值及值

域，其本質(zhì)是一樣的，只是提問(wèn)的角度不同.求函數(shù)值域及最值的常用方法：

①視察法：對(duì)于比擬簡(jiǎn)潔的函數(shù)，我們可以通過(guò)視察干脆得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式及常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范

圍確定函數(shù)的值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=/(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有)，的關(guān)于工的二次方程

a(y)x2+b(y)x-^-c(y)=O,則在a(y)wO時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必需有

A=^(y)-W)-c(y)>0,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用根本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過(guò)變量代換到達(dá)化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最

值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域及值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最

值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

H.2.2］函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來(lái)

表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)集合，假如根據(jù)某種對(duì)應(yīng)法則對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集

合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,8以和A到8的對(duì)應(yīng)

法則/)叫做集合A到8的映射，記作

②給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且aeA/eB.假如元素n和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們

把元素〃叫做元素。的象，元素〃叫做元素〃的原象.

E1.33函數(shù)的根本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性及最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義和斷定方法

函數(shù)的

定義圖象斷定方法

性質(zhì)

假如對(duì)于屬于定義(1)利用定義

域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的

(2)利用已知

隨意兩個(gè)自變量的

函數(shù)的單調(diào)性

值Xi、X2,當(dāng)乎!

y|y=f（x）/

“J(3)利用函數(shù)

函數(shù)的時(shí)，都有f?(Xi)<f(x2?)?,

圖象(在某個(gè)區(qū)

那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)

單調(diào)性

°X|x,X間圖

區(qū)間上是增酉數(shù).

象上升為增)

(4)利用復(fù)合

函數(shù)

(1)利用定義

(2)利用已知

假如對(duì)于屬于定義

函數(shù)的單調(diào)性

域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的

隨意兩個(gè)自變量的yy=f(x)(3)利用函數(shù)

值、當(dāng)f(x)

XiX2,X1<X2圖象(在某個(gè)區(qū)

時(shí)，都有)

f?(xJ?>??f(?X??2??,0x,x.X間圖

那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)

象下降為減)

區(qū)間上是讀函數(shù).

(4)利用復(fù)合

函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去

一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/[g*)],令〃=g(x),若y=/3)為增，〃=g(x)為增,則y=/[g。)]為

增；若「=/(〃)為減，〃=g(x)為減，則y=/Ig(x)l為增；若>=/(〃)為增，必=8(*)為減,

則Jy=/Ig(x)l為減；若y=/(〃)為減，"=g")為增，則)，=加(創(chuàng)為減.

f(x)<M；

(2)存在不￡/,使得=那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)/(x)的最大值，記作

九x(x)=M.

②一般地，設(shè)函數(shù))，=/(x)的定義域?yàn)?,假如存在實(shí)數(shù)〃，滿(mǎn)意：(1)對(duì)于隨意的xw/,

都有機(jī)；(2)存在不￡/,使得/(%)=，〃.那么，我們稱(chēng)m是函數(shù)/(用的最小值,

記作(《(幻=，〃?

[1.3.2]奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義和斷定方法

函數(shù)的

定義圖象斷定方法

性質(zhì)

假如對(duì)于函數(shù)f(x)定(1)利用定義

義域內(nèi)隨意一個(gè)X,(要先推斷定

都有f(-x)=-f(x),

y義域是否關(guān)于

函數(shù)的(a.f(a))

-aAT_

那么函數(shù)f(x)叫做奇原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))

J…x

奇偶性

函數(shù).(-a.f(-a))

(2)利用圖象

(圖象關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱(chēng))

假如對(duì)于函數(shù)f（x）定（1）利用定義

義域內(nèi)隨意一個(gè)X,（要先推斷定

都有4一利=鄧）,那義域是否關(guān)于

么函數(shù)f（x）叫做假?lài)?guó)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）

數(shù).-aoax

（2）利用圖象

（圖象關(guān)于y

軸對(duì)稱(chēng)）

②若函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，貝Ij/（O）=O.

③奇函數(shù)在.v軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性一樣，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性

相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），

兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)及一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）

是奇函數(shù).

R補(bǔ)充學(xué)問(wèn)］1函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③探討函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫(huà)出函數(shù)的圖象.

利用根本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)、三角函

數(shù)等各種根本初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

②伸縮變換

③對(duì)稱(chēng)變換

(2)識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、改變趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面探

討函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，留意圖象及函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

(3)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為探討數(shù)量關(guān)系問(wèn)題供應(yīng)了“形”的直觀(guān)性，它

是探求解題途徑，獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章根本初等函數(shù)(I)

K2.1U指數(shù)函數(shù)

[2.1.11指數(shù)及指數(shù)騫的運(yùn)算

(1)根式的概念

①假如/CR,XC凡，＞1,且〃wN+,那么*叫做〃的n次方根.當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，a的

〃次方根用符號(hào)我表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)。的正的〃次方根用符號(hào)右表示，負(fù)的〃次

方根用符號(hào)-方表示；。的〃次方根是0；負(fù)數(shù)。沒(méi)有〃次方根.

②式子標(biāo)叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開(kāi)方數(shù).當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，。為隨意

實(shí)數(shù)；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，。之0.

③根式的性質(zhì)：（標(biāo)）〃=a；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，后=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

（）

^=\a\=[a"-0.

[-a（a<0）

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是：/=痂（。>0,九〃￡上,且〃>1）.。的正分?jǐn)?shù)指數(shù)

騫等于0.

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)卷的意義是：/?=2心=：同（。>0,機(jī),〃￡?,且〃>1）.。的負(fù)

aVa

分?jǐn)?shù)指數(shù)寨沒(méi)有意義.留意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)"的運(yùn)算性質(zhì)

[2.1.21指數(shù)函數(shù)和其性質(zhì)

定義域R

值域(0,+8)

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=o時(shí),y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

xx

函數(shù)值的a>1(x>0)a<1(x>0)

ax=\(x=0)ax=1(x=0)

改變狀況ax<\(x<0)ax>1(x<0)

々改變對(duì)圖象在第一象限內(nèi)，々越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，。越大圖象

的影響越低.

K2.2U對(duì)數(shù)函數(shù)

[2.2.1]對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

①若相二N(〃>0,且awl),則x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作Alog.N,其中。叫做底數(shù),

N叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).

③對(duì)數(shù)式及指數(shù)式的互化：x=log“=N(a>O,a豐1,N>0).

(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

(3)常用對(duì)數(shù)及自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：lgN,BPlogI0N;自然對(duì)數(shù)：InN,即log,,N(其中6=2.71828…).

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)假如。那么

①加法：log“M+log“N=log0(MN)②減法：log”"-loguN=log”給

N

③數(shù)乘：“l(fā)og”M=log。R)④a]ogaN=N

⑤log/AT=?log,,/(Aw0,〃￡R)⑥換底公式：logaN=(b>0,且力工1)

blog,,a

[2.2.2)對(duì)數(shù)函數(shù)和其性質(zhì)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

名稱(chēng)

定義函數(shù)y=log”宜4>0且aw1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

a＞10＜。＜1

圖象

x=1X=1

y=iogaxy=log”x

(1,0)

二1

1(1,0)]r

11xL

V

定義域(0,+oo)

值域R

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(L0),即當(dāng)戶(hù)1時(shí),y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,e)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

logx>0(x>l)\ogx<0(x>1)

函數(shù)值的fl(l

logax=0(x=l)logf/x=0(x=1)

改變狀況\ogax<0(0<x<l)log(/x>0(0<x<1)

。改變對(duì)圖象的在第一象限內(nèi)，。越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，。越大圖

影響象越靠高.

⑹反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(X)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子＞=f(x)中解出無(wú)，得式子x=0(y).假

如對(duì)于y在。中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x=°(y),x在A(yíng)中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，

那么式子x=e()，)表示工是)，的函數(shù)，函數(shù)％=/(y)叫做函數(shù)y=，(%)的反函數(shù)，記作

x=f~\y),習(xí)慣上改寫(xiě)成一=尸(1).

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式)，=/*)中反解出x=/"(y);

③將x=，T(y)改寫(xiě)成,y=/-'?,并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=f(x)及反函數(shù))，=/-'(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=”對(duì)稱(chēng).

②函數(shù))，=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù))，=廣1(外的值域、定義域.

③若P(&b)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上，則PS,。)在反函數(shù)y=廣'*)的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必需為單調(diào)函數(shù).

R2.31暮函數(shù)

(1)募函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=￡叫做塞函數(shù)，其中尤為自變量，。是常數(shù).

(2)零函數(shù)的圖象

(3)塞函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：塞函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象.塞函數(shù)是偶函數(shù)時(shí),

圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng))；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖

象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限.

②過(guò)定點(diǎn)：全部的幕函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1).

③單調(diào)性：假如則騫函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在［0,XO)上為增函數(shù).假如。<0,則

塞函數(shù)的圖象在(0,+8)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近工軸及>軸.

④奇偶性：當(dāng)。為奇數(shù)時(shí)，騫函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)。為偶數(shù)時(shí)，塞函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)。=幺(其

P

中〃M互質(zhì)，〃和qwZ),若〃為奇數(shù)9為奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)，若P為奇數(shù)4為偶數(shù)時(shí)，

則是偶函數(shù)，若P為偶數(shù)，/為奇數(shù)時(shí)，則是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：塞函數(shù)y=x",xe(0,+8),當(dāng)a>l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線(xiàn)y=x下方，若

x>l,其圖象在直線(xiàn)y=x上方，當(dāng)a<l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線(xiàn)y=x上方，若%>1,

其圖象在直線(xiàn)y=x下方.

R補(bǔ)充學(xué)問(wèn)］］二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：fM=ax2+bx+c(a。0)②頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-人尸+攵("0)③兩根式：

fM=a(x-xi)(x-x2)(a^0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或及對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)或及最大(小)值有關(guān)時(shí)，常運(yùn)用頂點(diǎn)式.

③若已知拋物線(xiàn)及工軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線(xiàn)坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求/(幻更便利.

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/(幻=ax2+bx+c(a^0)的圖象是一條拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2a

,b4ac—6、

\-c9.)?

2a4。

②當(dāng)“0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，函數(shù)在y,-當(dāng)上遞減，在［-二收)上遞增，當(dāng)犬=-二時(shí),

2a2a2a

乙⑴二絲?；當(dāng)。<。時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)在S，-梟上遞增，在［-/,+8)上遞

4a2a2a

4aCh

減,當(dāng)工=一白時(shí),fmaxM=~?

2a4。

③二次函數(shù)/(x)=ar2+加：+c(。w0)當(dāng)△=/一4ac>0時(shí)，圖象及工軸有兩個(gè)交點(diǎn)

用］(5,0)網(wǎng)優(yōu),0),|MM,H百一及I二g.

(4)一元二次方程渥+bx+c=0(〃w0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這局部學(xué)問(wèn)在初中代數(shù)中雖有所

涉和，但尚不夠系統(tǒng)和完好，且解決的方法側(cè)重于二次方程根的判別式和根及系數(shù)關(guān)系

定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程

實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程雙2+以+。=0(。=0)的兩實(shí)根為％,乙,且令/(x)=a￥2+Z?x+c,

從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類(lèi)問(wèn)題：①開(kāi)口方向：。②對(duì)稱(chēng)軸位置：］=一二③判別式:

2a

△④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).

①女VX［VX.2Q

②題VA<=>

③&Vk<x2<=>a/A)<0

o

?k\<X\<x2<k2

⑤有且僅有一個(gè)根X1(或與)滿(mǎn)意“VX1(或迤)<k2<=>4^1)4^)<0,并

同時(shí)考慮4幺)=0或W=0這兩種狀況是否也符合

⑥k］VX］V&P1VX2Vp2<=>

此結(jié)論可干脆由⑤推出.

(5)二次函數(shù)“0=ar2+hr+c(aw0)在閉區(qū)間［pM］上的最值

設(shè)/(x)在區(qū)間［〃,切上的最大值為例，最小值為〃?，令％)=g(P+9).

(I)當(dāng)。>0時(shí)(開(kāi)口向上)

①若-二<〃，則加=7(p)②若p?-=“，則加=/(-=)③若卷>，/,則…g)

2a2a2a

八：一/\_

①弋4藐,3貝加以

，\jx\jyz'7/

\n)當(dāng)時(shí)用口向下)桐節(jié)/)

—A—3y：_>\1：/

①若M=f(p)②若p<--M=/(-y-)③若一二>4,則M=f(4)

"^a2a

'八2」

-M

①若-惻m=f(q)X°，則加=八P)

//二事)

——4薪材零點(diǎn)

1、扁數(shù)萩的譴：對(duì)于函數(shù)了=/)/4),@八幻=

。成立的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)

y=fMfxeD)的零點(diǎn)o

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/(幻的零點(diǎn)就是方程/*)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(x)

的圖象及X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程f(x)=O有實(shí)數(shù)根。函數(shù)y=/(x)的圖象及工軸有交點(diǎn)=函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)y=fM的零點(diǎn)：

(D(代數(shù)法)求方程/。)=0的實(shí)數(shù)根；

(2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它及函數(shù)y=/0)的圖象聯(lián)絡(luò)起來(lái),

并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=?工0).

1)△>0,方程Q/+bx+c=o有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象及X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

2)△=0,方程數(shù)2+法+c=O有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象及X軸有

一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3)△<0,方程以2+法+。=0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象及x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)

零點(diǎn).

高中數(shù)學(xué)必修2學(xué)問(wèn)點(diǎn)

第一章空間幾何體

1,1柱、錐、色韁的構(gòu)造特征

頂點(diǎn)

F'

)蟻：卒需個(gè)面互相平彳及

(1)棱柱：《余各面都是四邊哆豆每朋鄰兩個(gè)四邊形的公共

〃熱城平行，由這蛾睡丹何根洛表C

分類(lèi)：以底甫修礴四邊數(shù)作為緣的標(biāo);X棱柱扁棱柱通棱柱等。

下灰面

底面

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCDE-AaCDE或用對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)字母，如五棱柱AQ

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行

且相等；平行于底面的截面是及底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾

何體

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五楂錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P-A8CQE

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面及底面相像，其相像比等于頂點(diǎn)

到截面間隔及高的比的平方。

(3)棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的局部

分類(lèi)：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)尸-ABCDE

幾何特征：①上下底面是相像的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的

幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線(xiàn)及軸平行；③軸及底面圓的半徑垂直；④側(cè)面綻開(kāi)

圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾

何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線(xiàn)交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的局部

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線(xiàn)交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)弓

形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上隨意一點(diǎn)到球心的間隔等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀(guān)圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往

下

2畫(huà)三視圖的原則：

長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

3直觀(guān)圖：斜二測(cè)畫(huà)法

4斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)依舊平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線(xiàn)長(zhǎng)度變半，平行于x,z軸的線(xiàn)長(zhǎng)度不變；

（3）.畫(huà)法要寫(xiě)好。

5用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫(huà)軸（2）畫(huà)底面（3）畫(huà)側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的外表積及體積

（一）空間幾何體的外表積

1楂柱、棱錐的外表積：各個(gè)面面積之和

2圓柱的外表積=2袖+2m23圓錐的外表積S="/+"2

4圓臺(tái)的外表積S="/+"2+成/+加25球的外表積S=4成2

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積V=S^xh2錐體的體積底x/z

3臺(tái)體的體積V=|（S±+后再+S下）x。4球體的體積

第二章直線(xiàn)及平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無(wú)限延展的

2平面的畫(huà)法和表示

(1)平面的畫(huà)法：程度放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成45。，且橫邊畫(huà)成

鄰邊的2倍長(zhǎng)(如圖)

(2)平面通常用希臘字母Q、仇Y等表示，如平面a、平面0等，也可以用表示平面的平行

四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個(gè)公理：

(1)公理1：假如一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)

符號(hào)表示為

AB

BWLJ=>La

A€a

B€a

公理1作用：推斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)

,有且只有7衣面c。R/

(2)公理2:過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)

符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)=>有且只有一個(gè)平面a,

使A€a、B6a>C€ao

公理2作用：確定一個(gè)平面的根據(jù)。

(3)公理3:假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共

直線(xiàn)。

符號(hào)表示為：P€aDp=>aAP=L,且PWL

/

公理3作用：斷定兩個(gè)平面是否相交的根據(jù)

2.1.2空間中直線(xiàn)及直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線(xiàn)有如下三種關(guān)系：

{相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

出:而吉I

平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。

2公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。

符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線(xiàn)

a//b}=>a〃c

c//b

強(qiáng)調(diào)：公理4本質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這特性質(zhì)都適用。

公理4作用：推斷空間兩條直線(xiàn)平行的根據(jù)。

3等角定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

4留意點(diǎn)：

①a，及b所成的角的大小只由a、b的互相位置來(lái)確定，及O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)

O一般取在兩直線(xiàn)中的一條上；

②兩條異面直線(xiàn)所成的箔9€(0,)；

③當(dāng)兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直，記作alb;

④兩條直線(xiàn)互相垂直，有共面垂直及異面垂直兩種情形;

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角。

2.1.3—2.1.4空間中直線(xiàn)及平面、平面及平面之間的位置關(guān)系

1、直線(xiàn)及平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線(xiàn)在平面內(nèi)——有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線(xiàn)及平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

(3)直線(xiàn)在平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)

指出：直線(xiàn)及平面相交或平行的狀況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平話(huà)外，可用aQ來(lái)表示

a"aaDa=AaIIa

2.2.直線(xiàn)、平面平行的斷定和其性質(zhì)

2.2,1直線(xiàn)及平面平行的斷定

1、直線(xiàn)及平面平行的斷定定理：平面外一條直線(xiàn)及此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)及

此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行。

符號(hào)表示：

aaA

^

c

bB=>a//a

a//b

2.2.2平面及平面平行的斷定

1、兩個(gè)平面平行的斷定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線(xiàn)及另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面

平行。

符號(hào)表示：

aC

>

c

bP

J

aAb=PP//a

a//a

b//a

2、推斷兩平面平行的方法有三種：

(1)用定義；

(2)斷定定理；

(3)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行。

2.2.3—2,2.4直線(xiàn)及平面、平面及平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線(xiàn)及一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線(xiàn)?擊該直線(xiàn)平

行。

簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面平行則線(xiàn)線(xiàn)平行。1

符號(hào)表示：

a//aA

J

aCpa//b

aAp=b

pny=b

作用：可以由平面及平面平行得出直線(xiàn)及直線(xiàn)平行

2.3直線(xiàn)、平面垂直的斷定和其性質(zhì)

2.3.1直線(xiàn)及平面垂直的斷定

1、定義

假如直線(xiàn)L及平面Q內(nèi)的隨意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)L及平面a互相垂直，記

作Lia,直線(xiàn)L叫做平面Q的垂線(xiàn)，平面Q叫做直線(xiàn)L的垂面。如圖，直線(xiàn)及平面垂直時(shí),

它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

2、斷定定理：一條直線(xiàn)及一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)及此平面垂直。

留意點(diǎn)：a）定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不行無(wú)視；

b）定理表達(dá)了“直線(xiàn)及平面垂直”及“直線(xiàn)及直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面及平面垂直的斷定

1、二面角的概念：表示從空間始終線(xiàn)動(dòng)身的兩個(gè)半平面所組成的圖形

A

2、二面角的記法：二面角a/書(shū)或Q?AB-B

3、兩個(gè)平面互相垂直的斷定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直。

2.3.3—2,3.4直線(xiàn)及平面、平面及平面垂直的性質(zhì)

1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行。

2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)及另一個(gè)平面垂直。

本章學(xué)問(wèn)構(gòu)造框圖

平面（公理1、公理2、公理3、公理4）

____________________________等間直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系

直線(xiàn)及直線(xiàn)的位置關(guān)系直線(xiàn)及平面的位置關(guān)系平面及平面的位置關(guān)系

-------------------------------------------界二早~~-------------

3.1直線(xiàn)的傾斜角和斜率

3.1傾斜角和斜率

1、直線(xiàn)的傾斜角的概念：當(dāng)直線(xiàn)1及X軸相交時(shí)，取X軸作為基準(zhǔn),X軸正向及直線(xiàn)1向上

方向之間所成的角Q叫做直線(xiàn)1的傾斜角.特殊地,當(dāng)直線(xiàn)1及X軸平行或重合時(shí)，規(guī)定a=

0°.

2、傾斜角Q的取值范圍：0°<a<180°.當(dāng)直線(xiàn)1及x軸垂直時(shí)，a=90°.

3、直線(xiàn)的斜率:

一條直線(xiàn)的傾斜角a（QR90°）的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示,

也就是k=tana

⑴當(dāng)直線(xiàn)1及x軸平行或重合時(shí)