黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)綜合題七理含解析

PAGE20-黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)綜合題（七）理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知全集，，，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合運(yùn)算的定義推斷．【詳解】由題意，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，駕馭集合運(yùn)算的定義是解題基礎(chǔ)．2.設(shè)是虛數(shù)單位，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件【答案】D【解析】【分析】結(jié)合純虛數(shù)的概念，可得，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項(xiàng).【詳解】若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，所以，若，不妨設(shè)，此時(shí)復(fù)數(shù)，不是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數(shù)的概念，理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3.一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示，則這個(gè)棱錐的體積為（）A.12 B.36 C.16 D.48【答案】A【解析】【分析】由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐，由此可求得體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐，底面是矩形，高為3，∴其體積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求體積，關(guān)鍵是由三視圖還原出原幾何體．4.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)將線段三等分，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得，結(jié)合可得，得漸近線方程．【詳解】∵左、右頂點(diǎn)將線段三等分，∴，即，∴，．∴漸近線方程為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的漸近線方程，解題關(guān)鍵是得出的關(guān)系．5.如圖，若輸入的值為4，則輸出的值為（）A.-3 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】模擬程序運(yùn)行，視察變量值的改變，推斷循環(huán)條件可得結(jié)論．【詳解】程序運(yùn)行時(shí)，變量值改變?nèi)缦拢海鹣妊h(huán)，，滿意，；，滿意，；，滿意，；，不滿意，輸出．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行，視察變量值，得出結(jié)論、6.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】先推斷函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)零點(diǎn)存在性定理推斷出函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由于函數(shù)在上是增函數(shù)，且，，故函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，也即在上有唯一零點(diǎn).故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的推斷，考查零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.7.在直角梯形中，已知∥，，，，，若為的中點(diǎn)，則的值為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】分別以AD，AB所在直線為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0),D(4,0),B(0,4),C(2,4),則,.8.若的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為，則直線，，軸與曲線圍成的封閉圖形的面積為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理求出，再由微積分基本定理求出面積．【詳解】的綻開式的通項(xiàng)為，由，得．∴常數(shù)項(xiàng)為，，由于與軸有一個(gè)交點(diǎn)為，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查微積分基本定理，在用微積分基本定理求面積時(shí)，要留意函數(shù)的圖象是在軸上方還是在軸下方．9.函數(shù)（其中，圖象如圖所示，為了得到的圖象，可以將的圖象A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】試題分析：由題意，,所以，令，則，即向右平移可以得到.考點(diǎn)：正弦型函數(shù)解析式函數(shù)圖像平移變換點(diǎn)評(píng)：在求解的圖像時(shí)，核心是理解各變量對(duì)圖像的影響，另外，函數(shù)平移口訣“左加右減，上加下減”是快速精確解題的關(guān)鍵.10.已知橢圓，，為左、右焦點(diǎn)，，，，分別是其左、右、上、下頂點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，若為直角，則此橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由是直角，得斜率乘積為－1，由此可得關(guān)系，從而得離心率．【詳解】由題意，∵為直角，∴，即，即，∴，，∴（舍去）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是得出的等式，本題中由直線垂直得斜率乘積為－1易得．11.已知為球的直徑，，是球面上兩點(diǎn)，且，，若球的體積為，則棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】由球體積求出球半徑為2，從而可得和都是等腰直角三角形，從而，平面，這樣的體積易求．【詳解】由，得，如圖，由為球的直徑，∴，，，，∴平面，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查球的體積和棱錐的體積，解題關(guān)鍵證得平面，用兩個(gè)小棱錐體積相加得所求體積．12.已知函數(shù)，則（）A.4025 B.-4025 C.8050 D.-8050【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用倒序相加法求和．詳解】∵，記，則，∴，．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查學(xué)生的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的實(shí)力．視察求值式，首尾自變量和為2，因此考慮計(jì)算，從而得解．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.）13.已知，則的最小值是__________．【答案】【解析】分析：利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成，綻開后，利用基本不等式求得y的最小值.詳解：因?yàn)椋?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），則的最小值是，總上所述，答案為.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值的狀況下求其分式形式和的最值的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，留意相乘，之后應(yīng)用基本不等式求最值即可，在做乘積運(yùn)算的時(shí)候要留意乘1是不變的，假如不是1，要做除法運(yùn)算.14.已知滿意：，若的最大值為2，則______.【答案】1【解析】【分析】作出可行域（示意圖），作直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，向上平移時(shí)，增大，易知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃，作出可行域是解題關(guān)鍵．15.某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的老師為了檢驗(yàn)主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了選該課的學(xué)生人數(shù)狀況，詳細(xì)數(shù)據(jù)如表，則大約有_________%的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系．非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1510女520參考公式：0．0250．0100．0050．0015．0246．6357．87910．828【答案】【解析】試題分析：由列聯(lián)表，可得：，所以大約有99．5%的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系；故填．考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【方法點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題；獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟是：第一步，依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作或完善列聯(lián)表；其次步，依據(jù)公式，計(jì)算的值；第三步，利用臨界值表，比較與臨界值的大小關(guān)系，作出統(tǒng)計(jì)推斷．16.中，，點(diǎn)在邊上，，且，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】由，結(jié)合向量的加法運(yùn)算法則，由向量共線定理可得點(diǎn)就是邊中點(diǎn)，這樣在中應(yīng)用正弦定用角理表示出，利用三角函數(shù)性質(zhì)可求得的最大值．【詳解】如圖，作于，取中點(diǎn)連接，，∴與共線，從而與重合，即是中點(diǎn)．中，，記，則，，由正弦定理得，即，∴，，，，其中為銳角，，，∴時(shí)，取得最大值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理，考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，駕馭三角函數(shù)協(xié)助角公式是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知數(shù)列滿意：．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，由，可得，上述兩式相減可得，所以，，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以．（2）由（1）可知，所以，令①，則②，①－②得，所以，所以．【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查利用項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查錯(cuò)位相減法求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的駕馭水平和分析推理實(shí)力.(2)若數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采納錯(cuò)位相減法.18.小建高校畢業(yè)后要出國(guó)攻讀碩士學(xué)位，他分別向三所不同的高校提出了申請(qǐng).依據(jù)統(tǒng)計(jì)歷年數(shù)據(jù)，在與之同等水平和經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生中，申請(qǐng)大，大，大勝利的頻率分別為，，.若假設(shè)各高校申請(qǐng)勝利與否相互獨(dú)立，且以此頻率為概率計(jì)算.（Ⅰ）求小建至少申請(qǐng)勝利一所高校的概率；（Ⅱ）設(shè)小建申請(qǐng)勝利的學(xué)校的個(gè)數(shù)為，試求的分布列和期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，【解析】【分析】（Ⅰ）先求其對(duì)立事務(wù)即三所學(xué)校都不勝利的概率，然后由對(duì)立事務(wù)概率性質(zhì)可得；（Ⅱ）的取值為，分別計(jì)算概率得分布列，由期望公式計(jì)算期望即可．【詳解】（Ⅰ）小建申請(qǐng)大，大，大都不勝利的概率為，則小建至少申請(qǐng)勝利一所高校的概率.（Ⅱ），，，，的分布列如下：0123.【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率，考查隨機(jī)變量的概率分布列和期望，駕馭獨(dú)立事務(wù)的概率公式是解題關(guān)鍵．19.如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，且，為中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由面，得，再結(jié)合矩形可證得面，從而得，再由等腰三角形性質(zhì)得線線垂直，從而得線面垂直；（Ⅱ）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，由空間向量法求出二面角，留意二面角推斷是鈍角還是銳角．【詳解】（Ⅰ）∵，為中點(diǎn)，∴，∵為矩形，面，∴且，，∴面，平面，∴，，∴面.（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則，∵二面角的平面角為鈍角，∴二面角的平面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線面垂直，考查求二面角問(wèn)題．證明線面垂直，須要兩個(gè)線線垂直，這里線線垂直一是可以從平面幾何角度證明，另外就是從線面垂直的性質(zhì)定理考慮．而用向量法求二面角（或線面角，異面直線所成的角）一般都是用空間向量法求解．關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系．20.已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)作動(dòng)直線交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若垂直于軸時(shí)，.（1）求拋物線方程；（2）若點(diǎn)也在曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（Ⅰ）AB垂直于x軸時(shí)，|AF|＝|BF|＝p．如圖所示，由切線的性質(zhì)可得PF⊥AP．在Rt△APF中，sin∠PAF，同理可得sin∠QBF．即可解出p．（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為x﹣1＝my，A，B．直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式由||＜8，，可得8，m2＜1．由t，t≠0．利用向量坐標(biāo)運(yùn)算可得，把點(diǎn)H的坐標(biāo)代入拋物線方程即可得出．【詳解】解：（Ⅰ）AB垂直于x軸時(shí)，|AF|＝|BF|＝p．如圖所示，由切線的性質(zhì)可得PF⊥AP．在Rt△APF中，sin∠PAF，同理可得sin∠QBF．∵4，∴2p＝4，解得p＝2．∴拋物線方程為y2＝4x；（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為x﹣1＝my，A，B．聯(lián)立，化為y2﹣4my﹣4＝0，∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4．∵||＜8，∴，∴8，化為1+m2＜2，即m2＜1．∵16m2+8．t，t≠0．∴．∵點(diǎn)H也在曲線C上，∴．化為t，t≠0．∵0≤m2＜1．∴t∈．∴t的取值范圍是：．考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)潔的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中把直線的方程代入圓錐曲線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，借助韋達(dá)定理和判別式，運(yùn)算、化簡(jiǎn)是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理與運(yùn)算實(shí)力及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，同時(shí)助于向量的運(yùn)算與化簡(jiǎn)，試題有肯定的難度，屬于難題.21.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若方程有三個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ），增區(qū)間：，；減區(qū)間：；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，然后由，可求得，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對(duì)，由不是方程的根，可變形為，令，利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性，求出極值后可得結(jié)論．【詳解】（Ⅰ），由切線方程可得：，∴，增區(qū)間：，；減區(qū)間：.（Ⅱ），∵不是方程的根，∴，令，，∴在遞減，遞增，遞增，遞增.且的根為.，，，的大致圖象如圖，∴的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，考查用導(dǎo)數(shù)探討方程根的分布，解題時(shí)利用分別參數(shù)法把方程依據(jù)的分布轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．從而再由導(dǎo)數(shù)探討新函數(shù)的性質(zhì)．特殊是單調(diào)性、極值，由數(shù)形結(jié)合思想得出結(jié)論．請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分.22.極坐標(biāo)與參數(shù)方程已知曲線：（為參數(shù)），：（為參數(shù)）．（1）將、的方程化為一般方程；（2）若與交于M、N，與x軸交于P，求的最小值及相應(yīng)的值．【答案】（1）x2+12y2=1,（2），【解析】【分析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1，即可將曲線化為一般方程；消去參數(shù)，即可得出一般方程.（2）C2與x軸交于P，把C2的參數(shù)方程代入曲線化為一般方程，整理等關(guān)于t的一元二次方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義，得|PM|?|PN|=﹣t1t2，進(jìn)而求出最小值.【詳解】解：（1）由曲線C1：（θ為參數(shù)），利用sin2θ+cos2θ==1，化為x2+12y2=1．由C2：（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：．（2）C2與x軸交于P，把C2：（t為參數(shù)）．代入曲線